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3.3.2 简单的线性规划问题【教学目标】 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.3.2 简单的线性规划问题》课件“情景引入”部分，从配件的生产安排满足不同的条件入手，引出线性规划的概念及基本思路.二、自主学习教材整理1 线性规划中的基本概念 阅读教材P 87～P 88探究，完成下列问题． 线性规划中的基本概念阅读教材P 88例5～P 90例7，完成下列问题． 线性目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋zb ，它表示斜率为－a b ，在y 轴上的截距是zb的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．三、合作探究问题1类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)2＋(y－b)2≤r2的可行域．答案问题2在问题“若x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥6，x≤4，y≤4，求z＝y－1x－1的最大值”中，你能仿照目标函数z＝ax＋by的几何意义来解释z＝y－1x－1的几何意义吗？答案z＝y－1x－1的几何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率．探究点1最优解问题命题角度1问题存在唯一最优解例1已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0，该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．解设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，则y＝－23x＋z3，这是斜率为定值－23，在y轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.名师点评：图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 命题角度2 问题的最优解有多个 例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．解 约束条件所表示的平面区域如图：由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.名师点评：当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．探究点2 生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA 0.1050.070.14B 0.1050.140.07解设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x＋0.105y≥0.075，0.07x＋0.14y≥0.06，0.14x＋0.07y≥0.06，x≥0，y≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧7x＋7y≥5，7x＋14y≥6，14x＋7y≥6，x≥0，y≥0.目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－43x＋z21，它表示斜率为－43，且随z变化的一组平行直线，z21是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x＋7y＝5，14x＋7y＝6，得M点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47.所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A17kg ，食物B 47kg.名师点评：(1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负．当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb越小，z 就越大．(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关． 探究点3 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数例4 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.变式探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是[13，7]． 2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1.∴z ∈[32，3]．命题角度2 两点间距离型目标函数例5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 名师点评：(1)对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．(2)当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．四、当堂检测1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52答案 C提示：画出可行域如图阴影部分(含边界)．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B提示：作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A提示：－1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8提示：由不等式组表示的可行域，知目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8.五、课堂小结：本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．4．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2＋y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离．。
3.3.2 简单的线性规划问题-----学案一、学习目标1．了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域，最优解等基本概念．(重点)2．理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点) 3．理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系．(易混点) 二、自主学习教材整理1 线性规划中的基本概念阅读教材P 87～P 88探究，完成下列问题．1.(1)可行域是一个封闭的区域．( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．( ) (4)线性规划问题一定存在最优解．( )【解析】 (1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×教材整理2 简单的线性规划阅读教材P 88例5～P 90例7，完成下列问题． 线性目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，它表示斜率为－ab，在y 轴上的截距是zb的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．1．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为________．【解析】 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1.【答案】 1 三、合作探究探究1：求线性目标函数的最值问题例1 (1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．10(3)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【精彩点拨】 按照线性规划的求解步骤进行求解． 【自主解答】 (1)画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线2x －y ＝0，当直线过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴A (0,1)．∴当x ＝0，y ＝1时，z min ＝2×0－1＝－1，故选A.(2)法一：画出可行域如图所示．由z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z 3，欲求z 的最大值，可将直线y ＝－23x 向上平移，易知当经过B 点时截距最大，即z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，故B (4，－1)，则z max ＝2×4＋3×(－1)＝5.故选B.法二：画出可行域如图所示．分别求出点A (－2,2)，点B (4，－1)，点C (4，－4)，代入z ＝2x ＋3y 得z 的值依次为2,5，－4，故z ＝2x ＋3y 的最大值为5.故选B.(3)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图(1)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图(2)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时可行域如图(3)，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图(4)，直线y ＝2x －z 与直线2x －y ＝0平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C归纳总结：1．解线性规划问题的一般步骤(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax ＋by ＝0(目标函数为z ＝ax ＋by )； (2)移：平行移动直线ax ＋by ＝0，确定使z ＝ax ＋by 取得最大值或最小值的点； (3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值； (4)答：给出正确答案．2．一般地，对目标函数z ＝ax ＋by ，若b >0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若b <0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小．探究2：非线性目标函数的最优解问题例2. 变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【精彩点拨】 (1)①式子z ＝yx可进行怎样的改写？②y －0x －0表示的几何意义是什么？ ③当倾斜角是锐角时，斜率与倾斜角的大小关系是什么？ (2)①代数式x 2＋y 2可以怎样进行改写？ ②x 2＋y 2的几何意义是什么？【自主解答】 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域中的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.归纳总结：1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．2．非线性目标函数的最值的求解策略(1)z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方，特别地，z ＝x 2＋y 2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．(2)z ＝y －b x －a 型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(3)z ＝|Ax ＋By ＋C |可转化为点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．:探究3：利用线性规划解决实际问题某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．探究1 设投资甲、乙两个项目的资金分别为x 、y 万元，那么x 、y 应满足什么条件？【提示】 ⎩⎨⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.探究2 若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z 万元，那么z 与x ，y 有何关系？【提示】 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z 与x ，y 的关系为z ＝0.4x ＋0.6y .探究3 x ，y 应在什么条件下取值，x ，y 取值对利润z 有无影响？【提示】 x ，y 必须在线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5下取值．x ，y 取不同的值，直接影响z 的取值．例3. 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．【精彩点拨】 可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解． 【自主解答】 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．在一组平行直线z ＝3x ＋2y 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)，∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．归纳总结：解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答． 四、学以致用1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴A ⎝⎛⎭⎫1，45，∴z min ＝3×1＋2×45＝235. 【答案】 B2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1C.32D ．2 【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，如下图．作直线x ＋2y ＝0，向右上平移，当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.【答案】 D3．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝yx －5的最大值与最小值.【解】 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.4．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制【解】 设甲货物托运x 箱，乙货物托运y箱，利润为z ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N .z＝20x ＋10y ，作出可行域如图所示，作直线l ：20x ＋10y ＝0，当直线z ＝20x ＋10y 经过可行域上的点A 时，z 最大，又A (4.8,0)不是整点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点B (4,1)为整点．所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润．五、自主小测1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，122．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－63．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是_____．4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________.5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为多少元？参考答案1.【解析】 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.【答案】 C2.【解析】 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.【答案】 C3.【解析】 不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x－12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.【答案】 －94.【解析】 点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1，1)，C (1,3)． 由图可得，|PO |min ＝|AO |＝2；|PO |max ＝|CO |＝10.【答案】 2 105.【解】 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台， 租赁费z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ，y ≥0且x ，y ∈N ，z ＝200x ＋300y .作出如图所示的可行域．令z ＝0，得l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0可知，当l 0过点A 时，z 有最小值．又由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝50，10x ＋20y ＝140，得A 点坐标为(4,5)．所以z min ＝4×200＋5×300＝2 300.答：该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为2 300元．。
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
3.3.2简略线性规划问题沉着说课本节课先由师生一同剖析日常日子中的实践问题来引出简略线性规划问题的一些根本概念，由二元一次不等式组的解集可以表明为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，怎么用二元一次不等式（组）的解集来处理直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个详细的二元一次不等式（组）下手，来研讨一元二次不等式表明的区域及确认的办法，作出其平面区域，并通过直线方程的常识得出最值.通过详细例题的剖析和求解，在这些例题中设置考虑项，让学生探求，层层铺设，以便让学生更深刻地了解一元二次不等式表明的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的常识的稳固.“简略的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简略运用，这是《新纲要》对数学常识运用的注重.线性规划是运用数学为东西，来研讨必定的人、财、物、时、空等资源在必定条件下，怎么克勤克俭巧组织，用最少的资源，获得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完好、办法较老练、运用较广泛的一个分支，并能处理科学研讨、工程设计、经营管理等许多方面的实践问题.中学所学的线性规划仅仅规划论中的极小一部分，但这部分内容表现了数学的东西性、运用性，一同也浸透了化归、数形结合的数学思维，为学生往后处理实践问题供给了一种重要的解题办法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在处理实践问题中的运用，培育学生学习数学的爱好和运用数学的认识和处理实践问题的才干.依据课程标准及教材剖析，二元一次不等式表明平面区域以及线性规划的有关概念比较笼统，按学生现有的常识和认知水平难以透彻了解，再加上学生对代数问题等价转化为几许问题以及数学建模办法处理实践问题有一个学习消化的进程，故本节常识内容定为了解层次.本节内容浸透了多种数学思维，是向学生进行数学思维办法教育的好教材，也是培育学生调查、作图等才干的好教材.本节内容与实践问题联络严密，有利于培育学生学习数学的爱好和“用数学”的认识以及处理实践问题的才干.教育要点要点是二元一次不等式（组）表明平面的区域.教育难点难点是把实践问题转化为线性规划问题，并给出答复.处理难点的关键是依据实践问题中的已知条件，找出束缚条件和方针函数，运用图解法求得最优解.为突出要点，本节教育应辅导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思维办法将实践问题数学化、代数问题几许化.课时组织 3课时三维方针一、常识与技术1.把握线性规划的含义以及束缚条件、方针函数、可行解、可行域、最优解等根本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能运用它处理一些简略的实践问题.二、进程与办法1.培育学生调查、联想以及作图的才干，浸透调集、化归、数形结合的数学思维，进步学生“建模”和处理实践问题的才干;2.结合教育内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的认识，鼓励学生立异.三、情感情绪与价值观1.通过本节教育侧重培育学生把握“数形结合”的数学思维，虽然侧重于用“数”研讨“形”，但一同也用“形”去研讨“数”，培育学生调查、联想、猜想、概括等数学才干;2.结合教育内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的认识，鼓励学生勇于立异.教育进程第1课时导入新课师前面咱们学习了二元一次不等式A x+B y+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确认办法，请同学们回想一下.（生答复）推动新课［协作探求］师在实践出产、日子中，经常会遇到资源运用、人力分配、出产组织等问题.例如，某工厂用A、B两种配件出产甲、乙两种产品，每出产一件甲产品运用4个A产品耗时1小时，每出产一件乙产品运用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天作业8小时核算，该厂一切或许的日出产组织是什么？设甲、乙两种产品别离出产x、y件，应怎么列式？生由已知条件可得二元一次不等式组：师怎么将上述不等式组表明成平面上的区域？生（板演）师对照讲义98页图3.39，图中暗影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表一切或许的日出产组织，即当点P （x,y）在上述平面区域中时，所组织的出产任务x、y才有含义.进一步，若出产一件甲产品获利2万元，出产一件乙产品获利3万元，选用哪种出产组织赢利最大？设出产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得赢利为z，则怎么表明它们的联系？生则z=2x+3y.师这样，上述问题就转化为：当x、y满意上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？［教师精讲］师把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z 的直线.当z改变时可以得到什么样的图形？在上图中表明出来.生当z改变时可以得到一组相互平行的直线.（板演）师因为这些直线的斜率是确认的，因而只需给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确认一条直线，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标仅有确认.可以看到直线与表明不等式组的区域的交点坐标满意不等式组，并且当截距最大时，z取最大值，因而，问题转化为当直线与不等式组确认的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线通过P时截距最大.由图可以看出，当直线通过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此刻2x+3y=14.所以，每天出产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大赢利14万元.［常识拓宽］再看下面的问题：别离作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表明的平面区域（即三直线所围成的关闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），然后调查t值的改变：t=2x+y∈［3,12］.若设t=2x+y，式中变量x、y满意下列条件求t的最大值和最小值.剖析：从变量x、y所满意的条件来看，变量x、y所满意的每个不等式都表明一个平面区域，不等式组则表明这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），然后调查t值的改变：t=2x+y∈［3,12］.1.从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满意2x+y＞0,即t＞0.并且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一同调查此规则）.在通过不等式组所表明的公共区域内的点且平行于l的直线中，以通过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以通过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以t m a x=2×5+2=12,t min=2×1+3=3.2.3.［协作探求］师比如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的束缚条件，因为这组束缚条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性束缚条件.t=2x+y是欲到达最大值或最小值所触及的变量x、y的解析式，咱们把它称为方针函数.因为t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性方针函数.别的留意：线性束缚条件除了用一次不等式表明外，也可用一次方程表明.一般地，求线性方针函数在线性束缚条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：咱们方才研讨的便是求线性方针函数z=2x+y在线性束缚条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满意线性束缚条件的解（x,y)叫做可行解，由一切可行解组成的调集叫做可行域.在上述问题中，可行域便是暗影部分表明的三角形区域.其间可行解（5，2）和（1，1）别离使方针函数获得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.讲堂小结用图解法处理简略的线性规划问题的根本过程：1.首要，要依据线性束缚条件画出可行域（即画出不等式组所表明的公共区域）.2.设t=0，画出直线l0.3.调查、剖析，平移直线l0，然后找到最优解.4.最终求得方针函数的最大值及最小值.安置作业1.某工厂用两种不同质料均可出产同一产品，若选用甲种质料，每吨本钱1 000元，运费500元，可得产品90千克；若选用乙种质料，每吨本钱为1500元，运费400元，可得产品100千克，假如每月质料的总本钱不超越6 000元，运费不超越2 000元，那么此工厂每月最多可出产多少千克产品？剖析：将已知数据列成下表：甲质料（吨）乙质料（吨）费用限额本钱 1 000 1 500 6 000运费500 400 2 000产品90 100解：设此工厂每月甲、乙两种质料各x吨、y 吨，出产z千克产品，则z=90x+100y.作出以上不等式组所表明的平面区域，即可行域，如右图：由得令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.由此得出t的值也最大，z m a x=90×+100×=440.答：工厂每月出产440千克产品.2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木匠和漆工两道工序完结.已知木匠做一张A、B型桌子别离需求1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子别离需求3小时和1小时；又知木匠、漆工每天作业别离不得超越8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子别离获赢利2千元和3千元，试问工厂每天应出产A、B型桌子各多少张，才干获得赢利最大？解：设每天出产A型桌子x张，B型桌子y张，则方针函数为z=2x+3y.作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的方位时，直线通过可行域上的点M，且与原点间隔最大，此刻z=2x+3y 获得最大值.解方程得M的坐标为（2，3）.答：每天应出产A型桌子2张，B型桌子3张才干获得最大赢利.3.讲义106页习题3.3A组2.第2课时导入新课师前面咱们学习了方针函数、线性方针函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师同学们回想一下用图解法处理简略的线性规划问题的根本过程.生（1）首要，要依据线性束缚条件画出可行域（即画出不等式组所表明的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l0;(3)调查、剖析，平移直线l0，然后找到最优解;4.最终求得方针函数的最大值及最小值.推动新课师【例1】已知x、y满意不等式组试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.师剖析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻觅使z=300x+900y取最大值时的整点.解：如图所示平面区域A O BC，点A（0，125），点B （150，0），点C的坐标由方程组得C（,），令t=300x+900y，即,欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，然后可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此刻整点A使z取最大值，z m a x=300×0+900×125=112 500.师【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y 满意束缚条件3x+y≤300，x+2y≤250，x≥0,y≥0的整数值.师剖析：画出束缚条件表明的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形A O BC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组得点C的坐标为（,).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,y=90时，z取最大值为z m a x=600×70+300×900=69 000.师【例3】已知x、y满意不等式求z=3x+y的最小值.师剖析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，然后求出方针函数的最小值.解：不等式x+2y≥2表明直线x+2y=2上及其右上方的点的调集；不等式2x+y≥1表明直线2x+y=1上及其右上方的点的调集.可行域如右图所示.作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).∵x、y是上面不等式组表明的区域内的点的坐标.由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.师评述：简略线性规划问题便是求线性方针函数在线性束缚条件下的最优解，不管此类标题是以什么实践问题提出，其求解的格局与过程是不变的：（1）寻觅线性束缚条件，线性方针函数；（2）由二元一次不等式表明的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求方针函数的最优解.师讲堂操练：请同学们通过完结操练来把握图解法处理简略的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满意束缚条件（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满意束缚条件［教师精讲］师（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满意束缚条件解：不等式组表明的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.可知在通过不等式组所表明的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以通过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以z m a x=2×2-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满意束缚条件解：不等式组所表明的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t在通过不等式组所表明的公共区域内的点时，以通过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以通过点（,）的直线所对应的t最大.所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x=3×+5×=14.［常识拓宽］某工厂出产甲、乙两种产品.已知出产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；出产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的赢利是600元，每1 t乙种产品的赢利是1 000元.工厂在出产这两种产品的方案中要求耗费A种矿石不超越360 t、B种矿石不超越200 t、煤不超越300 t，甲、乙两种产品应各出产多少（准确到0.1 t），能使赢利总额到达最大？师剖析：将已知数据列成下表：甲产品（1 t）乙产品(1 t) 资源限额（t）耗费量产品资源A种矿石（t）10 4 300B种矿石(t) 5 4 200煤(t) 赢利（元） 4 9 360600 1 000解：设出产甲、乙两种产品别离为x t、y t，赢利总额为z元，那么方针函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表明的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0,即直线:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的方位时，直线通过可行域上的点M，且与原点间隔最大，此刻z=600x+1 000y取最大值.解方程组得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.答：应出产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使赢利总额到达最大.讲堂小结用图解法处理简略的线性规划问题的根本过程：（1）首要，要依据线性束缚条件画出可行域（即画出不等式组所表明的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l0.（3）调查、剖析，平移直线l0，然后找到最优解.（4）最终求得方针函数的最大值及最小值.以实践问题为布景的线性规划问题其求解的格局与过程：（1）寻觅线性束缚条件，线性方针函数；（2）由二元一次不等式表明的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求方针函数的最优解.当然也要留意问题的实践含义安置作业讲义第105页习题3.3A组3、4.第3课时导入新课师前面咱们现已学习了用图解法处理简略的线性规划问题的根本过程以及以实践问题为布景的线性规划问题其求解的格局与过程.这节课咱们持续来看它们的实践运用问题.推动新课师【例5】营养学家指出，成人杰出的日常饮食应该至少供给0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满意营养学家指出的日常饮食要求，一同使花费最低，需求一同食用食物A和食物B各多少克？师剖析：将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07若设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总本钱为z，怎么列式？生由题设条件列出束缚条件其方针函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于师作出二元一次不等式组②所表明的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完结，再与讲义上的对照.生考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z改变的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当获得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满意束缚条件时方针函数z=28x+21y获得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y通过可行域上的点M时，截距z[]28最小，即z最小.解方程组得点M(,)，因而，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，可以满意日常饮食要求，又使花费最低，最低本钱为16元.师【例6】在上一节讲义的例题（讲义95页例3）中，若依据有关部门的规则，初中每人每年可收取膏火1 600元，高中每人每年可收取膏火2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的膏火总额最多？学段班级学生数装备教师数硬件建造/万元教师年薪/万元初中45 2 26/班2/人高中40 3 54/班2/人师由前面内容知若设开设初中班x个，高中班y个，收取的膏火总额为z万元,此刻，方针函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y变形为，得到斜率为-，在y轴上截距为，随z改变的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y通过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.解方程组得点M（20,10），因而，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的膏火总额最多，为252万元.师【例7】在上一节例4中（讲义96页例4），若出产1车皮甲种肥料，发生的赢利为10 000元，若出产1车皮乙种肥料，发生的赢利为5 000元，那么别离出产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以发生最大的赢利？生若设出产x车皮甲种肥料，y车皮乙种肥料，可以发生的赢利z万元.方针函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y轴上截距为2z,随z改变的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z通过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.解方程组得点M(2,2),因而当x=2,y=2时，z=x+0.5y取最大值，最大值为3.由此可见，出产甲、乙两种肥料各2车皮，可以发生最大的赢利，最大赢利为3万元.［教师精讲］师以实践问题为布景的线性规划问题其求解的格局与过程：（1）寻觅线性束缚条件，线性方针函数；（2）由二元一次不等式表明的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求方针函数的最优解.当然也要留意问题的实践含义.讲堂小结用图解法处理简略的线性规划问题的根本过程：（1）首要，要依据线性束缚条件画出可行域（即画出不等式组所表明的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l0；（3）调查、剖析，平移直线l0，然后找到最优解；（4）最终求得方针函数的最大值及最小值.以实践问题为布景的线性规划问题其求解的格局与过程：（1）寻觅线性束缚条件，线性方针函数；（2）由二元一次不等式表明的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求方针函数的最优解.当然也要留意问题的实践含义.安置作业讲义第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1课时简略线性规划问题图1讲堂小结线性规划问题的相关概念图2第2课时简略线性规划问题例1讲堂小结例3例2第3课时简略线性规划问题例5讲堂小结例7例6。
必修 第三章
简单的线性规划问题
【课前预习】阅读教材
． 线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． ． 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（）在可行域内求目标函数的最优解
【课初分钟】课前完成下列练习，课前分钟回答下列问题
. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（ ）.
．该直线的横截距
．该直线的纵截距
．该直线的纵截距的一半的相反数
．该直线的纵截距的两倍的相反数
. 已知、满足约束条件，则
的最小值为（ ）.
． ． ． ．
.
在如图所示的可行域内，目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（ ）.
．求的最大值，其中、满足约束条件
强调（笔记）：
【课中分钟】边听边练边落实
．若实数，满足，求的取值范围．
．求的最大值和最小值，其中、满足约束条件.。
2019-2020年高中数学必修五教案： 3-3-2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题一、教学背景1.本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。
主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。
2.本节课的教学对象是河北省秦皇岛市抚宁区第一中学高一文班学生。
二、教学目标 （一）知识与技能1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。
（二）过程与方法在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。
增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。
注重培养学生积极主动、勇于探索的学习方式，整节课着重创造师生互动、生生互动的良好学习环境，学生在老师的引导下亲身经历动手实践、动脑思考等方法探究线性规划的简单问题获取直接结题经验。
（三）情感态度与价值观学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
结合本节教学内容，让学生成为课堂活动的主导,体验探究学习、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验，增强学生学习数学知识的自信心。
培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
三、教学重点和难点教学重点：图解法解线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
四、教学过程 （一）复习回顾在同一坐标系上作出下列直线:xy 2-=；12+-=x y ；32--=x y ；42+-=x y ；72+-=x y 。
投影展示学生的画图作业，引导学生观察5条直线的特征：平行。
得出结论：形如)0(2¹+-=t t x y 的直线与x y 2-=平行。
直线b kx y +=中的b 叫做纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标。
《简单的线性规划问题》（第一课时）一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
三、教学重、难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
四、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
简单的线性规划内容导学内容导学：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性归划问题．1．可行域满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
可行域一般是二元一次不等式（组）表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．2．目标函数z Ax By C =++（,A B 不全为零）被称为目标函数．当0B ≠时，由z Ax By C =++得A z C y x B B -=-+．这样，二元一次函数就可视为斜率为A B -，在y 轴上截距为z C B-，且随z 变化的一组平行线．于是，把求z 的最大值和最小值的问题转化为：求直线与可行域有公点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最上值问题．对线性目标函数z Ax By =+中的B 的符号一定要注意：当0B >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当0B <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．3．最优解的求法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点，到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率分别为，12n k k k <<<，而且目标函数的直线的斜率为k ，则当1i i k k k +<<时，直线i l 与1i l +相交的顶点一般是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时()i k k =，其最优解可能有无数个．若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与表示线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．4．线性规划问题的解题步骤（1）建模 建模是解决线性规划问题极为重要的环节与技术．首先，要过文理关．理清题意，找清关系，列出关系表格．其次，要过数理关．即将各种关系数量化，实现实际问题与数学问题的转化．可分三步走：一设：设出所求的未知数．二列：列出线性约束条件．三建：建立目标函数．（2）求解 即过算理关，可以分为四步：一画：画出可行域，将代数问题化为几何问题．二移：采用平移的方法找出符合条件的平行线系中的直线．三求：求出最优解(,)x y ．四答：即下结论，写出满足条件的最优解并求出目标函数z 的最值．（3）还原 把数学问题还原为实际问题，以便用来指导我们的生产实践．题型导析：线性规划问题的应用范围很广，简单的线性规划问题主要解决生产实际中资源配置和降低资源消耗两个方面的问题．（1）在人力、物力、资金等资源有限给定时，怎样利用对有限资源的合理配置，使产品结构更合理，收到的效益最大．例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？播放片甲 播放片乙 节目要求 片集时间（min ）3.5 1 ≤16 广告时间（min ）0.5 1 ≥3.5 收视观众（万） 60 20解：设电视台每周应播映片甲x 次， 片乙y 次，总收视观众为z 万人．则其线性约束条件为：42160.5 3.5,x y x y x y N +≤⎧⎪+≥⎨⎪∈⎩，目标函数为：6020z x y =+画出了可行域如下图由图可得：当3x =，2y =时，220max z =．答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．小结：把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型是解决本题的关键．建模时要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关．（2）完成给定的某顶任务，怎样统一筹划安排资金、人力、物力，最大限度地降低资源消耗．例2．北京市某中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小中巴、4辆大中巴，其中小中巴能载16人、大中巴能载32人． 已知每辆客车每天往返次数小中巴为5次、大中巴为3次，每次运输成本小中巴为48元，大中巴为60元．请问每天应派出小中巴、大中巴各多少辆，能使总费用最少？数量 往返次数 载人数 每次运输成本 总人数 小中巴 7 5 16 48 ≥480 大中巴 4 3 32 60x y z 5163324800704,x y x y x y N⋅+⋅≥⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为：240180z x y =+其可行域如下图：由网格法可得：2x =，4y =时，min 1200z ．答：派4辆小中巴、2辆大中巴费用最少．小结：求解整点最优解的方法称为——网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．解题中要注意利用数形结合思想、化归思想，几何方法等处理代数问题．。
课题： 3.3.2简单的线性规划（3）一．：自主学习，明确目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教学方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力二．研讨互动，问题生成1、二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：三．合作探究，问题解决1．线性规划在实际中的应用：例5 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？2．若实数x ，y 满足 1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：0≤2x ≤4 即 0≤4x ≤8 ③由②得 —1≤y —x ≤1将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④③十④得 0≤4x 十2y ≤12以上解法正确吗?为什么?(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．X 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值。
由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?正解：练习11、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x自我评价 同伴评价 小组长评价。
§3.3.2简单的线性规划班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1．在自习或自主时间通过阅读课本的例5、例6、例7用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。
训练案在自习或自主时间完成。
2．重点预习：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。
3．把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处”。
【学习目标】1．巩固线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。
3. 结合教学内容体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力，提升数学建模能力和解决实际问题的能力.【学习重点】从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。
【学习难点】从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。
【知识链接】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤？【预习案】预习一：巩固用图解法解决线性规划问题例1．求的最大值，使、满足约束条件预习自测：设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求y x z 23-=的最大值、最小值。
【探究案】探究： 应用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题例2．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kgy x z -=x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B 多少kg？归纳：应用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题的基本步骤：练习：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元。
简单的线性规划问题（二）一、教学目标(1)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题(2)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解(3)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力二、教学重点、教学难点教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解三、教学过程1、复习引入通过上一节课的学习，我们了解到在平面直角坐标系中二元一次不等式（组）表示平面区域，并且掌握了用直线定界，特殊点定域的方法来画出平面区域。
问题：设y x z +=2，式中变量x ，y 满足下列条件：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤4264y x y x 求z 的最大值与最小值。
2、举例分析（1）效益最佳问题例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 的食物A 含有0.105kg 的碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费28元;而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A 和食物B 多少kg?食物(kg)碳水化合物(kg)蛋白质(kg)脂肪(kg)A 0.1050.070.14B 0.1050.140.07探究:（1） 如果设食用A 食物xkg 、食用B 食物ykg ，则目标函数是什么？（2）总成本z 随A 、B 食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件（3）能画出它的可行性区域吗？（4）能求出它的最优解吗？（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？解线性规划应用题的一般步骤：（1）设出所求的未知数；（2）列出约束条件；（3）建立目标函数；（4）作出可行域；（5）运用平移法求出最优解。
学习过程一、课前准备x4y3复习：已知变量 x, y 知足拘束条件 3 x 5 y25 ，设 z2x y ，取点（3，2）可求x1得 z8 ，取点（5，2）可求得z max12，取点（ 1，1）可求得z min3取点（ 0，0）可求得z0 ，取点（3，2）叫做_________点（ 0，0）叫做 _____________，点（ 5，2）和点（ 1， 1） __________________二、新课导学例 1.已知实数 x、y 知足以下条件x4 y 3 ，3x5 y25x1(1)若目标函数z = 2x + y，求 z 的最大值与最小值变式 1: 若目标函数z y-1,议论 z的最值x+1变式 2: 若目标函数z y+4, 议论 z的最值x-3(3)若目标函数 z x2y2 ,求z的最大值与最小值22变式 1: 若目标函数z x+1y-1,求 z的最大值与最小值22变式 2: 若目标函数z x-3y+4, 求 z的最大值与最小值y (2)若目标函数zx ,求z的最大值与最小值例2：设 f (x)ax2bx 且 1 f ( 1) 2 ， 2 f (1) 4 ，求f ( 2) 的取值范围练习1.已知1x y3，求4x+2y的取值范围。
1 x y 12．x 2 y30已知变量 x, y知足拘束条件x 3 y30 .若目标函数y10z ax （y此中 a 0）仅在点 (3,0)处获得最大值，则a的取值范围为 _________3y 0y 1若实数 x ，y 知足不等式 x y 4 ,则 x 12x y 2 0的取值范围是 （ ）A ．[ 1,1]B ．[ 1,1]C ． 1 ,2D ． 1 ,23 2 3 22 2变式 : 若目标函数 x+1 y-1 ,求 z 的最大值与最小值三、学习小结1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的极点处获得.2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的界限上获得，即知足条件的最优解有无数多个．。
3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析 比较选项可知C 正确．2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35 C ．4 D.53 答案 B解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2B.⎝⎛⎭⎪⎫1，53C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－43答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意．∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.二、填空题6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90 解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个， 可使所得利润最大． 能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A解析 当a ＝0时，z ＝x .仅在直线x ＝z 过点A (1,1)时， z 有最小值1，与题意不符．当a >0时，y ＝－1a x ＋za.斜率k ＝－1a<0，仅在直线z ＝x ＋ay 过点A (1,1)时，直线在y 轴的截距最小，此时z 也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．当a <0时，y ＝－1a x ＋z a ，斜率k ＝－1a>0，为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a ＝k AC .即－1a ＝13，∴a ＝－3. 12．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18x ＋3y ≥27x ≥0，y ≥0.作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z ＝x ＋y .作出一组平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。
