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第六章IIR设计-2

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冲激响应不变法变换关系
Ak N sk t H a ( s) ha (t ) Ak e u(t ) k 1 (s sk ) k 1
N
其中
s k 为H a (s)的单极点 A k (s s k )H a (s) s s
k
H ( z ) Z [ha (t ) t nT ] Z [ Ak e s
N
例：
设模拟滤波器的系统函数为
H a ( s)
3 , s 2 5s 4
试利用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器。设采 样周期为 T 1 。
。
解：模拟滤波器系统函数展开为部分分式
H a ( s) 3 1 1 s 2 5s 4 s 1 s 4
所以数字滤波器系统函数与之对应的一阶的形式如下
k 1 N
N
sk nTs
u (nTs )] [ Ak e sk nTs ]z n
n 0 k 1

N
Ak (e
k 1 n 0
N

sk Ts
Ak z ) sk Ts 1 e z 1 k 1 ( s sk )
如何从模拟滤波器设计数字滤波器？
•冲激响应不变法 •双线性变换法
冲激响应不变法 已知模拟滤波器的冲激响应ha(t),使得数字滤波器h(n)的 包络为ha(t) ，即 h(n) ha (t) t nT ha (nTs ) s 冲激响应不变
这种方法实质是时域采样法，基本设计步骤是： •先得到模拟滤波器的系统函数Ha(s) •对其冲激响应ha(t)进行采样，得到数字滤波器单位 抽样响应h(n) •h(n)所对应的z变换就是所要求的数字系统的系统 函数H(z)
T T H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e4T
将采样周期 T 1 代入则有
H ( z)
0.34956 z 1 2 1 0.3862 z 0.0067 z 4
1
冲激响应不变法的优缺点
频域有混叠：
冲激响应不变法修正
1 j H (e ) Ts
k 1
N
(s sk )
N
Ts Ak (4) 直接对应H(z)的部分分式 H ( z ) sk Ts 1 1 e z k 1
接例题DOC
2 1 H a [ j jk ( )] H a ( j ) Ts Ts Ts Ts k


| |
考虑到若取样频率很高，会使数字系统的幅频特性增 益很高。为了防止溢出，通常在取样时做修正，令 h(n) Ts ha (nTs ) 这样实际数字滤波器的系统函数为：
Ts Ak H ( z ) sk Ts 1 z k 1 1 e
N
冲激响应不变法设计步骤 虽然，冲激响应不变法是 H a ( s ) ha (t ) h(n) H ( z ) 过程较烦琐。但是，由于s平面与z平面的极点一一对应，变 换步骤可以简化。设Ha(s)均为一阶极点，设计步骤为： 模拟频率和数字频率 之间是线性转换关系
(3) Ha(s)部分分式展开 Ha (s) Ak

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第六章IIR数字滤波器的理论与设计(2)

第六章IIR数字滤波器的理论与设计(2)


例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系， 但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器
H ( j) k b H (e
j
) H ( j )
tg

2
ktg

2
b
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤 波器为非线性相位。 c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双 线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选 频滤波器。
面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。
一、脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波 器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha(t)的采样值，即
ha t |t nT ha nT hn
T为采样周期。
j

Ha ( j ) T
脉冲响应不变法的频率混叠现象
1 H z |z esT H a s jks T k
首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。
ze
sT
令
z re
j
,
s j
在S平面上沿虚轴移动，对应于Z平面沿单位圆周 期性旋转，每平移 s ， 则沿单位圆转一周。 S平面到Z平面的映射是多值映射。
极点为：
s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j 0.7772)
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去。 由此建立 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，消除多 值性，也就消除了混淆现象。
第六章-IIR-DF的设计方法

第六章-IIR-DF的设计方法

其极点为 sk e N 2 2 , k 1, 6
取前三个根，s1
1 2
j
3 2
,
s2
1,
s3
1 2
j
3 2
Ha (s)
s3
K0 2s2
2s
1
求常数K。
代入s 0时，Ha (0) A(0) 1,则可得K0 1
Ha (s)
s3
1 2s2 2s
1
4、归一化旳系统函数
假如将系统函数旳s 用滤波器旳截止频率清除，这
7.4641016S2 3.8637033S 1)
1/[(S2 0.51763809S 1)(S2 1.4142135S 1)
(S2 1.931851652S 1)]
将s用
S C
S / 7.0321103代入，可得 Ha (s)
Ha (S) 120923.1108 /[S2 3.64003103S 49.4504106 )
j
S1
S4 4
S2
S3
N2
N=3时，
j2
S1 Ce 3 ,
S2 Ce j,
j5
S4 Ce 3 ,
S5 Ce j2
j4
S3 Ce 3 ,
j7
S6 Ce 3
j
S1 S2
S3
S6 S5
S4
N3
取 H a (S)H a (S) 左半平面旳极点为 Ha (S) 旳极点，
这么极点仅有N个，即
j[ 1 2k 1]
四、设计举例（巴特沃思filter）
1、技术指标
20lg Ha ( j2103) 1 20lg Ha ( j3103) 15
2、计算所需旳阶数及截止频率
IIR数字滤波器的设计方法

IIR数字滤波器的设计方法

6.2 IIR滤波器设计的特点
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N

A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2

1

(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej

1 2

22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
DSP第六章IIR DF设计方法

DSP第六章IIR DF设计方法

§6-1 引言一、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。

0 0低通高通带通带阻全通二、DF的性能要求（低通为例）通带截止频率阻带截止频率通带阻带过渡带平滑过渡三、DF频响的三个参量1、幅度平方响应2、相位响应3、群延迟ωβτωωd e d e j j )()(-=它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。

四、DF 设计内容1、按任务要求确定Filter 的性能指标；2、用IIR 或FIR 系统函数去逼近这一性能要求；3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；4、用软件还是用硬件实现。

五、IIR 数字filter 的设计方法1、借助模拟filter 的设计方法（1）将DF 的技术指标转换成AF 的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter 的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF 的技术指标。

2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。

)s (H a )()(z H s H a§6-2 将DF的技术指标转换为ALF的技术指标一、意义AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。

二、一般转换方法1、2、3、4、ALFDLF→ALFAHFDHF→→ALFABFDBF→→ALFABSF DBSF→→三、转换举例例如，一低通DF的指标：在的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF的技术指标。

解：按照衰减的定义和给定指标，则有假定处幅度频响的归一化值为1，即这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter的指标为6-3 ALF的设计ALF的设计就是求出filter的系统函数H a(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。