浙江省余杭高级中学2020届高三3月模块检测数学试题

杭州高中2020届高三第三次月考数学（理）试题注意事项：1．本试题考试时间120分钟，满分150分；2．本试题必须答在答题卷上,答题时不得使用计算器.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设1212a a b b 、、、均不为0，则“1122a ba b =”是“关于x 的不等式110a x b +>与220a x b +>的解集相同”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2580a a +=，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A ．53a a B ．53S S C ．1n na a + D ．1n nS S + 3．把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位；再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ；此时图象1C 恰与2C 重合，则a 为A ．4B ． 2C ．12D ．144．数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意的正整数n ，恒有2n n a a n =+，512a =（ ）A ．128B ．256C ．512D ．10245．已知函数()sin cos f x ωx ωx =+，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有11()()(2011)f x f x f x ≤≤+成立，则正数ω的 最小值为（ ）A ．12011 B ．2011π C ．14022 D ．4022π6．函数x x x x y sin tan sin tan --+=在区间3(,)22ππ内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．定义在R 上的函数()y f x =，在(,)a -∞上是增函数，且函数()y f x a =+是偶函数，当12,x a x a <>，且12||||x a x a -<-时，有 （ ）A ．12(2)(2)f a x f a x ->-B ．12(2)(2)f a x f a x -=-C ．12(2)(2)f a x f a x -<-D ．12(2)(2)f a x f x a -->-8．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ,||||OA AB =u u u r u u u r ，则CA CB ⋅u u u r u u u r 等于 （ ）A ．32B 3C ．3D ．39．定义在R 上的函数()y f x =，在区间[)0,+∞单调递增，已知()()()f m n f m f n +=-对于任意实数m n 、都成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)2310．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：⑴对任意的(0,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；⑵当(1,2]x ∈ 时，()2f x x =-；如果关于x 的方程()(1)f x k x =-恰有三个不同的解，那么实数k 的取值范围是 （ ） A ．8473k ≤< B ．8473k ≤<或1137k -<≤- C ．423k ≤< D ．11715k -<≤-或423k ≤<第Ⅱ卷（共100分） 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．已知集合{|1A x x =≤或3}x ≥，集合{|1,}B x k x k k R =<<+∈，若()R C A B φ⋂=，则k 的取值范围是12．已知不等式1()()9ax y x y ++≥对任意正实数x y 、恒成立，则正实数a 的最小值为13．定义在R 上的函数满足()()f x f x -=-，(2)(2)f x f x -=+，且(1,0)x ∈-时，1()25x f x =+，则2(log 20)f =14．已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于15．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x +102d a x c ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[0,22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是16．O 是锐角ABC ∆所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r 2(sin ABAB ABC+∠u u u r u u u r λ 2)sin ACAC ACB∠u u u r u u u r ,(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 心． (由“内”、“外”、“重”、“垂”中选取)17．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,,a b R a b ∈*为唯一确定的实数，且具有性质:⑴ 对任意,,a b R a b b a ∈*=*； ⑵ 对任意,0a R a a ∈*=；⑶ 对任意,,()()()()a b R a b c c ab a c c b ∈**=*+*+*． 若2()1f x x x=*=-，则x =三、解答题：(本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 18．命题p ：满足关于x 的不等式2290x x a -+< (解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个；命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为 R 。

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题（共7小题）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于；外接球表面积等于．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝；a5＝．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）解：A＝{x|x≤﹣1，或x≥1}；∴A∩B＝[1，4）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i解：∵＝，∴z的虚部为﹣2．故选：B．3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有＝，即a＝2b，由双曲线的几何性质分析可得c＝＝a，由离心率的计算公式可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其渐近线方程为y＝±x，则有＝，即b＝2a，c＝＝a，则其离心率e＝＝；故选：B．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．解：当x＞0时，f（x）＝x﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小【分析】ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，故Eξ＝1﹣x，Dξ＝（1﹣x）x＝x﹣x2，进而，得到Eξ和Dξ在x∈（0，），上的单调性．解：根据题意，ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，所以Eξ＝1﹣x，当x∈（0，）时，Eξ单调递减，即E（ξ）随着x的增大而减小，Dξ＝（1﹣x）x＝﹣x2+x，因为Dξ的对称轴为x＝，开口向下，故当x∈（0，）时，Dξ随着x的增大而增大．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为2，三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体是体积，所求体积为：＝．故选：C．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．【分析】根据平面向量的数量积和二次函数的性质，结合余弦函数的性质即可求出结果．解：如图所示，由•＝（﹣）•＝•﹣•＝||×||cos∠BCO﹣||×||cosθ＝﹣||•||•cosθ＝﹣||•cosθ，且﹣||•cosθ≥﹣||＝（||﹣）2﹣，由||∈[0，2]，当||＝时，•有最小值为﹣，又当||＝2，且cosθ＝﹣1时，﹣||•cosθ，此时•＝3，为最大值．所以•的取值范围是[﹣，3]．故选：A．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC【分析】解题的关键是通过构造垂面得出∠PMC＝α，然后转化到平面中解决即可．解：如图，取PC中点D，连接AD，BD，由PB＝BC＝a，PA＝AC易知BD⊥PC，AD⊥PC，故可得PC⊥平面ABFD，作PM⊥AB于M，由△ABP≌△ABC，可得CM⊥AB，∴∠PMC＝α，又PM＝CM＝h＜a＜b，∴，∴2α＞∠PAC+∠PBC，，故选：C．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立【分析】取a＝1，b＝1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．解：取a＝1，b＝1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b＝x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2﹣4a且b＞0，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于3；外接球表面积等于9π．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求得几何体最长棱长，再由分割补形法得到多面体外接球的半径，则球的表面积可求．解：如图，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PA＝AB＝2，AD＝1，∴最长棱PC＝＝；其外接球的半径为．则其外接球的表面积为．故答案为：3；9π．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为11；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点C时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z＝2×1+3×3＝11，可行域的面积为：＝故答案为：11；．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝﹣160；a5＝15．【分析】在所给的等式中，令x等于0，求得a0的值；再利用通项公式求得a5即x5的系数．解：∵（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，令x＝0，可得a0＝﹣160．a5即x5的系数为﹣5+•2•2＝15，14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．【分析】，，利用正弦定理可得：sin B＝（4+2）sin cos B，tan B＝2+，可得B，C．再利用三角形的面积计算公式即可得出．解：，，∴sin B＝（4+2）sin cos B，∴tan B＝2+，∵tan（）＝＝＝2+，B∈（0，π）．∴B＝．∴C＝＝＝B．∴c＝b＝1．∴S＝bc sin A＝＝．故答案为：，．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有21．【分析】由题意可得c最大，a不能为0，分两类，当c＝5时，当c＝4时，根据分类计数原理可得．解：由题意可得c最大，a不能为0，当c取5时，则从剩下4个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下3个数（包含0）取两个，放在右边，有C42C32＝18个，当c取4时，则从剩下3个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下2个数（包含0）取两个，放在右边，有C32C22＝3个，故满足条件的五位数的个数有18+3＝21个，故答案为：21．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是[0，1]．【分析】利用三角形的面积的表达式，结合椭圆方程，求通过二次函数，转化即可得到|x0|的取值范围．解：设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，当P是短轴端点时，三角形的面积取得最大值，所以|y0|＝，，可得：x02＝4﹣，0＜m＜2，可得4m2﹣m4∈（0，4]，所以﹣3，可得x02≤1所以|x0|的取值范围是：[0，1]．故答案为：[0，1]．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】易知f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F （x）＝|lnx+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．解：f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F（x）＝|lnx+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）＝max{|1+a﹣b|，|1﹣e+a﹣b|}，F（x）＝max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a﹣b|+|1﹣e+a﹣b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2﹣e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得函数解析式为f（x）＝，由已知可求T，利用周期公式可求ω的值，令，可求函数的增区间．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求，由范围，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）因为：（ω＞0），所以：＝，…………………由条件T＝8，所以：，…………………所以：，令，得：．所以增区间为：．…………………（Ⅱ）因为：，由（1）知：，即：，…………………因为：，所以：，所以：，…………………所以：＝＝．…………………19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过求解三角形证明EC⊥CA，EC⊥CB，推出EC⊥面CAB．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出面ABE的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ABE所成角的正弦函数值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理得，在△EBC中，由余弦定理得由CE2+CA2＝EA2，CE2+CB2＝EB2得，EC⊥CA，EC⊥CB，所以EC⊥面CAB……………………（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则所以，所以，……………………所以是面ABE的一个法向量，则取……………………记直线AD与平面ABE所成角为α，则……………………20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d≠0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到a n；可令n＝1，求得b1，再将n换为n﹣1，相减可得b n；（Ⅱ）原不等式转化为++…+＞n+1﹣，应用数学归纳法证明，注意检验n＝1不等式成立，再假设n＝k时不等式成立，证明n＝k+1时，不等式也成立，注意运用分析法证明．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，a3＝3，可得a1+2d＝3，a l，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解方程可得a1＝d＝1，则a n＝n；数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n，可得b1＝2a1＝2，将n换为n﹣1可得b1+2b2+……+（n﹣1）b n﹣1＝2a n﹣1，联立b1+2b2+……+nb n＝2a n，相减可得nb n＝2a n﹣2a n﹣1＝2，则b n＝，对n＝1也成立，则b n＝，n∈N*；（Ⅱ）证明：不等式++……+＞a n+1﹣（n∈N*）即为++…+＞n+1﹣，下面应用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，不等式的左边为＝，右边为2﹣，左边＞右边，不等式成立；（2）假设n＝k时不等式++…+＞k+1﹣，当n＝k+1时，++…++＞k+1﹣+，要证++…++＞k+2﹣，只要证k+1﹣+＞k+2﹣，即证﹣＞1﹣，即证（﹣）（1﹣）＞0，由k∈N*，可得上式成立，可得n＝k+1时，不等式也成立．综上可得，对一切n∈N*，++…+＞n+1﹣，故++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，进而得到所求抛物线方程；（2）方法一、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和直线方程的交点可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值；方法二、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和向量共线定理、以及向量垂直的条件可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值．解：（1）Q（1，2）代入y2＝2px解得p＝1，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）证法1：（巧设直线）证明：设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得，则有，可设AP：，即，同理BP：，解得P（﹣3，3t），即动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．证法2：（利用向量以及同构式）证明：设l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则有，，，又O为△PAB的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，y1，y2是方程的两根，所以，所以动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H max（x）＜0即可．解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，∴x2+3x+1＜0，∴，又x＞﹣2，∴；当f′（x）＜0时，解得，∴f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．。

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。

2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第1题4分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第1题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第1题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第1题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第1题4分已知集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B=（）．A. {3}B. {2,5}C. {2,3,4}D. {1,2,4,5}2、【来源】 2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第2题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第2题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第2题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第2题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第2题4分双曲线C：x 24−y28=1的离心率为（）．A. √2B. √3C. 2D. 33、【来源】 2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第3题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第3题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第3题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第3题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第3题4分已知直线y=kx与圆C:(x−2)2+y2=1相切，则实数k的值是（）．A. ±2B. ±√3C. ±1D. ±√334、【来源】 2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第4题4分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第4题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第4题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第4题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第4题4分某几何体的三视图如图所示（单位：cm)，则该几何体的表面积（单位：cm2)是（）．A. 16+2√3B. 16+2√6C. 18+2√3D. 18+2√65、【来源】 2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第5题4分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第5题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第5题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第5题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第5题4分已知α∈R，则“tan⁡α=2”是“sin⁡2α=45”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第6题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第6题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第6题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第6题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第6题4分设0<a<12，随机变量X的分布列是：则当D(X)最大时的a的值是（）．A. 14B. 316C. 15D. 3257、【来源】 2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第7题4分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第7题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第7题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第7题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第7题4分函数f(x)=ln(x+√x2+1)的图象大致是（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第8题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第8题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第8题4分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第8题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第8题4分已知x ，y ∈(0,+∞)，若不等式√x +√2y ⩽a √x 2+y 恒成立，则a 的取值范围是（ ）．A. [1,+∞)B. [√2,+∞)C. [2,+∞)D. [2√2,+∞)9、【来源】 2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第9题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第9题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第9题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第9题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第9题4分已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=21+a n ，则（ ）． A. a 2021<a 2019<a 2022<a 2020B. a 2021<a 2019<a 2020<a 2022C. a 2019<a 2021<a 2022<a 2020D. a 2019<a 2021<a 2020<a 202210、【来源】 2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第10题4分 2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第10题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第10题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第10题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第10题4分如图，在平行四边形ABCD 中，沿AC 将△ACD 折成△ACP ，记异面直线PA 与BC 所成的角为α，直线PA 与平面ABC 所成的角为β，二面角P −AC −B 为γ，当π2<∠PAD <π时，则（ ）．A. α⩾β⩾γB. α⩾γ⩾βC. γ⩾α⩾βD. γ⩾β⩾α二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第11题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第11题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第11题4分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第11题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第11题4分复数z=1+3i(i为虚数单位)，则|z|=．12、【来源】 2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第12题6分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第12题6分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第12题6分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第12题6分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第12题6分若实数x，y满足约束条件{x−2y⩾02x−y−3⩽0x+y⩾0，则z=x+2y的最小值是；u=yx+1的最大值是．13、【来源】 2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第13题6分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第13题6分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第13题6分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第13题6分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第13题6分已知(2x−1x )6=a1x−6+a2x−4+a3x−2+a4x0+a5x2+a6x4+a7x6，则a4=；a2+a3+a4+a5+a6+a7=．14、【来源】 2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第14题6分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第14题6分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第14题6分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第14题6分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第14题6分已知函数f(x)={x2(x⩾0)−x2(x<0)，则不等式f(|2x−1|)⩽4的解是；不等式2f(x)⩾f(4−x2)的解是．15、【来源】 2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第15题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第15题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第15题4分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第15题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第15题4分4名女生与3名男生站成一排，最左端站女生，最右端站男生，且男生互不相邻的站法共种．16、【来源】 2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第16题4分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第16题4分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第16题4分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第16题4分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第16题4分如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP 、AQ 交椭圆C 于点P 、Q ．连接BQ 交AP 于一点M ，若AM →=45AP →，则椭圆C 的离心率是 ．17、【来源】 2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第17题6分 2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第17题6分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第17题6分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第17题6分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第17题6分如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =12，AC =9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ，设DA →=a →，DB →=b →，DC →=c →，则a →⋅c →的最大值是 ；2|a →|+3|b →|的最小值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第18题14分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第18题14分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第18题14分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第18题14分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第18题14分在△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=2bsin⁡A，b<c．(1) 求角B．(2) 已知函数f(x)=sin⁡x+2cos⁡x，当f(A)取最大值时，求sin⁡C．19、【来源】 2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第19题15分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第19题15分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第19题15分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第19题15分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第19题15分在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD//BC．∠ABC=90°，∠APB=90°．(1) 证明：AP⊥PC．(2) 设AB=5，AP=BC=2AD=4，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第20题15分2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第20题15分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第20题15分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第20题15分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第20题15分已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，6S n=3na n+1−2n(n+1)(n+2)，n∈N∗．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 证明：1a1+1a2+⋯+1a n<56．21、【来源】 2020年浙江杭州余杭区塘栖中学高三下学期高考模拟第21题15分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第21题15分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第21题15分2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第21题15分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第21题15分如图，已知抛物线E:x2=4y上不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线l:y=kx+5对称，记l与y轴交于点C．(1) 若x1+x2=−4，求k的值．(2) 求△ABC面积的最大值．22、【来源】 2020年浙江杭州临安区杭州市临安区昌化中学高三下学期高考模拟第22题15分2020年浙江杭州临安区於潜中学高三下学期高考模拟第22题15分2020年浙江杭州余杭区杭州市余杭中学高三下学期高考模拟第22题15分2020年浙江杭州萧山区萧山区第八高级中学高三下学期高考模拟第22题15分2020年浙江杭州富阳区新登中学高三下学期高考模拟第22题15分设函数f(x)=ax2−2(a+1)x+a−1，g(x)=(2x2−4x)ln⁡x．(1) 若f(x)在(0,2)上仅有一个零点，求a的取值范围．(2) 若a>5，试讨论方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上的根的个数．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】√10;12 、【答案】−1;13;13 、【答案】−160;0;14 、【答案】[−12,32];(−∞,−2√2]∪[√2,+∞);15 、【答案】432;16 、【答案】2√55;17 、【答案】90;12√10;18 、【答案】 (1) 30°．;(2) 2√5+√1510．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 6√109．109;20 、【答案】 (1) 2n2．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 1．;(2) 64√3．9;22 、【答案】 (1) 1<a⩽5．;(2) 恒有3个相异实根．;。

2020届高三数学下学期3月质量检测试题理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a ＝（）A. B. C. 2 D. ﹣2【答案】D【解析】【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A. [﹣3，2）B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C【解析】【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有种情况，满足条件的有种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（）A. 2B. 4C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，，解得答案.【详解】，，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合，终止循环，输出【详解】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第四次循环，，此时不满足，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6.已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=（）A. 2nB. n2C. n+2D. 3n -2【答案】B【解析】【分析】化简得到，故为首项是，公差为的等差数列，得到答案.【详解】，故，即，即，，故为首项是，公差为的等差数列.故，.故选：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键.9.已知a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log84，则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D【解析】【分析】计算得到，得到答案.【详解】，故.即.故选：.【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算所有情况共有种，满足条件的共有种，得到答案.【详解】所有情况共有种.满足条件的共有种，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，，，则，设，则，两式相减得到：，，，即，，，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2- e2]【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据化简得到答案.【详解】根据题意：.设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.根据，，故.故选：.【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.【答案】【解析】【分析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.14.若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a取值范围为___．【答案】a≥﹣1．【解析】【分析】将函数f（x）在（0，）上单调递减，转化在（0，）上恒成立即在（0，）上恒成立再求最大值即可.【详解】因为函数f（x）在（0，）上单调递减，所以在（0，）上恒成立，即在（0，）上恒成立，因为，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．【答案】9.14h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C 处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则AC＝450，则有450，即450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，即450，即450；两边平方并化简、整理得t2﹣20t+175＝0∴t或，所以时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥S- ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】【解析】【分析】证明，，得到为二面角的平面角，计算故，，得到，得到答案.【详解】球的表面积为，故，，故.的外接圆圆心为中点，；的外接圆圆心为三角形中心，.设球心为，则平面，平面，与交于点，易知为中点，连接，，易知，，故为二面角的平面角.故，，，.，故，，故.故，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（1）求证：AC⊥QL；（2）求点A到平面PQL的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）作于，证明平面得到答案.（2）取中点，连接，利用等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：作于，易知为中点，为中点，故.，故平面，平面，故.，故平面，平面，故.（2）取中点，连接，易知，，故为矩形.故到平面的距离等于到平面的距离.故.，，即，故.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（，0），利用（2，2），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1（x ），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F（，0），满足（2，2）的P的坐标为（2，2），P在抛物线上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，直线MN的斜率kMN，则直线MN的方程为：y﹣y0（x），即y①，同理可得直线ML的方程整理可得y②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直线kNL，则直线NL的方程为：y﹣y1（x ），即y x，故y x，所以y（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程中，，.（2），，【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）直接根据计算得到答案.（2）利用公式计算得到，得到中心点，代入计算得到答案.【详解】（1），故.（2），即，解得，故，.将点代入回归方程得到：.故，当时，.【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证.【详解】（1）对函数求导，得，因为任意的,有，且在区间上，所以即，即函数在区间上单调递增.（2）对函数求导，得，令，则当时，由（1）知，，则故在上单调递减而由零点存在定理知：存在唯一的，使得，即当时，，即，为增函数；当时，，即，为减函数.又当时，所以在上恒为减函数，因此有唯一的极大值点由在上单调递减，故即又当时，故综上，函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值．【答案】（1），（x﹣2）2+y2＝1；（2）2.【解析】【分析】（1）由C1的参数方程为为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用转换为直角坐标方程.（2）设点P（5cosθ，4sinθ），根据点Q在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C1的参数方程为为参数），两式平方相加整理得．将代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x2+y2﹣4x+3＝0，整理得（x﹣2）2+y2＝1．（2）设点P（5cosθ，4sinθ）在曲线C1上，圆心O（2，0），所以：，当cosθ＝1时，|PO|min＝3，所以|PQ|的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．（1）当a＝4时，求解不等式f（x）≥8；（2）已知关于x的不等式f（x）在R上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，]；（2）[﹣2，1].【解析】【分析】（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a﹣1和，分a﹣1，a﹣1和a﹣1时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，（i）当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞）；（ii）当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x，此时不等式的解集（∞，]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，]，（2）（i）当a﹣1即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|2显然不恒成立，（ii）当a﹣1即a＞2时，，结合函数的单调性可知，当x时，函数取得最小值f（），若f（x）在R上恒成立，则，此时a不存在，（iii）当a﹣1即a＜2时，f（x）若f（x）在R上恒成立，则1，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.2020届高三数学下学期3月质量检测试题理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A. B. C. 2 D. ﹣2【答案】D【解析】【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A. [﹣3，2）B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C【解析】【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有种情况，满足条件的有种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（）A. 2B. 4C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，，解得答案.【详解】，，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合，终止循环，输出【详解】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第四次循环，，此时不满足，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6.已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=（）A. 2nB. n2C. n+2D. 3n -2【答案】B【解析】【分析】化简得到，故为首项是，公差为的等差数列，得到答案.【详解】，故，即，即，，故为首项是，公差为的等差数列.故，.故选：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键.9.已知a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log84，则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D【解析】【分析】计算得到，得到答案.【详解】，故.即.故选：.【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算所有情况共有种，满足条件的共有种，得到答案.【详解】所有情况共有种.满足条件的共有种，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，，，则，设，则，两式相减得到：，，，即，，，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2- e2]【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据化简得到答案.【详解】根据题意：.设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.根据，，故.故选：.【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.【答案】【解析】【分析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.14.若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a取值范围为___．【答案】a≥﹣1．【解析】【分析】将函数f（x）在（0，）上单调递减，转化在（0，）上恒成立即在（0，）上恒成立再求最大值即可.【详解】因为函数f（x）在（0，）上单调递减，所以在（0，）上恒成立，即在（0，）上恒成立，因为，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．【答案】9.14h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则AC＝450，则有450，即450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，即450，即450；两边平方并化简、整理得t2﹣20t+175＝0∴t或，所以时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥S- ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】【解析】【分析】证明，，得到为二面角的平面角，计算故，，得到，得到答案.【详解】球的表面积为，故，，故.的外接圆圆心为中点，；的外接圆圆心为三角形中心，.设球心为，则平面，平面，与交于点，易知为中点，连接，，易知，，故为二面角的平面角.故，，，.，故，，故.故，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC 的中点．（1）求证：AC⊥QL；（2）求点A到平面PQL的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）作于，证明平面得到答案.（2）取中点，连接，利用等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：作于，易知为中点，为中点，故.，故平面，平面，故.，故平面，平面，故.（2）取中点，连接，易知，，故为矩形.故到平面的距离等于到平面的距离.故.，，即，故.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（，0），利用（2，2），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML 的方程y，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1（x），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F（，0），满足（2，2）的P的坐标为（2，2），P在抛物线上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，直线MN的斜率kMN，则直线MN的方程为：y﹣y0（x），即y①，同理可得直线ML的方程整理可得y②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直线kNL，则直线NL的方程为：y﹣y1（x），即y x，故y x，所以y（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程中，，.（2），，【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）直接根据计算得到答案.（2）利用公式计算得到，得到中心点，代入计算得到答案.【详解】（1），故.（2），即，解得，故，.将点代入回归方程得到：.故，当时，.【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证.【详解】（1）对函数求导，得，因为任意的,有，且在区间上，所以即，即函数在区间上单调递增.。

2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题一、单选题1．若集合2{|10},{|0A x x B x =-≥=<x <4}，则A ∩B =（ ）A ．(-∞，-1)B ．[0，4)C ．[1，4)D ．(4，+∞)【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()21110x x x -=+-≥解得1x ≤-或1x ≥，所以(][),11,A =-∞-+∞U ，所以[)1,4A B =I .故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，2,iz i+=则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-2C ．2D ．-2i【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z 的表达式，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，故虚部为2-. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.3．已知双曲线C ：22221y x a b-=（0,0a b >>）的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D【答案】B【解析】根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得12a b =，然后再根据离心率的计算公式可得所求． 【详解】由22220y x a b-=可得a y x b =±，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为12y x =±， ∴12a b =， ∴2ba=. ∴离心率2222e 15c a b b a a+===+=．故选B ． 【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）本题容易出现的错误是认为12b a =，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程中的“1=”改为“0=”，即可得到渐近线的方程． 4．函数的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A ，B ；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】 由题意，当时，，，单调递增，排除A ，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5．已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x ，P (ξ=1) =1-x ，若1(0,),2x ∈则（ ） A ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而增大 B ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 C ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而减小 D ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而减小 【答案】B【解析】求得E ξ和D ξ的表达式，由此判断出两者的单调性. 【详解】依题意()0111E x x x ξ=⨯+⨯-=-，在区间1(0,)2上是减函数.()()()2201111D x x x x ξ=--⋅+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2x x =-+，注意到函数2y x x =-+的开口向下，对称轴为12x =，所以2y x x =-+在区间1(0,)2上是增函数，也即D ξ在区间1(0,)2上是增函数. 故选：B 【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查函数的单调性，属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C【解析】根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积. 【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又22242ABCD S=⨯=矩形，P 到底面ABCD 的距离为2，故1842233V =⨯⨯=，故选C.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、球等）的切割来考虑. 7．“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案. 【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.8．如图，圆O是半径为1的圆，1,2OA=设B，C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A．1[,3]8-B．[-1，3] C．[-1，1] D．1[,1]8-【答案】A【解析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将AC BC⋅u u u r u u u r转化为211cos22BC BCθ-⋅u u u r u u u r，其中θ为OAu u u r和BCuuu r的夹角.由此求得AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围. 【详解】设D是线段BC的中点，则有OD BC^.设θ为OAu u u r和BCuuu r的夹角.则AC BC⋅u u u r u u u r()OC OA BC OC BC OA BC=-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cosOC BC BCO OA BCθ=⋅⋅∠-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r211cos22BC BCθ=-u u u r u u u r，且2221111111cos2222228BC BC BC BC BCθ⎛⎫-≥-=--⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由于[]0,2BC∈u u u r，所以当12BC=u u u r时，AC BC⋅u u u r u u u r有最小值18-.又当2BC=u u u r且cos1θ=-时，211cos22BC BCθ-u u u r u u u r有最大值为3，即AC BC⋅u u u r u u u r有最大值3.所以AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围是1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA AC b a b ==<，设二面角P AB C --的平面角为α，则（ ）A ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠ B ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠ C ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠ 【答案】C【解析】解题的关键是通过构造垂面得出PMC α∠=，然后转化到平面中解决即可. 【详解】解：如图（1），取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ， 作PM ⊥AB 于M ，由ABP ABC ≅V V ，可得CM ⊥AB ， ∴PMC α∠=，又PM CM h a b ==<<，由图（2）可得2222PMC PBC PACα∠∠∠=>>， 2PAC PBC α∴>∠+∠，22PBC PACPCA PCB PCA PCB α∠∠+∠+∠>++∠+∠ 22PBC PACPCB PCA π∠∠=+∠++∠= 故选：C. 【点睛】本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.10．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 【答案】D【解析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需11422ab a+-<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且11142ab x a --=，21142abx a+-=，因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤； 所以要使n a M <，只需要120a x <<，故11422aba-<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ． 【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．二、填空题11．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______. 【答案】3 9π【解析】分别求各边长即可得最长棱,通过补成长方体可得球半径. 【详解】如图，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且2PA AB ==，1AD =， 所以22,5,PB PD ==2222222213PC PA AB BC =++=++=.最长棱为:3.该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为1322PC =. 则其外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3；9π.【点睛】本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题,属于基础题.12．设x ，y 满足约束条件21020,1x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y 的最大值为____；满足条件的x ，y 构成的平面区域的面积是____【答案】112512【解析】画出可行域，计算出可行域的面积，平移基准直线230x y +=到可行域边界的位置，由此求得23z x y =+的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示：其中()1211,3,1,,,233A B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以15322AB =-=，C 到直线AB 的距离为25133+=，所以可行域的面积为1552522312⨯⨯=.平移基准直线230x y +=到可行域边界()1,3A 点位置时，z 取得最大值为213311⨯+⨯=.故答案为：（1）2512；（2）11.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求最大值，考查可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则a 0=____，a 5=____.【答案】160- 15【解析】令0x =，求得0a 的值.由乘法分配律，结合二项式展开式，求得5a 的值. 【详解】由56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，令0x =得()5025a ⨯-=，即0160a =-，5a 即5x 的系数，根据乘法分配律以及二项式展开式可知，5x 的系数为()1105522515C C ⋅⋅+⋅-=，即515a =.故答案为：（1）160-；（2）15 【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查乘法分配律，属于基础题. 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,(423)cos 6A b aB π==+，且b =1，则B =____；△ABC 的面积为____. 【答案】512π14【解析】利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值，由此求得B 的大小.判断出b c =，由此利用三角形的面积公式，求得三角形ABC 的面积.【详解】依题意,(4cos 6A b aB π==+，由正弦定理得(sin 4sincos 6B B π=+，解得tan 2B =，而tantan164tan 2641tan tan643ππππππ++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭-⋅()0,B π∈，所以56412B πππ=+=，则5561212C B ππππ=--==，所以1c b ==，所以1111sin 112224S cb A ==⨯⨯⨯=.故答案为：（1）512π；（2）14【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____. 【答案】21【解析】由题意可知c 最大，a 不能为零，对c 分成5c =和4c =两种情况进行分类讨论，由此求得满足条件的五位数的个数. 【详解】由题意可知c 最大，a 不能为零，当5c =时，则从剩下4个不为零的数中选2个，放在c 的左边，再从剩下的3个数中取两个，放在右边，故方法数有224318C C ⋅=.当4c =时，5不能选取，则从身下3个不为零的数中选两个，，放在c 的左边，再从剩下的2个数中取两个，放在右边，故方法数有22323C C ⋅=.所以总的方法数有18321+=. 故答案为：21 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，属于基础题.16．设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】根据12PF F ∆的面积列不等式，解不等式求得0||x 的取值范围. 【详解】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以202412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,1 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.【答案】2e 【解析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解． 【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--，(){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2eM a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．三、解答题18．已知函数2()6cos 3(2xf x x ωωω=->0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.（1）求ω的值及f (x )的单调递增区间；（2）若00214()(,)33f x x =∈，求0(1)f x +的值.【答案】（1）4πω=，在区间为1028,8,33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）-【解析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 的解析式，根据图象上相邻两对称轴之间的距离求得ω，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. （2）结合同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，求得0(1)f x +的值. 【详解】 （1）依题意()()3cos 133cos f x x x x x ωωωω=+-=3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 的图象上相邻两对称轴之间的距离为4，则()280T πωω==>，解得4πω=.所以()43f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令222432k x k ππππππ-≤+≤+，解得1028,8,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的单调递增区间为1028,8,33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为0063()23sin 43f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即03sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而0214(,)33x ∈，03,4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以04cos 435x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以0(1)f x +00023sin 23sin cos cos sin 443434434x x x πππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦324262352525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎭【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 19．如图，已知四棱锥A -BCDE 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，26,AE =CD //BE ，BE =2CD =4，60EBC ∠=︒（1）求证：EC ⊥平面ABC ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）33055【解析】（1）通过余弦定理和勾股定理，计算证明证得,EC CA EC CB ⊥⊥，由此证得EC ⊥平面ABC .（2）建立空间直角坐标系，通过直线AD 的方向向量和平面ABE 的法向量，求得线面角的正弦值. 【详解】（1）在三角形ABC 中，由余弦定理得2222222cos12023AC =+-⨯⨯⨯=o .在三角形BCE 中，由余弦定理得2242242cos6023EC =+-⨯⨯⨯=o .所以222222,CE CA EA CE CB EB +=+=，所以,EC CA EC CB ⊥⊥，而CA CB C ⋂=，所以EC ⊥平面ABC .（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()()0,0,23,23,0,0E A ，()3,1,0B，所以()()()3,1,0,23,0,23,3,1,23AB AE BE =-=-=--u u u r u u u r u u u r，131,,3222CD BE ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝u u u r u u u r ，所以31531,,3,,,32222D AD ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝u u u r .设(),,n x y z =r 是平面ABE 的法向量，则3023230n AB x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()1,3,1n =r .设直线AD 与平面ABE 所成角为θ，则330sin AD n AD nθ⋅==⋅u u u r ru u u r r .【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N L L （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2)3121112*n n n nb b b a a n b b b +++++>-∈N L L .【答案】（1）n a n =，2n b n=，*n ∈N ；（2）证明见解析. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到n a ，可令1n =，求得1b ，再将n 换为1n -，相减可得n b ； （21n +>+L 注意检验1n =时不等式成立，再假设n k =时不等式成立，证明1n k =+时，不等式也成立，注意运用分析法证明. 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差d 不为零，33a =，可得123a d +=，1a 、2a 、4a 成等比数列，可得2142a a a =，即()()21113a a d a d +=+，解方程可得11a d ==，则()11n a a n d n =+-=.数列{}n b 满足1222n n b b nb a +++=L L ，可得1122b a ==， 当2n ≥时，由12222n n b b nb a n +++==L L ， 可得()()1212121n b b n b n -+++-=-L L ， 相减可得2n nb =，则2n b n =，12b =也适合2n b n =，则2n b n=，*n ∈N ； （2)*1n a n ++>∈N L L 即为1n >+L 下面应用数学归纳法证明. （i ）当1n =2=，右边为2->右边，不等式成立；（ii ）假设n k =1k >+-L 当1n k =+1k >+L1k >+-L ，只要证12k k +>+1>-即证10⎛> ⎝，由*k ∈N ，可得上式成立，可得1n k =+时，不等式也成立. 综上可得，对一切*n ∈N1n +>+L)*1n a n +>∈N L L . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用n S 求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．已知抛物线E ：22(0)y px p =>过点Q (1，2)，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足△PAB 的垂心为原点O . （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】（1）将点Q 的坐标代入抛物线方程，由此求得p 的值，进而求得抛物线E 的方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线,AP BP 的方程，联立直线,AP BP 的方程求得P 的坐标，由此判断出动点P 在定直线3x =-上.求得PABQABS S ∆∆的表达式，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）将Q 点坐标代入抛物线方程得2221,2p p =⨯=，所以24y x =.（2）由（1）知抛物线E 的方程为24y x =，所以()1,0F ，设直线l 的方程为1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由214x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，所以121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩.由于O 为三角形PAB 的垂心，所以221111PAPA OBPB OAPB x k y k k k k x k y ⎧=-⎪⋅=-⎧⎪⇒⎨⎨⋅=-⎩⎪=-⎪⎩，所以直线AP 的方程为()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+.同理可求得直线BP 的方程为12344y y x y =-+.由2112344344y y x y y y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，结合121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩，解得()3,3P t -，所以P在定直线3x =-上.直线l 的方程为110x ty x ty =+⇒--=，P 到直线l的距离为1d ==Q 到直线l的距离为2d ==所以PABQABS S ∆∆2121343232212222AB d t t t t t t AB d ⨯⨯+===+=+≥=⨯⨯32,23t t t ==±时取等号.所以PAB QAB S S ∆∆的最小值为【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.22．已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.【答案】（1）单调减区间为3(2,2-+-，单调增区间为3()2-+∞；（2）详见解析；（3）(,2)-∞.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数求得函数()h x 在()1,-+∞上递减，且()10h -=，则()0h x <，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数()()()h x f x g x =-，对k 分成2,2,2k k k =三类，讨论函数()h x 的单调性、极值和最值，由此求得k 的取值范围. 试题解析： （1）()()2'212f x x x =-++ ()2231(2)2x x x x -++=>-+，当()'0f x <时，2310++>x x .解得x >当()'0f x >时，解得2x -<<所以()f x 单调减区间为32,2⎛-+- ⎝⎭，单调增区间为32⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）设()()()h x f x g x =-()()()22ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，()0h x <恒成立． ()()223122'x x x h x -++=-+()()2312x x x -++=+，∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又()10h -=，∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为()()223'12x x k x h x -++=-+()226222x k x k x ++++=-+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，()()()22ln 2121x x x +-+<+， 不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时()()211x k x +<+．∴()()()()22ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+，可知()t x 与()'h x 符号相同，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，()h x 单调递减．∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(),2-∞．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.。

2020-2021学年高三百校3月联考数学试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}02,*A x x x N =<≤∈，{}14,*B x x x N =<≤∈，则AB =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4D ．(]04，2．若2i3i 1ia +=++，则a =（ ） ()1213V h S S =A ．2B ．2iC ．4D ．4i3. 若实数x ，y 满足约束条件204020x x y x y +≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+取最小值时x =（ ）A ．7-B ．5-C ．3-D ．1-4．函数sin()cos()4411()()()x x f x e eππ++=-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．5．如图，某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的最长的棱长为（ ）cmA. 2B. 2C.6 D. 36．已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=，*N n ∈，若对任意n ∈N *，都1n n a a +≤，则下列可能成立的是（ ）A ．11a =B ．21a =-C ．32a =-D ．412a =-7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<8．若平面上两点()2,0A -，()1,0B ，则过点B 的直线l 上满足()()20BA PB PA PB -⋅+=的点P 的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 与直线l 的斜率有关9．已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αβ≠，若sin 2sin e e αβαβ-=-，则下列结论一定成立的是（ ）A ．4παβ+=B ．2παβ+=C ．αβ>D ．αβ<10．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面''BCC B 内，则MT NT +的最小值是（ ）A B C D ．1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题 (本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)11．已知函数()f x =的定义域为 ．12．已知直线80x my -+= (0)m >和圆O : 2225x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为12，则AB 的长度为 ；m = ．13．在二项式9(x -的展开式中，含7x 的项是 ；系数为有理数的项的二项式系数的和为 ．14．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且2c =，6b =，D 是AC 边上近A 点的三等分点，且2ABD CBD ∠=∠，则CBD ∠= ；BC = ．15．已知函数()2224f x x x a x x a -++-+＝，若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的最大值为 ．16是该抛物线上的点，6AB =，=0AF BF ⋅，线MN 的最大值为．17．已知单位向量a ，b ，c 满足231a b c ++≤，则a b ⋅的最大值为 ；最小值为_______．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．（本小题满分14分）已知x x x m x x f 2sin )cos sin )(2sin()(-++=π的最大值为2，其中0>m ，（I ）求)(x f 的单调增区间；（II ）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2cos a Ab c C=-，求()f A 的值．19． (本小题满分15分)如图，圆锥PO 的顶点为P ，其母线长为3，点A B C M 、、、都在底面O 上，且3BC =，AO OM =，PAB PAC ∠=∠；设E F 、分别是母线PB PC 、靠近B C 、的三等分点，并且平面AEF 交母线PM 于点T 。

2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期教学质量检测数学试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题1. 已知集合{}|11x R x P ∈-<<=,{}|02R x Q x =∈≤<那么()R PC Q =（ ） A. （-1,2）B. （0,1）C. （-1,0）D. （1,2） 【答案】C【解析】先求出集合Q 的补集,然后求()R P C Q 即可.【详解】解：因为{}|02R x Q x =∈≤<,所以{0R C Q x x =<或x ≥}2,所以(){}10R P C Q x x ⋂=-<<,故选：C2. 双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ） A. 2 B. 95 C. 125 D. 3【答案】C【解析】 先求左顶点坐标以及渐近线方程,再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】因为双曲线221916x y -=的左顶点为(3,0)-,渐近线方程为220,430916x y x y -=±= 所以双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255⨯-±⨯= 故选：C3. 已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为A. B. C. D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知,则该几何体P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥面ABCD,其直观图如图所示,由三视图知识知,其侧视图如A所示,故选A．4. 若x,y满足约束条件x0x+y-30z2 x-2yx y≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D解：x、y满足约束条件,表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C（2,1）,目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4,+∞）．故选D．。

2020年浙江省杭州高中高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∣∣x ≤1}，B ={x ∣x >0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. [−1,0)C. (0,1]D. [0,1]2. 已知i 为虚数单位，则2+i1+i =( )A. 32−12iB. 12−32iC. 32−iD. 1−12i3. 已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y =±4x ，则该双曲线的离心率是( )A. √17B. √15C. √174D. √1544. 函数f(x)=(12)|x+2|+(12)|x−2|−12的图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知随机变量ξi 满足P(ξi,=1)=P i ,P =(ξi,=0)=1−P i ,i =1,2，若0<P 1<P 2<12,则( )A. E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B. E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C. E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D. E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)6. 某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是( )A. 23 B. 43 C. 4D. 2√537. “a +b =0”的充分不必要条件是( )A. a =−bB. a 2=b 2C. 1a +1b =0D. e a ⋅e b =18. 如图，在圆C 中，点A ，B 在圆上，已知|AB|=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定9. 在三棱锥A −BCD 中，AB =AC =1，DB =DC =2，AD =BC =√3，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为( )A. πB. 4πC. 7πD. 9π10. 命题“ョx ∈R ，∀n ∈N ∗，n +3x =2”的否定是( )A. “ョx ∈R ，∀n ∈N ∗，n +3x ≠2”B. “∀x ∈R ，ョn ∈N ∗，n +3x ≠2”C. “ョx ∈R ，ョn ∈N ∗，n +3x ≠2”D. “∀x ∈R ，∀n ∈N ∗，n +3x ≠2”二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P −ABC 为鳖臑，且PA ⊥平面ABC ，PA =AB =2，且该鳖臑的外接球的表面积为9π，则该鳖臑的表面积为______． 12. 已知x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥0,x −2y −2≤0,x +y −2≤0,则z =x −y 的最大值为________． 13. 设(x −2)1+(x −2)2+⋯+(x −2)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=______；a 4=______．14. 在△ABC 中，已知A =π6，a =4√33，b =4，则角B = ______ ．15. 一个五位数abcde 满足a <b ，b >c >d ，d <e 且a >d ，b >e(如37201，45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有______个五位数符合“正弦规律”． 16. 若实数x ，y 满足2x 2+y 2=8，则y 2+4x −4的取值范围是__________．17. 已知a ∈R ，函数f(x)=|x +4x −a|+a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=√3cos2ωx−sinωxcosωx−√3(ω>0)的最小正周期为π．2)的值；(Ⅰ)求f(π12]时，求f(x)的单调区间及取值范围．(Ⅱ)当x∈[0,7π1219.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形．(Ⅰ)求证：PC=PD；(Ⅱ)若2PD=√5CD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．20.若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求等比数列S1，S2，S4的公比；(2)若S2=4，求{a n}的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n =3a n a n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n >m20对所有n ∈N ∗都成立的最大正整数m ．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N两点．设直线l 是抛物线C 的切线，且直线l//MN ，P 为l 上一点，且PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−14． (1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上分别位于y 轴两侧的两个动点，O 为坐标原点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4.求证：直线AB 必过定点，并求出该定点的坐标．22. 已知函数f (x )=lnx −a (x−1)x，(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：不等式(x +1)lnx >2(x −1)对∀x ∈(1,2)恒成立。