椭圆第二定义应用及经典例题解析

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

巧用椭圆的第二定义解题1 / 1巧用椭圆的第二定义解题《一般数学课程标准》 在圆锥曲线这一章较过去增添一种要求： 即学生要依据方程的形式和图形特点等进行类比猜想，培育直觉思想与合情推理能力。

增添这一要求是很科学的， 因为好多圆锥曲线问题用代数法运算特别繁琐， 而一旦抓住图形特点后，运用数形联合， 则可以简化运算，大幅度提升解题效率，下边以椭圆为例说明。

例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2 ， 0），左准线 l 的方程为 x=－ 32 ，2PQ 是过 F 且与 x 轴不垂直的弦， PQ 的中点 M 到左准线 l 的的距离为 d ，1：求椭圆的方程2：求证：PQ为定值Q /Qd3：在 l 上能否存在点 R ，使 PQR 为正三角形M /M若存在，求出点 R 的坐标，若不存在，说明原因x 2 y 2P /1：分析：易得椭圆的方程3112：证明：如图，作PP / l 与 P ， QQ / l 与 Q ，则由椭圆的第二定义，易得PF e ， QF e ；于是//2 6=定值PP /QQ /PQ=PF+QF=ePP ＋ eQQ =2ed= 33：分析：本题若从代数角度下手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁琐，好多同学会丧失期心； 若能抓住图形特点， 运用椭圆的第二定义和正三角形的性质， 则可化难为易。

假定存在点 R ，使 PQR 为正三角形，且椭圆固定，则 PQ 确立，于是 PQ 的垂直均分线 RM 也确立，因此 RM 的斜率确立，能够考虑先求 RM 的斜率，Q /MM / 的大小，R 即求倾斜角－Q /Q而 COS Q / MM /= MM/M /，由第 2 问的结论可得：MQ / MP /PMM /1COS Q /MM/ = = 2 e/ M3Q 2PQ = 1 2， Q /MM /PQ 3e2为 45○，依据对称性， RM 的斜率应为 1 ，从而可得 PQ 的方程及中点 M 的坐标，再由点斜式求得 RM 的方程，再联立左准线l 的方程 x=－32 ，得交点 R 的坐标（－32, 2）。

课题：椭圆的第二定义【1】【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。

中心到准线的距离：d=c a 2焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x2、椭圆13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) A.14 B.12 C.10 D.83、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知12312a b c e ====，，，．根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。

一、圆锥曲线第二定义的应用例1：椭圆192522=+y x 上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。

例2：F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为：A. ex 0-aB. a-ex 0C. ex 0-aD.e-ax 0例3：过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。

例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为例6：已知双曲线x 2/25-y 2/144=1的左右焦点分别为F 1和F 2，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使|PF 1|是P 到左准线的距离d 与|PF 2|的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由。

[分析]这是一道存在性探索问题，解题思路一般是：先假设存在，然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。

圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。

[解]根据题意：|PF 1|2=d |PF 2|,即|PF 2|/|PF 1|=|PF 1|/d= e ∴|PF 2|= e|PF 1|∵|PF 2|-|PF 1|=2a=10 c=13 e=13/5∴13|PF 1|/5-|PF 1|=10 |PF 1|=25/4 |PF 2|=65/4 ∴|PF 1|+|PF 2|=45/2 又|F 1F 2|=26 从而|PF 1|+|PF 2|<|F 1F 2|矛盾 ∴符合条件的点P 不存在。

例7 设椭圆2222by a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。

解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |21|AF |1=。

椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。

我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。