北京交通大学现代远程教育交通类专业《高等数学》(专升本)模拟试题(2)

2011级（春）季网络教育专科、高起本入学考试《数学》模拟练习题（二）参考答案一、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内）1、设全集U ={0,1,2,3},集合A ={0,1} ,集合B = {2,3}则仄「3= ( )o(A) 2, 3(B)(C) (2,3)(D){0,1}2、若COSQ =——，则sii/o+cos"。

= ( )o 340 41(A) ——(B81 8111 13(C)—(D18 183、y = sin27rx的最小正周期为（）。

(A) 1(B)2(C) n(D)4、命题甲x = 4ab是命题乙a,x,b成等比数列的（）。

（A）充分非必要条件(B)必要非充分条件（C）充分且必要条件(D) 既非充分也非必要条件5、已知f（10' ） = x,则广（0）=（)o(A) 0 (B)1(C) 10(D) 不能确定6、函数y = j4 —2国的定义域为（）。

(A) x<2(B)—2 v X v 2(C) x > < -2 (D)-2<x<2亍―y2=]J — y2=2关系为 ( )。

(A) 平行 (B) 垂直 (C) 斜交 (D) 共线10、双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，两条渐近线相互垂直且过点（-2,0）的双曲线方程为（ ）。

（C ） x 2-y 2 =4（D ） y 2 -x 2 =4二、填空题：（请将正确答案直接填在题中横线上）11、 若a 、”是方程X 2-3X -1-0的两个实数根，则（a —"）2= 12、 27与 一 2竭 3.典2： - lg' + 21g5 + （-3.14）°+g 「。

13、 在 AA3C 中，ZA = 105°, ZC = 30°, BC=1,则 AB =。

14、 若f （x ） = a x+b 的图像过点（1,7）,其反函数厂⑴的图像过点（4,0）, 则/'（X ）的表达式为15、椭圆4x 2 + y 2 =1的焦点在 _____ 轴上。

专升本（高等数学二）模拟试卷112(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，下列变量是无穷小量的是( )A．B．ln?x?C．D．cotx正确答案：C解析：经实际计算及无穷小量定义知应选C．=—∞．=∞．注：先观察四个选项，从已知极限=l，先把A排除，再利用lnx的性质可把B排除，C自然可验证是正确的，由cotx的性质，可排除D项．2．曲线y=x3一3x上切线平行于x轴的点是( )A．(0，0)B．(1，2)C．(一1，2)D．(一1，－2)正确答案：C解析：由y=x3一3x得y＇=3x2一3，令y＇=0，得x=±1．经计算x=一1时，y=2；x=1时，y=一2，故选C．3．若f(u)可导，且y=f(ex)，则dy= ( )A．f＇(ex)dxB．f＇(ex)exdxC．f(ex)exdxD．f＇(ex)正确答案：B解析：因为y=f(ex)，所以，y＇=f＇(ex)exdx．4．已知函数y=f(x)在点x0处可导，且，则f＇(x0)等于( )A．－4B．一2C．2D．4正确答案：B解析：因于是f＇(x0)=一2．5．如果在区间(a，b)内，函数f(x)满足f＇(x)＞0，f＂(x)＜0，则函数在此区间是( )A．单调递增且曲线为凹的B．单调递减且曲线为凸的C．单调递增且曲线为凸的D．单调递减且曲线为凹的正确答案：C解析：因f＇(x)＞0，故函数单调递增，又f＂(x)＜0，所以函数曲线为凸的．6．曲线y=(x一1)3一1的拐点是( )A．(2，0)B．(1，一1)C．(0，－2)D．不存在正确答案：B解析：因y=(x一1)3一1，y＇=3(x一1)2，y＂=6(x一1)．令y＂=0得x=1，当x＜1时，y＂＜0；当x＞1时,y＂＞0．又因y?x=1=一l，于是曲线有拐点(1，一1)．7．若∫f(x)dx=ln(x+)+C，则f(x)等于( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因∫f(x)dx=ln(x+)+C，所以f(x)=[ln(x+)+C]＇=8．下列反常积分收敛的是( )A．∫1+∞cosxdxB．∫1+∞exdxC．∫1+∞dxD．∫1+∞lnxdx正确答案：C解析：对于选项A：∫1+∞cosxdx=(sinb一sinl)不存在，此积分发散；对于选项B：∫0+∞exdx=(eb一e)不存在，此积分发散；对于选项C：，此积分收敛；对于选项D：∫1+∞lnxdx=(blnb－b+1)不存在，此积分发散.9．设z=xy，则dz= ( )A．yxy-1dx+xylnxdyB．xy-1dx+ydyC．xy(dx+dy)D．xy(xdx+ydy)正确答案：A解析：由=yxy-1,=xy·lnz，所以dz==yxy-1dx+xylnxdy，故选A．10．某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0．8，超过60年的概率为0．6，该建筑物经历了50年后，它将在10年内倒塌的概率等于( ) A．0．25B．0．30C．0．35D．0．40正确答案：A解析：设A={该建筑物使用寿命超过50年}，B={该建筑物使用寿命超过60年} 由题意，P(A)=0．8，P(B)=0．6，所求概率为：P(?A)=1一P(B?A)=1－=1－=0.25.填空题11．=______________．正确答案：解析：12．函数f(x)=在x=0处连续，则a= ______________．正确答案：6解析：又因f(x)在x=0连续，则应有1=，故a=6．13．y=cose1/x，则dy=______________．正确答案：解析：由y=cose1/x所以dy=一dx =dx 14．(1+2x)3/x= ______________．正确答案：e6解析：=e6．15．设z=ex/y，则= ______________．正确答案：一解析：由z=故16．设y=e2arccosx，则y＇?x=0=______________．正确答案：一2eπ解析：由y＇=e2arccosx·2故y＇?x=0=－2eπ．17．∫02?x－1?dx=______________．正确答案：1解析：∫02?x一1?dx=∫01(1一x)dx+∫12(x一1)dx=1－—1=1．注：绝对值函数的积分必须分段进行．18．=______________．正确答案：x—arctanx+C解析：=x—arctanx+C．19．∫sec25xdx=______________．正确答案：tan5x+C解析：∫sec25xdx=sec25xd5x sec2udu=tanu+C=tan5x+C20．设f(x)是[一2，2]上的偶函数，且f＇(一1)=3，则f＇(1)= ______________．正确答案：一3解析：因f(x)是偶函数，故f＇(x)是奇函数，所以f＇(一1)=一f＇(1)，即f＇(1)=一f＇(一1)=一3．解答题21．设y=(tanx)1/x，求dy．正确答案：由y=(tanx)1/x，则lny=一lntanx，两边对x求导有所以y＇=故dy=22．设x1=1，x2=2均为y=alnx+bk2+3x的极值点，求a，b.正确答案：由y=alnx+bx2+3x，则y＇=+2bx+3．因为x1=1，x1=2是极值点，所以y＇?x=1=0，y＇?x=2=0，即解得a=一2，b=一。

专升本（高等数学二）模拟试卷28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．0B．1C．e-1D．+∞正确答案：C解析：因为在x=0处f(x)=e1/x-1是连续的。

2．当x→0时，ln(1+αx)是2x的等价无穷小量，则α=A．-1B．0C．1D．2正确答案：D解析：3．已知f’(x+1)=xex+1，则f’(x)=A．xexB．(x-1)exC．(x+1)exD．(x+1)ex+1正确答案：A解析：用换元法求出f(x)后再求导。

用x-1换式中的x得f(x)=(x-1)ex，所以f’(x)=ex(x-1)ex=xex。

4．A．0B．1C．cos1-2sin1D．cos1+2sin1正确答案：C解析：5．曲线y=α-(x-b)1/3的拐点坐标为A．(α，0)B．(α，-b)C．(α，b)D．(b，α)正确答案：D解析：6．A．B．C．D．正确答案：B解析：7．A．B．C．D．正确答案：D8．函数f(x)在[α，b]上连续是f(x)在该区间上可积的A．必要条件，但非充分条件B．充分条件，但非必要条件C．充分必要条件D．非充分条件，亦非必要条件正确答案：B解析：根据定积分的定义和性质，函数f(x)在[α，b上连续，则f(x)在[α，b]上可积；反之，则不一定成立。

9．A．B．C．D．正确答案：A解析：10．A．是驻点，但不是极值点B．是驻点且是极值点C．不是驻点，但是极大值点D．不是驻点，但是极小值点正确答案：D解析：填空题11．正确答案：112．设y=f(α-x)，且f可导，则y’__________。

正确答案：-α-xlnα*f’(α-x)13．设y=eαx，则y(n)__________。

正确答案：anem14．函数f(x)=x/lnx的驻点x=_________。

正确答案：x=e15．设y=y(x)由方程xy+x2=1确定，则dy/dx=__________。

"工厲一1+工口捆一1D.北京交通大学网络教育专升本数学试题库答案：B 6、设 1: :则厂、-（）A. 口工氐―l+a/fnctB.OD 1J 4 3eG1-3十3B1-J +代5、已知函数' ' _，则，’「• （）答案：A7、设y = 3劭傀工，则$ =（）。

A.3S 魂珥怜3B.c® 侏叱咧D.3^-1（^^答案：B8、设函数---j -'-可导，若--■ - '■：■■,则丁 -（）A.「二-「-|i ：丨B. - ' -I' ■- ：1 - ■.-C. " ：• 一1 工n 'ID. ■- I' -I . ' 'j答案：A9、函数^ —在点工一.处（）A.无定义B. 不连续C. 可导D. 连续但不可导答案：D10、下列函数中，在点丄 .处不可导的是（）a. 9 =址B.y = c. y二D.y-^答案：A11、函数/^l-1^-21在点^ = 2处的导数是（）A.1B.OC.-1D.不存在答案：D12、函数在点L处连续是在该点可导的（）A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D.无关条件答案：B13、按照微分方程通解的定义，-：' —J.的通解为（）。

答案：Aa14、设&〔为连续函数，且f X dx 0,则下列命题正确的是（）。

-aA.fg 为［-务可上的奇函数b. ME 为［一①间上的偶函数c. M （羽可能为［一°出］上的非奇非偶函数D.f 倒必定为［一亀°］上的非奇非偶函数答案：C15、设，：一•，则J *尸厂（）答案：D18、下列定积分等于零的是 （c Stnx+c^x-hcjD.stnx+c^-bcnA.1B.-1C.不存在答案::C16、dx(）。

2 (・1 XATA.B.2C 答案::Adx /）。

17、 —（-1xAG B.1不存在 D. I1 C.- D..1.D.0答案：D1 1A...B.-1 11/L +讣c.-D.-1C19、函数］.-在点工—宀r 处有定义是打趋近于"「时有极限的（ ）。

专升本（高等数学二）模拟试卷114(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)=在x=0处连续，则a= ( )A．一1B．1C．2D．3正确答案：C解析：f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处既左连续又右连续，所以=2=f(0)=a，故a=2．2．函数y=x+cosx在(0，2π)内( )A．单调增加B．单调减少C．不单调D．不连续正确答案：A解析：由y=x+cosx，所以y＇=1一sinx≥0(0＜x＜2π)，故y在(0，2π)内单调增加．3．设∫f(x)dx=x2+C，则f(－sinx)cosxdx= ( )A．1B．一1C．D．一正确答案：B解析：由∫f(x)dx=x2+C，知∫f(－sinx)cosxdx=∫f(－sinx)dsinx=一∫f(－sinx)d(－sinx)=一(一sinx)2+C=一sin2x+C，所以f(一sinx)cosxdx=一sin2x=一1．4．设在(a，b)内有∫f＇(x)dx=∫g＇(x)dx，则在(a，b)内必定有( )A．f(x)一g(x)=0B．f(x)一g(x)=CC．df(x)≠dg(x)D．f(x)dx=g(x)dx正确答案：B解析：由∫f＇(x)dx=∫g＇(x)dx，得∫[f＇(x)一g＇(x)]dx=0，即f＇(x)一g＇(x)=0，又∫[f＇(x)一g＇(x)]dx=∫0dx=0，故f(x)一g(x)一C=0，所以f(x)一g(x)=C.5．设f(x)是可导函数，且=1，则f＇(x0)= ( ) A．1B．0C．2D．正确答案：D解析：=1与f＇(x0)=相比较，可得f＇(x0)注：令2h=t，由=1，也可得出f＇(x0)=6．sint2dt= ( )A．2xcosx2B．x2cosx4C．2xsinx4D．x2sinx4正确答案：C解析：sint2dt=sin(x2)2．(x2)＇=2xsinx4．7．当x→1时，是1一√x的( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．等价无穷小D．不可比较正确答案：C解析：由=1，所以当x→1时，与1一√x是等价无穷小．8．曲线yex+lny=1，在点(0，1)处的切线方程为( )A．y一1=一B．y=一(x一1)C．y一1=一D．y一1=一正确答案：A解析：由yex+lny=1，两边对x求导得y＇ex+yex+·y＇=0，即y＇=，所以，故切线方程为y一1=一9．曲线y=3x2一x3的凸区间为( )A．(一∞，1)B．(1，+∞)C．(一∞，0)D．(0，+∞)正确答案：B解析：y=3x2－x3，y＇=6x一3x2,y＂=6－6x=6(1一x)，显然当x＞1时，y＂＜0；而当x＜1时，y＂＞0．故在(1，+∞)内曲线为凸弧．10．事件A，B满足AB=A，则A与B的关系为( )A．A=BB．A BC．A BD．A=正确答案：B解析：AB=A，则A AB(ABA，按积的定义是当然的)，即当ω∈A时，必有ω∈AB。

专升本（高等数学二）模拟试卷76(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0+时，________与x是等价无穷小量．【】A．B．ln(1－x)C．D．x2(x+1)正确答案：C解析：所以选C．2．设f(x)=(x≠0)在x=0处连续，且f(0)=，则a= 【】A．2B．－2C．D．正确答案：D解析：因为f(x)在x=0处连续．所以解得a=，选D．3．设f(x)=则f(x)在点x=0处【】A．可导且f?(0)=0B．可导且f?(0)=1C．不连续D．连续但不可导正确答案：A解析：=0=f(0)，所以f(x)在x=0处连续，f?(0)==0，选A．4．下列求极限问题中需要先将函数恒等变形后再用洛必达法则的是【】A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A、B、D分别属于型可直接使洛必达法则，而选项C 是0.∞，必须变乘为除，然后使用法则．5．函数y=ax2+b在(－∞，0)内单调增加，则a，b应满足【】A．a＞0，b=0B．a＜0，b≠0C．a＞0，b为任意实数D．a＜0，b为任意实数正确答案：D解析：因为函数y=ax2+b在(－∞，0)内单调增加，所以y?=2ax＞0，因x＜0，所以a＜0，此结论与b无关，所以应D．6．若∫f(x)dx=xe－x+C，则f(x)= 【】A．(1－x)e－xB．－e－xC．xe－xD．－e－x正确答案：A解析：f(x)=[∫f(x)dx]?=(xe－x+C)?=(1－x)e－x，故A．7．设f(x)在[a，b]上连续，则下列各式中________不成立．【】A．∫abf(x)dx=∫abf(t)dtB．∫abf(x)dx=－∫baf(x)dxC．∫abf(x)dx=0D．若∫abf(x)dx=0，则f(x)=0正确答案：D解析：由定积分的性质知，A、B、C选项都成立，若a=－b，且f(x)为奇函数，则∫abf(x)dx=0，而f(x)为奇函数，不一定有f(x)=0，如f(x)=x，x3等等，f(x)都是奇函数，使得∫abf(x)dx=0，故D．8．设= 【】A．－1B．0C．1D．2正确答案：C解析：先求，再代入：9．如果∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e－xf(e－x)dx= 【】A．F(ex)+CB．－F(e－x)+CC．F(e－x)+CD．e－xF(e－x)+C正确答案：B10．下列说法正确的是【】A．或A，B为对立事件，则P()=0B．若P(AB)=0，则P(A)=0或P(B)=0C．若A与B互不相容，则P(A)=1－P(B)D．若A与B互斥，则P()=1正确答案：D填空题11．设f(x)=，则f[f(x)]=________．正确答案：x解析：f[f(x)]==x．12．=________．正确答案：e－1解析：13．设函数f(x)在x=2处连续，且存在，则f(2)=________．正确答案：1解析：因为存在，所以f(x)－1→0，即f(x)→1(x→2)．因为f(x)在x=2处连续，所以f(2)=1．14．若f(x)=，则f?(x)=________．正确答案：(1+2x)e2x解析：由题知f(x)=xe2x，f?(x)=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x．15．若，则φ(x)=________．正确答案：4x解析：根据不定积分定义可知，有故φ(x)=4x．16．设函数y=，则其单调递增区间为_______．正确答案：(－∞，0]解析：若y?=ln3.(－2x)＞0，则x＜0，则其单调递增区间为(－∞，0]．17．∫xf(x2)f?(x2)dx=________．正确答案：f2(x2)+C解析：∫xf(x2)f?(x2)dx=+C．18．z=(1－x)2+(2－y)2的驻点是________．正确答案：(1，2)解析：因为，则x=1，，则y=2，所以驻点为(1，2)．19．设z是方程x+y－z=ex所确定的x与y的函数，则dz=________．正确答案：解析：设F(x，y，z)=x+y－z－ez=0，20．设事件A，B相互独立，且P(A)==a－1，P(A+B)=，则常数a=________．正确答案：解析：由加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)，且P(B)=1－，则有=a－1+2－a－(a－1)(2－a)，即9a2－27a+20=0=>(3a －4)(3a－5)=0，解得解答题21．设f(x)=求k为何值时使f(x)在其定义域内连续．正确答案：又因f(x)在x=0连续．所以k2=e－2，即k=±e－1．22．求y=的一阶导数y?．正确答案：两边先取对数，再求导．23．设工厂A到铁路线距离为20公里，垂足为B，铁路线上距离B为100公里处有一原料供应站C，现从BC间某处D向工厂A修一条公路，为使从C 运货到A运费最省，问D应选在何处?(已知每公里铁路与公路运费之比为3：5)正确答案：如图，设BD为x公里，铁路每公里运费为a，则公路每公里运费为，于是总运费为得唯一驻点x=15∈(0，100)．故当D距B为15公里时，从C运货到A运费最省．24．求曲线y=x2+1(x≥0)与y=x+1所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积．正确答案：由题作图，由图知(1)绕x轴旋转的体积为Vx=π∫01[(x+1)2－(x2+1)2]dx=π[∫01[(x+1)2dx－∫01(x2+1)2dx](2)绕y轴旋转的体积为25．一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品数，求：(1)随机变量X的分布列；(2)随机变量X的分布函数．正确答案：(1)由题意知，随机变量X的可能值是0，1，2，且有随机变量X的分布列为26．求函数y=x3－2x2的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点．正确答案：函数y的定义域是(－∞，+∞)．y?=3x2－4x=x(3x－4)，令y?=0，得驻点x1=0，x2=y??=6x－4，y??｜x=0=－4＜0，故x=0是极大值点，极值是y=0；当－∞＜x＜0时，y?＞0；当＜x＜+∞时，y?＞0，所以y的单调增加区间是(－∞，0)∪(，+∞)．当0＜x＜时，y?＜0，所以y的单调减少区间是(0，)．令y??=0，得x=，列表如下：27．(1)求在区间[0，π]上的曲线y=sinx与x轴所围成图形的面积S．(2)求(1)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：(1)S=∫0πsinxdx=－cosx｜0π=2．28．设正确答案：。

北京交通大学网络教育专升本数学试题库1、设是常数，则当函数在处取得极值时，必有（）A.0B.1C.2D.3答案： C2、函数在点处的二阶导数存在,且()0'f，0= ()0''f;则下列结论正确的是（）0>A.不是函数的驻点B.不是函数的极值点C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点答案： C3、设，则（）A. B. C.D.答案： C4、曲线在点M处切线的斜率为15，则点M的坐标是（）A.(3,5)B.(-3,15)C.(3,1)D.(-3,1)答案： C5、已知函数，则（）A. B. C. D.答案： B6、设则（）A. B.C. D.答案： A7、设，则（）。

A. B.C. D.答案： B8、设函数可导，若，则（）A. B.C. D.答案： A9、函数在点处（）A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导答案：D10、下列函数中，在点处不可导的是（）A. B. C. D.答案： A11、函数在点处的导数是（）A.1B.0C.-1D.不存在答案： D12、函数在点处连续是在该点可导的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件答案： B13、按照微分方程通解的定义，的通解为（ ）。

A. B. C. D.答案： A14、设为连续函数，且()⎰=aa dx x f -0，则下列命题正确的是（ ）。

A.为上的奇函数B.为上的偶函数C.可能为上的非奇非偶函数D.必定为上的非奇非偶函数答案： C 15、设，则（ ）A.1B.-1C.不存在D.0 答案： C 16、⎰+∞∞=+-21x dx（ ）。

A. B. C.不存在 D. 答案： A17、⎰+∞=1-2xdx （ ）。

A. B. C. D.答案： D18、下列定积分等于零的是（ ）。

A. B.C. D.答案： C 19、函数在点处有定义是趋近于时有极限的（ ）。

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 答案： D20、下列积分中，值为零的是 （ ）。

专升本高等数学二（解答题）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求极限．正确答案：所求极限为∞一∞型，不能直接用洛必达法则，通分变成型．涉及知识点：函数、极限与连续2．正确答案：涉及知识点：函数、极限和连续3．证明当x＞0时，有．正确答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．涉及知识点：一元函数微分学4．正确答案：涉及知识点：函数、极限和连续5．求函数的连续区间和相应的极值：正确答案：涉及知识点：函数、极限和连续6．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学7．已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．正确答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．涉及知识点：一元函数积分学设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0．8．验证f’’(μ)+=0；正确答案：求二元复合函数z=的二阶偏导数中必然包含f’(μ)及f’’(μ)，将的表达式代入等式=0中，就能找出f’(μ)与f’’(μ)的关系式，由题意可知μ=，则涉及知识点：多元函数积分学9．若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式．正确答案：在方程f’’(μ)+=0中，令f’(μ)=g(μ)，则f’’(μ)=g’(μ)，方程变为g’(μ)+=0，这是可分离变量微分方程，解得g(μ)=，即f’(μ)=，由初始条件f’(1)=1C1=1，所以f’(μ)=，两边积分得f(μ)=lnμ+C2，由初始条件f(1)=0C2=0，所以f(μ)=lnμ．涉及知识点：多元函数积分学10．求微分方程y’+ysinx=sinx满足=π的特解．正确答案：利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得y=e－∫sinxdx(sinxe∫sinxdx+C)=ecosx(∫sinxe－cosxdx+C)=ecosx(∫e－cosxd(－cosx)+C)=ecosx(e－cosx+C)=Cecosx+1，将初始条件=π，代入得C=π一1，故原方程的特解为y=ecosx(π一1)+1．涉及知识点：常微分方程11．求函数单调区间和极值：正确答案：涉及知识点：一元函数微分学12．将f(x)=sin2x展成x的幂级数．正确答案：涉及知识点：无穷级数13．求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y 一3z+5=0的平面方程．正确答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y 一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．涉及知识点：向量代数与空间解析几何14．正确答案：涉及知识点：综合15．正确答案：涉及知识点：综合。

《高等数学》试题一、填空题：1. 极限301lim ln(12)xx e x -®-+= . 2. 极限sin 01lim ln(12)x x e x ®--= . 3. 极限30lim(12)xx x ®-= . 4. 极限0ln(13)limsin x x x®+= . 5. 极限301lim tan 2x x e x®-= . 6. 极限301limarcsin x x e x-®-= . 7. 已知0(2)1lim3x f x x ®=，则0lim(3)x xf x ®= . 8. 已知0lim3(3)x xf x ®=，则0(2)lim x f x x ®= . 9. 设()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x x =-----，则(0)f ¢= . 10. 设2()(1)arctan f x x x =+，则(0)f ¢= . 11. 设22()(2)arcsin f x x x =+，则(0)f ¢= . 12. 设2()(1)arcsin f x x x =-，则(0)f ¢= . 13. 已知2(ln )f x dx x C x¢=+ò，则()f x = . 14. 设()f x 的一个原函数sin x ，则()xf x dx ¢ò= . 15. 设()f x 的一个原函数是cos x ，则()xf x dx ¢ò= . 16. 设xe -是()f x 的一个原函数，则2(ln )x f x dx ò= . 17. ()21213x x dx -+-ò= . 18. ()2121sin 4cos x x dx -++ò= . 19. ()21212x x dx -++ò= . 20. ()22cos x x xdx p p -+ò= . 21. ()2121sin 2cos x x dx -++ò= . 22. 设函数2,0(),0xe xf x a x x ì+<=í+³î在0x =处连续，则a = . 23. 设123(1)1,0()1cos 0, 0x x f x x x ì+-ï>=í-ï£î，则0x =是()f x 的第的第类间断点. 24. 设31,0()0, 0x e x f x xx ì->ï=íï£î，则0x =是()f x 的第的第 类间断点. 25. 设ln(13),0()1, 0x x f x x x +ì>ï=íï£î，则0x =是()f x 的第的第 类间断点. 26. 设函数()f x 在0x =的某个邻域内可导，且0()1(0)0,lim sin 2x f x f x ®¢¢==，则(0)f 是()f x 的极 值. 27. 设函数()f x 在0x =的某个邻域内可导，且0()(0)0,lim21xx f x f e ®¢¢==-，则(0)f 是()f x 的 极 值. 28. 设函数()f x 在0x =的某个邻域内可导，且0()1(0)0,limln(12)3x f x f x ®¢¢==-+，则(0)f 是()f x 的极 值. 29. 设220()(),()xF x tf x t dt f x =-ò连续，则()F x ¢= . 30. 设232x y z exy =-，则dz = . 31. 设332xy z e x y =+，则dz = . 32. 设2325x y z x y -=+，则dz = . 33. 设232sin()x y z xy e=-，则dz = . 34. 设3223cos()x y z x y e-=-，则dz = . 35. 设22ln()z x xy y =++，则z z xyxy¶¶+¶¶= . 36. 改变2120(,)x x xI dx f x y dy -=òò的积分顺序，则I = . 37. 改变2111(,)yy I dyf x y dx --=òò的积分顺序，则I = . 38. 设幂级数11()2n n n a x ¥=-å，在2x =发，散，在在1x =-收敛，则幂级数1(1)n n n a x ¥=+å的收敛域为 . 39. 设幂级数11()2n n n a x ¥=-å，在2x =点收敛，在1x =-点发散，则幂级数1(2)n n n a x ¥=-å的收敛域为 . 40. 设幂级数1nn n a x ¥=å，在3x =点收敛，在3x =-点发散，则幂级数1(8)nn n a x ¥=-å的收敛域为 . 41. 设幂级数1nn n a x ¥=å，在3x =点发散，在3x =-点收敛，则幂级数1(3)nn n a x ¥=+å的收敛域为 . 42. 设幂级数1nn n a x ¥=å，在2x =点收敛，则该级数在32x =处必定处必定. 43. 幂级数357357x x x x -+-+的收敛域是的收敛域是 . 44. 常微分方程3100y y y ¢¢¢--=的通解为的通解为 . 45. 常微分方程690y y y ¢¢¢-+=的通解为的通解为 . 46. 以212xxy C e C e-=+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 . 47. 以12x xy C e C xe =+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 . 二、选择题1. 在下列各极限中，极限值为e 的是的是 [ ] （A ）1lim(1)xx x -®+； （B ）01lim(1)xx x-®+；（C ）120lim(1)xx x -®-； （D ）01lim(1)xx x®-. 2. 在下列各极限中，极限值为1的是的是 [ ] （A ）0tan(sin )lim x x x ®； （B ）sin lim x x x ®¥；（C ）1sin(1)lim 1x x x ®++； （D ）20sin lim x xx ®. 3.3sin 0lim(12)xx x -®+等于等于 [ ] （A ）3e -； （B ）6e ； （C ）6e -； （D ）3e . 4. 在下列各极限中，极限值为1的是的是 [ ] （A ）0sin lim 2x x x ®； （B ）sin lim x x x ®¥；（C ）1sin(1)lim1x x x ®++； （D ）0arcsin lim ln(1)x xx ®+. 5. 2sin 0lim(13)x x x ®+等于等于[ ] （A ）6e -； （B ）6e ； （C ）3e ； （D ）3e -. 6. 已知0(2)1lim 3x f x x ®=，则0lim (3)x x f x ®等于等于 [ ] （A ）2； （B ）34； （C ）43； （D ）23. 7. 若函数()f x 在3x =处可导，且(3)2f ¢=，则0(3)(3)l i m h f h f h h®+--等于[ ] （A ）4； （B ）2； （C ）1； （D ）0. 8. 若函数()f x 在2x =处可导，且5)2(f =¢，则0(2)(2)l i mh f h f h h®+--等于[ ] （A ）5； （B ）-5； （C ）10； （D ）-10. 9. 若函数()f x 在1x =处可导，且3)1(f -=¢，则0(1)(1)l i mx f x f x x®+--等于[ ] （A ）-3； （B ）-6； （C ）-9； （D ）6. 10. 若函数()f x 在0x 处可导，且0001lim(2)()4x x f x x f x ®=+-，则0()f x ¢等于 [ ] （A ）4； （B ）4-； （C ）2； （D ）2-. 11.在下列各组函数中，()f x 与()g x 相同的组是相同的组是 [ ] （A ）2(),()f x x g x x ==； （B ）21()1,()1x f x x g x x -=+=-；（C ）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（D ）1,0(),()1,0x x f x g x x x ³ì==í-<î. 12. 设()(1)(21),(,)f x x x x ¢=-+Î-¥+¥，则在区间1(,1)2内 [ ] （A ）函数()f x 单调增加，且曲线()y f x =为凹的；为凹的； （B ）函数()f x 单调减少，且曲线()y f x =为凹的；为凹的； （C ）函数()f x 单调减少，且曲线()y f x =为凸的；为凸的； （D ）函数()f x 单调增加，且曲线()y f x =为凸的. 13. 若()()f x dx F x C =+ò，则sin (cos )xf x dx ò等于等于[ ] （A ）(sin )F x C +； （B ）(sin )F x C -+； （C ）(cos )F x C +； （D ）(cos )F x C -+. 14. 下列等式中正确的是下列等式中正确的是 [ ] （A ）[()]()d f x dx f x =ò； （B ）[()]()df x dx f x dx dx=ò； （C ）()()df x f x =ò； （D ）()()f x dx f x C ¢=+ò. 15. 下列等式中正确的是下列等式中正确的是 [ ] （A ）[()]()d f x dx f x dx =ò； （B ）[()]()df x dx f x dx dx =ò； （C ）()()df x f x =ò； （D ）()()1f x dx f x ¢=+ò. 16. 函数()f x 在0x 可导是函数()f x 在0x 点连续的点连续的 [ ] （A ）充分条件；）充分条件； （B ）必要条件；）必要条件； （C ）充要条件；）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件. 17. 函数()f x 在0x 可微是函数()f x 在0x 点可导的点可导的 [ ] （A ）充分条件；）充分条件； （B ）必要条件；）必要条件；（C ）充要条件；）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件. 18. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ¢¢存在是(,)f x y 在该点可微的在该点可微的 [ ] （A ）充分而非必要条件；）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；）必要而非充分条件； （C ）充分必要条件；）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件. 19. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点偏导数存在的在该点偏导数存在的 [ ] （A ）充分必要条件；）充分必要条件； （B ）必要而非充分条件；）必要而非充分条件； （C ）充分而非必要条件；）充分而非必要条件； （D ）既非充分又非必要条件. 20. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的在该点连续的 [ ] （A ）充分必要条件；）充分必要条件； （B ）必要而非充分条件；）必要而非充分条件； （C ）充分而非必要条件；）充分而非必要条件； （D ）既非充分又非必要条件. 21. 设平面直角坐标系中，区域22{(,)|4}D x y x y x =+£，则在极坐标系中，二重积分22()Dxy dxdy +òò可表示为可表示为[ ] （A ）4cos 300d r dr pqqòò； （B ）4cos 20d r dr p qqòò；（C ）42302d r dr p p q -òò； （D ）4cos 232d r dr pqp q -òò. 22. 设函数(ln )xyz y =，则zx ¶¶等于等于 [ ] （A ）1(ln )xy xy y -； （B ）(ln )ln(ln )xyy y y ；（C ）(ln )ln(ln )xyy y ； （D ）(ln )ln(ln )xyx y y . 23. 在下列各级数中，绝对收敛的级数是在下列各级数中，绝对收敛的级数是 [ ] （A ）11(1)nn n ¥=-å； （B ）211(1)n n n ¥=-å；（C ）1(1)1nn n n ¥=-+å； （D ）1(1)nn n ¥=-å. 24. 在下列各级数中，条件收敛的级数是在下列各级数中，条件收敛的级数是 [ ] （A ）311(1)nn n ¥=-å； （B ）1(1)1nn n n ¥=-+å；（C ）1(1)nn n ¥=-å； （D ）1(1)n n n ¥=-å. 25. 在下列各级数中，发散的级数是在下列各级数中，发散的级数是 [ ] （A ）11(1)nn n ¥=-å；（B ）211n n ¥=å；（C ）11n n n ¥=+å；（D ）11(1)n n n ¥=-å. 26. 在下列各级数中，发散的级数是在下列各级数中，发散的级数是 [ ] （A ）11n n ¥=å； （B ）11(1)n n n ¥=-å； （C ）211n n ¥=å； （D ）1(1)nn n ¥=-å. 27. 微分方程20y y ¢¢¢-=的通解为的通解为 [ ] （A ）212xy C x C e =+； （B ）12y C C x =+； （C ）2212y C x C x =+； （D ）212xy C C e =+. 28. 对于微分方程20,xy y y y Cxe-¢¢¢++==(C 为任意常数）则为任意常数）则[ ] （A ）是方程的通解；）是方程的通解； （B ）是方程的特解；）是方程的特解；（C ）不是方程的解；）不是方程的解； （D ）上述（A ）（B ）（C ）均不对. 三、解答题1. 求21lim (1sin )x x x x ®¥-2. 求111lim()ln 1x x x ®-- 3. 求03arcsin lim 1ln(1)3x x xx ®-- 4. 求30sin lim ln(13)x x xx ®-+ 5. 求x111x xlim -®6. 求220x x1x 31lim-+®7. 计算积分2x x dxI e e -=+ò 8. 已知xxe 是()f x 的一个原函数，求1()xf x dx ¢ò. x x22x x-x ydxdy,xz)1cos2xdx-ò-y 21-22x x )]lim sin lim)sin t--x x 1----211m1m1mx ----)11(111m11m 22222222+---+-------x x x x x x x x )11(1lim222+----x x xlim lim lim ---×--)131(3131m 31m 222222++++-+-+x x x x x 3)131(3lim 22++x x x 22x x xxp )1)t dxdt 1+2dt ¢0x 200x x 123dx x 1)-21y -21dy y 1-221pdy y tdtdy xy 01-1xy1xe xe -)1,0(xy1)1,1(xy =22x x y -=2p][20pp )dxdy yxdyyyx)22e rxy)1,1(2xy=xy=xy)1,1(xy=2xy422=+yx¶¶¶¶-¶-¶-¶¶¶ z F x Fxz ¶¶¶¶-=¶¶23223xy z x z y -=, z F yFy z ¶¶¶¶-=¶¶23226xy z y xyz --=-=dx xyz x z y 23223dy xy z y xyz 23226--y zln 两端分别对x z z x z ¶¶×=¶¶×1yy z z y z -¶¶×=¶×1222--=¶¶z xz x z , )12(2--=¶¶z y z yzdx z xz 1222dy z y z)12(2--x F =¶¶ y yF 1=¶¶z z -=¶¶ 1222--=¶¶¶¶-=¶¶z xz z F x Fx z , )12(2--=¶¶¶¶-=¶¶z y z zF yFy z所以所以 dx z xz dz 1222--=dy z y z )12(2-- 19．解: 令y xv xy u ==,, 由),(2v u f y x z +=分别对y x ,求导数,有y v f y u f xy x z 12׶¶+׶¶+=¶¶ )(22y x v f x u f x y z -׶¶+׶¶+=¶¶ 则 dx y v f u f y xy dz )12(׶¶+¶¶+=dy y x v f u f x x )(22׶¶-¶¶++20．解: 651)(2+-=x x x f 2131---=x x 2112131131x x -×+-×-= åå¥=¥=÷øöçèæ+÷øöçèæ-=11221331n nn nx xå¥=++÷øöçèæ-=1113121n nn n x收敛区间应满足îíì<<-<<-3322x x , 由此得收敛区间为)2,2(-21．解: 令ò-+-=p02cos 1ln )(dx x e x x x fexxe e x x xf -=-=¢1)(由0)(=¢x f ,得e x =, 当e x <<0时, 0)(>¢x f ,)(x f 为增函数, 当+¥<<x e 时, 0)(<¢x f ,)(x f 为减函数, 而02cos 1)(0>-=òp dx x e f ,且-¥=-+-=ò++®®)2cos 1(ln lim )(lim 000p dx x e x x x f x x-¥=-+-=ò+¥®+¥®)2cos 1(ln lim )(lim 0p dx x e x x x f x x所以)(x f 在区间),0(e 和区间),(+¥e 上分别有一个零点,故原方程在),0(+¥只有两个不同的实根. 。

北京交通大学现代远程教育交通类专业 《高等数学》（专升本）模拟试题（1）（闭卷考试，满分100分，考试时间120分钟）班级 学号 姓名1、 函数lg(1lg )y x =-的定义域 ;2、 若0tan 3limsin x arc xx→= ;3、 设,0,(),0.x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，则当a= 时，使函数)(x f 成为连续函数。

4、 填入一个函数使等式成立：2()sec 3d xdx =。

5、=⎰21ln x tdt dxd;6、 若22sin()z y x =+, 则dz= ;7、 以12()x y C C x e =+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是 ;8、 幂级数(1)21nx nn n ∞∑+=的收敛半径是 .二、 选择题（每小题3分，共21分）1、 设函数2(1)35,f x x x +=++则()f x 等于 （ ）A. 2(2)x +B.2x C. 23x x ++ D. 2(1)x +2、 函数)(x f 在点x 0处可导是)(x f 在点x 0处连续的 （ ） A. 充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分, 也不必要条件.3、设函数,arctan )(2x x f =则在[-1,1]上满足罗尔定理结论的ξ= （ ） A. 21-B. 0C. 21D. 1 4、若点x 0为函数)(x f 的极值点，则下面命题正确的是 （ ）A.0'()0f x =B.0'()0f x ≠C.不存在或)('0)('00x f x f =D.0'()f x 不存在 5、设)(x f 的原函数为x1， 则=')(x f （ ） A. x ln B.x 1 C. 21x- D. 32x .6、级数121(1)ln n n n∞-=-∑是 （ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散的 D. 敛散性不定 7、对于微分方程''3'2,x y y y e -++=其特解的一般形式y *为 （ ） A.*x y Ae -= B. *()x y Ax B e -=+ C. *x y Axe -= D. *2x y Ax e -=. 三、计算极限值：⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x 。

北京交通大学网络教育专升本数学试题库1、设是常数，则当函数在处取得极值时，必有（）A.0B.1C.2D.3 答案： C 2、函数在点处的二阶导数存在,且()00='f ，()00>''f ;则下列结论正确的是（ ）A.不是函数的驻点 B.不是函数的极值点C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点答案： C 3、设，则（ ）A.B.C.D.答案： C 4、曲线在点M 处切线的斜率为15，则点M 的坐标是（ ）A.(3,5)B.(-3,15)C.(3,1)D.(-3,1) 答案： C5、已知函数，则（ ）A. B. C. D.答案： B 6、设则（ ）A. B.C. D.答案： A7、设，则（）。

A. B.C. D.答案： B8、设函数可导，若，则（）A. B.C. D.答案： A9、函数在点处（）A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导答案：D10、下列函数中，在点处不可导的是（）A. B. C. D.答案： A11、函数在点处的导数是（）A.1B.0C.-1D.不存在答案： D12、函数在点处连续是在该点可导的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件答案： B13、按照微分方程通解的定义，的通解为（）。

A. B.C. D.答案： A 14、设为连续函数，且()⎰=aadx x f -0，则下列命题正确的是（ ）。

A.为上的奇函数B.为上的偶函数C.可能为上的非奇非偶函数D.必定为上的非奇非偶函数答案： C 15、设，则（ ）A.1B.-1C.不存在D.0 答案： C16、⎰+∞∞=+-21x dx（ ）。

A. B. C.不存在 D.答案： A17、⎰+∞=1-2x dx（ ）。

A. B. C. D.答案： D18、下列定积分等于零的是（ ）。

A. B.C. D.答案： C19、函数在点处有定义是趋近于时有极限的（）。

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件答案： D20、下列积分中，值为零的是（）。

专升本（高等数学二）模拟试卷71(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列极限不正确的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：2．设在点x=0处连续，则k= ( ) A．eB．C．1D．一1正确答案：B解析：3．若y=xx，则dy= ( )A．xx(lnx一1)dxB．x2lnxdxC．xx(lnx+1)dxD．xxdx正确答案：C解析：由y=xx，则lny=xlnx．两边对x求导得所以y’=r(lnx+1)，故dy=xx(lnx+1)dx．4．设f(x)=ax((a＞0，a≠1)，则f(n)(0)= ( )A．lnnaB．C．axlnnaD．正确答案：A解析：f(x)=ax，则f’(x)=axlna，f’’(x)=ax.lna.lna，f’’’(x)=ax.ln3a，…，f(n)(x)=axlnna，则f(n)(0)=lnnA.5．曲线y=x3+x2+1在点(1，3)处的切线方程是( )A．5x—y一2=0B．x+2y一7=0C．x—y+3=0D．5x+y一8=0正确答案：A解析：y’｜x=1=(3x2+2x)｜x=1=5，切线方程为y一3=5(x一1)，即5x—y 一2=0．故选A.6．设f(x)是连续函数，则∫abf(x)dx—∫abf(a+b—x)dx= ( )A．0C．2∫abf(x)dxD．∫abf(x)dx正确答案：A解析：因为7．若F(x)为的原函数，则F(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：C解析：8．曲线y=3x2一x3的凸区间为( )A．(一∞，0)B．(0，+∞)C．(一∞，1)D．(1，+∞)正确答案：D解析：y=3x2一x3，y’=6x一3x2，y’’=6—6x=6(1一x)，显然当x＞1时，y’’＜0；而当x＜1时，y’’＞0．故在(1，+∞)内曲线为凸弧．9．设函数z=f(u)，u=x2+y2且f(u)二阶可导，则( )B．4xf’’(u)C．4xyf’’(u)D．4yf’(u)正确答案：C解析：由，故选C.10．用A表示事件“甲考核通过，乙考核不通过”，则其对立事件A为( )A．甲、乙考核都通过B．甲考核不通过，乙考核通过C．甲考核不通过或乙考核通过D．甲考核不通过正确答案：C解析：设A1=“甲考核通过”，A2=“乙考核通过”，则，即甲考核不通过或乙考核通过．填空题11．若，则k=_________．正确答案：2解析：因为12．函数的连续区间为_______．正确答案：[0，1)∪(1，3]解析：因为在x=1处，所以在x=1处f(x)不连续．在x=2处，因为所以在x=2处f(x)连续，所以连续区间为[0，1)∪(1，3]．13．设=_________.正确答案：解析：14．曲线在点(1，1)处的切线方程为_______．正确答案：x—2y+1=0解析：15．函数y=xlnx的单调递增区间是________．正确答案：解析：y=xlnx，则y’=lnx+1；令y’=0，得当，故y的单调递增区间是16．正确答案：解析：17．正确答案：解析：18．正确答案：解析：19．正确答案：解析：20．设函数z=f(x，y)存在一阶连续偏导数则dz=________．正确答案：解析：直接套用全微分公式，得解答题21．若，求a与b.正确答案：若则当x→2时，x2+ax+b与x一2为同阶无穷小量，令x2+ax+b=(x一2)(x+k)，(※)则lim(x+k)=5，此时k=3，代入(※)式得x2+ax+b=(x一2)(x+3)，即x2+ax+b=x2+x一6，所以a=1，b=一6．注：本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将x2+ax+b写成两个一次式的乘积，使得两个未知数a，b变为一个k，解答就简便了．22．设，求f’(x)．正确答案：23．曲线y=2x2+3x一13上点M处的切线斜率为11，求点M的坐标及切线方程.正确答案：因y’=4x+3=11，得x=2，y=1，点M(2，1)，所求切线方程为y 一1=11(x一2)，即11x—y一21=0．24．计算正确答案：25．甲、乙两人打靶，设他们击中靶的环数分别为X1，X2，并且有如下的分布列：试比较甲、乙两入射击水平的高低．正确答案：计算E(X)和D(X)分别进行比较．E(X1)=8．6×0．2+9．1×0．3+9．4×0．2+9．9×0．3=9．3，E(X2)=8．5×0．2+9．0×0．2+9．5×0．2+10．0×0．3=9．3，由于E(X1)=E(X2)=9．3(环)，D(X1)=(8．6—9．3)2×0．2+(9．1—9．3)2×0．3+(9．4—9．3)2×0．2+(9．9—9．3)2×0．3=0．22，D(X2)=(8．5—9．3)2×0．2+(9．0—9．3)2×0．3+(9．5—9．3)2×0．2+(10．0—9．3)2×0．3=0．31．因为D(X1)＜D(X2)，所以甲的射击水平比较高．26．求函数y=2x3一3x2的单调区间、极值及函数曲线的凹凸性区间、拐点和渐近线.正确答案：令y’=6x2一6x=0，得x=0或x=1，y’’=12x一6=0，得所以函数y的单调增区间为(一∞，0)和(1，+∞)，单调减区间为(0，1)；函数y 的凸区间为故x=0时，函数有极大值0，x=1时，函数有极小值一1，且点不存在，且y=2x3一3x2没有无意义的点，故函数没有渐近线．27．设z=z(x，y)由方程ex=x2+y2+cos(x+z)=0确定，求dx.正确答案：等式两边对x求导得28．如果f(x)在闭区间[一a，a]上连续，求证：∫-aaf(x)dx=∫0af(x)+f(-x)]dx.正确答案：令x=一t，dx=-dt，当x=-a时，t=a；当x=0时，t=0，。

专升本（高等数学二）模拟试卷74(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的【】A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件正确答案：A解析：由连续的定义：=f(x0)，得f(x)在点x0处一定有定义；但f(x)在点x0处有定义不能保证f(x)在x0的邻域内一定连续．2．要使f(x)=在x=0处连续，应补充f(0)等于【】A．e－6B．－6C．D．0正确答案：B解析：因为所以要使f(x)在x=0处连续，应补充f(0)=－6．3．下列反常积分收敛的是【】A．B．C．D．正确答案：C解析：A项：发散；B项：发散；C项：收敛；D项：发散4．设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e－xf(e－x)dx等于【】A．F(e－x)+CB．－F(e－x)+CC．F(ex)+CD．－F(ex)+C正确答案：B解析：∫e－xf(e－x)dx=－∫f(e－x)de－x=－F(e－x)+C．5．设f(x)=x3sinx，则f?()= 【】A．π2B．C．D．π－2正确答案：C解析：f?(x)=3x2sinx+x3cosx，6．若f?(x0)=0，f??(x0)＜0，则【】A．f(x0)是f(x)的极小值B．f(x0)是f(x)的极大值C．f(x0)不是f(x)的极值D．不能判定f(x0)是否为f(x)的极值正确答案：B解析：根据判定极值的第二充分条件可知B．7．下列不定积分计算正确的是【】A．∫x2dx=x3+CB．C．∫sinxdx=cosx+CD．∫cosxdx=sinx+C正确答案：D解析：这类题可以通过直接计算不定积分后进行选择，也可以对不定积分求导看是否等于被积函数来进行选择．8．设f(x)=x3－x，则x=1为f(x)在[－2，2]上的【】A．极小值点，但不是最小值点B．极小值点，也是最小值点C．极大值点，但不是最大值点D．极大值点，也是最大值点正确答案：B解析：f?(z)=x2－1，驻点为x=±1，f??(x)=2x，f??(1)=2＞0．所以x=1为极小值点．又所以x=1为极小值点，也是最小值点．9．下列定积分等于零的是【】A．∫－11x2cosxdxB．∫－11xsinxdxC．∫－11(x+sinx)dxD．∫－11(ex+x)dx正确答案：C10．若随机事件A与B相互独立，而且P(A)=0．4，P(B)=0．5，则P(AB)= 【】A．0．2B．0．4C．0．5D．0．9正确答案：A填空题11．=________．正确答案：解析：12．函数f(x)=的连续区间为________．正确答案：[0，1)∪(1，3]解析：分段函数f(x)在其每段内都是连续的，因此只需看分段点x=1，x=2处连续情况．则f(x)在x=1处不连续．则f(x)在x=2处连续．综上，f(x)的连续区间为[0，1)∪(1，3]．13．双曲线y=在点(，2)处的切线方程为________，法线方程为________．正确答案：解析：，所以切线方程为y－2=，法线方程为y－2=14．设f(x)=e－x，则∫xf?(x)dx=_________．正确答案：xe－x+e－x+C解析：分部积分法，∫xf?(x)dx=∫xdf(x)=x.f(x)－∫f(x)dx=x.e－x－∫e－xdx=xe－x+e－x+C．15．=_________．正确答案：2－解析：由奇、偶函数对称区间求定积分性质得，16．函数z=的定义域是________．正确答案：｛(x，y)｜y≥x｝解析：因1+x2+y2≥1，所以要使表达式有意义，自变量x、y只需满足y－x≥0，即y≥x．所以函数的定义域为：D=｛(x，y)｜y≥x｝．17．设z=2x2+3xy－y2，则=________．正确答案：3解析：先求=3．18．斜边长为l的直角三角形中，最大周长为________．正确答案：(1+)l解析：该题也是条件极值问题．用拉格朗日乘数法求解．设直角三角形的两直角边长分别为x和y，周长为z，且z=l+x+y(0＜x＜l，0＜y＜l)．条件函数为l2=x2+y2．令F(x，y，λ)=l+x+y+λ(x2+y2－l2)．求解方程组根据实际意义，一定存在最大周长，所以x=y=时，即斜边长为l时的等腰直角三角形周长最大，且此周长为(1+)l．19．sinxcosxdx=________．正确答案：yxy－1dx+xylnxdy20．=_________正确答案：解答题21．求f(x)=的间断点，并指出类型．正确答案：因f(x)=，故x=0，x=1，x=2是f(x)的间断点．又因f(0)、f(1)、f(2)都不存在，所以x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)；x=1，x=2是f(x)的第二类间断点(无穷间断点)．22．已知曲线y=x3+bx2+cx通过点(－1，－4)，且在横坐标为x=1的点处切线斜率为2，求b、c的值．正确答案：y?｜x=1=(3x2+2bx+c)｜x=1=3+2b+c=2，－4=－1+b－c解得23．求函数y=(x－2)的极值．正确答案：函数的定义域为D=(－∞，+∞)，令y?=0，得驻点x=，y?不存在的点为x=0．列表讨论如下．由表知函数的极小值为，极大值为0．24．设曲线y=cosx(0≤x≤)与x轴、y轴所围成的图形面积被曲线y=asinx，y=bsinx(a＞b＞0)三等分，试确定a、b的值．正确答案：由y=cosx，y=asinx，得tanx=，故有x1=，同理可求得x2=因为cosxdx=1，所以D1=D2=D3=．25．甲乙两人独立地向同一目标射击，甲乙两人击中目标的概率分别为0．8与0．5，两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率．正确答案：设A=｛甲击中目标｝，B=｛乙击中目标｝，C=｛目标被击中｝则P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0．8+0．5－0．8×0．5=0．926．在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；(3)由上述曲线和切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．正确答案：(1)设点A为(a0，a02)．由y?=2x，得过点A的切线斜率为2a0，则切线方程为y－a02=2a0(x－a0)即x=由题作图，由图知解得a0=1(x＞0)．所以点A的坐标为(1，1)．(2)过点A的切线方程为y－1=2(x－1)，即y=2x－1．(3)由图知绕x轴旋转的体积为27．若抛物线y=x2与直线x=k，x=k+2及y=0所围图形的面积最小，求k．正确答案：因为y=x2≥0，图形面积为令S?(k)=4k+4=0，得驻点k=－1．又S??(k)｜k=－1=4＞0，所以当k=－1时，S(k)取最小值．28．当x＜0时，证明ex＞1+x正确答案：设F(x)=ex－x－1，F?(x)=ex－1。