直角三角形的性质 (2)

直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和特点。

本文将探讨直角三角形的定义、性质和相关定理，并通过数学推导和图示加以解释。

一、直角三角形的定义直角三角形是一种三边中有一个角为90度的三角形。

直角三角形的另外两个角分别为锐角和钝角。

直角三角形可以通过勾股定理来计算其边长。

二、直角三角形的性质1. 斜边：直角三角形的斜边是较长的一条边，连接直角的两个端点。

2. 直角边：直角三角形的直角边是与直角相邻的两条边，长度可以任意。

3. 高：直角三角形的高是从直角到斜边的垂直距离，可用于计算三角形的面积。

4. 面积：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半。

5. 角度：直角三角形中，一个角为90度，另外两个角的和为90度。

6. 正弦、余弦和正切：直角三角形的正弦、余弦和正切分别由其角度和边长关系确定。

三、勾股定理勾股定理是研究直角三角形的重要工具。

根据该定理，如果一个三角形的两条边的平方之和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

勾股定理的数学表示为：c^2 = a^2 + b^2其中，c表示斜边，a和b表示直角边。

四、特殊直角三角形1. 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形被称为等腰直角三角形，也是特殊的等腰三角形。

2. 45-45-90直角三角形：直角三角形的两个锐角相等时，称为45-45-90直角三角形，它的两条直角边长度相等，斜边长度为直角边长度的√2倍。

五、应用案例直角三角形的性质在实际生活和工作中有着广泛的应用。

例如，在建筑和工程测量中，通过勾股定理可以测量无法直接测量的距离或高度；在导航和航海中，通过角度和距离的关系可以确定位置和方向等。

结论直角三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际应用中具有重要的地位。

通过对直角三角形的性质和相关定理的研究，我们可以更深入地理解其特点和应用，并且在解决实际问题时能够运用相关的数学知识。

直角三角形常考的10个易错点浅析1. 直角三角形的性质性质1：直角三角形两锐角互余.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半.2. 直角三角形的判定判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形.判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.3. 直角三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+.4. 直角三角形的判定勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.5. 直角三角形全等的判断：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“H L ”）6. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.7. 角平分线的性质定理的逆定理：角平分线性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 易错点1 忽略了运用直角三角形的性质的前提条件在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。

例题1 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A =60°，则∠BCD 的度数为（ ）A .30°B .60°C .90°D .无法确定【错解】B【错因】在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。

错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。

【正解】D例题2 如图，在△ABC 中，∠ABC =75°，从顶点B 引射线BD 与CA 交于D 点，使∠CDB =30°，BD =AD 。

求证：AD =2BC 。

【错解】在△BCD 中，∵∠CDB =30°，∴BC =12BD 。

∵BD =AD ，∴BC =12AD ，即AD =2BC 【错因】在本题中没有指明∠C =90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。

直角三角形的性质：1.直角三角形的两个锐角互余。

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5.直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方,又称勾股定理。

a2﹢b2=c2直角三角形的判定：1.有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.在三角形中，如果有一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3.如果三角形的三条边长a,b,c满足关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

角平分线的判定定理：角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。

多边形的性质：1.从n边形的一个顶点做对角线，可以做（n-3）条,这些对角线把n边形分成了（n-2）个三角形。

2.n边形的内角和等于（n-2）·180°.3.n边形的所有对角线为1／2·n(n-3)条。

4.任意多边形的外角和等于360°.平行四边形的性质：1.平行四边形的对边相等。

2.平行四边形的对角相等。

3.平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

矩形的性质：1.具有平行四边形的所有性质。

2.四个角都是直角3.对角线互相平分且相等。

矩形的判定:1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.三个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

编号：57684289337954225654444158学校：杭处市净水镇坝上平小学*教师：务讯理*班级：翔翔参班*13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质一、新课导入1.导入课题：将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起(较长直角边靠在一起且直角顶点重合)，可拼成一个什么样的三角形？你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？(教师演示) 本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质.2.学习目标：(1)运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质.(2)能运用30°角的直角三角形的性质解决相关问题.3.学习重、难点：重点：含30°角的直角三角形的性质及应用.难点：含30°角的直角三角形性质的推导.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：探究“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边与斜边的数量关系”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：借助30°角的三角尺进行拼图实验，再由等边三角形的性质和判定进行分析.(4)探究提纲：①操作：用两个全等的含30°角的直角三角尺，能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．能，将60°角所对的边重合，则两直角组成平角，两30°角组成60°角，且两条斜边相等，所以能拼出一个等边三角形.②由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.证明：如图，AD是等边三角形ABC的高，则∠BAD=12∠BAC=30°，BD=12BC=12AB.③把上述结论用文字语言和几何语言分别表述出来.文字语言：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，则BC=12AC.2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生能否从拼图中得出结论及证明过程的书写是否得当规范.②差异指导：引导学生先找出图形中相等的线段，然后再找出线段之间的数量关系.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)直角三角形的性质(文字表述及几何表述).(2)练习：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？∵∠B+∠A=180°-∠C=90°，∠B=2∠A，∴∠B=60°，∠A=30°.∴AB=2BC.1.自学指导：(1)自学内容：教材第81页例5.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：通过认真分析已知条件，关注30°有什么作用？(4)自学参考提纲：①图中你能找出几个含30°角的直角三角形？6个②BC、DE各是哪两个直角三角形的边？BC、DE分别是Rt△ABC、Rt△ADE的边.③利用30°角的直角三角形有关性质：BC等于哪条边的一半，DE等于哪条边的一半.BC=12AB，DE=12AD.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生是否确立BC、DE的长与哪条线段有关？为什么？②差异指导：引导学生根据题意，顺次找出BC、DE所在的直角三角形，然后看所在直角三角形有什么特点？(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)直角三角形中，当出现30°或60°角时，马上想到直角边和斜边的数量关系.(2)练习：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高.求CD的长．∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°.又∠AC=a.D=90°，AC=2a，∴CD=12三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:含30°角的直角三角形的性质由学生自主探索，利用实物归纳出性质，适时组织学生间的交流，在小组活动中适时介入讨论和评价，使学生能从实践中学习新知识.一、基础巩固（第1、2、3、4题每题10分，第5题20分，共60分）1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则AB与BC的关系是（C）A．AB=12BC B.BC=12AC C.BC=12AB D.AC=12AB2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°, AD=2cm,则AB 的长度是（C）A.2cmB.4 cmC.8 cmD.16cm3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则等腰三角形的顶角为（D）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°4.等腰△ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD等于（B ）A.6B.5C.7D.5.55.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC=2AD.证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C,∴∠C=30°，∠ABC=60°.又BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°.∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=12BD=12DC，即DC=2AD.二、综合应用（20分）6.如图所示, 在△ABC中,BD是AC边上的中线, 延长BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B, ∠ABC=120°, 求证: AB=2BC.证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.在△ADE和△CDB中，AD=CD，∠ADE=∠CDB，DE=DB，∴△ADE≌△CDB (SAS).∴∠E=∠CBD=90°，AE=BC.又∠ABC=120°，∴∠ABE=30°.∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.三、拓展延伸（20分）7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=14AB．证明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.∴BD=12BC，BC=12AB，∴BD=14AB.。

直角三角形的认识与性质直角三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和特点。

本文将从定义、性质和应用几个方面来介绍直角三角形。

一、定义直角三角形是指一个三角形中，其中一个角为90度（即直角），而其他两个角则为锐角或钝角。

二、性质1. 边长关系：在直角三角形中，我们可以利用勾股定理得出三边之间的关系。

勾股定理表述为：斜边的平方等于两腰的平方和。

即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两个腰，c为斜边。

2. 三角函数关系：在直角三角形中，三角函数正弦、余弦和正切与角度和边长之间有着密切的关系。

正弦定义为直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦定义为直角三角形中，邻边与斜边的比值；正切定义为直角三角形中，对边与邻边的比值。

根据三角函数的定义，我们可以得出sinθ = a/c，cosθ = b/c，tanθ = a/b这些关系在解决一些与直角三角形相关的实际问题时非常有用。

3. 特殊比例：直角三角形中，如果两条腰的长度满足特定的比例关系，就称为特殊直角三角形。

(1) 等腰直角三角形：当直角三角形的两条腰的长度相等时，即a=b（以直角边为底边），它们都是45度的角。

在等腰直角三角形中，斜边的长度等于腰的长度乘以√2。

(2) 等边直角三角形：当直角三角形的两条腰的长度相等且等于斜边的长度时，即a=b=c，它们都是60度的角。

三、应用直角三角形的性质在日常生活中有着广泛的应用。

1. 导航与测量：在导航仪器和地图中，我们常常利用直角三角形的性质来进行测量和定位。

通过测量两个已知角度之间的距离，我们可以计算出其他的未知距离，从而确定位置和方向。

2. 建筑和工程：直角三角形的性质在建筑和工程领域中也具有重要的应用。

在设计和建造房屋、桥梁和其他结构时，我们需要准确计算各个部分的尺寸和角度。

直角三角形的性质使得这些计算变得相对简单，从而确保结构的稳定和安全。

3. 测量高度和距离：利用直角三角形的性质，我们可以利用三角测量法来测量树木的高度、建筑物的高度以及其他无法直接测量的物体的高度。