《现代控制理论基础》李先允著 第4章 线性系统的能控性和能观测性

x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全能控。
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第4章 线性系统的能控性和能观测性
必要性：已知系统完全能控，欲证Wc[0, t1] 非奇异。反
设Wc[0, t1]为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
x0TWc[0, t1]x0 0
0 x0TWc[0,t1] x0
t1 0
x0T
e
以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不
能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。
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第4章 线性系统的能控性和能观测性
例4-2： 系统的原理图如图4-2所示
选取x1= iL，x2= uc， y = uc，
iL L R
R
u R uc R
图4-2 桥式电路
原理图表明：控制量u可以控制状态x1，但对状
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第4章 线性系统的能控性和能观测性
4．状态能达与系统能达
对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u x(t0 ) x0 t J
若 存 在 能 将 状 态 x(t0)=0 转 移 到 x(tf)=xf 的 控 制 作用，则称状态xf是t0时刻能达的。
若xf对任意初始时刻t0 J都是能达的，则称状 态xf为一致能达。若系统对于状态空间中的每一个 非零状态都是时刻t0能达的，则称该系统是t0时刻 完全能达的，或简称系统是t0时刻能达的。
证：充分性：已知Wc[0, t1]为非奇异，欲证系统为完 全能控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0 可构造控制u(t)为：
u(t) BT eATtWc1[0,t1]x0, t 0,t1
则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t)dt

变换后的约当标准型每个约当块的最后一行所对应 Bˆ 阵中各行的
J1
xˆ



xˆ

元素不全为0。
Bˆ u

Jn
例：判别系统的可控性
2 1 0
1)x
0
2x2u
可控

x1 x2

2 x1 2 x2

x2 2u
2 1 1
第四章 控制系统的能控性和能观性
教学内容:
1.线性控制系统能控性和能观测性概述。 2.线性连续系统的能控性。 3.线性连续系统的能观测性。 4.线性离散系统的能控性和能观测性。 5.对偶性原理。
1 0 1
x


0
3

x


0

u
y [0 1]x
6.系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系。
0 1
1 0
2 1
2 0
4 1
rankM 3n
能控
26 6 17 0 0 1 0 4 2
M
MT


6
3
2

rank(MMT)3
17 2 21
2、具有约当标准型的系统的能控性判别
1）特征值互异：xAxBu能控的充要条件是经过非奇异变
换后的约当标准型 1
解：
Mb
பைடு நூலகம்1 x
Ab
2

0 1
1 0

x2


x1

u
rankM2
满秩，能控
2 0 1
3)x0 2 x1u
X2
解： Mb

I
A
n
（24）
例 系统方程如下，试判断系统的能控性
x
2
0
0 5
x
1 2u
y 0 1x
解
C rankCA
0 rank0
1 5
1
不满秩，故系统不能观测。
能观测性判据
定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征值 λi互异，经过
非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是C
λ1 、λ2 、…、 λk 分别为 l1 重、l2 重、…、 lk 重。
k
且 li n ，λi λj ，(i j) 经过非奇异线性变换，得到约当阵 i 1
J1
0
x
J2
x Bu
0
J
k
y Cx
λi 1
0
Ji
λi
1
0
λi
则系统能观测的充分必要条件是矩阵 C 中与每一个约当子块第一列
控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[λi I A B] n (i 1,2,, n)
（10）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λi 互异，
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λ1
0
x
λ2
x Bu
（11）
0
能控性及其判据
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t) ，使系统从
状态空间坐标原点推向预先指定的状态 x(t1) ，则称系统是状态能
达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控
性和能达性是等价的。
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控 的。

第三章
线性控制系统的能控性和能观性
系统的能控性和能观性
能控性与能观测性是线性系统的两个重要性质，这两 个概念是60年代初由卡尔曼提出来的，然后便成了近代 控制理论中的两个基础性概念。近代控制理论中的许多 基本问题，如极点配置、观测器设计、解耦问题、最优 控制、最佳估计等，都与能控性和能观测性密切相关。 例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系 统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及 到系统的能观测性条件。
能控性的描述
如果系统状态方程经非奇异变换化为对角型或者约当型后导出的每 一个方程中，和u的相关项都不完全消除，那么每个状态变量都总是 和u中的至少一个控制变量直接关联的。
如果系统状态方程经非奇异变换化为对角型或者约当型后导出的简 单形式中，存在这样的状态变量，它们与u的相关项被完全消除了， 那么，相应的这些状态变量就是和u没有直接关联的。 对于和u没有直接关联的状态变量，如果它们的状态变量方程的耦 合项中，包含和 u有直接关联的状态变量；或者，间接和 u 有关联。 那么这些状态变量是和u的至少一个控制变量有间接关联的。 如果最简形式中存在某些状态变量，和u中的任何一个分量无直接 关联，又和其无间接关联，则这些状态变量是和u无关联的。
能控性的说明
如果系统状态不能控，则可以把全部系统状态变量分为能控和不能控 两部分，也即把它们分解成完全能控子空间和完全不能控子空间，且这 两个子空间互相正交。叠加性可证明之。 严格地说，定义中选择初态为状态空问中的任意非零有限点，而终态 为状态空间的原点，这用于状态能控性问题。反之，若初态为状态空间 的原点，而终态为状态空间中任意非零有限点，则属于能达性问题。但 是对于线性系统(包括线性离散系统)而言，由于状态转移矩阵的可逆性， 能控性与能达性是等价的。