沪教版八年级上19.3 直角三角形 知识讲解 讲义

板块一：勾股定理及逆定理一、勾股定理及其逆定理a ）勾股定理：直角三角形两条直角边a 、b 的平方和，等于斜边c 的平方，即222a b c +=；b ）逆定理：如果某个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

二、勾股数及常见特殊直角三角形的三边比a ）勾股数：在直角三角形中，高两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，则有222a b c +=。

满足该方程的正整数a 、b 、c 叫做勾股数。

常见的勾股数组有3、4、5；5、12、13；7、24、25.b ）特殊直角三角形的三边比：等腰直角三角形三边比为含有30︒角的直角三角形三边比为2.【例题1】 已知直角三角形的两条直角边长为 a 、b ，斜边长为c ，求证：222a b c +=.【例题2】 【基础、提高】求证：3、4、5是可以构成勾股数组的唯一一组连续正整数.【尖子】求证：222n n +、21n +、2221n n ++（n 正整数）是一组勾股数.第三讲 直角三角形之勾股定理【例题3】 【基础、提高】（1）在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，10BC =，8AC =，求DE 的长.AB C DE（2）ABC ∆中，20AB AC ==，32BC =，AD AC ⊥，AD 交BC 于D ，求BD 的长.ABC D【尖子】在ABC ∆，4AB AC ==，P 是BC 上异于B 、C 的一点，求2AP BP PC +的值.P AB C【例题4】 【基础、提高】已知90B D ∠=∠=︒，60A ∠=︒，4AB =，2CD =，求四边形ABCD 的面积.ABC D【尖子】四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =，6CD =，求四边形ABCD 的面积. A BCD【例题5】 （1）已知，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB cm =，10BC cm =，求CE 的长F A BC DE（2）有一个直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？A BCDE（3）有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D的折痕将角A 翻折，使得点A 落在线段EF 的点H 上，折痕交AE 于点G ，求EG 的长.GH F A B CD E（4）将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 、MN 的长.NMF AB CDE【例题6】 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证：2221()4AD AB AC =+ NMAB CD【例题7】 在等腰三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，D 、E 为斜边AB 上的点，且45DCE ∠=︒，求证：222DE AD BE =+.AB CD E【例题8】 在凸四边形ABCD 中，30ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD DC =，求证：222BD AB BC =+AB CD板块二：勾股定理的应用在平面直角坐标系内，两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点()11,A x y 、()22,B x y ，那么A 、B 两点的距离：AB =【例题9】 有两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为1AC km =，3BD km =，3CD km =，现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W .D C BA【例题10】 平面直角坐标系内有两点(10)A ，，(30)B ，，请找出一点C ：①纵坐标是横坐标的两倍；②ABC∆是等彩三角形.【例题11】 已知距形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置时（如图一），易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图二，图三中的位置时，2PA 、2PB 、2PC 、2PD 又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图二证明结论.答：对图二的探究结论为 .对图三的探究结论为 .图一P D C B A 图二PD C B A 图三PDCB A【练习1】 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：（1）222111a b h +=；（2）a b c h +<+【练习2】 在ABC ∆中，AD 是边BC的中线，ABAD =AC =，求证：30ADB ∠=︒D CB A【练习3】 在D 是ABC ∆内一点，把ABD ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒得到CBE ∆，若4AD =，3BD =，5CD =，（1）判断DEC ∆的形状，并说明理由；（2）求ADB ∠的度数. E DC BA【练习4】 将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则求BE 和AF 的长.D'F E DC B A【练习5】 在R t ABC ∆中，90C ∠=︒，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，5AD =，BE =AB 长. E DCBA【练习6】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AM 是中线，MN AB ⊥，垂足为N ，求证： 222AN BN AC -=N MCB A【练习7】 铁路上A 、B 的两站相距25km ，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知15DA km =，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站，使得C 、D 两村到E 的距离相等，则E 应建在距A 站多少千米处？D A CE B【练习8】 平面直角坐标系内有两点(1,0)A ，(1,0)B -，请找出一点C ：①纵坐标等于横坐标；②ABC ∆是等腰三角形.。

动点产生的直角三角形我们数学中有一些解题思想，而分类讨论则是初中阶段最常用的，它主要用于对动态问题、不定问题的研究，对我们学好数学知识，处理实际问题有非常重要的意义。

解决这部分题型的一般思路就是找出所有可能性，然后逐一解决。

这类问题通常会在中考的填空题最后一题，解答题倒数第二题进行考察，所以要想冲刺高分，这部分内容必须掌握好。

一．知识梳理1.直角三角形性质回顾：角：直角三角形两锐角互余.边：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 其他：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30O，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30O .动点产生的直角三角形题型分类总结：1.证明某三角形为直角三角形；2.函数背景下的直角三角形问题；3.几何背景下的直角三角形问题；4.直角三角形的分类讨论问题.知识梳理2.直击中考“动点产生的直角三角形”题型解题方法与策略：●寻找题目中的已知量和特殊条件：●当直角不确定的时候，注意分类讨论；●此处常常借助勾股定理、锐角三角比和相似求解;●根据题意画出正确的图形也很关键.【试题来源】【题目】在直角坐标平面内，为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P .（1）求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q求点Q 的坐标.【试题来源】【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ，与x 轴交于点B ，且与直线383-=x y 平行。

（1） 求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；（2） 如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，交直线383-=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标。

直角三角形的性质学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲义的主要内容是探讨直角三角形这类特殊的三角形所具有的的一些特有的性质:直角三角形全等的HL判定定理，直角三角形的两个性质定理以及勾股定理。

我们要掌握这些定理，并且灵活地用这些定理去证明一些问题。

这节课的重难点是学会运用这些定理，解决问题。

这部分内容在中考中的考查一般是填空选择题或者是简单的证明题，难度一般不大，需牢牢掌握。

知识梳理1.直角三角形全等的判定如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为HL）知识梳理2.直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余定理2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

知识梳理3.勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

AB勾股定理的证明：勾股定理逆定理的证明用构造法。

直角平面坐标内两点间的距离1、设在数轴上点A 表示数A x ，点B 表示数B x ，则||A BAB x x =-2、设在平面直角坐标系中，点(,)A A A x y ，点(,)B B B x y ，则AB =【试题来源】【题目】如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AC=AD,AB 与CD 交于E ，求证：CE=DE ．【试题来源】【题目】如图所示，已知AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 与BE 相交于点F ， 求证：AF 平分∠BAC ．【试题来源】【题目】如图，已知：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD于H ，AD=BD ,AC=BH ,连结CH ，求证：∠ABC=∠BCH．bbbaECFBDA【试题来源】 【题目】D 为锐角△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若DE=DF ， 求证AB=AC【试题来源】【题目】知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长【试题来源】【题目】：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.【试题来源】【题目】已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC.求证：AB=BO.【试题来源】【题目】△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB ． 求证：AE=2CE ．【试题来源】【题目】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是沪教版数学八年级上册第19.3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了三角形全等的判定方法的基础上进行学习的，目的是让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

本节内容主要包括两个方面：一是直角三角形全等的判定方法，二是直角三角形全等的应用。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形全等的判定方法，但是对于直角三角形全等的判定方法可能还有一定的疑惑。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，体会直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。

2.能够运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和操作能力。

四. 教学重难点1.直角三角形全等的判定方法。

2.能够运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导等方式，引导学生观察、思考、操作，从而理解直角三角形全等的判定方法。

2.示范法：教师通过讲解、示范等方式，向学生展示如何运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。

3.练习法：学生通过自主练习、合作交流等方式，巩固所学内容。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、直角三角形模型等。

2.准备相关的问题和练习题，以便在教学过程中进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾三角形全等的判定方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，向学生展示直角三角形全等的判定方法，并讲解其原理。

3.操练（15分钟）教师提出相关问题，引导学生进行思考和操作，如：“两个直角三角形如何判断它们全等？”学生通过观察、操作，理解直角三角形全等的判定方法。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学内容。

沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形性质与判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形性质与判定》是沪教版数学八年级上册第19章第三节的内容。

本节内容主要让学生掌握直角三角形的性质，包括勾股定理、锐角三角函数的概念及其应用，以及直角三角形的判定方法。

这些内容对于学生理解数学的内在联系，培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、三角形的基本概念，并具有一定的几何图形的观察和分析能力。

然而，对于直角三角形的性质和判定，学生可能还存在着一定的理解困难，特别是勾股定理的应用和锐角三角函数的概念。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步掌握直角三角形的性质和判定。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理、锐角三角函数的概念及其应用。

2.学会运用直角三角形的性质和判定解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力、交流能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。

2.锐角三角函数的概念及其应用。

3.直角三角形的判定方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索直角三角形的性质和判定。

2.运用多媒体教学手段，展示直角三角形的性质和判定过程，增强学生的直观感受。

3.采用分组合作学习的方式，培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直角三角形的相关教具和学具。

3.教学课件和教学设计文档。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习实数、三角形的基本概念，引导学生回顾已学过的几何知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示直角三角形的图片，引导学生观察并思考直角三角形的特征。

然后，教师运用多媒体教学手段，展示直角三角形的性质和判定过程，让学生直观地感受和理解直角三角形的性质。

3.操练（10分钟）教师学生进行分组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和判定解决实际问题。

沪教版八年级数学上册教案：19-3直角三角形全等的判定知识精要：1、直角三角形全等的判定（1）斜边直角边定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称“HL”定理）．（2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．2、直角三角形的性质：（1）定理1：直角三角形的两个锐角互余；（2）定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．3、勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方和等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．精解名题：1、要判定两个直角三角形全等，需要满足下列条件中的（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A ．6个；B ．5个；C ．4个；D ．3个．2、下列说法中，错误的是（ ）A ．三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用；B ．已知两个锐角不能确定一个直角三角形；C ．已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形；D ．已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形．3、如图，已知△ABC 为直角三角形，，若沿图中虚线剪去∠C ，则等于（）A ．；B ．；C ．；D ．． 4、如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的个数有（）①平分；②BC 长为；③△是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长． A． 1个； B ．25、如图，△ABC 中，，，AD 平分交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．4cm ；B ．6cm ；C ．8 cm ；D ．10cm ．6、如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，，D 为AB 中点，有以下结论：①；②DE ⊥AC ；③；④．其中结论正确的是（）A B C。