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第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
Ch 8 实数基本定理计划课时：8 时§ 0 连续统假设简介（2 时）一．数的发展简史：参阅《数学分析》选讲讲稿P66—76（1997. 8.10 ）.1.自然数的产生: 十九世纪数学家Leopold Kronecker说: 上帝创造了整数, 其余则是我们人类的事了.2.从自然数系到有理数系:3.算术连续统假设的建立及其破灭:不可公度性的发现及其深远影响.Pythagoras（约在纪元前六世纪），Hippasus，Leonardo da Vinci 称为“无理的数”. Eudoxus , Euclid.4.微积分的建立:Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ;Voltaire , B. Berkeley .十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass .Archimedes数域.5.实数系的建立:十九世纪后半叶由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.二. 连续统假设:1.连续统假设: 以Cantor实数为例做简介.Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900年, 哥庭根大学教授Hilbert( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 , 其中的第一题就是所谓连续统假设.首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160—161 ).连续统假设的研究现况.2.实数基本定理:连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限定理和实数完备性定理.§ 1 实数基本定理的陈述（ 4 时）一．确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念.Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理 :1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b)(∞→n . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +-+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n n n x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++= .⑵ 12) 1 (513111--+-+-=+n a n n . 解 ⑴ ≤++=-+++++ | 9.0sin 9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x<++≤++ 9.09.01p n n +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++⨯=-=n n ; 对0>∀ε，为使 ε ||<-+n p n x x ，易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 =N .⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132-+-+++-++-=-+++++p n n n a a p n n n n p n 1)(2)1(3211211-+-+++-+=+p n n n p . 当p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 =-+-++-+1)(21321121p n n n 0 1)(213)(21721521321121≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+p n p n n n n n , 又 =-+-++-+1)(21321121p n n n ≤-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n 121+≤n . 当p 为奇数时 , =-+-++-+1)(21321121p n n n0 1)(213)(215)(21321121≥-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=p n p n p n n n ,=-+-++-+1)(21321121p n n n 121 1)(213)(21521321121+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=n p n p n n n n . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤-+-+++-+≤+n p n n n p n1 <. ……Cauchy 列的否定:例2 ∑==nk n k x 11 . 验证数列}{n x 不是Cauchy 列. 证 对n ∀, 取n p =, 有 212 12111||=>++++++=-+n n n n n n x x n p n . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1.列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈, 则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间, 则称区间族G 是开区间族 . 开区间族常记为} , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2, 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a .2.Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.. § 2 实数基本定理等价性的证明 （ 4 时 ）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε, ,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列 } ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§ 3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P 226[ 证法 二 ]后半段.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ, 有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且 n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(l i m )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f , ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P 229—230 [ 证法一 ]证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P 229—230 [ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.习 题 课 （ 4 时 ）一． 实数基本定理互证举例：例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列} {n x 递增有上界. 取闭区间 ] , [11b a , 使1a 不是} {n x 的上界, 1b 是} {n x 的上界. 易见在闭区间 ] , [11b a 内含有数列} {n x 的无穷多项, 而在] , [11b a 外仅含有} {n x 的有限项. 对分] , [11b a , 取] , [22b a 使有] , [11b a 的性质.…….于是 得区间套] , [ {n n b a },有公共点ξ. 易见在点ξ的任何邻域内有数列} {n x 的无穷多项 而在其外仅含有} {n x 的有限项, ⇒ ξ=∞→n n x lim . 例2 用“确界原理”证明“区间套定理”.证 ] , [ {n n b a }为区间套. 先证每个m a 为数列} {n b 的下界, 而每个m b 为数列 的上界. 由确} {n a 界原理 , 数列} {n a 有上确界, 数列} {n b 有下确界 . 设 inf =α} {n b , sup =β} {n a .易见有n n b a ≤≤α 和n n b a ≤≤β. 由) ( , 0∞→→-n a b n n ，βα=⇒. 例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设S 为有界无限点集, ] , [b a S ⊂. 反设] , [b a 的每一点 都不是S 的聚点, 则对∈∀x ] , [b a , 存在开区间 ) , (x x βα, 使在) , (x x βα内仅 有S 的有限个点. …… .例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设S 为有界无限点集. 构造数集 E x E | {=中大于x 的点有无穷多个}.易见数集E 非空有上界, 由确界原理, E 有上确界. 设 E sup =β. 则对0 >∀ε,由εβ-不是E 的上界,⇒ E 中大于εβ-的点有无穷多个; 由εβ+是E 的上界,⇒ E 中大于εβ+的点仅有有限个. 于是, 在) , (εβεβ+-内有E 的无穷多个点,即β是E 的一个聚点 .二. 实数基本定理应用举例：例5 设)(x f 是闭区间] , [b a 上的递增函数, 但不必连续 . 如果a a f ≥)(, b b f ≤)(, 则∈∃0 x ] , [b a , 使00)(x x f =. ( 山东大学研究生入学试题 )证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P 76例10 证法1 )设集合 } , )( | {b x a x x f x F ≤≤≥=. 则F a ∈, F 不空 ; F ⊂] , [b a , F 有界 .由确界原理 ,F 有上确界. 设F x sup 0=, 则∈0x ] , [b a .下证00)(x x f =.ⅰ> 若∈0x F , 有00)(x x f ≥; 又b b f x f ≤≤)()(0, 得∈)(0x f ] , [b a . 由 )(x f 递增和00)(x x f ≥, 有≥))((0x f f )(0x f , 可见)(0x f ∈F . 由F x sup 0=, ⇒ )(0x f 0x ≤. 于是 , 只能有00)(x x f =.ⅱ> 若∉0x F , 则存在F 内的数列} {n x , 使n x ↗0x , ) (∞→n ; 也存在数列 } {n t , ,0b t x n ≤< n t ↘0x ,) (∞→n . 由f 递增, F x n ∈以及n t F ∉, 就有式 n n n n t t f x f x f x <≤≤≤)()()(0对任何n 成立 . 令 ∞→n , 得,)(000x x f x ≤≤ 于是有00)(x x f =.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P 77例10 证法2 ) 当a a f =)(或b b f =)(时,a 或b 就是方程x x f =)(在] , [b a 上的实根 . 以下总设b b f a a f <>)( ,)(. 对分区间] , [b a , 设分点为 c . 倘有c c f =)(, c 就是方程x x f =)(在] , [b a 上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若c c f >)(, 取b b c a ==11 , ; 若c c f <)(, 取c b a a ==11 , , 如此得一级区间 ] , [11b a . 依此构造区间套] , [ {n n b a }, 对n ∀,有 n n n n b b f a a f <>)( , )(. 由区间套定理, 0 x ∃, 使对任何n , 有] , [0n n b a x ∈. 现证00)(x x f =. 事实上, 注意到 ∞→n 时n a ↗0x 和n b ↘0x 以 及f 递增, 就有n n n n b b f x f a f a <≤≤<)()()(0.令 ∞→n , 得,)(000x x f x ≤≤于是有00)(x x f =.例6 设在闭区间] , [b a 上函数)(x f 连续, )(x g 递增 , 且有)()(a g a f <,)()(b g b f >. 试证明: 方程 )()(x g x f =在区间 ) , (b a 内有实根 .（ 西北师大2001年硕士研究生入学试题 ）证 构造区间套] , [ {n n b a },使 )()( , )()(n n n n b g b f a g a f ><.由区间套定理,ξ ∃, 使对n ∀, 有ξ∈] , [ n n b a . 现证 )()(ξξg f =. 事实上, 由)(x g 在] , [b a 上的递增性和] , [ n n b a 的构造以及n a ↗ξ和n b ↘ξ,, 有)()( )g( )()(n n n n b f b g a g a f <≤≤<ξ.注意到)(x f 在点ξ连续，由Heine 归并原则, 有)()(lim ξf a f n n =∞→, ).()(lim ξf b f n n =∞→ ⇒ )()()(ξξξf g f ≤≤, ⇒ )()(ξξg f =. ξ为方程)()(x g x f =在区间 ) , (b a内的实根.例7 试证明: 区间 ] 1 , 0 [上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 ] 1 , 0 [上的全体实数是可列的,即可排成一列:,,,,21n x x x把区间 ] 1 , 0 [三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含1x ，记该区间为一级区间] , [11b a . 把区间] , [11b a 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含2x ，记该区间为二级区间] , [22b a . …… .依此得区间套] , [ {n n b a }, 其中区间] , [ n n b a 不含n x x x ,,,21 . 由区间套定理, ξ ∃, 使对n ∀, 有ξ∈] , [ n n b a . 当然有ξ∈] 1 , 0 [. 但对, n ∀ 有 ∉n x ] , [ n n b a 而ξ∈] , [ n n b a , ⇒ ξ≠n x . 矛盾 .。
第七章 实数基本定理［教学目标］通过教学使学生掌握反映实数连续性的六个基本定理，能准确加以表述，并深刻理解其实质意义；明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的方法，提高分析论证的能力。
［教学重难点］实数完备性基本定理的证明和应用。
［教学方法］讲授。
［教学时间］讲授8学时，习题课4学时，共计12学时。
［教学内容］实数完备性基本定理及其等价性证明，闭区间上连续函数性质及证明，*上极限与下极限。
［考核目标］ 1. 区间套、聚点、确界、覆盖、子列及一致连续等概念的理解；求点集的聚点、确界； 2. 对六个基本定理的理解和准确表述，明确其等价性； 3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性； 4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。
§ 1 实数基本定理的陈述一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界。
. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor 闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件} ] , [ {n n b a ⅰ> 对n ∀, 有 , 即 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→−n n a b . 即当)(∞→n ∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤L L L L ,0→−n n a b .)(∞→n 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, } {n a } {n b } {n a } {n b 递减. 例如 } ] 1 , 1 [ {n n −和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +−+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +−都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n nn x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++=L . ⑵ 12) 1 (513111−−+−+−=+n a n n L . 解 ⑴ ≤++=−+++++ | 9.0sin9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x L<++≤++ 9.09.01p n n L L L +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++×=−=n n ; 对0>∀ε，为使 ε ||<−+n p n x x ，易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 .L L =N ⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132−+−+++−++−=−+++++p n n n a a p n n n n p n L 1)(2)1(3211211−+−+++−+=+p n n n p L . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(21721521321121≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+p n p n n n n n L , 又=−+−++−+1)(21321121p n n n L ≤−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n L 121+≤n . 当为奇数时 ,p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(215)(21321121≥−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=p n p n p n n n L , =−+−++−+1)(21321121p n n n L121 1)(213)(21521321121+≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=n p n p n n n n L . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤−+−+++−+≤+n p n n n p L n1 <. …… Cauchy 列的否定:例2 ∑==n k n k x 11 . 验证数列不是Cauchy 列. }{n x 证 对, 取n ∀n p =, 有 212 12111||=>++++++=−+n n n n n n x x n p n L . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点, 但; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设Q 是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.0E ∉0) 1 , 0 (] 1 , 0 [] 1 , 0 [Q ] 1 , 0 [1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine–Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∋Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E U 若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为λI G } , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间, 但不能复盖;) 1 , 0 (] 1 , 0 [} ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈−+−−=复盖, 但不能复盖. ) , [b a ] , [b a 2. Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ ⇒确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ;⇒⇒Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .⇒⇒ 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).⇒1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则对} ] , [ {n n b a 0>∀ε, ,N ∃当时, 总有N n >] , [n n b a ) , (εξU ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则有} ] , [ {n n b a n a ↗ξ, ↘n b ξ, .) (∞→n 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取不是1a E 的上界, 为1b E 的上界. 对分区间, 取, 使不是] , [11b a ] , [22b a 2a E 的上界, 为2b E 的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘} ] , [ {n n b a } {n b } {n b } {n a n b n b β.有↗ n a β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.→→} {n a 三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:§ 3 闭区间上连续函数性质的证明一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上] , [b a )(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上取得最大值和最小值. )(x f ] , [b a ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ).三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(>a f 0)(<b f .令, 则} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=E 非空有界, ⇒E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取>n x ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ.由在点)(x f ξ连续和0)(≤n x f , ⇒0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∋∈∃n t E t n n ξ. 由在点)(x f ξ连续和,0)(>n t f ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用列紧性 ).§4. 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是： ○1127页中间值定理 ○256页单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○459页区间套定理 ○5附录4Borel 有限覆盖定理 ○662页有界必有限 ○764页Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。
由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下： ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=，[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。
要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈ ，且lim lim n n n n b a r →∞→∞==记{}n a 全体上界组成的集合为B ，\A =B R 。
由[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀，知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。
显然11a -∈A ，11b +∈B ，且{}n b ⊂B ，故知A B、不空；由A =B R \知A B 、不漏；,a b ∀∈A ∀∈B ，由于a 不是{}n a 的上界，因此存在{}0n n a a ∈，使0n a a <。
而b 是{}n a 上界之一，所以0n a b ≤，故0n a a b <≤，即a b <，故不乱，因此|A B 构成实数的一个分划。
由①知，存在唯一的r ，,a b ∀∈A ∀∈B ，有a b ≤。
下证[]1,n n n r a b ∞=∈ ，即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ，使n a r >，则2n n a r a +<，因此2n a r +∈A ，而2n a r r +>，与,a a r ∀∈A ≤矛盾。
实数的概念定义是什么及运算实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
下面是店铺给大家整理的实数的概念简介，希望能帮到大家!实数的概念实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的'运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
§1.3 实数基本定理与函数的连续性一、主要知识点和方法1、实数基本定理闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++⊂及0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。
确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
聚点定理：有界无限点集必有聚点。
致密性定理：有界点列必有收敛子列。
有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。
单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。
柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε⇔∀>∃>>-<收敛当时。
（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列）以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。
2、连续函数概念 （1）连续与间断设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x af x f a →=，则称)(x f 在点a 连续。
“εδ-”定义：若0,0εδ∀>∃>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。
则称)(x f 在点a 连续。
若(0)lim ()()x af a f x f a -→-==，则称)(x f 在点a 左连续。
若(0)lim ()()x af a f x f a +→+==，则称)(x f 在点a 右连续。
)(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立：ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在；ⅱ）(0)(0)f a f a +=-； ⅲ）(0)()(0)f a f a f a +==-。
若（ⅰ）（ⅱ）成立，而（ⅲ）不成立，则称a 为)(x f 的可去间断点；若（ⅰ）成立，而（ⅱ）不成立，则称a 为)(x f 的的第一类间断点；若（ⅰ）不成立，则称a 为)(x f 的第二类间断点。
§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。
实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。
本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。
我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。
2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。
区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ΛΛΛΛ,0→-n n a b )(∞→n 。
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。
例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1, 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。
推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。
推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。
根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。
据此，令12ε=，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。
