山东省日照市五莲县2019-2020学年高三上学期模块诊断性检测数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( )A. 5B.C. D. 23.若角α的终边过点(-1,2),则cos2α的值为A.35B. -35C.4.向量a 、b 满足1a =,32a b -=，a 与b 的夹角为60︒，则b =（ ）A. 1B.C.12D. 25.函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为A. 0B.4π C. 1D.326.设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于( )A. 1B. 12- C. 0 D. －17.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.若函数()()()()213f x x x x mx n =++++满足()()fx f x =，则()f x 的最小值为（ ）A. 2-B. 16C. 16-D. 29.已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的 A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件10.将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=（ ） A. 0B. 2C. 6D. 10二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 2,30x x R -∀∈> B. 00,tan 2x R x ∃∈= C .00,lg 2x R x ∃∈<D. 2*,(2)0x N x ∀∈->12.已知函数()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，若()()12f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A. 1B. 1-C. 10D. 10-13.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q =，令ab mq np =-.下面说法正确的是（ ） A. 若a 与b 共线，则0ab = B. a b =baC. 对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=D. ()()2222aba b a b +⋅=三、填空題：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.已知向量(1,2),(,2)a b x ==-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于_______. 15.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则的值为16.已知0,1a a >≠，若函数2()log ()a f x x ax =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是_______.17.已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知复数()z bi b R =∈，21z i-+是纯虚数，i 是虚数单位.（1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2m z +所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.19.已知函数()22xxf x k -=+⋅，k ∈R .（1）若函数()f x 满足()()f x f x -=-，求实数k 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()21xf x >成立，求实数k 的取值范围20.已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．21.已知()cos22f x x x ωω=，其中（0>ω），若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.（1）求ω的取值范围；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a =2ABCS =.当ω取最大值时，()1f A =，求b ，c 的值.22.已知函数()ln p x x =.（1）函数()()q x px x =-，确定()q x 的单调区间： （2）函数()()()232213f x p x x ax =--，若对于任意的1x ，()21,x ∈+∞，12x x ≠，总有()()121220f x f x x x -+<-，求a 的取值范围. 23.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，BC =拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=.（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.答 案一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 【答案】B 【解析】 因为，，所以A B ⋂=()1,+∞.故选B.2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( )A. 5B.13 C. 22 D. 2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ． 3.若角α的终边过点(-1,2),则cos2α的值为A.35B. -35C.【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出cos α后再根据倍角公式求出cos2α即可． 【详解】∵角α的终边过点(-1,2)，∴cosα==，∴223cos 22cos 12(155αα=-=⨯--=-． 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基本知识的理解和对基本公式的掌握情况，属于基础题．4.向量a 、b 满足1a =,3a b -=，a 与b 的夹角为60︒，则b =（ ） A. 1 B.C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】因为1a =，a 与b 的夹角为60︒，由1cos602a b a b b ︒⋅=⋅=，根据32a b -=，可得23||4a b -=，即可求得答案.【详解】1a =，a 与b 的夹角为60︒∴1cos602a b a b b ︒⋅=⋅=3a b -=∴23||4a b -=可得：22324a ab b -⋅+=∴2312||||cos60||4a b b ︒+-⋅= ∴21||||||04b a b -+= ∴21||02b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故1||2b =故选：C.【点睛】本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为A. 0B.4π C. 1D.32【答案】B 【解析】试题分析：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决，根据题意，由于()sin xf x e x =，则可知'(sin cos (sin cos )xxxf x e x e x e x x =+=+），那么可知f ’(0)=1,可知该点的切线的斜率为1，可知倾斜角为4π，选B. 考点：导数研究曲线上某点切线方程点评：本小题主要考查直线的倾斜角、利用导数研究曲线上某点切线方程、三角函数值的符号等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题 6.设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于( ) A. 1 B. 12-C. 0D. －1【答案】D 【解析】 【分析】由条件直接利用左加右减的原则得到g (x )，再代入x=6π求值即可. 【详解】由f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的是g (x )＝cos[2（x 3π+）]的图象， 则g (6π)＝cos[2（63ππ+）]=cos π=-1. 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的平移以及特殊三角函数值，属于基础题． 7.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】试题分析：2()86f x x x -'=+.因为1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，所以1a 、4025a 是方程2860x x -+=的两实数根，则140258a a +=.而{}n a 为等差数列，所以140252013828a a a +===，即20134a =，从而22013log 2a =，选A. 考点：8.若函数()()()()213f x x x x mx n =++++满足()()fx f x =，则()f x 的最小值为（ ）A. 2-B. 16C. 16-D. 2【答案】C 【解析】由()()fx f x =，可得()f x 为偶函数，则()()()()()()221313=x x xmx n x x x mx n ++++-+-+-+，求得,m n ，即可求得答案. 【详解】()()f x f x =可得()()f x f x -=-即()()fx f x =-∴()()f x f x -=故()()()()()()221313=x x x mx n x x x mx n ++++-+-+-+∴()()()()22224343x x x mx n x x x mx n ++++=-+-+∴()()()()22223434x x x n mx x x x n mx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦整理可得：()()()()22223344x x n x mx x x n x mx ++++⋅+++⋅()()()()22223344x x n x mx x x n x mx =++-+⋅-++⋅故：()()22340x mx x x n +⋅+⋅+= 即：333440mx mx x xn +++=3(4)(34)0m x m n x +++=，对x ∈R 都成立∴43m n =-⎧⎨=⎩()()()()213f x x x x mx n =++++()()224343x x x x =++-+()()2219x x =--42109x x =-+()225259x =--+()22516x =--【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求参数和求函数最值，解题关键是掌握奇偶性定义和求函数最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：根据等差数列的定义，“数列{}n a 为等差数列”能推出“数列{}n b 为等差数列”， “数列{}n b 为等差数列”不能推出“数列{}n a 为等差数列”，从而可得结果. 详解：若数列{}n a 是等差数列，设其公差为1d ，则112121()()2n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=，所以数列{}n b 是等差数列. 若数列{}n b 是等差数列，设其公差为2d ，则112122()()n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=， 不能推出数列{}n a 是等差数列.所以“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10.将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=（ ） A. 0 B. 2C. 6D. 10【答案】D 【解析】 【分析】由题得1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，所以1253...5PA PA PA PA +++=，再求125...PA PA PA +++的值得解.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示；则1253...55(1,3)=53)PA PA PA PA +++==-（，-5， 所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图像，考查函数的图像和性质，考查平面向量的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 2,30x x R -∀∈>B. 00,tan 2x R x ∃∈=C. 00,lg 2x R x ∃∈<D. 2*,(2)0x N x ∀∈->【答案】D 【解析】试题分析：特殊值验证22,(2)0x x =-=，∴2*,(2)0x N x ∀∈->是假命题，故选D ．考点：命题真假的判断12.已知函数()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，若()()12f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A. 1B. 1-C. 10D. 10-【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的解析式，通过讨论a 的范围，列出方程求解，即可求得答案. 【详解】()()1lg ,0,,0.x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩∴()1111f e -==()()12f f a +=∴()1f a =当0a ≥时，由()11f = 可得1a =当0a <，()1f a = 可得()lg 1a -= 解得10a =-∴a 的所有可能值为：1a =或10a =-故选：AD.【点睛】本题解题关键是掌握分段函数定义和对数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.13.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q =，令ab mq np =-.下面说法正确的是（ ） A. 若a 与b 共线，则0ab =B. ab =baC. 对任意的R λ∈，有()()a b ab λλ=D. ()()2222aba b a b +⋅=【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义(),a m n =，(),b p q =，ab mq np =-.依次代入验证即可求得结果.【详解】若(),a m n =，(),b p q =，共线，则0mq np -=，依运算“”知0ab =，故A 正确；由于ab mq np =-，又ba np mq =-，因此ab b a =-，故B 不正确；对于C ，由于(),a m n λλλ=，因此()a b mq np λλλ=-，又()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，故C 正确；对于D ，()()()()22222222222222()aba bm q mnpq n p mp nq m p q n p q +⋅=-+++=+++()()222222=m n p q a b ++=,故D 正确.故选: ACD.【点睛】本题考查新定义向量运算,意在考查分析新定义,推理和证明,难度一般.三、填空題：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.已知向量(1,2),(,2)a b x ==-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于_______. 【答案】9 【解析】试题分析：因为a (1,4)b x -=-，由a a b ⊥-得1(1)240x ⨯-+⨯=，解得9.x =故本题正确答案为9. 考点：考查向量的位置关系．15.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则的值为【答案】65 【解析】试题分析：根据题意，由于等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，可知公差为2d=4,d=2,首项为1132a +d 5a =2=∴，故可知103109S =1026522⨯⨯+⨯=,故可知答案为65. 考点：等差数列点评：主要是考查了等差数列的前n 项和的运用，属于基础题．16.已知0,1a a >≠，若函数2()log ()a f x x ax =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是_______.【答案】13a << 【解析】 【分析】x 2﹣ax 的对称轴为x 2a =，由题意可得，当a ＞1时，2a≤3，且 9﹣3a ＞0，求得a 的取值范围；当1＞a ＞0时，2a≥4，且16﹣4a ＞0，求得a 的取值范围，将这两个范围取并集即可． 【详解】x 2﹣ax 的对称轴为x 2a =，由题意可得，当a ＞1时，2a≤3，且 9﹣3a ＞0，∴1＜a ＜3．当1＞a ＞0时2a≥4，且16﹣4a ＞0，故a 无解．综上，1＜a ＜3， 故答案为1＜a ＜3．【点睛】本题考查对数函数的单调性和定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．17.已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.【答案】()1,1- 【解析】 【分析】因为奇函数()f x 的定义域为R ，可得()00f =．解得1a =，故21()21x x f x ，变形为212()12121x x xf x -==-++，即可求得答案. 【详解】奇函数()f x 的定义域为R ，∴()()f x f x -=-，∴()()00f f -=-，即()00f =． ∴2202a -=，解得1a = 此时21()21x xf x ， 212()12121x x xf x -==-++ 211x +>，∴20221x <<+ 即()f x 的值域为(1,1)- 故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查了求函数的值域，解题关键是掌握奇函数性质和常见函数值域的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知复数()z bi b R =∈，21z i-+是纯虚数，i 是虚数单位. （1）求复数z共轭复数z ；（2）若复数()2m z +所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2i -；（2）()0,2. 【解析】 【分析】（1）将z bi =代入21z i -+，利用复数的除法法则将复数21z i-+表示为一般形式，由实部为零求出b 的值，可得出复数z ，即可得出复数z 的共轭复数z ；（2）由（1）得出2z i =，利用复数的乘方法则得出()()2244m z m mi +=-+，由该复数所表示的点在第二象限得出24040m m ⎧-<⎨>⎩，从而求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()z bi b R =∈，()()()()()()212222221111222bi i b b i z bi b b i i i i i ---++---+∴====++++-， 由于复数21z i -+是纯虚数，则202b -=，2z i ∴=，因此，2z i =-； （2）2z i =，m R ∈，()()()222244m z m i m mi ∴+=+=-+，又复数()2m z +所表示的点在第二象限，则24040m m ⎧-<⎨>⎩，解得02m <<.因此，当()0,2m ∈时，复数()2m z +所表示的点在第二象限.【点睛】本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，解题的关键在于利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于基础题. 19.已知函数()22xxf x k -=+⋅，k ∈R .（1）若函数()f x 满足()()f x f x -=-，求实数k 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()21xf x >成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）1k =-；（2）0k > 【解析】 【分析】（1）因为()22xxf x k -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-，k ∈R ,即()2222xx x x k k --+⋅=-+⋅，所以()()21120xk k +++⋅=，即可求得答案；（2）因为均有[)0,x ∈+∞，()21xf x >，所以212x k -<对0x ≥恒成立，所以()2min12x k -<，即可求得答案.【详解】（1）()22x x f x k -=+⋅是奇函数，∴()()f x f x -=-，k ∈R即()2222xx x x k k --+⋅=-+⋅∴()()21120x k k +++⋅=，对一切x ∈R 恒成立， ∴1k =-.（2）均有[)0,x ∈+∞，()21xf x >∴212x k -<对0x ≥恒成立， ∴()2min 12x k -<.22xy =[)0,+∞上单调递增，∴()2min 21x =. ∴0k >.【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求参数和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握奇函数性质和根据不等式恒成立求参数范围解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 20.已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）43n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）41n nT n =+． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据.得到．从而通过确定1a ，当2n ≥时,1n n n a S S -=-，验证11a =也适合上式,得到所求通项公式. （Ⅱ）利用“裂项相消法”求和.难度不大，对基础知识的考查较为全面. 试题解析：（Ⅰ）由已知，. 2分所以．从而111;a S ==当2n ≥时,2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又11a =也适合上式,所以43n a n =-. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）， 8分所以． 12分考点：等差数列的通项公式，裂项相消法.21.已知()cos23sin 2f x x x ωω=，其中（0>ω），若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π. （1）求ω的取值范围；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，7a =3ABCS =.当ω取最大值时，()1f A =，求b ，c 的值.【答案】（1）10,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）1b =，2c =或2b =，1c =【解析】 【分析】（1）()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因为()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，2T≥π，即可求得答案； （2）当12ω=时，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()2sin 16f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，2T∴≥π， 2ωπ∴≥π， 10,2ω⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.（2）当12ω=时，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 16f A A π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0A π<<，666A ππ7π∴<+<，23A π=.由1sin 2ABCSbc A ==，可得2bc =——① 又222222cos 7a b c bc A b c bc +=+-=+=——② 由①②得：1b =，2c =或2b =，1c =.【点睛】本题主要考查了辅助角公式和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用辅助角公式和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 22.已知函数()ln p x x =.（1）函数()()q x p x x =-，确定()q x 的单调区间： （2）函数()()()232213f x p x x ax =--，若对于任意的1x ，()21,x ∈+∞，12x x ≠，总有()()121220f x f x x x -+<-，求a 的取值范围.【答案】（1）在区间()0,1上为增函数，在区间()1,+∞上为减函数；（2）1a ≥ 【解析】【分析】（1）()ln q x x x =-，可得()1x q x x-'=，又0x >，故当()0,1x ∈时，()10xq x x -'=>，()q x 在区间()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()10xq x x-'=<，()q x 在区间()1,+∞上为减函数，即可求得答案；（2）因为12x x ≠，不妨设12x x >，可得()()121220f x f x x x -+<-，故()()112222f x x f x x +<+，设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1,+∞单调递减，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）()ln q x x x =-，()1xq x x-'∴=，又0x >， ∴当()0,1x ∈时，()10xq x x -'=>，()q x 在区间()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()10xq x x -'=<，()q x 在区间()1,+∞上为减函数， 即()q x 在区间()0,1上为增函数，在区间()1,+∞上为减函数. （2）12x x ≠，不妨设12x x >，()()121220f x f x x x -+<-.()()()121220f x f x x x -+-<∴ ()()112222f x x f x x ∴+<+设()()2g x f x x =+， 则()g x 在()1,+∞单调递减，()0g x '∴≤在()1,+∞恒成立.由已知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，()0g x '≤，22ln 1x a x x ∴≥+在()1,+∞恒成立. 令()22ln 1x h x x x=+，则()()32ln 1x x x h x x --'=，令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-，∴当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，即()F x 在()1,+∞单调递减，且()()10F x F <=，()0h x '∴<在()1,+∞恒成立，()h x ∴在()1,+∞单调递减，且()()11h x h <=， 1a ∴≥.【点睛】本题主要考查了根据导数求单调区间和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握导数求单调区间求法和根据不等式恒成立求参数范围解法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.23.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，603BC =米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=.（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.【答案】（1）()60cos sin 1cos sin l αααα++=，定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)3600021元．【解析】【分析】（1）利用勾股定理通过l OE OF EF =++，得出()60cos sin 1cos sin l αααα++=，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设sin cos t αα+=，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求OEF ∆的周长1201l t =-最小，求出t 的取值范围，根据该函数的单调性可得出l 的最小值.【详解】（1）由题意，在Rt BOE ∆中，60OB =，2B π∠=，BOE α∠=，60cos OE α∴=， Rt AOF ∆中，60OA =，2AFO π∠=，60sin OF α∴=，又2EOF π∠=，60cos sin EF αα∴===， 所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即()60cos sin 1cos sin l αααα++=. 当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时6πα=； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时3πα=. 故此函数的定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF ∆的周长l 的最小值即可．由（1）得()60cos sin 1cos sin l αααα++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，21sin cos 2t αα-∴⋅=， 则()()260cos sin 16011201cos sin 12t l t t αααα+++===--， 由,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5712412πππα≤+≤，12t +≤≤1112t ≤-≤，1111t ≤≤-，当4πα=，即当60BE =时，)min 1201l =，答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)360001元． 【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.。
