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高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形第3节三角函数的图像与性质教学案文北师大版

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第三节 三角函数的图像与性质[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(对应学生用书第64页)1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z ，递减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z递增区间： [2k π－π，2k π]，k ∈Z ，递减区间： [2k π，2k π＋π]，k ∈Z递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z奇偶性 奇函数偶函数 奇函数对称性对称中心(k π，0)，k ∈Z对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z 对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称轴x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称轴x ＝k π(k ∈Z )周期性2π2ππ[常用结论]1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y ＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称． ( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( )(4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数． ( )[答案](1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________．π [T ＝2π2＝π.]3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得，3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .] 4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.](对应学生用书第65页)⊙考点1 三角函数的定义域和值域1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π6 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈ZD [由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.]2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． －4 [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]．f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178，易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.]3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图像(图略)知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.]4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1 [设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cosx ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.] 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值． ⊙考点2 三角函数的单调性(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解．(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)(2019·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 [(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.]本例(2) 在整体求得函数y ＝12sin x ＋32cos x 的增区间后，采用对k 赋值的方式求得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的区间．根据函数的单调性求参数(1)(2019·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(1)D (2)C [(1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z ，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.故选D.(2)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4，故选C.]已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，2上单调递减，则ω＝________.32 [由已知得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.] 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [由已知，得函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．]⊙考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．(1)A (2)2或3 [(1)对于选项A ，作出y ＝|cos 2x |的部分图像，如图1所示，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2，故A 正确．对于选项B ，作出f (x )＝|sin 2x |的部分图像，如图2所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π2，故B 不正确．对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最小正周期T ＝2π，故C 不正确．对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图像，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.图1图2]图3(2)由题意得，1＜πk＜2，∴k ＜π＜2k ，即π2＜k ＜π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.]公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”(1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；③函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于T2；②两对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T2.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)三角函数的奇偶性已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________.(1)56π (2)π3 [(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， 所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)， 所以φ＝π3.]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性(1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．(1)B (2)－π6 [(1)因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12， 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6. 令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 令x 2＋π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )． 故f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z )，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.] 三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .1.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确； C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．] 2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12. 因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )， 当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.]。

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高考数学总复习 第四章4.4 三角函数的图像与性质教案 理 北师大版

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2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.4 三角函数的图像与性质考纲要求1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． 3．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像；了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响．4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．知识梳理1．周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫作f (x )的最小正周期．函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 x ∈Rx ∈Rx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域______ ____________单调性 在______上递增，k ∈Z ；在______上递减，k ∈Z 在______上递增，k ∈Z ； 在______上递减，k ∈Z 在______上递增，k ∈Z最值 x ＝______(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝______(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝____(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝______(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性 ________ ________ ________ 对称 对称中心 ______ ______ ______ 对称轴 ______ ______ 无对称轴最小正周期______ ______ ______Y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)， x ∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝____f ＝1T ＝___ωx ＋φ φ 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．X ____ ____ ____ ____ ____ ωx ＋φπ2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A 05基础自测1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图像的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D π43．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( )．A ．1B ．4C ．14D ．24．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，||φ<π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π35．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －3π4的图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝__________.思维拓展1．是否每一个周期函数都有最小正周期？提示：不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图像的对称轴及对称中心与函数图像的关键点有什么关系？ 提示：y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点．3．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，首先确定哪些数据？提示：先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x 的值．4．在图像变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图像时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．一、求三角函数的定义域和值域 【例1】求下列函数的值域．(1)y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x ；(2)y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x .方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．请做[针对训练]3二、三角函数的性质应用【例2】设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0＜ω＜2.(1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时，f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图像的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值，并求f (x )在哪个区间上是减少的．方法提炼1．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)利用图像．2．三角函数的对称性：正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．3．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 和y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的单调区间类似．请做[针对训练]4三、三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像【例3】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图像；(3)说明函数f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换而得到．方法提炼1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点．2．图像变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变)．请做[针对训练]1四、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式【例4－1】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图像的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．【例4－2】已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．方法提炼确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.请做[针对训练]2五、三角函数模型的应用【例5】已知某海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．请做[针对训练]5考情分析从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的平移和伸缩变换，以及根据图像确定A ，ω，φ的问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．预测2013年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性以及三角函数图像的变换为主要考点．针对训练1．将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，则φ等于( )．A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π62．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )．A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变3．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．4．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．5．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？参考答案基础梳理自测 知识梳理1．f (x ＋T )＝f (x )2．{y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π π2＋2k π－π2＋2k π 2k π π＋2k π 奇 偶 奇 (k π，0)，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z x ＝k π＋π2，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π 3．2πω ω2π4．－φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω2πω－φω5．|φ|1ω1ω ⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω A A 基础自测1．B 解析：令2x ＋π2＝k π(k ∈Z )．即x ＝k π2－π4(k ∈Z )，检验知，x ＝－π4，故选B.2．A 解析：由题意，周期T ＝π4，∴ω＝πT ＝4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.故选A.3．C 解析：y ＝sin 12xy ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝sin 14x ，∴ω＝14.4．D 解析：由题意得ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (0)＝3，即2sin φ＝3，∴sin φ＝32，∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，故选D.5．0 解析：由图像知32T ＝π，所以T ＝2π3.所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3π4. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－3π4＝0. 考点探究突破【例1】解：(1)y ＝2sin x ·cos 2x 1＋sin x ＝2sin x (1－sin x )＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋12.∵－1＜sin x ≤1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，12，即值域为⎝⎛⎦⎥⎤－4，12. (2)y ＝sin 2x ＋2sin x ·cos x ＋3cos 2x ＝1－cos 2x 2＋sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2. 故函数值域为[2－2，2＋2]．【例2】解：f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1.当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. (2)因为f (x )的图像的一条对称轴为x ＝π3.所以2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜2，所以－13＜k ＜1.又k ∈Z .所以k ＝0，ω＝12.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12，由2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3(k ∈Z )，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )上是减少的．【例3】解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)2x ＋π3 0 π2π 3π2 2π x －π6 π12 π37π12 5π6 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2(3)把y ＝sin x 图像上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，再把y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，然后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像． 【例4－1】解：(1)由图像可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－(－1)2＝2，b ＝3－12＝1.又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， ∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋12k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的对称轴方程为x ＝π6＋12k π，k ∈Z . 【例4－2】解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin(ωx ＋φ)－12cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )为偶函数，所以对x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，即－sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6， 整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g (x )是减少的．因此g (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 【例5】解：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，∴12cos π6t ＋1＞1，∴cos π6t ＞0，∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3＜t ＜12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2，得0≤t ＜3，或9＜t ＜15，或21＜t ≤24. ∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.演练巩固提升 针对训练1．D 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π＋116π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6，∴φ＝11π6.2．A 解析：由图像知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2.∴y ＝sin(2x ＋φ)．又图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1. ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .当k ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故A 满足条件． 3．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z解析：由已知得sin x －cos x ＞0，即sin x ＞cos x .在[0,2π]内满足sin x ＞cos x 的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π. 又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ π4＋2k π<x <⎭⎬⎫54π＋2k π，k ∈Z . 4．解：(1)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， 又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∴g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．5．解：解法一：(1)连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6，∴y ＝23sin π6x ，当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)，又P (8,0)，∴MP ＝(－4)2＋32＝5.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MNsin(60°－θ).∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)． ∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．∵0°＜θ＜60°，∴60°＜θ＋60°＜120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长． 解法二：(1)同解法一．(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，由余弦定理得MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos∠MNP ＝MP 2，即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22，从而34(MN ＋NP )2≤25， 即MN ＋NP ≤1033，当且仅当MN ＝NP 时等号成立．亦即，设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．。

高三数学一轮复习精品教案4：4.4 三角函数的图象与性质教学设计

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4.4 三角函数的图象与性质『课前 考点引领』考情分析考点新知① 知道三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为T ＝2π|ω|.② 能根据图象理解正弦函数、余弦函数在『0，2π』，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等).③ 会画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，能由正弦曲线 y ＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． ① 了解三角函数的周期性.② 能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在『0，2π』，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 知识清单1. 周期函数的定义周期函数的概念： ；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期均为 ；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为 ． 2. 三角函数的图象和性质 三角函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 值域 和最值周期奇偶性 对称性 单调区间3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sin x 在『0，2π』上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ．4. 函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．『课中 技巧点拨』题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．变式训练已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sin x (x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？备选变式（教师专享）已知函数f (x )＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1) 求f (x )的最小正周期；(2) 若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间『0，π』上的最大值和最小值．题型3 五点法作图例3 已知a ＝(2cos x ，cos2x )，b ＝(sin x ，－3)，f (x )＝a ·b . (1) 求f (x )的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到．备选变式（教师专享）已知f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f (x )在『0，π』上的图象； (3) 若f (x )>22，求x 的取值范围．题型4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f (x )的解析式；(2) 求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值． 变式训练已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求f (x )的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值．1. 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)和y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间类似．2. 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解．3. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．答案1.对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，则称y ＝f (x )为周期函数； T ＝2π|ω|；T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质 三角函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≠kπ＋π2，k ∈Z值域和最值 『－1，1』最大值：1 最小值：－1『－1，1』 最大值：1最小值：－1R无最值周期 2π 2π π 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数对称性关于x ＝kπ＋π2(k ∈Z )对称 关于x ＝kπ(k ∈Z )对称 对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z ) 单调 区间在『2kπ－π2，2kπ＋π2』(k ∈Z ) 上单调递增在『2kπ－π2，2kπ＋π2』(k∈Z )上单调递减『2kπ＋π，2kπ＋2π』(k ∈Z )单调递增『2kπ，2kπ＋π』(k ∈Z )单调递减在(kπ－π2，kπ＋π2)(k ∈Z )上单调递增3. (0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)． 例1 『答案』23『解析』由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝⎛⎭⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23. 变式训练 『答案』3『解析』由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝⎛⎭⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝⎛⎭⎫π12w ＋φ＝2，2sinφ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.例2解：y ＝2sin x 用6x代替x ，左移6个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6再用3代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。

届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析

届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析

第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。

能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。

tan(α±β)＝错误!。

2。

二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

tan 2α＝错误!。

3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。

tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。

2。

cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。

诊断自测1。

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。

（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。

高三数学一轮复习精品教案3：三角函数的图象和性质教学设计

高三数学一轮复习精品教案3：三角函数的图象和性质教学设计

第4课时 三角函数的图象和性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间『0，2π』上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．『梳理自测』1．(教材改编)函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 2．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 4．(教材精编题)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为________． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________． 『答案』1.C 2.B 3.B 4.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4(k ∈Z) 5.⎣⎡⎦⎤12，1◆以上题目主要考查了以下内容：(1)三角函数的图象和性质(2)周期性①一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．③函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)；x ∈R(其中A 、ω、φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω．『指点迷津』1．一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y ＝sin x ，x ∈『0，2π』，y ＝cos x ，x ∈『0，2π』的五点是：零点和极值点(最值点)． 3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f (x ＋T )＝f (x )②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．图象重复的x 的长度．考向一 三角函数的定义域、值域(1)函数y ＝1tan x －3的定义域为________．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 『审题视点』 (1)使分母及tan x 都有意义的x 值． (2)换元，设t ＝sin x 转化二次函数最值． 『典例精讲』 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Ztan x ≠3，∴⎩⎨⎧x ≠k π＋π2x ≠k π＋π3，k ∈Z.∴所求函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z .(2)函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝⎛⎭⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. 函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54 ∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54.当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝12－22. 『类题通法』 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．(2014·北京市海淀区高三调研)已知函数f (x )＝2－(3sin x －cos x )2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值和f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间『－π6，π3』上的最大值和最小值．『解析』(1)因为f (x )＝2－(3sin x －cos x )2 ＝2－(3sin 2x ＋cos 2x －23sin x cos x ) ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2sin 2π3＝3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当x ∈『－π6，π3』时，2x ∈『－π3，2π3』，(2x ＋π6)∈『－π6，5π6』，所以当x ＝－π6时，函数取得最小值f (－π6)＝－1，当x ＝π6时，函数取得最大值f (π6)＝2.考向二 三角函数的单调性(1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为________； (2)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求函数在『－π，0』上的单调递减区间．『审题视点』 把sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3视2x ＋π6、2x －π3为一个整体，(并注意定义域)使之落在正、余弦的单调区间内求x 的区间．『典例精讲』 (1)设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u ，当2k π－π≤u ≤2k π(k ∈Z)时， y ＝cos u 随u 的增大而增大．又∵u ＝2x ＋π6随x 的增大而增大(x ∈R)，6即k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z)时，y 随x 的增大而增大，∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为： ⎣⎡⎦⎤k π－712π，k π－π12(k ∈Z)． (2)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.从而x ∈『－π，0』时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0. 『类题通法』 (1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了．2．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝ f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a『解析』(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π－π6＜2x ＜k π＋5π6(k ∈Z)，212212故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，无单调减区间．(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7＜f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫π7， 所以c ＜a ＜b .『答案』(1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) (2)B考向三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(1)(2014·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π3(2)(2014·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________．『审题视点』 (1)利用f (－x )＝f (x )恒成立求φ. (2)利用对称轴、对称中心及周期公式求解． 『典例精讲』 (1)由已知得f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤－3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3恒成立，展开得sin 3x sin(φ＋π3)＝0恒成立，故sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝0恒成立，只有选项D 符合． (2)由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，所以aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0， 从而tan ωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0＜ω＜5，所以ω＝2，于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x ) ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故f (x )的最小正周期是π. 『答案』 (1)D (2)π『类题通法』 (1)三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．(2)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴通过它们的极值点，对称中心是图象的零点．y ＝tan x 的对称中心是它的零点或间断点．3．(1)(2014·石家庄高三模拟)已知函数f (x )＝|sin(2x －π6)|，下面说法正确的是( )A ．函数的周期为π4B ．函数图象的一条对称轴方程为x ＝π3C ．函数在区间『2π3，5π6』上为减函数D ．函数是偶函数『解析』选B.若x ＝π3，则f (x )＝1，∴x ＝π3是函数图象的一条对称轴，故选B.(2)(2014·荆州市高三质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．『解析』由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，2×(－3π8)＋φ＝k π，∴φ＝k π＋3π4，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin(2x ＋3π4)．『答案』y ＝sin(2x ＋3π4)三角函数单调性忽视x 的系数致错求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的单调区间为________． 『正解』 原函数变形为y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x 3－π4，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可．∴y ＝sin u 在2k π－π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z)上单调递增；y ＝sin u 在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)上单调递减．故y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z)．『答案』 递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z)『易错点』 由于受思维定式影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z)时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．『警示』 (1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)才可．(2)求单调区间要注意定义域．1．(2013·高考浙江卷)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.先判断由f (x )是奇函数能否推出φ＝π2，再判断由φ＝π2能否推出f (x )是奇函数．若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z)，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．2．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2』 『解析』选A.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.3．(2013·高考全国大纲卷)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 『解析』选C.逐项分析检验，确定答案． A 项，因为f (2π－x )＝cos(2π－x )sin(4π－2x ) ＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )， 所以y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称，故正确． B 项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin(2π－2x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故正确．C 项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝－2sin 3x ＋2sin x ，令sin x ＝t ，则高三数学一轮复习教案11 t ∈『－1，1』，f (x )的最大值问题转化为求h (t )＝－2t 3＋2t 在t ∈『－1，1』上的最大值．h ′(t )＝－6t 2＋2，令h ′(t )＝0，得t ＝－33或33，经计算比较得最大值为h ⎝⎛⎭⎫33＝439，故错误． D 项，由f (－x )＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )知其为奇函数，综合选项A 、B 知f (x )为周期函数，故正确．4．(2013·高考江西卷)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 『解析』由于y ＝sin 2x ＋23sin 2x＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝2π2＝π. 『答案』π。