山东省日照市五莲县2019-2020学年高三上学期模块诊断性检测数学试题(解析版)

山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高三3月过程检测（实验班）数学试题一、选择题（共8小题）1.集合{|(1)(2)0}A x x x =+-，{|2}B x x =<，则A B =（ ） A. [0,2]B. [0,1]C. (0,2]D. [1,0]- 2.若复数z ＝11i ai ++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. －12 D. －13.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>5.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个（m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（ ）A. 18B. 17C. 16D. 156.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A. 1254-B. 358+-C. 514+-D. 458+- 7.已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点1F '在以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 38.已知ABC ∆为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为（ ）A. 12B. 31+C. 52D. 32+ 二、多项选择题（共4小题）9.已知2a b >，则（ ）A. 23b b a <-B. 3322a b a b ab +>+C. ab a b >+D. 12112ab a b+>+ 10.如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 线段BM 的长是定值B. 存在某个位置，使1DE A C ⊥C. 点M 的运动轨迹是一个圆D. 存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线()32222:16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（ ）A. 曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B. 曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C. 曲线C 围成区域的面积大于4πD. 方程()3222216(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限12.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x ()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ） A. 0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B. 若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()f x 的最小正周期为3D. ()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个三、填空题13.为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有_______种.（用数字作答）14.已知函数()2cos f x x x λ=++，在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦任取三个数1x ，2x ，3x ，均存在以1f x ，2f x ，()3f x 为边长的三角形，则λ的取值范围是_______.15.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，准线为1，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若||4||AF BF =，则p =_________，三角形CDF 的面积为________.16.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且2AB =，5PA PC ==PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_______. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.如图，在ABC ∆中，4C π=，角B 平分线BD 交AC 于点D ，设CBD θ∠=，其中1tan 2θ=．（1）求sin A ；（2）若28CA CB ⋅=，求AB 的长．18.在①()22130n n n a a a +-=>，②211390n n n n a a a a ---﹣﹣＝，③222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，______.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列.若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66？若存在，确定N 点位置；若不存在，说明理由.20.沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大.为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群.经研究，每只蝗虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.71192i i x==∑，71569i i y ==∑，7118542i i i x y ==∑，7215414i i x ==∑，7125.2848i i z ==∑，71733.7079i i i x z ==∑.（其中ln i z y =，7117i i z z ==∑）. （1）根据散点图判断， y a b x =+与dx y ce ＝（其中 2.718e =…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为(01)p p <<. ①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率p . ②当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差. 附：线性回归方程系数公式()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-. 21.已知圆22:4O x y +=,定点(1,0)A ,P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程（2）过点3)Q 的直线l 与C 交于,E F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线,DE DF 交于,S T两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.22.已知函数()cos x f x e ax x =--，其中a R ∈.（1）求证：当1a -时，()f x 无极值点；（2）若函数()()1(1)g x f x n x =++，是否存在a ，使得()g x 在0x =处取得极小值？并说明理由.。

山东省日照市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[2]C ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2]【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【详解】解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3x π=对称，33382k πππϕπ∴⨯-+=+，k Z ∈， 78πϕ∴=，函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 38x π⎡⎤⎛⎫∴-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()2sin 3[8f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域是[2]，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．2．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A．2 3B．34C．155D．105【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a+++=，又123a a a+=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a=，12342468,,,5555a a a a a a a a====.所以18||5QF a=，16||5PF a=，24||5PF a=，6||5PQ a=.在12PF F△和1PFQV中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos4666225555a a c a a aF PFa a a a+-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105cea==故选D．3．已知条件:1p a=-，条件:q直线10x ay-+=与直线210x a y+-=平行，则p是q的( ) A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据直线10x ay-+=与直线210x a y+-=平行确定a的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线10x ay-+=与直线210x a y+-=平行，所以20a a+=，解得0a=或1a=-；即0q a=：或1a=-；所以由p能推出q；q不能推出p；即p是q的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 4．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．已知函数()12xf x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62【答案】A 【解析】 【分析】令()()f m g n t ==，进而求得122ln 2t n m e t --=--，再转化为函数的最值问题即可求解. 【详解】∵()()f m g n t ==∴12ln12m ne t -=+=（0t >），∴122ln 2t n m e t --=--， 令：()122ln 2t h t et -=--，()122t h t e t-'=-，()h t '在()0,∞+上增，且()10h '=，所以()h t 在()0,1上减，在()1,+∞上增，所以()()min 1220h t h ==-=，所以n m -的最小值为0.故选：A 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示n 和m 是本题的关键，属于中档题.6．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题. 7．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】20x ->可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.【详解】 由20x ->,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.8．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C 【解析】 【分析】由题可推断出ABC V 和BCD V 都是直角三角形，设球心为O ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则需满足h OD =，结合几何关系和图形即可求解 【详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB OC ==，故ABC V 是直角三角形，设,AB x AC y ==，则有22242x y xy +=≥，又12ABC S xy ∆=，所以142ABC S xy ∆=≤，当且仅当22x y ==时，ABC S ∆取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高2h OD ==，此时11842333ABC D ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=，故选：C 【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题9．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．i B ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A 【解析】 【分析】先化简求出z ，即可求得答案. 【详解】因为(1)2z i -=， 所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-= 故选：A 【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.10．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B 【解析】 【分析】根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果. 【详解】由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈当0n =时，1x =- 当1n =时，0x = 当2n =时，3x = 当3n =时，8x =所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=-则{}0,3P A B =⋂= 所以P 的子集共有224= 故选：B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.11．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.12．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD 【答案】C 【解析】 【分析】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e ++≥=Q 11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020届山东省日照市五莲县第一中学高三3月过程检测（实验班）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{|(1)(2)0}A x x x =+-，{|2}B x =<，则A B =（） A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[1,0]-解：∵(1)(2)0x x +-，∴12x -，∴[1,2]A =-，2<，∴04x <，∴[0,4)B =，∴[]0,2A B =.故选:A.点评：本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法．2．若复数z ＝11i ai ++为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1B ．0C ．－12D ．－1 答案：D利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.解：设z ＝bi ，b ∈R 且b ≠0，则11i ai++＝bi ，得到1＋i ＝－ab ＋bi ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1.故选：D.点评：本题考查复数的运算和纯虚数的概念.3．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可.解：设等差数列的公差为d ， 1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D.点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.4．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）． A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 答案：C 试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 【考点】比较大小 5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个（m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（）A ．18B ．17C ．16D ．15答案：B分析：先根据等差数列列关于m 以及首项的不定方程，根据正整数解确定m 可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：设首项为1a ，因为和为80，所以11115+5480822a m m a ⨯⨯⨯=∴=- 因为*1m a N ∈，，所以111111124681012147654321a a a a a a a m m m m m m m =======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=======⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩或或或或或或 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17， 选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（）A ．154-B ．358+-C ．514-D ．458+- 答案：C要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有12cos72BC AC ︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒． 解：由题可知72ACB ∠=︒，且112cos724BC AC ︒==，21cos1442cos 7214︒=︒-=-， 则()sin 234sin 14490cos144︒=︒+︒=︒=. 点评：本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力. 7．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点1F '在以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D ．3答案：C根据对称性可得11221OF OF OF F F c ='=='=，可得02160F OF ∠'=，011120FOF ∠'=，渐近线的倾斜角为060，即可得b a解： 解：如图，根据对称性可得11221OF OF OF F F c ''====，∴2160F OF '∠=︒，11120FOF '∠=︒， 所以渐近线的倾斜角为60°，b a= 则双曲线C2=. 故选:C.点评：本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力．8．已知ABC ∆为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为（）A ．12B ．313+C ．52D ．322+ 答案：C设等边ABC ∆的边长为2，以边BC 的中点为原点，OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点(cos ,sin )P θθ，通过向量的坐标运算，将λ、μ用θ表示出来，然后利用辅助角公可求出2λμ+的最大值 解：解：设ABC ∆的边长为2，不妨以线段BC 的中点O 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，则点3)A 、(1,0)B -、(1,0)C ，以线段BC 直径的圆的方程为221x y +=，设点(cos ,sin )P θθ，则(1,3)AB =-，(1,3)AC =， (cos ,sin 3)AP θθ=，由于AP AB AC λμ=+，则cos sin λμθθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得11cos 26211cos 22λθθμθθ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 所以，11112cos 2cos 262262λμθθθθ⎛⎫⎛⎫+=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313cos sin 22226πθθθ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 因此，2λμ+的最大值为52， 故选:C.点评： 本题考查平面向量的基本定理，涉及圆的参数方程、辅助角公式，关键在于引入合适的变量来表示问题涉及的参数．二、多选题9．已知2a b >，则（）A ．23b b a <-B ．3322a b a b ab +>+C ．ab a b >+D ．12112ab a b +>+ 答案：BC根据不等式的性质，逐一判断即可．解：解：2a b >，A 错误，比如3a =，2b =，43>不成立；B ，()3322222()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b +-+=---=-+>成立； C ，由1(1)(1)(1)1011b ab a b a b b b a b a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=--=--+> ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故C 成立，D ，1211(2)(2)022a b ab a b ab--+--=，故D 不成立， 故选:BC.点评：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE答案：AC取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．解：解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，∴1MF A D ∥，∵1A DC ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，∴MF 平面1A DE ，∵DF BE ∥且DF BE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴BF DE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，∴BF ∥平面1A DE ，又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ，∵BM ⊂平面BMF ，∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==，则112MF A D a ==，BF DE ==，145A DE MFB ︒∠=∠=，∴BM a ==，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确，∵DE CE ==，2CD AB a ==，∴222DE CE CD +=，∴DE CE ⊥，设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =，∴DE ⊥平面1A CE ，∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，所以假设不成立，即B 错误.故选:AC.点评：本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线()32222:16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A ．曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程()3222216(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限 答案：BD先确定曲线C 经过点2,2)，再将2x <2y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C的方程进行检验即可判断A ；利用基本不等式222x y xy +即可判断B ；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断C ；因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，从而判断D ．解： 解：把2x ，2y C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M ，对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x y xy x y +>>， 所以222x y xy +， 所以()()()22232222222161644x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即B 正确；对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确.故选:BD.点评：本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力．12．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个答案：AC 根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ．解：解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈， 两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC.点评：本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．三、填空题13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有_______种.（用数字作答）答案：660根据题意，分析可得甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为3，1，1，1或2，2，1，1，据此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．解：解：根据题意，将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为：3，1，1，1或2，2，1，1，若甲小区分3人，甲小区有36C 种情况，剩下的3个小区有33A 种情况，此时有3363120C A =种分配方法，若甲小区分2人，甲小区有36C 种情况，剩下的3个小区有2343C A 种情况，此时有223643540C C A =种分配方法，则有120540660+=种不同的分配方法；故答案为：660.点评：本题考查排列组合的简单应用，涉及分步乘法和分类加法计数原理的应用．14．已知函数()2cos f x x x λ=++，在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦任取三个数1x ，2x ，3x ，均存在以1f x ，2f x ，()3f x 为边长的三角形，则λ的取值范围是_______.答案：5,6π⎫-+∞⎪⎭由三角形中两短边之和大于第三边可知，原问题等价于函数()f x 在[0,]2π上的最小值的两倍大于最大值，由此利用导数求出最小值及最大值，进而建立不等式解出即可．解：解：由()2cos f x x x λ=++，得()12sin f x x '=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令()0f x '=，解得6x π=，易知函数()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故max ()66f x f ππλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， min ()22f x f ππλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 依题意，022f ππλ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，且226f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即26ππλλ+>+，解得56πλ>.故答案为：5,6π⎫+∞⎪⎭. 点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时还涉及了三角形中三边的关系，考查转化思想及运算能力．15．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，准线为1，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若||4||AF BF =，则p =_________，三角形CDF 的面积为________.答案：25通过抛物线的焦点坐标，即可求解P ，利用抛物线的定义，结合||4||AF BF =，求出直线AB 的斜率值，写出直线AB 的方程，利用直线与抛物线方程联立求得AB 的值，求解CDF ∆的面积． 解：解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p =， 所以2P =；如图所示，过点B 作BM l ∥，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =，所以||3||AM BF =，||5||AB BF =，所以3||||5AM AB =，4||BM BF =， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， 由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去y 整理得241740x x -+=，所以12174x x +=，所以1225||4AB x x p =++=， 所以254||||sin 545CD AB BAM =∠=⨯=； 所以CDF ∆的面积为15252⨯⨯=， 故答案为：2；5.点评：本题考查抛物线的方程与性质的应用问题，涉及联立方程组、韦达定理、焦点弦和三角形面积的计算问题．16．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且2AB =，5PA PC ==，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_______.答案：8989π或92π 如图所示，取AC 的中点D ，连接BD ，PD ，由BC AB =，PA PC =，利用等腰三角形的性质，线面垂直的判定定理即可得出：AC ⊥平面PBD ，进而得出：平面PBD ⊥平面ABC ，可得PBD ∠为PB 与底面ABC 所成的角，其正弦值为13．在PBD △中，设PB x =，利用余弦定理可得：x ，讨论当13PB =时，作PQ ⊥平面ABC ，求得19PQ h ==，根据三棱锥和外接球的性质，列式求出外接球的半径，即可求出外接球的体积；当3PB =时，取PB 的中点O ，连接OD ，利用余弦定理可得OD ，可得点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，即可得出外接球的体积V ． 解：解：如图所示，取AC 的中点D ，连接BD ，PD .∵BC AB =，PA PC =，∴AC BD ⊥，AC PD ⊥，∴AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ABC ，∴平面PBD ⊥平面ABC ，∴PBD ∠或PBD ∠的补角为PB 与底面ABC 所成的角，其正弦值为13，222AC AB ==，223PD PA AD =-=，在PBD △中，设PB x =，由余弦定理可得：22222(2)(3)cos 22x PBD x+-∠=±=， 解得：3x =或13，即13PB =或3PB =， 当13PB =时，如下图所示，设PBD △中BD 边上的高为PQ h =，由于平面PBD ⊥平面ABC ，则PQ ⊥平面ABC ，则1sin 3PQ PBQ PB ∠==，解得：19PQ h ==， 所以2222112239BQ PB h ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得112DQ BQ BD =+=， 设底面圆的半径为r ，所以2r BD ==设球心O 到底面ABC 外接圆圆心D 的距离为d ，球的半径为R ，则有：()222222d h DQ R d r R ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，即：2222221112992d R d R ⎧⎛⎛⎫⎪-+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩， 解得：92d =，又因为()222229892224d R R ⎛⎫+=⇒+== ⎪⎝⎭，即：89R =， 所以外接球的体积为：34489898989334V R πππ==⨯⨯=. 当3PB =时，取PB 的中点O ，连接OD ，则22233221(2)22224OD ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得12OD =， ∴222OD DB OB +=，∴OD DB ⊥，可得点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，其外接球的半径32R =， 外体积3439322V ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 综上得：三棱锥P ABC -的外接球的体积为：896π或92π. 故答案为：896π或92π. 点评： 本题考查等腰三角形的性质、球的体积计算公式、余弦定理、线面、面面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力．四、解答题17．如图，在ABC ∆中，4C π=，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设CBD θ∠=，其中1tan 2θ=．（1）求sin A ；（2）若28CA CB ⋅=，求AB 的长．答案：（1）7210；（2）5. （1）根据tan θ求出sin θ和cos θ的值，利用角平分线和二倍角公式求出cos ABC ∠，即可求出sin A ；（2）根据正弦定理求出AC ，BC 的关系，利用向量的夹角公式求出AC ，可得BC ，正弦定理可得答案解：解：（1）由CBD θ∠=，且1tan 2θ=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 221sin cos ,sin cos 2θθθθ=+∴=22215cos cos cos 144θθθ+==， ∴cos sin 55θθ==， 则4sin ABC sin 22sin cos 2555θθθ∠==== 243cos ABC 2cos 12155θ∴∠=-=⨯-= 22234sin sin 2sin 22cos 24422255A πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+=+=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 210； （2）由正弦定理，得sin sin BC AC A ABC =∠472510AC =，72BC AC 8∴=， 又2||||282CA CB CB CA ⋅=⋅=，||||282CB CA ∴⋅=由上两式解得AC =，又由sin sin AB AC C ABC =∠452AC =， 解得5AB =点评：本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．18．在①()22130n n n a a a +-=>，②211390n n n n a a a a ---﹣﹣＝，③222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，______.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列.若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.答案：（1）详见解析（2）详见解析（1）若条件①()22130n n n a a a +-=>成立，由题意可发现数列2{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列，计算出数列2{}n a 的通项公式，即可计算出数列{}n a 的通项公式；若条件②211390n n n n a a a a ---﹣﹣＝成立，通过递推关系得出{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，即可求出通项公式；若条件③222n S n n =-+成立，通过n a 和n S 的关系即可求出{}n a 的通项公式；（2）先假设存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列，根据等比中项的性质有21m n a a a =，分三种情况讨论3个条件分别成立时，然后代入n a 和m a ，得出关于m 的表达式，用n 表示m ，通过数列的单调性和二次函数的性质，判断可得m 的最小值． 解：解：若条件①()22130n n n a a a +-=>成立， （1）211a =，2213n n a a +-=，故数列{}2na 是以1为首项，3为公差的等差数列. ∴2*13(1)32,n a n n n N =+-=-∈.∵0n a >，∴*n a n ∈N .（2）由题意，假设对大于1的自然数n ，存在大于2的自然数m ， 使得1a ，n a ，m a 成等比数列，则21m n a a a =⋅，即32m a n =-，∵m a =32n =-， 整理，得22(32)23423n m n n -+==-+， 构造数列{}n b ：令2342,1n b n n n =-+>且*n N ∈， ∵()2213(1)4(1)234261n n b b n n n n n +-=+-++--+=-， 当1n >且*n N ∈时，610n ->，即1n n b b +>.∴数列{}n b 是单调递增数列.当2n =时，数列{}n b 取最小值26b =.∴对大于1的自然数n ，存在大于2的自然数m ，且m 的最小值为6. 若条件②211390n n n n a a a a ---﹣﹣＝成立，（1）211390n n n n a a a a ---﹣﹣＝，,()()()13330n n n n a a a a -∴+--+=，即：()()1330n n n a a a -+--=，11a =，13n n a a -∴-=，{}n a ∴是首项为1，公差为3的等差数列，()()*13132n n N a n n ∴⨯-=-∈=+.（2）若1a ，n a ，m a 成等比数列，则21n m a a a =⋅，即()23232n m -=-，整理得：2222342333m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 1n >且n 为整数，2n ∴=时，min 6m =，即存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列，m 的最小值为6.若条件③222n S n n =-+成立，（1）222n S n n =-+，()()211212n S n n -∴=---+，()1231n n n S S a n n --==->11a =，所以()()1,1231n n a n n ⎧=⎪=⎨->⎪⎩，（2）若1a ，n a ，m a 成等比数列，则21n m a a a =⋅，即：()22323n m -=-，整理得：2233266222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 1n >且n 为整数，2n ∴=时，min 2m =，即存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列，m 的最小值为2. 点评：本题主要考查数列由递推关系求通项公式，以及等比数列的性质应用．考查了转化思想，构造法，利用数列单调性和二次函数的性质求最值，逻辑思维能力和数学运算能力．19．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不存在，说明理由.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点.（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面PBC ，得到答案.（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 解：（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EBED E =，∴PE ⊥平面EBCD .又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ， 由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ， 又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ， 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）， 即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角， 不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，BN ENRQ EQ=即1x RQ =，得RQ =tan MQ MRQ RQ x∠==，依题意知cos MRQ ∠=tan MRQ x∠==1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点.点评：本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.20．沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大.为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群.经研究，每只蝗虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.71192ii x==∑，71569ii y==∑，7118542i ii x y==∑，7215414ii x==∑，7125.2848ii z==∑，71733.7079i i i x z ==∑.（其中ln i z y =，7117i i z z ==∑）. （1）根据散点图判断， y a b x =+与dxy ce ＝（其中 2.718e =…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为(01)p p <<.①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率p .②当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 答案：（1）dx y ce =更适宜；回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=（2）①当35p =时，max 216()625f p =②详见解析（1）由图象可知，dxy ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型，对dxy ce=两边取自然对数，求出回归方程，再化为y 关于x 的回归方程；（2）①由()f p 对其求导数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应p 的值； ②由()f p 取最大值时的p 的值，得出~(,)X B n p ，由()E x np =，()(1)D x np p =-计算得出答案． 解：解：（1）根据散点图可以判断，dx y ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型，对dxy ce =两边取自然对数， 得：ln ln y c dx =+，令ln z y =，ln a c =，b d =， 则z a bx =+，因为()()()77112772211740.1820ˆ0.272147.71437ii i ii i i i i ixx z z x z xzbx x xx ====---===≈--∑∑∑∑，ˆˆ 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯≈-， 所以z 关于x 的回归方程为ˆ0.272 3.849zx =-，所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=； （2）①由3325()(1)f p c p p =-，得：325()(1)(35)f p C p p p '=--，又01p <<， 令()0f p '>， 解得305p <<， 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一的极大值为35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，也是最大值， 所以当35p =时， max 3216()5625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②由①知，当()f p 取得最大值时，35p =， 所以3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的数学期望为3()535E X =⨯=， 方差为336()51555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 点评：本题考查线性回归方程的求法与应用问题，概率的计算与应用问题，数学期望与方差的计算问题，同时还涉及了利用导数求单调性及最值，对计算能力的要求较高．21．已知圆22:4O x y +=,定点(1,0)A ,P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程（2）过点Q 的直线l 与C 交于,E F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线,DE DF 交于,S T 两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.答案：（1）22143x y +=；（220y +-=. （1）设以AP 为直径的圆心为B ，切点为N ，取A 关于y 轴的对称点A '，连接A P '，计算得到4A P AP '+=，故轨迹为椭圆，计算得到答案.（2）设直线的方程为(2)x ty =+-，设112200(,),(,),(,)E x y F x y M x y ，联立方程得到101(2)2s y y x x =--，202(2)2T y y x x =--，计算0022y x =-. 解：（1）设以AP 为直径的圆心为B ，切点为N ，则2,2OB BA OB BA =-+=， 取A 关于y 轴的对称点A '，连接A P '，故2()42A P AP OB BA '+=+=>， 所以点P 的轨迹是以,A A '为焦点，长轴为4的椭圆，其中2,1a c ==，曲线方程为22143x y +=.（2）设直线的方程为(2)x ty =+-，设112200(,),(,),(,)E x y F x y M x y ， 直线DE 的方程为11011(2),(2)22s y y y x y x x x =-=---，同理202(2)2T y y x x =--， 所以12000122(2)(2)12s T y y y y y x x x x =+=-+---，即0120122222y y y x x x =+=---，联立222222(2),(34)(12)9034120x ty t y t y t x y ⎧=+-⎪∴++-+-=⎨+-=⎪⎩，所以22121222912,3434t t y y y y t t --=+=++，代入得22009222t y x -⨯=-0020y =+-=，所以点M 都在定直线32230x y +-=上.点评：本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知函数()cos xf x e ax x =--，其中a R ∈. （1）求证：当1a -时，()f x 无极值点；（2）若函数()()1(1)g x f x n x =++，是否存在a ，使得()g x 在0x =处取得极小值？并说明理由.答案：（1）证明见解析（2）存在；详见解析（1）求导，由1a -，可知导函数大于零恒成立，由此即可得出()f x 无极值点；（2）先必要性探路可知2a =，再证明当2a =时，0x =是函数()g x 的极小值点，即证明其充分性，由此即可得出结论． 解：解：（1）证明：()sin x f x e a x '=-+， 显然0x e >，1sin 1x -，当1a -时，sin 010x e a x a -+>--， 即()0f x '>，∴函数()f x 在其定义域上为增函数， 故()f x 无极值点；（2）()cos ln(1)xg x e ax x x =--++，1()sin 1x g x e a x x '=-+++， 显然0x =是()g x 的极小值点的必要条件， 为(0)20g a '=-=，即2a =， 此时1()sin 21xg x e x x '=++-+， 显然当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11()sin 21sin 2sin 011x g x e x x x x x x '=++->+++->>++， 当1,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， 223(1)11(31)122x x x x x ⎛⎫+-+=++> ⎪⎝⎭，故213112x x x <-++， 令2()12x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2()02xx m x e -'=-，故()m x 是减函数，故当0x <时，()(0)1m x m >=，即212xx e x <++，令1()sin 2h x x x =-， 则1()cos 2h x x '=-，当10x -<<时，1()cos102h x '>->， 故()h x 在(1,0)-单调递增，故当10x -<<时，()(0)0h x h <=， 即1sin 2x x <， 故当1,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， 22213()sin 21122012222xx x xg x e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=++-+++-+-+=+< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因此，当2a =时，0x =是()g x 的极小值点，即充分性也成立.综上，存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，考查化归与转化思想．。

山东省日照市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.2．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．由曲线3,y x y ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512 B ．13C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【详解】封闭图形的面积为)1331412000215||3412x dx x x =-=⎰.选A. 【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBMV -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题． 7．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 【分析】求出导函数()f x '，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】21ln ()2()xf x x e x-'=--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值21()f e e a e=+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21a e e<+． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．8．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 A ．2 B ．31+C ．5D ．51-【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】直线30x y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||3AE c =，所以双曲线C 的离心率为313e c c==+-.故选B ．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．63π+ B ．6πC 163πD ．163π+【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯=四棱锥体积为：2114333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：126V V V π=+= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180【答案】A 【解析】 【分析】因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】Q 711911212a a a a +==+，∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B．)+∞C．(,-∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 12．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z =-，易知当直线2133y x z =-经过点D 时，z 取得最小值，由1220xx y=-⎧⎨-+=⎩，解得112xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D-，所以min172(1)322z=⨯--⨯=-，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

06不等式多选题1．【山东省菏泽一中2019 2020学年高三3月线上模拟】已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b c a a > B ．c c ab b a+>+ C ．log log b c a a <D ．b cb ac a>++ 【答案】ACD【解析】对于A ：由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 正确； 对于B ：由1a >，01c b <<<，c c a bb a +-+ 可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++ ，c c ab b a +<+ ，故B 错误；对于C ：由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，则log log 0a a c b <<，则110log log a a b c<<，可得log log b c a a <，故C 正确；对于D ：由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确． 故选:ACD ．2．【山东省济南外国语2019-2020学年高三寒假综合测试三月份在线考试】下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤ 【答案】BD【解析】对于A ：当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 对于B ：若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，所以11()()f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确； 对于C ：若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确；对于D ：若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤=所以D 正确. 故选：BD ．3．【百师联盟2019-2020学年高三上学期期中联考】下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．设m 为直线，,αβ为平面，且m α⊥；则“//m β”是“αβ⊥”的充要条件 B ．设随机变量1)0(N ζ，，若()3P p ζ≥=，则()1302P p ζ-<<=- C ．若不等式922x m x+≥+(0x >)恒成立，则m 的取值范围是(,2)-∞ D ．已知直线2ax by +=经过点(1)3，，则28a b +的取值范围是[4)+∞， 【答案】AC【解析】A 选项，如图所示：αβ⊥，m α⊥，m β⊂，不一定//m β，因此不是充要条件，故A 错误.B 选项，对称轴为0x =，由对称性可知：121(30)22p P p ζ--<<==-.故B 正确. C 选项，由996x x x x+≥=，可得622m ≥+，所以m 的范围为(]2-∞，，故C 不正确. 选项D ，由直线2ax by +=经过点(1,3)，可得32a b +=，则328228224a b a b a b ++≥==，当且仅当31a b ==等号成立， 所以取值范围是[4,)+∞， 故D 正确． 故选：AC4．【江苏省海安高级中学2019-2020学年高三上学期12月月考】下列结论正确的是（ ）A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 【答案】BCD【解析】对于A ，若22a b >，则a b >，当2a =，1b =-时，11a b<不成立，故A 错；对于B ，由0x >，则44x x +≥=，当且仅当2x =取等号，故B 正确； 对于C ，由lg y x =为单调递增函数，由0a b >>，则lg lg a b >，故C 正确；对于D ，由0ab >，1a b +=，则()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确； 故选：BCD5．【江苏省徐州市2019-2020学年高三上学期期中】给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b aa b+；B ．若,(0,)x y ∈+∞则lg lg 2lg lg x y x +⋅C ．若a ∈R ，0a ≠，则44a a+； D ．若,x y ∈R ，0xy <，则2x yy x+≤-. 【答案】AD【解析】对于选项A ，因为,(0,)a b ∈+∞，则22b a b aa b a b+⨯=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，即选项A 正确；对于选项B ，当,(0,1)x y ∈时，lg ,lg (,0)x y ∈-∞，lg lg 2lg lg x y x +⋅B 错误；对于选项C ，当0a <时，44a a+显然不成立，即选项C 错误；对于选项D ，0xy <，则0,0y x x y ->->，则[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-，当且仅当()()xy y x-=-，即x y =-时取等号，即选项D 正确， 即四个推段中正确的为AD ， 故选：AD.6．【山东省滨州市三校联考2019-2020学年高三上学期期中】设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >【答案】CD【解析】当12,2a b ==-，满足条件．但11a b <不成立，故A 错误，当0a b >>时，11a b <，故B错误，11,0b b >>-≠，201b ∴<<，则2a b >，故C 正确，11,0,0a b a b a b >>>-∴+>->，22()()0a b a b a b ∴-=+->，故D 正确.故选：CD ．7．【山东省德州市2019-2020学年高三上学期期中】对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc <；B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0c a b >>>，则a b c a c b>-- D ．若a b >，11a b >，则0a >，0b <【答案】BCD【解析】若0c >，则由a b >得ac bc >，A 错；若0a b <<，则2a ab >，2ab b > 22a ab b >>，B 正确；若0c a b >>>，则0c b c a ->->，∴110c a c b>>--，∴a b c a c b >--，C 正确； 若a b >，且,a b 同号时，则有11a b <，因此由11,a b a b>>得0,0a b ><，D 正确．故选：BCD ．8．【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中】下列结论正确的是( )A ．若0,0a b c d >><<，则一定有b ac d> B ．若0x y >>，且1xy=，则()21log 2xyx x y y +>>+C ．设{}n a 是等差数列，若210a a >>，则2a >D ．若[)0,x ∈+∞，则()21ln 18x x x +≥- 【答案】AC【解析】选项A ，由0c d <<，可得0c d ->->，则110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，则b ac d>，故A 正确. 选项B ，取12,2x y ==，则221154,,log ()log 1282x y x x y y +==+=>，不等式不成立，故B 不正确.选项C ，由题意得1322a a a +=且13a a ≠，所以21311=()22a a a +>⨯=C 正确. 选项D ，设21()ln(1)8h x x x x =+-+，则1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++，当03x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，故D 不正确. 故选：AC.9．【山东省枣庄市第三中学2010-2020学年高三上学期10月学情调查】如下的四个命题中真命题的标号为（ ）A ．已知实数a ，b ，c 满足2743b c a a +=-+，254c b a a -=-+，则c b a >>B ．若22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是(),ππ-C ．如果ln 33a =，ln 44b =，ln 55c =，那么c b a << D ．若0a b <<，则不等式11b b a a +<+一定成立 【答案】ABCD【解析】对A ，由2245(2)10c b a a a -=-++=->，c b ∴>．再由2347b c a a +=-+①，245c b a a -=-+②，-①②得：2222b a =+，即21b a =+．22131()24a a a +-=-+，21b a a ∴=+>，c b a ∴>>，故A 正确；对B ，22ππβ-<<，22ππβ∴-<-<，παβπ∴-<-<，故B 正确；对C ，由ln x y x =，则'21ln x y x-=，当x e >时，1ln 0x -<，∴ln x y x =在(,)e +∞上单调递减，345e <<<，ln 3ln 4ln 5345∴>>，c b a ∴<<，故C 正确； 对D ，要证不等式11b b a a +<+成立，等价于证明(1)(1)a b a b +⋅<⋅+b a ⇔<，0a b <<，||||b a ∴<显然成立，故D 正确.故选ABCD .10．【2019年山东省济南市外国语学校高三9月阶段测试】已知a ，b 为正实数，则下列命题正确的是（）A ．若221a b -=，则1a b -<B ．若111b a-=，则1a b -<C ．若1a b e e -=，则1a b -<D ．若ln ln 1a b -=，则1a b -<【答案】AC 【解析】对于A ：221a b -=时，()()1a b a b -+=⋅．0,0a b >>，0a b a b ∴<-<+，11a b a b∴-=<+，故A 正确； 对于B ：111b a-=时，不妨取33,4a b ==满足条件，则914a b -=>，所以B 错误.对于C ：由1a b e e -=，可得(1)1a b bb b a b e e e e -+--=-=．0b >，1b e ∴>，11a b e -∴-<，即2a b e -<，ln 2ln 1a b e ∴-<<=，故C 正确．对于D ：不妨取2,a e b e ==满足条件，则21a b e e -=->，所以D 错误． 故选：AC ．11．【山东省青岛市2020届高三第三次模拟】已知曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A ．196B ．3C ．103D ．92【答案】AC 【解析】由题可知，322()13f x x x ax =-+-，则2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨>⎩，即48(3)0302a a -->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<，a ∴的取值可能为196，103.故选：AC. 12．【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（二)】已知函数()e 2xf x x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e ln 2a b +> B ．e ln 2a b +< C ．223a b +<D ．1ab <【答案】CD【解析】由()0f x =，()0g x =得e 2x x =-，ln 2x x =-，函数e x y =与ln y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数e x y =，ln y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),eaA a ，(,ln )B b b ．由反函数性质知,A B 关于(1，1)对称，则2a b +=，e ln 2ab +=，2()14a b ab +<=，∴A ､B 错误，D 正确．()e 10xf x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增，且(0)10f =-<，13e 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，102a ∴<<．又∵点(e ),aA a 在直线2y x =-上，即e 2a a b =-=，22221e e 34a a b a ∴+=+<+<，故C 正确.故选：CD13．【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（一)】对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b > B ．若a b >，则a ab bC ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【答案】ABCD【解析】对实数a ，b ，m ．2220am bm m ∴>>，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，0a ab b ；当0a b >>时，22a a ab b b ；当0a b >>时，22a aa b b b ，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a m a m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确； 若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a∴+=+， 设()()121f a a a a=+>，根据双勾函数的单调性知，()f a 在区间()1,+∞上单调递增， ()(1)3f a f ∴>=，即()23,a b +∈+∞，D 正确．故选：ABCD ．14．【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（一)】已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【答案】AD【解析】由题意知()()10f x x x'=>，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=1211x x =-12=，A 正确； 由基本不等式及12x x ≠，可得12=>12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确． 故选：AD15．【山东省泰安市2020届高三第五次模拟】已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ） A ． a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在bC ．24m n +=D ．mn 的最大值为2【答案】CD【解析】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，故选项A 错误；向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅==，故选项B 错误； ()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量，且24,24n m m n -=-+=，故选项C 正确；由基本不等式知，42m n =+≥，2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号， 故mn 的最大值为2，故选项D 正确. 故选：CD16．【山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)】若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b->- B ．11b a a b -<- C ．ln()0b a -> D ．()()c ca b b a>【答案】BD【解析】由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b aa b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故ln()b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<，而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．故选：BD17．【山东省济宁市2020届高三6月高考模拟考试（三模)】已知直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( )A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122x x >【答案】ABC【解析】函数xy e =与ln y x =互为反函数，则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln ln x x x x x x x x +=-＜()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC18．【山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试（二模)】设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120x x +-≤的解可以为（ ） A 10 B ．3 C ．-4.5 D ．-5【答案】BC【解析】因为不等式[][]2120x x +-≤，所以[]()[]()340x x -+≤，所以[]43x -≤≤，又因为[]x表示不小于实数x 的最小整数，所以不等式[][]2120x x +-≤的解可以为3，-4.5.故选：BC 19．【山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟】若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【答案】AB【解析】对于A ：2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确；对于B ：22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确；对于C ：()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误； 对于D ：()()2222222121a b a ab b a a bb +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误； 故选：AB ．20．【山东省、海南省新高考2019-2020学年高三4月份】对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为（ ）A ．若a ＞b ，则11a b＜ B ．若a ＞b ，则ac 2≥bc 2 C ．若a ＞0＞b ，则a 2＜﹣ab D ．若c ＞a ＞b ＞0，则a b c a c b--＞ 【答案】BD【解析】A ．根据a ＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则11ab＜不成立，故A 错误； B ．∵a ＞b ，∴由不等式的基本性质知ac 2≥bc 2成立，故B 正确； C ．由a ＞0＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则a 2＜﹣ab 不成立，故C 错误；D ．∵c ＞a ＞b ＞0，∴（a ﹣b ）c ＞0，∴ac ﹣ab ＞bc ﹣ab ，即a （c ﹣b ）＞b （c ﹣a ），∵c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，∴a b c a c b--＞，故D 正确． 故选：BD ．21．【2020届山东省临沂市蒙阴县实验中学高三上学期期末】下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 【答案】ACD【解析】A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性有()()240.79P P ξξ≥-=≤=，所以()()21210.790.21P P ξξ≤-=-≥-=-=，A 选项正确；B 选项，因为//αβ，直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，所以l m ⊥，充分性成立；设n αβ=，在α内取平行于n 的直线m n ≠，则l m ⊥且βn//，但是α与β相交，必要性不成立，B 不正确； C 选项，因为14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1414E np ξ==⨯=，C 正确；D 选项，由题意知32a b +=，因为20a >，3820b b =>，所以2824a b +≥=，当且仅当11,3a b ==时取等号，故D 正确. 故选：ACD22．【2020届山东省聊城市高三高考模拟（一)】若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．21(1)(2)a a a a +++>+B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【解析】令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++， 即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误； 对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦．因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确；故选：ABD23．【2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟】设a ，b ，c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b> B ．20201a b -> C ．ln ln a b > D ．()()2211a c b c +>+【答案】BD【解析】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误； 对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为0,，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD24．【山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期末】已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【答案】BC【解析】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错； 故选：BC ．25．【2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试数学试题(一)】实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（ ）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为3- 【答案】CD【解析】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值．设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得3k =±，所以[]133y x ∈--，即1y x -的最3-．故选CD .26．【山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高三3月过程检测】已知2a b >，则（ ）A ．23b b a <-B ．3322a b a b ab +>+C ．ab a b >+D ．12112ab a b+>+ 【答案】BC【解析】2a b >，对于A ：A 错误，比如3a =，2b =，43>不成立； 对于B ：()3322222()()()()0a b a b aba ab b a b a b a b +-+=---=-+>成立；对于C ：由1(1)(1)(1)1011b ab a b a b b b a b a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=--=--+> ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 成立， 对于D ：1211(2)(2)022a b ab a b ab--+--=，故D 不成立， 故选:BC ．27．【山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高三3月过程检测】数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线()32222:16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程()3222216(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【答案】BD【解析】把2x =，2y =代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)， 由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M ，对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点．再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以()()()22232222222161644x y xy x y x y ++=⨯=+，所以224x y +，即B 正确；对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确. 故选:BD .28．【2020届山东省潍坊市奎文区第一中学高三下学期3月月考】设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）A ．11a b+有最小值4 B 12C 有最大值1D ．22a b +有最小值12【答案】AD【解析】对于A ：正实数a ，b 满足1a b +=，即有a b +≥104ab <≤，即有1114a b ab +=≥，即有a b =时，11a b+取得最小值4，无最大值，故A 正确；对B ：由102<≤有最大值12，故B 错误；对于C ==≤=a b =，故C 错误；对于D ：由222a b ab +≥可得2222()()1a b a b +≥+=，则2212a b +≥，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，故D 正确． 故选：AD ．29．【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末】如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 【答案】AC 【解析】A.∵24,u x x +24v x x =+24,22u v u vx x +-+==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确． B.24125x x t +-=126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误； C.由A 、B 得161615363644t u u u u=++≥⋅=，16u u =即4u =时取等号，244x x +=，解得31.52x ==，C 正确； D.4x =时，2585t =+，25710521500441305t ---=-==>，3t >，D 错． 故选：AC.30．【山东省潍坊市2019-2020学年高三上学期期中】若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ）A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥【答案】AD【解析】对A ，由指数函数的单调性可知，当x y ≥，有22x y ≥，故A 正确； 对B ，当0,0,x y x y <<>时，2x yxy +≥不成立，故B 错误；对C ，当0x y ≥≥时，22x y ≥不成立，故C 错误； 对D ，2222()0x y xy x y +-=-≥成立，从而有222x y xy +≥成立，故D 正确；故选：AD.。

2019-2020学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B =I ) A ．{|1x x <-或1}x > B ．{2-，2}C ．{2}D ．{0}2．（5分）已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2B ．2C ．5D ．53．（5分）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.84．（5分）函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)5．（5分）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<6．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12 B ．13C ．512D ．167．（5分）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是||||a b a b =r r r r 成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．（5分）已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( ) A ．2821πB ．99112π C ．6372π D ．1083π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( ) A ．sin cos αα+B ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα10．（5分）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前11．（5分）已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( )A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数12．（5分）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( )A ．以线段AB 为直径的圆与直线y 轴相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当92,2AF FB AB ==u u u r u u u r 时D ．||AB 的最小值为4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为 ．14．（5分）在261(2)x x-的展开式中常数项是 ；中间项是 ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．16．（5分）已知函数()9sin(2)6f x x π=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+= ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠， ，24CD AB ==，求AC ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数{}n a ，{}n b 满足：112n n a a n ++=+，n n b a n -=，12b =． （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项． （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．19．（12分）如图，扇形ADB 的半径为2，圆心角120AOB ∠=︒．PO ⊥平面,5AOB PO =，点C 为弧AB 上一点，点M 在线段PB 上，2BM MP =，且//PA 平面MOC ，AB 与OC 相交于点N ．（1）求证：平面MOC ⊥平面POB ；（2）求平面POA 与平面MOC 所成二面角的正弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且过点2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产(515)x x 剟万件的该种产品所需要的总成本3223()1630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[25.26，25.30)，[25.30，25.34)，[25.34，25.38)，[25.38，25.42)，[25.42，25.46)，[25.46，25.50)，[25.50，25.54]（单位：)mm 中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如表所示．产品品质 产品尺寸的范围 价格m 与产量x 的函数关系式优 [25.34，25.46) 34m x =-+中 [25.26，25.34) 3255m x =-+差[25.46，25.54]3205m x =-+以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值． 22．（12分）已知函数(),()x lnxf xg x e x==． （1）若函数21()[1(1)()]2h x ax x a f x =+-+有唯一的极小值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：()1(1)f x g x +-…．2019-2020学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B =I ) A ．{|1x x <-或1}x > B ．{2-，2}C ．{2}D ．{0}【解答】解：由B 中不等式解得：1x >或1x <-，即{|1B x x =>或1}x <-， {2A =-Q ，1-，0，1，2}， {2A B ∴=-I ，2}，故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2B ．2C ．5D ．5【解答】解：31z i -=-Q ，312z i i ∴=-+=+，∴||5z =．故选：D ．3．（5分）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【解答】解：如图，已知10AC AB +=（尺)，3BC =（尺)，2229AB AC BC -==， 所以()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，因此100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：B ．4．（5分）函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)【解答】解：函数31()()2x f x x =-是增函数并且是连续函数，可得111()0282f =<，f （1）1102=->．1()2f f ∴（1）0<，所以函数的零点在1(2，1)．故选：C ．5．（5分）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<【解答】解：0.80771>=Q ，700.81<<，0.80.8log 7log 10<=，∴70.80.87087log <<g ． 故选：A ．6．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12 B ．13C ．512D ．16【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品．53531(1)(1)64643P ∴=-+-=，故选：B ．7．（5分）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r 是||||a b a b =r r r r 成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：对于非零向量,a b r r ，由2a b =r r，得,a b r r 共线同向，则||||a b a b =r r r r ；反之，由||||a b a b =r r r r ，可得,a b r r 共线同向，但不一定是2a b =r r．∴2a b =r r是||||a b a b =r r r r 成立的充分不必要条件．故选：B ．8．（5分）已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( ) A ．2821πB ．99112π C ．6372π D ．1083π【解答】解：四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形， 如图所示：则：设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE AB ⊥， 由于平面PAB ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．由于PAB ∆是等边三角形，解得PE =所以1223V x x ==g g解得3x =．设外接球的半径为R ，所以R ==所以343V π===．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( ) A ．sin cos αα+B ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα【解答】解：角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，α∴是第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，cos sin αα∴+不一定是正数，故排除A ； cos sin 0αα∴->，故B 正确； cos sin 0αα∴<g ，故C 一定错误；∴sin cos 0tan ααα=>，故D 正确， 故选：BD ．10．（5分）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【解答】解：根据图示，对于A ，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故A 正确；对于B ，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故B 错误．对于C ，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前．故C 正确．对于D ，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠后，故D 错误． 故选：AC ．11．（5分）已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( )A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，A 正确；对于B ，(1)y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由(1)y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，B 正确；对于C ，由B 可得：对于任意的x R ∈，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，变形可得(2)()0f x f x --+=，则有(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x R ∈都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，C 正确； 对于D ，()f x 为偶函数，则其图象关于y 轴对称，()f x 在R 上不是单调函数，D 错误； 故选：ABC ．12．（5分）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( )A ．以线段AB 为直径的圆与直线y 轴相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当92,2AF FB AB ==u u u r u u u r 时D ．||AB 的最小值为4【解答】解：24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故A 错； 当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k +=+，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221k +，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k ++，222||1|BM x k--，当1k =时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故B 错；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得121cos ρθ=-，2221cos()1cos ρπθθ==-++，可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故C 正确； 显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确． 故选：CD ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为 12．【解答】解：tan 3α=Q ，∴sin cos tan 1311sin cos tan 1312αααααα---===+++．故答案为：12． 14．（5分）在261(2)x x -的展开式中常数项是 560T = ；中间项是 ．【解答】解：261(2)x x -的展开式的通项26161(2)()(1)2rr r r r T C x x -+=-=-61236rr r C x --令1230r -=得4r =∴展开式的常数项为456460T C == 令3r =得展开式的中间项为333468160T C x x =-=- 故答案为60，3160x -15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M1- ；双曲线N 的离心率为 ．【解答】解：椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，解得1e =．nm= 可得：223n m =，即2224m n m +=，可得双曲线的离心率为2e =． 1；2．16．（5分）已知函数()9sin(2)6f x x π=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+=5513π． 【解答】解：()()6F x f x =-的零点即()6f x =，即2sin(2)63x π-=，由2262x k πππ-=+，k Z ∈，解得12(2)23x k ππ=+，0k =，1，⋯，9，即为sin(2)6y x π=-的图象的对称轴方程， 则1223x x π+=，3483x x π+=，⋯，1920563x x π+=， 可得1256290()102333n S πππ=+⨯=，112229(arcsin 18arcsin )263363n x x πππππ+=+++-+=， 则1580295512()333n n S x x πππ-+=-=， 故答案为：5513π． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC．如图，在平面四边形ABCD中，34 ABCπ∠=，BAC DAC∠=∠，①ABC∆面积2ABCS∆=，24CD AB==，求AC．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：当①ABC∆面积2ABCS∆=，24CD AB==，34ABCπ∠=，所以2AB=．故13sin224AB BCπ⨯⨯⨯=，解得22BC=则：22232cos4AC BC AB BC ABπ=+-g g，解得：25AC=故答案为：①ABC∆面积2ABCS∆=．25AC=18．（12分）已知数{}na，{}nb满足：112n na a n++=+，n nb a n-=，12b=．（1）证明数列{}nb是等比数列，并求数列{}nb的通项．（2）求数列{}na的前n项和nS．【解答】解：（1）n nb a n-=Q，12b=，11a∴=，112n na a n++=+Q，112()n na n a n+∴++=+，∴1(1)2nna na n+++=+，即12nnbb+=．∴数列{}nb是首项为2，公比为2的等比数列，则2nnb=；（2）由n nb a n-=，得2nna n=-，12n nS b b b∴=++⋯+123(2222)(123)n n=+++⋯+-+++⋯+2212(12)221222n n n n n n +-++=-=---． 19．（12分）如图，扇形ADB 的半径为2，圆心角120AOB ∠=︒．PO ⊥平面,5AOB PO =，点C 为弧AB 上一点，点M 在线段PB 上，2BM MP =，且//PA 平面MOC ，AB 与OC 相交于点N ．（1）求证：平面MOC ⊥平面POB ；（2）求平面POA 与平面MOC 所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：//PA Q 平面MOC ，PA 在平面PAB 内，平面PAB ⋂平面MOC MN =， //PA MN ∴，2BM MP =Q ， 2BN AN ∴=，在AOB ∆中，由余弦定理有，2212cos12044222()232AB OA OB OA OB +-︒+-⨯⨯⨯-=g g∴2433BN AB ==， 又在OBN ∆中，30OBN ∠=︒，由余弦定理有，2216433232cos30422332ON OB BN OB BN =+-︒=+-⨯⨯⨯g g 222OB ON BN ∴+=，故OB ON ⊥，又PO ⊥平面ABC ，ON 在平面ABC 内，PO ON ∴⊥，又PO OB O =I ，且PO ，OB 都在平面POB 内，ON ∴⊥平面POB ，又ON在平面MOC内，∴平面MOC⊥平面POB；（2）以点O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则225 (0,0,0),(0,0,5),(0,2,0),(3,1,0),(0,,)3O P BA M-，则(0,0,5),(3,1,0)OP OA==-u u u r u u u r，22523(0,,),(,0,0)3OM ON==u u u u r u u u r，设平面POA的一个法向量为(,,)m x y z=r，则5030m OP zm OA x y⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，可取(1,3,0)m=r；设平面MOC的一个法向量为(,,)n a b c=r，则225323n OM b cn ON a⎧=+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩u u u u rrgu u u rrg，可取(0,5,1)n=-r，∴||1510|cos,|||||46m nm nm n<>===r rgr rr rg，∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为6．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，且过点2．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意知：22c =，221112a b+=，222a b c =+，解得：22a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2212x y +=；（2）假设存在这样的直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，由（1）得(0,1)B ，(1,0)F ，1BF k ∴=-， 由题意可得l BF ⊥，NF BM ⊥，设直线l 的方程为：y x m =+，(,)M x y ，(,)N x y ''， 联立直线与椭圆的方程整理得：2234220x mx m ++-=，∴△221643(22)0m m =-⨯⨯->，可得23m <，即33m -<<，且43m x x '+=-，2223m xx -'=，2()yy xx m x x m '''=+++Q (1FN BM x '=-u u u r u u u u rg ，)(y x '，2222224341)()2(1)()2(1)333m m m m y xx x yy y xx yy x x m xx m x x m m m m m -+-''''''''-=-+-=+--+=+-++-=--+-=g g ，因为NF BM ⊥，所以0NF BM =u u u r u u u u rg ，所以2340m m +-=，解得：1m =或43m =-，当1m =过了B 点，所以舍去所以存在直线4:3l y x =-符合F 为BMN ∆的垂心．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产(515)x x 剟万件的该种产品所需要的总成本3223()1630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[25.26，25.30)，[25.30，25.34)，[25.34，25.38)，[25.38，25.42)，[25.42，25.46)，[25.46，25.50)，[25.50，25.54]（单位：)mm 中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如表所示．产品品质 产品尺寸的范围 价格m 与产量x 的函数关系式优 [25.34，25.46) 34m x =-+中 [25.26，25.34) 3255m x =-+差[25.46，25.54]3205m x =-+以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值．【解答】解：（1）由题意得：0.04(234 2.5 4.53)1a ⨯++++++=；解得6a =； （2）当产品品质为优时频率为：0.04(46 2.5)0.5⨯++=，此时价格为34x -+；当产品品质为中时频率为：0.04(23)0.2⨯+=，此时价格为3255x -+；当产品品质为差时频率为：0.04(4.53)0.3⨯+=，此时价格为3205x -+；以频率作为概率，随机变量ξ的分布列：ξ 34x -+3255x -+ 3205x -+ p0.50.20.3；（3）设公司年利润为()f x ；则323323()[(34)0.5(25)0.2(20)0.3](1630)55910x f x x x x x x x =-+⨯+-+⨯+-+⨯--++，整理得323()123092x f x x x =-++-；211()312(3)(12)33f x x x x x ∴'=-++=-+-；[5x ∴∈，12]时，()0f x '…；[12x ∈，15]时，()0f x '„；显然当12x =时函数()f x 取最大值(12)138f =；估计当年产量x 为12时，该公司年利润最大，最大值为138． 22．（12分）已知函数(),()x lnxf xg x e x==． （1）若函数21()[1(1)()]2h x ax x a f x =+-+有唯一的极小值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：()1(1)f x g x +-„．【解答】解：（1）2211()[1(1)()](1)22h x ax x a f x ax x a lnx =+-+=+-+，则21(1)(1)(1)()1a ax x a ax a x h x ax x x x++-+++-'=+-==，0x >， 令()(1)(1)g x ax a x =++-，①当0a =时，()1g x x =-，易得函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时存在唯一的极小值点，满足题意，②当0a >时，令()0g x =可得1x =，110x a=--<（舍)， 易得当01x <<时，()0g x <，即()0h x '<，则函数()h x 在(0,1)上单调递减，xxe x lnx e--③当0a <时，令()0g x =可得21x =，111x a=--，()i 若110a --<，则不合题意，故110a-->，且12x x ≠，即10a -<<且12a ≠，设1{m max x =，2}x ，1{n min x =，2}x ，当(0,)x n ∈时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 在(,)n m 上单调递减， 当(,)x n m ∈时，()0g x >，即()0h x '>，()h x 在(,)n m 上单调递增， 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 在(,)n m 上单调递减， 此时存在唯一的极小值点，满足题意，综上可得，1a >-且12a ≠-，（2）令()x xe F x x lnx e =--，则1(1)11()1(1)()x x x e F x x e e x x -+'=--=+-，令11()x H x e x-=-，易得()H x 上单调递增且H （1）0=，当(0,1)x ∈时，()0H x <，从而()0F x '<，F ()x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0H x >，从而()0F x '>，F ()x 单调递增， 故()F x F …（1）0=，即0x xe x lnx e--…，所以11x lnxe x--…，所以，()1(1)f x g x +-„．。

山东省日照市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【详解】由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，2233,1a a ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.3．已知非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，则“22a b a b +=-v vv v ”是“a b ⊥v v ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥r r r r r r r r，可得选项.【详解】222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+r r r r r r r r r r r r r r r r ===，||||0a b =≠r r Q ，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥r r r r ，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.6．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算． 【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 7．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．8．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b 2==，=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 9．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 10．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4πC ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果11．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D 【解析】 【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，则r，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.12．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）AB ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭的值，再求得3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，121222f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省日照市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为()A．1 B．13C．23D．43【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可. 【详解】联立方程：22y xy x⎧=⎨=⎩可得：11xy=⎧⎨=⎩，2211xy=⎧⎨=⎩，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：)312312211|333S x dx x x⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.2．过直线0x y+=上一点P作圆()()22152x y++-=的两条切线1l，2l，A，B为切点，当直线1l，2l 关于直线0x y+=对称时，APB∠=（）A．30°B．45︒C．60︒D．90︒【答案】C【解析】【分析】判断圆心与直线0x y+=的关系，确定直线1l，2l关于直线0x y+=对称的充要条件是PC与直线0x y+=垂直，从而PC等于C到直线0x y+=的距离，由切线性质求出sin APC∠，得APC∠，从而得APB∠．【详解】如图，设圆22(1)(5)2x y++-=的圆心为(1,5)C-，点C不在直线0x y+=上，要满足直线1l，2l关于直线0x y+=对称，则PC必垂直于直线0x y+=，∴PC==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 222AC PCθ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 3．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z =-，易知当直线2133y x z =-经过点D 时，z 取得最小值， 由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．4．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】 【分析】224442+=()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，224442+= ()()2222224+=，222222+=， ()()22222+=，22112+=2222122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22112222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.5．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eaxh x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.6．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PABV 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-【答案】D 【解析】 【分析】设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+则21244AB y y p k =++=+由24x y =，得24x y =12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则012x k = 02x k ⇒=，20y k =则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥从而()21212S AB d k =⋅=+()()()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥当413x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '>故()min 464327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 7．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=Q ，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos cos cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题．【详解】设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D 【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．10．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k =+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+，所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 11．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.12．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72【答案】B 【解析】 【分析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省日照市2019-2020学年高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A 53B ．23C ．33D ．33【答案】D 【解析】 【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =133CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯=， 则73BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 2．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．3．已知点(m,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b【答案】B 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3，∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，∵23m n =，1＜lnπ＜3，n ＝3， ∴mln n nπ＜＜， ∴a ＜b ＜c ， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题. 4．函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.5．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 6．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.7．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（ ）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线， 所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.8．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13C ．23D ．16【答案】A 【解析】 【分析】作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果. 【详解】如图，作//PD AC 交AB 于点D ，则AP AD DP =+u u u r u u u r u u u r，由题意，13AD AB =u u u r u u u r ，14DP AC =u u u r u u u r ，且180ADP CAB ∠+∠=o ，所以11111||||sin ||||sin 223412ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠=又13AD AB =u u u r u u u r ，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即14APB ABCS S ∆∆=， 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 9．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.10．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S =V V （）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

高三模块诊断性测试数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 【答案】B 【解析】 因为，，所以A B ⋂=()1,+∞.故选B.2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( )A. 5B.13 C. 22 D. 2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ． 3.若角α的终边过点(-1,2),则cos2α的值为 A.35B. -355 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出cos α后再根据倍角公式求出cos2α即可． 【详解】∵角α的终边过点(-1,2)， ∴5cos 5α==，∴223cos 22cos 12(15αα=-=⨯-=-． 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基本知识的理解和对基本公式的掌握情况，属于基础题．4.向量a 、b 满足1a =,32a b -=，a 与b 的夹角为60︒，则b =（ ）A. 1B.C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】因为1a =，a 与b 的夹角为60︒，由1cos602a b a b b ︒⋅=⋅=，根据3a b -=，可得23||4a b -=，即可求得答案. 【详解】1a =，a 与b 的夹角为60︒∴1cos602a b a b b ︒⋅=⋅=32a b -=∴23||4a b -=可得：22324a ab b -⋅+=∴2312||||cos60||4a b b ︒+-⋅= ∴21||||||04b a b -+= ∴21||02b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故1||2b =故选：C.【点睛】本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.函数()sin x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为 A. 0 B.4π C. 1D.32【答案】B 【解析】试题分析：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决，根据题意，由于()sin x f x e x =，则可知'(sin cos (sin cos )x x xf x e x e x e x x =+=+），那么可知f’(0)=1,可知该点的切线的斜率为1，可知倾斜角为4π，选B. 考点：导数研究曲线上某点切线方程点评：本小题主要考查直线的倾斜角、利用导数研究曲线上某点切线方程、三角函数值的符号等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题 6.设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于( ) A. 1 B. 12-C. 0D. －1【答案】D 【解析】 【分析】由条件直接利用左加右减的原则得到g (x )，再代入x=6π求值即可. 【详解】由f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的是g (x )＝cos[2（x 3π+）]的图象， 则g (6π)＝cos[2（63ππ+）]=cosπ=-1. 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的平移以及特殊三角函数值，属于基础题． 7.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】试题分析：2()86f x x x -'=+.因为1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，所以1a 、4025a 是方程2860x x -+=的两实数根，则140258a a +=.而{}n a 为等差数列，所以140252013828a a a +===，即20134a =，从而22013log 2a =，选A.考点：8.若函数()()()()213f x x x x mx n =++++满足()()fx f x =，则()f x 的最小值为（ ） A. 2- B. 16C. 16-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】 由()()f x f x =，可得()f x 为偶函数，则()()()()()()221313=x x x mx n x x x mx n ++++-+-+-+，求得,m n ，即可求得答案.【详解】()()f x f x =可得()()f x f x -=-即()()fx f x =-∴()()f x f x -=故()()()()()()221313=x x x mx n x x x mx n ++++-+-+-+∴()()()()22224343x x x mx n x x x mx n ++++=-+-+∴()()()()22223434x x x n mx x x x n mx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦整理可得：()()()()22223344x x n x mx x x n x mx ++++⋅+++⋅()()()()22223344x x n x mx x x n x mx =++-+⋅-++⋅故：()()22340x mx x x n +⋅+⋅+= 即：333440mx mx x xn +++=3(4)(34)0m x m n x +++=，对x ∈R 都成立∴43m n =-⎧⎨=⎩()()()()213f x x x x mx n =++++()()224343x x x x =++-+()()2219x x =--42109x x =-+()225259x =--+()22516x =--故选：C.【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求参数和求函数最值，解题关键是掌握奇偶性定义和求函数最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：根据等差数列的定义，“数列{}n a 为等差数列”能推出“数列{}n b 为等差数列”， “数列{}n b 为等差数列”不能推出“数列{}n a 为等差数列”，从而可得结果.详解：若数列{}n a 是等差数列，设其公差为1d ，则112121()()2n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=，所以数列{}n b 是等差数列. 若数列{}n b 是等差数列，设其公差为2d ，则112122()()n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=， 不能推出数列{}n a 是等差数列.所以“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 10.将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10【答案】D 【解析】 【分析】由题得1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，所以1253...5PA PA PA PA +++=，再求125...PA PA PA +++的值得解.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示；则1253...55(1,3)=53)PA PA PA PA +++==-（，-5， 所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图像，考查函数的图像和性质，考查平面向量的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 2,30x x R -∀∈> B. 00,tan 2x R x ∃∈= C. 00,lg 2x R x ∃∈< D. 2*,(2)0x N x ∀∈->【答案】D 【解析】试题分析：特殊值验证22,(2)0x x =-=，∴2*,(2)0x N x ∀∈->是假命题，故选D ．考点：命题真假的判断 12.已知函数()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，若()()12f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A. 1B. 1-C. 10D. 10-【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的解析式，通过讨论a 的范围，列出方程求解，即可求得答案. 【详解】()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩∴()1111f e -==()()12f f a +=∴()1f a =当0a ≥时，由()11f = 可得1a =当0a <，()1f a = 可得()lg 1a -= 解得10a =-∴a 的所有可能值为：1a =或10a =-【点睛】本题解题关键是掌握分段函数定义和对数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.13.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q =，令a b mq np =-.下面说法正确的是（ ）A. 若a 与b 共线，则0ab =B. ab =baC. 对任意的R λ∈，有()()a b ab λλ=D. ()()2222aba ba b +⋅=【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义(),a m n =，(),b p q =，ab mq np =-.依次代入验证即可求得结果.【详解】若(),a m n =，(),b p q =，共线，则0mq np -=，依运算“”知0ab =，故A正确； 由于ab mq np =-，又b a np mq =-，因此ab ba =-，故B 不正确；对于C ，由于(),a m n λλλ=，因此()a b mq np λλλ=-，又()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，故C 正确；对于D ，()()()()22222222222222()aba b m q mnpq n p mp nq m p q n p q +⋅=-+++=+++()()222222=m n p q a b ++=,故D 正确.故选: ACD.【点睛】本题考查新定义向量运算,意在考查分析新定义,推理和证明,难度一般.三、填空題：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.已知向量(1,2),(,2)a b x ==-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于_______. 【答案】9 【解析】试题分析：因为a (1,4)b x -=-，由a a b ⊥-得1(1)240x ⨯-+⨯=，解得9.x =故本题正考点：考查向量的位置关系．15.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则的值为【答案】65 【解析】试题分析：根据题意，由于等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，可知公差为2d=4,d=2,首项为1132a +d 5a =2=∴，故可知103109S =1026522⨯⨯+⨯=,故可知答案为65. 考点：等差数列点评：主要是考查了等差数列的前n 项和的运用，属于基础题．16.已知0,1a a >≠，若函数2()log ()a f x x ax =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是_______. 【答案】13a << 【解析】 【分析】x 2﹣ax 的对称轴为x 2a =，由题意可得，当a ＞1时，2a≤3，且 9﹣3a ＞0，求得a 的取值范围；当1＞a ＞0时，2a≥4，且16﹣4a ＞0，求得a 的取值范围，将这两个范围取并集即可． 【详解】x 2﹣ax 的对称轴为x 2a =，由题意可得，当a ＞1时，2a≤3，且 9﹣3a ＞0，∴1＜a ＜3． 当1＞a ＞0时2a≥4，且16﹣4a ＞0，故a 无解． 综上，1＜a ＜3， 故答案为1＜a ＜3．【点睛】本题考查对数函数的单调性和定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 17.已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.【答案】()1,1- 【解析】因为奇函数()f x 的定义域为R ，可得()00f =．解得1a =，故21()21x xf x ，变形为212()12121x x xf x -==-++，即可求得答案. 【详解】奇函数()f x 的定义域为R ，∴()()f x f x -=-，∴()()00f f -=-，即()00f =． ∴2202a -=，解得1a = 此时21()21x xf x ， 212()12121x x xf x -==-++ 211x +>，∴20221x <<+即()f x 的值域为(1,1)- 故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查了求函数的值域，解题关键是掌握奇函数性质和常见函数值域的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知复数()z bi b R =∈，21z i-+是纯虚数，i 是虚数单位. （1）求复数z共轭复数z ；（2）若复数()2m z +所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2i -；（2）()0,2. 【解析】 【分析】（1）将z bi =代入21z i -+，利用复数的除法法则将复数21z i-+表示为一般形式，由实部为零求出b 的值，可得出复数z ，即可得出复数z 的共轭复数z ；（2）由（1）得出2z i =，利用复数的乘方法则得出()()2244m z m mi +=-+，由该复数所表示的点在第二象限得出24040m m ⎧-<⎨>⎩，从而求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()z bi b R =∈，()()()()()()212222*********bi i b b i z bi b b i i i i i ---++---+∴====++++-， 由于复数21z i -+是纯虚数，则202b -=，2z i ∴=，因此，2z i =-； （2）2z i =，m R ∈，()()()222244m z m i m mi ∴+=+=-+，又复数()2m z +所表示的点在第二象限，则24040m m ⎧-<⎨>⎩，解得02m <<.因此，当()0,2m ∈时，复数()2m z +所表示的点在第二象限.【点睛】本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，解题的关键在于利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知函数()22xxf x k -=+⋅，k ∈R .（1）若函数()f x 满足()()f x f x -=-，求实数k 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()21xf x >成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）1k =-；（2）0k > 【解析】 【分析】（1）因为()22xxf x k -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-，k ∈R ,即()2222x x x x k k --+⋅=-+⋅，所以()()21120x k k +++⋅=，即可求得答案；（2）因为均有[)0,x ∈+∞，()21xf x >，所以212x k -<对0x ≥恒成立，所以()2min12x k -<，即可求得答案.【详解】（1）()22x x f x k -=+⋅是奇函数，∴()()f x f x -=-，k ∈R即()2222xx x x k k --+⋅=-+⋅∴()()21120x k k +++⋅=，对一切x ∈R 恒成立，∴1k =-.（2）均有[)0,x ∈+∞，()21xf x >∴212x k -<对0x ≥恒成立， ∴()2min 12x k -<.22xy =[)0,+∞上单调递增，∴()2min 21x =.∴0k >.【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求参数和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握奇函数性质和根据不等式恒成立求参数范围解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20.已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）43n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）41n nT n =+． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据.得到．从而通过确定1a ，当2n ≥时,1n n n a S S -=-，验证11a =也适合上式,得到所求通项公式. （Ⅱ）利用“裂项相消法”求和.难度不大，对基础知识的考查较为全面.试题解析：（Ⅰ）由已知，. 2分所以．从而111;a S ==当2n ≥时,2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又11a =也适合上式,所以43n a n =-. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）， 8分所以． 12分考点：等差数列的通项公式，裂项相消法.21.已知()cos23sin 2f x x x ωω=，其中（0>ω），若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π. （1）求ω的取值范围；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，7a =3ABCS=.当ω取最大值时，()1f A =，求b ，c 的值.【答案】（1）10,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）1b =，2c =或2b =，1c =【解析】 【分析】（1）()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，2T≥π，即可求得答案； （2）当12ω=时，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()2sin 16f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， ()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，2T∴≥π， 2ωπ∴≥π， 10,2ω⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.（2）当12ω=时，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 16f A A π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0A π<<，666A ππ7π∴<+<，23A π=.由1sin 22ABCSbc A ==，可得2bc =——① 又222222cos 7a b c bc A b c bc +=+-=+=——② 由①②得：1b =，2c =或2b =，1c =.【点睛】本题主要考查了辅助角公式和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用辅助角公式和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 22.已知函数()ln p x x =.（1）函数()()q x p x x =-，确定()q x 的单调区间： （2）函数()()()232213f x p x x ax =--，若对于任意的1x ，()21,x ∈+∞，12x x ≠，总有()()121220f x f x x x -+<-，求a 的取值范围.【答案】（1）在区间()0,1上为增函数，在区间()1,+∞上为减函数；（2）1a ≥【解析】 【分析】（1）()ln q x x x =-，可得()1x q x x-'=，又0x >，故当()0,1x ∈时，()10xq x x -'=>，()q x 在区间()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()10xq x x-'=<，()q x 在区间()1,+∞上为减函数，即可求得答案；（2）因为12x x ≠，不妨设12x x >，可得()()121220f x f x x x -+<-，故()()112222f x x f x x +<+，设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1,+∞单调递减，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）()ln q x x x =-，()1xq x x-'∴=，又0x >， ∴当()0,1x ∈时，()10xq x x -'=>，()q x 在区间()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()10xq x x -'=<，()q x 在区间()1,+∞上为减函数， 即()q x 在区间()0,1上为增函数，在区间()1,+∞上为减函数. （2）12x x ≠，不妨设12x x >，()()121220f x f x x x -+<-.()()()121220f x f x x x -+-<∴ ()()112222f x x f x x ∴+<+设()()2g x f x x =+， 则()g x 在()1,+∞单调递减，()0g x '∴≤在()1,+∞恒成立.由已知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，()0g x '≤，22ln 1x a x x∴≥+在()1,+∞恒成立.令()22ln 1x h x x x=+， 则()()32ln 1x x x h x x--'=， 令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-，∴当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，即()F x 在()1,+∞单调递减，且()()10F x F <=，()0h x '∴<在()1,+∞恒成立，()h x ∴在()1,+∞单调递减，且()()11h x h <=， 1a ∴≥.【点睛】本题主要考查了根据导数求单调区间和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握导数求单调区间求法和根据不等式恒成立求参数范围解法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.23.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，603BC =米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=.（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）()60cos sin 1cos sin l αααα++=，定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为()3600021元．【解析】【分析】（1）利用勾股定理通过l OE OF EF =++，得出()60cos sin 1cos sin l αααα++=，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设sin cos t αα+=，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求OEF ∆的周长1201l t =-最小，求出t 的取值范围，根据该函数的单调性可得出l 的最小值. 【详解】（1）由题意，在Rt BOE ∆中，60OB =，2B π∠=，BOE α∠=，60cos OE α∴=， Rt AOF ∆中，60OA =，2AFO π∠=，60sin OF α∴=，又2EOF π∠=，60cos sin EF αα∴===， 所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即()60cos sin 1cos sin l αααα++=. 当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时6πα=； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时3πα=.故此函数的定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF ∆的周长l 的最小值即可． 由（1）得()60cos sin 1cos sin l αααα++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，21sin cos 2t αα-∴⋅=，则()()260cos sin 16011201cos sin 12t l t t αααα+++===--， 由,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5712412πππα≤+≤，12t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤≤-，当4πα=，即当60BE =时，)min 1201l =，答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)360001元．【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.。

山东省日照市五莲县第三中学2019年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：B2. 已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=（）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣参考答案：C【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知求得α+∈（，），从而可求sin（α+）的值，进而可求tan（α+）=±1，从而解得tanα=﹣2或+2，从而由二倍角公式可求tan2α的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵cos（α+）=﹣，∴sin（α+）=±=±，∴tan（α+）====±1，从而解得tanα=﹣2或+2，∴tan2α===﹣或tan2α===﹣．故选：C．【点评】本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于基本知识的考查．3. 黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.4. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象解析式是---------------------------（）A. B. C. D.参考答案：A5. 集合,则的子集共有( )A.6个B.8个C.10个 D.12个参考答案：B，所以P的子集共有8个6. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B． C．D．参考答案：D略7. 设，，，则（）A． B．C． D．参考答案：A8. 已知函数f（x）＝2sin（－）·sin（＋）（x∈R），下面结论错误的是（A）函数f（x）的最小正周期为2π（B）函数f（x）在区间[0，]上是增函数（C）函数f（x）的图像关于直线x＝0对称（D）函数f（x）是奇函数参考答案：D略9. 设函数的导函数，则数列 (n∈N*)的前n项和是A . B. C. D.参考答案：C略10. 已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（?U N）=? C．M∪N=U D．M?（?U N）参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴?U N={x|x≥1或x≤0}，∴M?（?U N），故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，，①__________；②若，则__________．参考答案：①；②①∵，，整理得，∴．②∵，．12. 展开式中含项的系数为 .参考答案：1展开式的通项公式为，由，得，所以，所以的系数为1.13. 抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M 与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于．参考答案：﹣1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：AF⊥x轴， =c，代入抛物线方程即可求得A点坐标，代入椭圆方程，利用离心率公式即可求得椭圆N的离心率．【解答】解：如图所示由F，A，B共线，则AF⊥x轴，由抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，∴=c，把x=，代入抛物线方程可得：y2=2p?，解得：y=p．∴A（，p），即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：，又b2=a2﹣c2，∴，由椭圆的离心率e=，整理得：e4﹣6e2+1=0，0＜e＜1．解得：e2=3﹣2，∴e=﹣1，故答案为：﹣1．14. 若变量满足约束条件，则的最大值为_________.参考答案：715. 对于集合(n∈N*，n≥3)，定义集合，记集合S中的元素个数为S(A).（1）若集合A＝{1，2，3，4}，则S(A)＝ .（2）若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ (用含n的代数式表示).参考答案：5，2n－3.（1）据题意，S＝{3，4，5，6，7}，所以S(A)＝5.（2）据等差数列性质，当时，，当时，.由题a1＜a2＜…＜a n，则.所以.16. 平面向量，，满足，，，，则的最小值为．参考答案：略17. 已知，则．参考答案：11三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省日照市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差【答案】C【解析】【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲 4 5 4 5 4 5乙 3 4 3 3 5 4由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x - B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2【答案】A 【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ． 6．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，可知()f x 的定义域为x ∈R ，通过定义法判断函数的奇偶性，得出()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，可排除,C D 选项，观察,A B 选项的图象，可知代入0x =，解得()00f >，排除B 选项，即可得出答案. 【详解】 解：因为()cos 22x xxf x -=+，所以()f x 的定义域为x ∈R ， 则()()()cos cos 2222x x x xx xf x f x ----===++， ∴()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D 选项，故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.7．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 8．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】解：由题意知，i 2i z =+，()22212121i i i iz i i i ++-+∴====--，∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.9．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.10．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，所以()22112a +-=，解得0a =或2a =.故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域．12．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省日照市五莲县2019-2020学年高三上学期模块诊断性检测数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( )A. 5B.C. D. 23.若角α的终边过点(-1,2),则cos2α的值为A.35B. -35C.4.向量a 、b 满足1a =,32a b -=，a 与b 的夹角为60︒，则b =（ ）A. 1B.C.12D. 25.函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为A. 0B.4π C. 1D.326.设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于( )A. 1B. 12- C. 0 D. －17.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.若函数()()()()213f x x x x mx n =++++满足()()fx f x =，则()f x 的最小值为（ ）A. 2-B. 16C. 16-D. 29.已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的 A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件10.将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=（ ） A. 0B. 2C. 6D. 10二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 2,30x x R -∀∈> B. 00,tan 2x R x ∃∈= C .00,lg 2x R x ∃∈<D. 2*,(2)0x N x ∀∈->12.已知函数()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，若()()12f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A. 1B. 1-C. 10D. 10-13.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q =，令ab mq np =-.下面说法正确的是（ ） A. 若a 与b 共线，则0ab = B. a b =baC. 对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=D. ()()2222aba b a b +⋅=三、填空題：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.已知向量(1,2),(,2)a b x ==-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于_______. 15.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则的值为16.已知0,1a a >≠，若函数2()log ()a f x x ax =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是_______.17.已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知复数()z bi b R =∈，21z i-+是纯虚数，i 是虚数单位.（1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2m z +所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.19.已知函数()22xxf x k -=+⋅，k ∈R .（1）若函数()f x 满足()()f x f x -=-，求实数k 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()21xf x >成立，求实数k 的取值范围20.已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．21.已知()cos22f x x x ωω=，其中（0>ω），若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.（1）求ω的取值范围；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a =2ABCS =.当ω取最大值时，()1f A =，求b ，c 的值.22.已知函数()ln p x x =.（1）函数()()q x px x =-，确定()q x 的单调区间： （2）函数()()()232213f x p x x ax =--，若对于任意的1x ，()21,x ∈+∞，12x x ≠，总有()()121220f x f x x x -+<-，求a 的取值范围. 23.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，BC =拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=.（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.答 案一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 【答案】B 【解析】 因为，，所以A B ⋂=()1,+∞.故选B.2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( )A. 5B.13 C. 22 D. 2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ． 3.若角α的终边过点(-1,2),则cos2α的值为A.35B. -35C.【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出cos α后再根据倍角公式求出cos2α即可． 【详解】∵角α的终边过点(-1,2)，∴cosα==，∴223cos 22cos 12(155αα=-=⨯--=-． 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基本知识的理解和对基本公式的掌握情况，属于基础题．4.向量a 、b 满足1a =,3a b -=，a 与b 的夹角为60︒，则b =（ ） A. 1 B.C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】因为1a =，a 与b 的夹角为60︒，由1cos602a b a b b ︒⋅=⋅=，根据32a b -=，可得23||4a b -=，即可求得答案.【详解】1a =，a 与b 的夹角为60︒∴1cos602a b a b b ︒⋅=⋅=3a b -=∴23||4a b -=可得：22324a ab b -⋅+=∴2312||||cos60||4a b b ︒+-⋅= ∴21||||||04b a b -+= ∴21||02b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故1||2b =故选：C.【点睛】本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为A. 0B.4π C. 1D.32【答案】B 【解析】试题分析：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决，根据题意，由于()sin xf x e x =，则可知'(sin cos (sin cos )xxxf x e x e x e x x =+=+），那么可知f ’(0)=1,可知该点的切线的斜率为1，可知倾斜角为4π，选B. 考点：导数研究曲线上某点切线方程点评：本小题主要考查直线的倾斜角、利用导数研究曲线上某点切线方程、三角函数值的符号等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题 6.设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于( ) A. 1 B. 12-C. 0D. －1【答案】D 【解析】 【分析】由条件直接利用左加右减的原则得到g (x )，再代入x=6π求值即可. 【详解】由f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的是g (x )＝cos[2（x 3π+）]的图象， 则g (6π)＝cos[2（63ππ+）]=cos π=-1. 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的平移以及特殊三角函数值，属于基础题． 7.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】试题分析：2()86f x x x -'=+.因为1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，所以1a 、4025a 是方程2860x x -+=的两实数根，则140258a a +=.而{}n a 为等差数列，所以140252013828a a a +===，即20134a =，从而22013log 2a =，选A. 考点：8.若函数()()()()213f x x x x mx n =++++满足()()fx f x =，则()f x 的最小值为（ ）A. 2-B. 16C. 16-D. 2【答案】C 【解析】由()()fx f x =，可得()f x 为偶函数，则()()()()()()221313=x x xmx n x x x mx n ++++-+-+-+，求得,m n ，即可求得答案. 【详解】()()f x f x =可得()()f x f x -=-即()()fx f x =-∴()()f x f x -=故()()()()()()221313=x x x mx n x x x mx n ++++-+-+-+∴()()()()22224343x x x mx n x x x mx n ++++=-+-+∴()()()()22223434x x x n mx x x x n mx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦整理可得：()()()()22223344x x n x mx x x n x mx ++++⋅+++⋅()()()()22223344x x n x mx x x n x mx =++-+⋅-++⋅故：()()22340x mx x x n +⋅+⋅+= 即：333440mx mx x xn +++=3(4)(34)0m x m n x +++=，对x ∈R 都成立∴43m n =-⎧⎨=⎩()()()()213f x x x x mx n =++++()()224343x x x x =++-+()()2219x x =--42109x x =-+()225259x =--+()22516x =--【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求参数和求函数最值，解题关键是掌握奇偶性定义和求函数最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：根据等差数列的定义，“数列{}n a 为等差数列”能推出“数列{}n b 为等差数列”， “数列{}n b 为等差数列”不能推出“数列{}n a 为等差数列”，从而可得结果. 详解：若数列{}n a 是等差数列，设其公差为1d ，则112121()()2n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=，所以数列{}n b 是等差数列. 若数列{}n b 是等差数列，设其公差为2d ，则112122()()n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=， 不能推出数列{}n a 是等差数列.所以“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10.将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=（ ） A. 0 B. 2C. 6D. 10【答案】D 【解析】 【分析】由题得1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，所以1253...5PA PA PA PA +++=，再求125...PA PA PA +++的值得解.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示；则1253...55(1,3)=53)PA PA PA PA +++==-（，-5， 所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图像，考查函数的图像和性质，考查平面向量的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 2,30x x R -∀∈>B. 00,tan 2x R x ∃∈=C. 00,lg 2x R x ∃∈<D. 2*,(2)0x N x ∀∈->【答案】D 【解析】试题分析：特殊值验证22,(2)0x x =-=，∴2*,(2)0x N x ∀∈->是假命题，故选D ．考点：命题真假的判断12.已知函数()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，若()()12f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A. 1B. 1-C. 10D. 10-【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的解析式，通过讨论a 的范围，列出方程求解，即可求得答案. 【详解】()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩∴()1111f e -==()()12f f a +=∴()1f a =当0a ≥时，由()11f = 可得1a =当0a <，()1f a = 可得()lg 1a -= 解得10a =-∴a 的所有可能值为：1a =或10a =-故选：AD.【点睛】本题解题关键是掌握分段函数定义和对数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.13.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q =，令ab mq np =-.下面说法正确的是（ ） A. 若a 与b 共线，则0ab =B. ab =baC. 对任意的R λ∈，有()()a b ab λλ=D. ()()2222aba b a b +⋅=【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义(),a m n =，(),b p q =，ab mq np =-.依次代入验证即可求得结果.【详解】若(),a m n =，(),b p q =，共线，则0mq np -=，依运算“”知0ab =，故A 正确；由于ab mq np =-，又ba np mq =-，因此ab b a =-，故B 不正确；对于C ，由于(),a m n λλλ=，因此()a b mq np λλλ=-，又()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，故C 正确；对于D ，()()()()22222222222222()aba bm q mnpq n p mp nq m p q n p q +⋅=-+++=+++()()222222=m n p q a b ++=,故D 正确.故选: ACD.【点睛】本题考查新定义向量运算,意在考查分析新定义,推理和证明,难度一般.三、填空題：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.已知向量(1,2),(,2)a b x ==-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于_______. 【答案】9 【解析】试题分析：因为a (1,4)b x -=-，由a a b ⊥-得1(1)240x ⨯-+⨯=，解得9.x =故本题正确答案为9. 考点：考查向量的位置关系．15.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则的值为【答案】65 【解析】试题分析：根据题意，由于等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，可知公差为2d=4,d=2,首项为1132a +d 5a =2=∴，故可知103109S =1026522⨯⨯+⨯=,故可知答案为65. 考点：等差数列点评：主要是考查了等差数列的前n 项和的运用，属于基础题．16.已知0,1a a >≠，若函数2()log ()a f x x ax =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是_______.【答案】13a << 【解析】 【分析】x 2﹣ax 的对称轴为x 2a =，由题意可得，当a ＞1时，2a≤3，且 9﹣3a ＞0，求得a 的取值范围；当1＞a ＞0时，2a≥4，且16﹣4a ＞0，求得a 的取值范围，将这两个范围取并集即可． 【详解】x 2﹣ax 的对称轴为x 2a =，由题意可得，当a ＞1时，2a≤3，且 9﹣3a ＞0，∴1＜a ＜3．当1＞a ＞0时2a≥4，且16﹣4a ＞0，故a 无解．综上，1＜a ＜3， 故答案为1＜a ＜3．【点睛】本题考查对数函数的单调性和定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．17.已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.【答案】()1,1- 【解析】 【分析】因为奇函数()f x 的定义域为R ，可得()00f =．解得1a =，故21()21x x f x ，变形为212()12121x x xf x -==-++，即可求得答案. 【详解】奇函数()f x 的定义域为R ，∴()()f x f x -=-，∴()()00f f -=-，即()00f =． ∴2202a -=，解得1a = 此时21()21x xf x ， 212()12121x x xf x -==-++ 211x +>，∴20221x <<+ 即()f x 的值域为(1,1)- 故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查了求函数的值域，解题关键是掌握奇函数性质和常见函数值域的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知复数()z bi b R =∈，21z i-+是纯虚数，i 是虚数单位. （1）求复数z共轭复数z ；（2）若复数()2m z +所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2i -；（2）()0,2. 【解析】 【分析】（1）将z bi =代入21z i -+，利用复数的除法法则将复数21z i-+表示为一般形式，由实部为零求出b 的值，可得出复数z ，即可得出复数z 的共轭复数z ；（2）由（1）得出2z i =，利用复数的乘方法则得出()()2244m z m mi +=-+，由该复数所表示的点在第二象限得出24040m m ⎧-<⎨>⎩，从而求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()z bi b R =∈，()()()()()()212222221111222bi i b b i z bi b b i i i i i ---++---+∴====++++-， 由于复数21z i -+是纯虚数，则202b -=，2z i ∴=，因此，2z i =-； （2）2z i =，m R ∈，()()()222244m z m i m mi ∴+=+=-+，又复数()2m z +所表示的点在第二象限，则24040m m ⎧-<⎨>⎩，解得02m <<.因此，当()0,2m ∈时，复数()2m z +所表示的点在第二象限.【点睛】本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，解题的关键在于利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于基础题. 19.已知函数()22xxf x k -=+⋅，k ∈R .（1）若函数()f x 满足()()f x f x -=-，求实数k 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()21xf x >成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）1k =-；（2）0k > 【解析】 【分析】（1）因为()22xxf x k -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-，k ∈R ,即()2222xx x x k k --+⋅=-+⋅，所以()()21120xk k +++⋅=，即可求得答案；（2）因为均有[)0,x ∈+∞，()21xf x >，所以212x k -<对0x ≥恒成立，所以()2min12x k -<，即可求得答案.【详解】（1）()22x x f x k -=+⋅是奇函数，∴()()f x f x -=-，k ∈R即()2222xx x x k k --+⋅=-+⋅∴()()21120x k k +++⋅=，对一切x ∈R 恒成立， ∴1k =-.（2）均有[)0,x ∈+∞，()21xf x >∴212x k -<对0x ≥恒成立， ∴()2min 12x k -<.22xy =[)0,+∞上单调递增，∴()2min 21x =. ∴0k >.【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求参数和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握奇函数性质和根据不等式恒成立求参数范围解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 20.已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）43n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）41n nT n =+． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据.得到．从而通过确定1a ，当2n ≥时,1n n n a S S -=-，验证11a =也适合上式,得到所求通项公式. （Ⅱ）利用“裂项相消法”求和.难度不大，对基础知识的考查较为全面. 试题解析：（Ⅰ）由已知，. 2分所以．从而111;a S ==当2n ≥时,2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又11a =也适合上式,所以43n a n =-. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）， 8分所以． 12分考点：等差数列的通项公式，裂项相消法.21.已知()cos23sin 2f x x x ωω=，其中（0>ω），若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π. （1）求ω的取值范围；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，7a =3ABCS =.当ω取最大值时，()1f A =，求b ，c 的值.【答案】（1）10,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）1b =，2c =或2b =，1c =【解析】 【分析】（1）()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因为()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，2T≥π，即可求得答案； （2）当12ω=时，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()2sin 16f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，2T∴≥π， 2ωπ∴≥π， 10,2ω⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.（2）当12ω=时，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 16f A A π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0A π<<，666A ππ7π∴<+<，23A π=.由1sin 2ABCSbc A ==，可得2bc =——① 又222222cos 7a b c bc A b c bc +=+-=+=——② 由①②得：1b =，2c =或2b =，1c =.【点睛】本题主要考查了辅助角公式和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用辅助角公式和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 22.已知函数()ln p x x =.（1）函数()()q x p x x =-，确定()q x 的单调区间： （2）函数()()()232213f x p x x ax =--，若对于任意的1x ，()21,x ∈+∞，12x x ≠，总有()()121220f x f x x x -+<-，求a 的取值范围.【答案】（1）在区间()0,1上为增函数，在区间()1,+∞上为减函数；（2）1a ≥ 【解析】【分析】（1）()ln q x x x =-，可得()1x q x x-'=，又0x >，故当()0,1x ∈时，()10xq x x -'=>，()q x 在区间()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()10xq x x-'=<，()q x 在区间()1,+∞上为减函数，即可求得答案；（2）因为12x x ≠，不妨设12x x >，可得()()121220f x f x x x -+<-，故()()112222f x x f x x +<+，设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1,+∞单调递减，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）()ln q x x x =-，()1xq x x-'∴=，又0x >， ∴当()0,1x ∈时，()10xq x x -'=>，()q x 在区间()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()10xq x x -'=<，()q x 在区间()1,+∞上为减函数， 即()q x 在区间()0,1上为增函数，在区间()1,+∞上为减函数. （2）12x x ≠，不妨设12x x >，()()121220f x f x x x -+<-.()()()121220f x f x x x -+-<∴ ()()112222f x x f x x ∴+<+设()()2g x f x x =+， 则()g x 在()1,+∞单调递减，()0g x '∴≤在()1,+∞恒成立.由已知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，()0g x '≤，22ln 1x a x x ∴≥+在()1,+∞恒成立. 令()22ln 1x h x x x=+，则()()32ln 1x x x h x x --'=，令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-，∴当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，即()F x 在()1,+∞单调递减，且()()10F x F <=，()0h x '∴<在()1,+∞恒成立，()h x ∴在()1,+∞单调递减，且()()11h x h <=， 1a ∴≥.【点睛】本题主要考查了根据导数求单调区间和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握导数求单调区间求法和根据不等式恒成立求参数范围解法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.23.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，603BC =米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=.（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.【答案】（1）()60cos sin 1cos sin l αααα++=，定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)3600021元．【解析】【分析】（1）利用勾股定理通过l OE OF EF =++，得出()60cos sin 1cos sin l αααα++=，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设sin cos t αα+=，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求OEF ∆的周长1201l t =-最小，求出t 的取值范围，根据该函数的单调性可得出l 的最小值.【详解】（1）由题意，在Rt BOE ∆中，60OB =，2B π∠=，BOE α∠=，60cos OE α∴=， Rt AOF ∆中，60OA =，2AFO π∠=，60sin OF α∴=，又2EOF π∠=，60cos sin EF αα∴===， 所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即()60cos sin 1cos sin l αααα++=. 当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时6πα=； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时3πα=. 故此函数的定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF ∆的周长l 的最小值即可．由（1）得()60cos sin 1cos sin l αααα++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，21sin cos 2t αα-∴⋅=， 则()()260cos sin 16011201cos sin 12t l t t αααα+++===--， 由,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5712412πππα≤+≤，12t +≤≤1112t ≤-≤，1111t ≤≤-，当4πα=，即当60BE =时，)min 1201l =，答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)360001元． 【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.。

绝密★启用前山东省五莲县2020届高三年级10月模块诊断性测试化学试题2019年10月说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，时间90分钟，满分100分。

可能用到的数据：相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷（选择题，45分）选择题（每小题3分，共45分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．下列厨房中的常见物质溶于相应溶剂后，不能形成胶体的是A．淀粉溶于水中B．鸡蛋清溶于水中C．豆浆加入水中D．食醋溶于水中2．根据地球化学分析,地壳中存在量较大的9种元素含量如图所示（含量最高的四种元素用字母代号表示）。

下列说法正确的是A．X为硅元素,M为铁元素B．地壳中有游离态的Y元素和M元素C．Z和M的氧化物均属于碱性氧化物D．Z的单质通过置换反应可制取M的单质3．将金属钠放入盛有下列溶液的小烧杯中,既有气体,又有白色沉淀产生的是①MgSO4溶液②Na2SO4稀溶液③饱和澄清石灰水④Ca(HCO3)2溶液⑤CuSO4溶液⑥饱和NaCl溶液A．①③④⑥B．②④⑤⑥C．③④⑤⑥D．①④⑤⑥4．下列关于物质性质的描述一定错误的是A．Fe3+可以与KSCN溶液反应生成血红色沉淀B．氢氧化铜在水中加热可分解为黑色氧化铜C．氧化钠在空气中长时间放置最终生成碳酸钠粉末D．向饱和碳酸钠溶液中通入足量二氧化碳可析出晶体5．类比推理是学习化学的重要的思维方法,下列陈述Ⅰ及类比推理陈述Ⅱ均正确的是6．设N A表示阿伏加德罗常数。

下列说法中正确的是A．标准状况下22.4L甲醇中含有的碳氢键的数目大于3 N AB．24g镁中加入足量1mol·L－1NaOH溶液,转移电子数为2N AC．1 mol O2与足量钠反应,转移电子数一定为4N AD．100g质量分数为92%的乙醇溶液中,氧原子数目为2N A7．下列离子方程式书写正确的是A．少量SO2通入BaCl2溶液中：Ba2＋＋SO2＋H2O=== BaSO3↓＋2H＋B．H218O2中加入H2SO4酸化的KMnO4：5H218O2＋2MnO－4＋6H＋===518O2↑＋2Mn2＋＋8H2OC．[Ag(NH3)2]OH与足量盐酸反应：[Ag(NH3)2]OH＋3H＋＋Cl－=== AgCl↓＋2NH4＋＋H2OD．向NaClO和NaCl混合溶液中滴入少量FeSO4溶液,反应的离子方程式为：2Fe2＋＋ClO－＋2H＋=== Cl－＋2Fe3＋＋H2O8．关于反应过程中的先后顺序,下列叙述正确的是A．向浓度均为0.1 mol·L-1的FeCl3和CuCl2的混合溶液中加入铁粉,铁粉先与溶质CuCl2反应B．向过量Ba(OH)2溶液中滴加少量KAl(SO4)2溶液,开始没有白色沉淀生成C．向浓度均为0.1 mol·L-1的Na2CO3和NaOH的混合溶液中通入CO2气体,NaOH。

山东省五莲县2020届高三数学上学期模块诊断性检测试题（扫描版）高三模块诊断性测试数学参考答案2019.10一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

答案1----5 BABCB ，6---10 DACAD ，二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

11 ABC ，12 AD ，13 ACD ，三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（14）答案：9. 15.答案65， 16.答案),1(+∞ (17) 答案(-1,1)。

四、解答题：共82分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（12分）解:（1）∵z ＝bi （b ∈R ）， ∴． 又∵是纯虚数，∴，∴2b =，即2z i =．……………………………5分 所以2z i =- ………………………6分（2）∵2z i =，m ∈R ，∴22222()(2)44(4)4m z m i m mi i m mi +=+=++=-+， ……8分 又∵复数所表示的点在第二象限，∴24040m m ⎧-<⎨>⎩解得02m <<，即(0,2)m ∈时，复数所表示的点在第二象限． ………………………………12分19．（14分）解析：（1）因为x x k x f -⋅+=22)(是奇函数，所以()(),f x f x x -=-∈R ，即22(22),x x x x k k --+⋅=-+⋅所以02)1()1(2=⋅+++x k k ，对一切x ∈R 恒成立， 所以.1-=k …………………………6分（2）因为[),,0+∞∈x 均有2()1x f x >，所以x k 221<-对0≥x 恒成立， ………………………………9分 所以min 2)2(1xk <-. 因为x y 22=在[),,0+∞上单调递增，所以.1)2(min 2=x 所以.0>k ………………………………14分20．（14分）解析：（1）由已知，12)1(21-=-+=n n b n . …………3分所以n n S n -=22．从而111;a S ==当2n ≥时,2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又11a =也适合上式,所以43n a n =-. ……………7分（2）由（1）)141341(41)14)(34(1+--=+-=n n n n c n ， …………10分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅+++=)141341()9151()511(41321n n c c c c T n n 14)1411(41+=+-=n n n ． …………14分21．（14分）解：(1)π()cos222sin(2)6f x x x x ωωω==+， (3)分∵()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，∴π2T ≥，∴ ππ2ω≥， ∴ 1(0,]2ω∈. …………………………………7分 (2)当12ω=时，π()2sin()6f x x =+，∴π()2sin()16f A A =+=， ∴ π1sin()62A +=, ∵0πA <<, ∴ππ7π666A <+<, 2π3A =. ……………10分由 1sin 2ABC S bc A ==得，2bc =.……………① 又222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=,………②由①②得：1,2b c ==或2,1b c ==. …………………………14分22．（14分）解析： (1) ()q x ln x x =-, ,∴1()=x q x x -¢，又0x >,所以 当)1,0(∈x 时， 1()=0x q x x-¢>,()q x 在区间)1,0(上为增函数， 当),1(+∞∈x 时，1()=0x q x x-¢<，()q x 在区间),1(+∞上为减函数， 即()q x 在区间)1,0(上为增函数，在区间),1(+∞上为减函数. …………………4分(2)∵12x x ≠，不妨设12x x >，()()()()()()()121212112212202022f x f x f x f x x x f x x f x x x x -+<⇔-+-<⇔+<+-.设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1+∞，单调递减，∴()0g x '≤在()1+∞，恒成立. 由已知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，()0g x '≤，∴22ln 1x a x x≥+在()1+∞，恒成立. ……………………10分 令()22ln 1x h x x x=+，则()()32ln 1x x x h x x --'=， 令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-， ∴当()1 x ∈+∞，时，()0F x '<，即()F x 在()1+∞，单调递减，且()()10F x F <=，∴()0h x '<在()1+∞，恒成立， ∴()h x 在()1+∞，单调递减，且()()11h x h <=， ∴1a ≥． ……………………14分23．（14分）解析：(1)由题意，在Rt△BOE 中，OB ＝60，∠B ＝90°，∠BOE ＝α，∴OE ＝60cos α，Rt△AOF 中，OA ＝60，∠A ＝90°，∠AFO ＝α，∴OF ＝60sin α. …………3分又∠EOF ＝90°，∴EF ＝OE 2＋OF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫60cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫60sin α2＝60cos αsin α， 所以l ＝OE ＋OF ＋EF ＝60cos α＋60sin α＋60cos αsin α，即l ＝60（sin α＋cos α＋1）cos αsin α.………5分 当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α＝π6； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α＝π3. 故此函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. …………7分 (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由(1)得，l ＝60（sin α＋cos α＋1）cos αsin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 设sin α＋cos α＝t ，则sin α·cos α＝t 2－12， ∴l ＝60（sin α＋cos α＋1）cos αsin α＝60（t ＋1）t 2－12＝120t －1. …………9分 由α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，得5π12≤α＋π4≤7π12，得3＋12≤t ≤2， ∴3－12≤t －1≤2－1， 从而2＋1≤1t －1≤3＋1，当α＝π4，即BE ＝60时，l m i n ＝120(2＋1)，…………12分答：当BE ＝AF ＝60米时，铺路总费用最低，最低总费用为36 000(2＋1)元．……14分。