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湖南省第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

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湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞D ．[)2,+∞2．已知空间中两点(2,1,4),(4,1,2)A B --,则AB 长为( ) AB．C．D．3．在112-⎛⎫-⎪⎝⎭、122-、1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭、12-中，最大的是（ ） A ．112-⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．122-C ．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D ．12-4．已知函数()23,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 （ ） A ．13-B ．13CD．5．直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A ．-2或12B ．2或-12C ．-2或-12D ．2或126．函数()33xxf x -=-是（ ）A ．奇函数，且在(,)-∞+∞上是增函数B ．奇函数，且在(,)-∞+∞上是减函数C ．偶函数，且在(,)-∞+∞上是增函数D ．偶函数，且在(,)-∞+∞上是减函数 7．已知空间两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥； ②//,,//m n m n αβαβ⊄⊄⇒； ③//,////m n m n αα⇒； ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥． 其中正确的序号是（ ）. A ．①④B ．②③C ．① ② ④D ．① ③ ④8．已知圆M ：221x y +=与圆N ：()2229x y -+=，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切9．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于 ( ) A ．1B ．5C ．-1D ．-510．边长为6的两个等边ABC ∆，CBD ∆所在的平面互相垂直，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）．A ．B ．60πC ．20π3D ．11．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩,若存在实数1x ,2x ,3x 满足()()()123f x f x f x ==,其中321x x x >>,则()123x x x +⋅的取值范围是（ ）A ．()8,9B ．()48,54C ．()24,12log 3+D ．()224,612log 3+12．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形BCC 1B 1内运动，且直线AM//平面A 1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）A ．4π B ．π C ．2D二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．若0a >，则224a log a log⋅=______.(写出最简结果)14．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则a=______． 15．已知圆锥底面半径与球的半径都是l cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_________2cm .16．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．(本小题满分10分）已知函数()()2log 22f x x =-，()g x =.（1）解方程()()6f x g =；（2）若不等式()3f x <的解集为A ，函数()g x 的定义域为B ，求A B 。

.18．(本小题满分12分）如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线:上． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的面积．19．(本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD⊥底面ABCD ，且PA=PD=．（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ； （Ⅱ）求三棱锥C —PBD 的体积.20．(本小题满分12分）已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.21．(本小题满分12分）如图,点B 是以AC 为直径的圆周上的一点，,4PA AB BC AC ===, PA ⊥平面ABC ，点E 为PB 中点. （Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求直线AE 与平面PAC 所成角的大小.22．(本小题满分12分）已知函数9()log (31)()xf x kx k R =++∈为偶函数.（1）求k 的值；（2）已知函数()4()991xf x xg x m +=+⋅-，[]0,1x ∈，若()g x 的最小值为0， 求m 的值 .参考答案1．D【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性． 2．C由空间中的距离公式，可得222(42)(11)(24)211AB，故选C ．【点睛】本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．C【详解】111()2122--==--，122222-==，121()2212-==，1122-=， 所以最大的数为：11()2--，故选：C.【点睛】该题考查的是有关指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有实数幂的运算性质，属于简单题目. 4．B 【详解】因为2111log 1,(1)223f f ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭,所以11(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:B【点睛】本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题. 5．D【解析】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.6．A【解析】易知f(x)的的定义域为R ，又()-(-)33=-xf x f x =-，所以f(x)是奇函数；又1()33=3-3xxxx f x -=-，因为1=3=-3xx y y ⎛⎫⎪⎝⎭和在R 上都是单调递增函数，所以()33x x f x -=-也是R 上的单调递增函数，故选A 。

考点：函数的单调性和奇偶性；指数函数的单调性。

点评：此题主要考查函数单调性的判断，属于基础题型。

7． A【详解】①：根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，,m n m n αα⊥⇒⊥，①正确；②：,,m n m n αβαβ⊄⊄⇒，②不正确；③：,m n m n αα⇒，③不正确； ④：,,m n m n αβαβ⊥⇒⊥，④正确.故选：A.【点睛】本题主要空间中直线与平面之间的位置关系，属于常考题. 8．C【解析】圆0,0r 1M M =，，圆2,0r 3N N =，,2r r N M MN ==-，所以内切。

故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为MN ，半径分别为r r M N ，，，则：r r N M MN <-，内含；r r N M MN =-，内切；r r r r N M N M MN -<<+，相交；r r N M MN =+，外切；r r N M MN >+，外离。

9．D【解析】∵过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°， ∴y 3135142tan +=︒=--，解得5y =-。

选D 。

10．B【详解】如图所示：1OO 为三角形CBD 过中心1O 且垂直平面CBD 的直线，2OO 为三角形ABC 过中心2O 且垂直平面ABC 的直线，1OO 与2OO 相交于O 点.由球的性质知：四面体ABCD 的外接球球心为O 点. 因为22632733AE =-==，2O 为ABC 的中心， 所以2133O E AE ==. 因为21O E OO =，所以13OO =. 又因为12233DO DE ==，所以222211(3)(23)15R OD OO DO ==+=+=. 故外接球的体积为2244(15)60R πππ==. 故选：B【点睛】本题主要考查多面体的外接球，利用外接球球心到多面体顶点的距离相等的性质找到球心是解决本题的关键，属于难题. 11．D画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩图像,如图321x x x >>且()()12f x f x =, 由图像可知12,x x 在二次函数图像上且126x x +=由图可知,324log 91x <<+,即3243log 31x <<+∴ ()21232412log 36x x x <<⋅⋅++∴ ()123x x x +⋅的取值范围是:()224,612log 3+.故选:D.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质. 12．D【详解】解：设平面DA 1E 与直线B 1C 1交于点F ，连接AF 、EF ， 则F 为B 1C 1的中点．分别取B 1B 、BC 的中点N 、O ，连接AN 、ON 、AO ， 则∵A 1F ∥AO ，AN ∥DE ，A 1F ，DE ⊂平面A 1DE ，AO ，AN ⊂平面ANO ，∴A 1F ∥平面ANO ．同理可得DE ∥平面ANO ，∵A 1F 、DE 是平面A 1DE 内的相交直线， ∴平面A 1DE ∥平面ANO ，所以NO ∥平面A 1DE ，∴直线NO ⊂平 面A 1DE ，∴M 的轨迹被正方形BCC 1B 1 截得的线段是线段NO ．∴M 的轨迹被正方形BCC 1B 1截得的线 段长NO 2=．故选D.【点睛】本题给出正方体中侧面BCC 1B 1内动点M 满足NO ∥平面A 1DE ，求M 的轨迹被正方形BCC 1B 1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．13．10a >，22242241222a lga lg lga lg log a loglg lga lg lga∴⋅=⨯=⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．6a =-【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-． 【点睛】本题主要考查了两直线垂直的充要条件，属于基础题． 15．17π【详解】由题意可知球的体积为：43π⨯1343π=cm 3，圆锥的体积为：13⨯π×12×h 3π=hcm 3， 因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以 433ππ=h ，所以h ＝4cm ， 圆锥的母线：l 221417=+=cm ．故圆锥的侧面积S ＝πrl 17=πcm 2，故答案为17π【点睛】本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力． 16．33.由题意，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 因为2AB BC ==，所以(3,0)C ，设(,)P x y ，因为过点P 作半圆的切线PQ ， 因为3PC PQ =，所以2222(3)31x y x y -+=⋅+-，整理，得22360x y x ++-=，以点P 的轨迹方程是以3(,0)2-为圆心，以13392422r =+=为半径的圆， 所以当点P 在直线32x =-上时，PAC ∆的面积最大， 最大值为13343322PAC S ∆=⨯⨯=.故答案为：33.【点睛】本题主要考查了三角形面积的最大值的求法，以及圆的方程的求解及应用，其中解答中认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，求得动点的轨迹是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17．（1）3x =；（2）[)2,5AB =【详解】（1）因为()62g =，由()()2log 222f x x =-=，则224x -=，解 得3x =；-----5分（2）由()()2log 223f x x =-<，得0228x <-<，解得15x <<，则()1,5A =. 由20x -≥，得2x ≥，则[)2,B =+∞.所以[)2,5AB =------10分【点睛】本题考查对数方程的求解，同时也考查了对数不等式、函数定义域以及集合交集的计算，考查计算能力，属于基础题.18．解：（Ⅰ）由题意可知，E 为AB 的中点，∴E(3,2)，且，∴CE：y －2＝x －3，即x －y －1＝0． ------6分 （Ⅱ）由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴---------12分19．解：（Ⅰ）证明：连接AC ，则F 是AC 的中点， E 为PC 的中点，故在CPA 中，EF//PA ，且PA平面PAD ，EF平面PAD ，∴EF//平面PAD----------6分（Ⅱ）取AD 的中点M ，连接PM ，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴PM⊥平面ABCD. 在直角PAM 中，求得PM=12，∴PM=112-------12分 20．解：(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()2222122111a a r a a r ⎧-+-+=--=+，解得12a r =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆C 的方程为()()22122x y -+=+.----------6分（2）由题意：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC ==-，即PC 取最小值时，此时周长最小，又因P 在直线210x y -+=上，即圆心C 到直线210x y -+=的距离时，PC ∴的最小值为22221512PC ++==+，所以周长252222322c ≥-=PMCN 周长的最小值为2322分【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）30o 解：（Ⅰ）AC 是圆的直径， CB AB ∴⊥ , ,PA ABC PA BC ⊥∴⊥又面BC PAB ∴⊥面 BC AE ∴⊥ 又,PA AB E PB =是中点， AE PB ∴⊥所以AE PBC ⊥面 所以面AEC ⊥面PBC -------6分（Ⅱ）设圆心为O ,则由AB BC =得BO AC ⊥且BO PAC ⊥面取PO 的中点,G EG 连，则//EG BO ,所以EG PAC ⊥面连,AG EAG ∠就是直线AE PAC 与平面所成角，112,122AE PB GE OB ====所以 1sin 2GEEAG AE ∠== ，AE PAC 与平面所成角为30o -------12分22．（1）k ＝﹣14 ；（2）13m =-【详解】（1）因为y ＝f （x ）为偶函数，所以∀x ∈R ，f （﹣x ）＝f （x ），即99log (31)log (31)xxkx kx -++=+-对于∀x ∈R 恒成立．即2kx ＝9991log (31)log (31)log 32xx x x --+-+==-恒成立而x 不恒为零，所以k ＝﹣14 ；-------6分（2）函数()4()991xf x xg x m +=+⋅-=()9log 3199139xx x x m m ++⋅-=+⋅令3x ＝t []1,3∈ ，()2h t t mt =+为二次函数，对称轴为12t m =-若0m ≥，()0h t >恒成立不合题意故0m <，函数开口向下。

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湖南省益阳市桃江第一中学2022-2023学年高一上数学期末监测试题含解析

湖南省益阳市桃江第一中学2022-2023学年高一上数学期末监测试题含解析

A. B.
C. D.
3．定义在 上的奇函数 以5为周期，若 ，则在 内， 的解的最少个数是
A.3B.4
C.5D.7
4．下列各对角中，终边相同的是（）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
5．在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角 的平面角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
6．若函数 在区间 上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
【详解】（1）依题意，
；
（2）将 两边平方得， ，
即 ，即 ，
所以， .
19、索道AB的长为1040m
【解析】利用两角和差的正弦公式求出 ，结合正弦定理求AB即可
【详解】解：在 中， ， ，
， ，
则 ，
由正弦定理得 得 ，
则索道AB的长为1040m
【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键
【详解】∵ ，令 ，得 ，
∴ ，
∴ 的图象恒过点 ，
设 ，把 代入得 ，
∴ ，∴ ，∴ .
故选：A
11、A
【解析】分别讨论充分性与必要性，可得出答案.
详解】由题意， ，
显然 可以推出 ，即充分性成立，而 不能推出 ，即必要性不成立.
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的性质，属于基础题.
②向量 ， ， ， ；
③函数 .在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中空格位置，并解答.已知______，函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递减区间.
湖南省双峰县第一中学、湘潭县一中2022-2023学年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

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16．若函数
f
x
log 1 2
x, x
0
，则
f
f
2
______
2x , x 0
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．素有“天府之国”美称的四川省成都市，属于亚热带季风性湿润气候.据成都市气象局多年的统计资料显示，成都市
从 1 月份到 12 月份的平均温 (℃)与月份数 (月)近似满足函数
19． (1)试证明差角的余弦公式 C( ) ： cos( ) cos cos sin sin ；
(2)利用公式 C( ) 推导：
①和角的余弦公式 C( ) ，正弦公式 S( ) ，正切公式 T( ) ；
②倍角公式 S(2 ) ， C(2 ) ， T(2 ) .
20．在①两个相邻对称中心的距离为 π ，②两条相邻对称轴的距离为 ，③两个相邻最高点的距离为 ，这三个条件
考点：平面向量的几何运算
5、B
【解析】因为函数
f
x
sin
x 2
6
的最小正周期是
T
2 1 2
4
，故先排除选项 D；又对于选项 C：
f
3
sin
2
3
6
1，对于选项
A：
f
3
sin
2
3
3
1 ，故
A、C
均被排除，应选
B.
6、C
【解析】判断 a, b, c 与 0,1 大小关系，即可得到答案.
【解析】 详解】 f f 10 f lg10 f 1 lg1 0
故选 B 10、B 【解析】根据集合交集定义求解. 【详解】 P Q (1, 4) (2,3) (2,3) 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

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湖南省长沙市第一中学【最新】高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|21,}A x x k k ==+∈Z ，则（ ）A ．3A ⊆B ．3A ∈C ．3A ∉D ．3 A 2．下列函数既是偶函数又有零点的是（ ）A ．21y x =+B ．||2x y =C ．2y x x =+D ．1lg ||y x =+ 3．已知函数()f x ，()g x 由下列表格给出，则()3f g =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x f x m =+，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．2-C ．1-D ．32- 5．函数()f x 与()x g x a =互为反函数，且()g x 过点()2,4-，则()()12f f +=( )A ．1-B ．0C ．1D ．146．根据表格中的数据，可以断定方程e 20x x --=的一个根所在的区间是( )A ．(1,0.5)-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,37．如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA 垂直于底面ABC 中，D 为11A B 的中点，12AB BC BB ===，AC =BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lg I I η=⋅(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的（ ）A ．76倍B ．10倍C ．7106倍D ．7ln 6倍 9．下列不等式中不成立的是（ ）A ．0.50.556<B ．22log 3log 5<C ．0.23log 0.83-<D ．0.30.40.10.1< 10．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π11．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．2a >B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >12．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B R =，则实数k 的取值范围是（ ）A ．6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦二、填空题 13．已知幂函数()f x 经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()9f =__________.14．不等式()12log 11x ->-的解集为__________.15．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半.科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.经探测，一块鸟化石中碳14的残留量约为原始含量的375%..设这只鸟是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为__________.16．已知，若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②()11f =；③当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为Z 函数.以下说法：（1）若函数()f x 为Z 函数，则()00f =；（2）函数()[]()210,1x g x x =-∈是一个Z 函数；（3）若函数()f x 为Z 函数，则函数在区间[]0,1上单调递增；（4）若函数()f x 、()g x 均为Z 函数，则函数()()mf x ng x +（0m >，0n >，且1m n +=）必为Z 函数，正确的有__________（填写序号）.三、解答题17．若函数2x y =+的定义域为集合A ，集合21log ,,42B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）求A R ，A B ； （2）若集合{}24x m C x -=≥，且C ()A B ，求实数m 的取值范围. 18．如图所示的圆锥SO 中，母线长为4，且其侧面积为8π.（1）求该圆锥的体积；（2）若AB 为底面直径，点P 为SA 的中点，求圆锥面上P 点到B 点的最短距离. 19．如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1A B ，AC 的中点.（1）证明：//EF 平面11AC D ；（2）求三棱锥11F A C D -的体积.20．牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y （只）和实际蓄养量x （只）与空闲（空闲率=-最大畜养量实际畜养量最大畜养量）的乘积成正比，比例系数为()0k k >. （1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求羊群年增长量的最大值；（3）当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.21．已知二次函数()2224f x x mx m =+++. （1）若函数()f x 有两个零点，且一个小于1，一个大于4，求实数m 的取值范围； （2）若关于x 的方程()240x f +=有实数解，求实数m 的取值范围. 22．已知函数()21a f x x x=+-（a 为常数）. （1）当1a =-时，判断()f x 在()0,∞+的单调性，并说明理由；（2）若存在x ∈R ，使不等式()20x f >成立，求a 的取值范围；f x零点的个数. （3）讨论()参考答案1．B【分析】根据元素与集合的关系以及表示方法即可求解.【详解】由21,x k k =+∈Z ，可得x 表示的是奇数，所以3A ∈，故选：B【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系以及表示方法，属于基础题.2．D【分析】利用函数的奇偶性定义以及函数的零点定义即可求解.【详解】对于A ，函数21y x =+为偶函数，令210y x =+=，方程无解，故函数无零点，A 不选； 对于B ，函数||2x y =为偶函数，令||20x y ==，方程无解，故函数无零点，B 不选； 对于C ，函数2y x x =+为非奇非偶函数，C 不选；对于D ，函数1lg ||y x =+为偶函数，令1lg ||0y x =+=，解得110x =±，故函数有零点，D 符合题意；故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的零点，需掌握函数奇偶性定义和零点定义，属于基础题. 3．A【分析】根据上表的对应关系，可得()32g =，进而求解[(3)](2)f g f =，即可得到答案.【详解】解：由题意，根据上表的对应关系，可得()32g =，所以[(3)](2)4f g f ==，故选：A.4．C【分析】由题意可得()00f =，进而求出1m =-，再利用函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式即可求解【详解】由函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x f x m =+， 则()00f =，即040m +=，解得1m =-，所以()41xf x =- 又1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1214112f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ， 故选：C【点睛】 本题考查了奇函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键是求出参数值，属于基础题.5．A【分析】利用反函数的定义以及性质求出()f x 的解析式，代入即可求解.【详解】由题意可得()log a f x x =，又()g x 过点()2,4-，则()4,2-在()f x 上，即2log 4a -=，解得12a =，所以()12log f x x =，所以()()1122log 1l 1og 20121f f +=+=-=-， 故选：A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系以及反函数的性质，属于基础题.6．C【分析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】令()2xf x e x =--， 由表中数据可得()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，所以()()120f f ⋅<，故函数零点所在的区间为()1,2.故选：C【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需熟记定理的内容，属于基础题.7．C【分析】取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，得BDE ∠或其补角为所求，在DEB ∆中求解角即可.【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，则11DE AC AC ， 故BDE ∠或其补角为所求异面直线BD 与AC 所成的角，又BD BE ==DE所以DEB ∆为等边三角形，所以60DEB ∠=，故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成角的大小，解题的关键是找到与异面直线所成角的大小相等的两角，属于基础题.8．B【分析】根据对数运算解出12,I I ，再由12II 得出答案.【详解】 由题意，令17010lg I I =，则有I 1＝I 0×107.同理得I 2＝I 0×106，所以12II ＝10.故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数模型的应用，属于基础题.9．D【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，即可判断.【详解】对于A ，0.5y x =为增函数，0.50.556∴<，故A 正确；对于B ，2log y x =为增函数，22log 3log 5∴<，故B 正确；对于C ，33log 0.8log 10<=，0.230->，0.23log 0.83-∴< ，故C正确； 对于D ，0.1x y =为减函数，则0.30.40.10.1>，故D 不正确；故选：D【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.10．B【分析】将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果. 【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处．设球的半径为 R ，则()2222227123242R R R ++==⇒= 表面积为2414.S R ππ== 故答案为B. 【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 11．B 【解析】 【分析】对a 的范围分类讨论，当2a <时，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，即可判断：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增，即可判断：一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，问题得解. 【详解】 当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，12a≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增，又21111a a -+⨯=⨯-， 所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。

2020年湖南省郴州市永兴第一中学高一数学文期末试卷含解析

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2020年湖南省郴州市永兴第一中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义新运算“&”与“”：，，则函数是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既是奇函数又是偶函数参考答案：D略2. 函数，则的取值范围是（）A． B. C. D.参考答案：A3. 已知全集，集合，则为（）．A． B． C． D．参考答案：C4. 对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“ V类三角形”一定满足（）．A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°参考答案：B【分析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cos C＝sin＝sin（+）＝sin C，即：tan C＝1，解得：C＝45°，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．5. 要得到函数的图象，只需要将的图象（）.（A）向右平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向左平移个单位参考答案：C略6. （多选题）下列各式中，值为的是（）A. 2sin15°cos15°B. cos215°－sin215°C. 1－2sin215°D. sin215°+ cos215°E.参考答案：BCE【分析】利用二倍角公式计算可得.【详解】解：A不符合，；B符合，；C符合，；D不符合，；E符合，．故选：BCE．【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.7. 已知，则与平行的单位向量为( ).A. B.C. D.参考答案：B8. 过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为（）A．(x－3)2+(y+1)2=4 B．(x－1)2+(y－1)2=4C．(x+3)2+(y－1)2=4 D．(x+1)2+(y+1)2=4参考答案：B略9. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的() A． B． C． D．参考答案：B 10. 已知平面向量，，且，则的值是（）A．1 B．2 C. 3 D．4参考答案：B因为平面向量满足，且，则有，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数分别由下表给出:则．参考答案：12. 若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．参考答案：2【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=a x在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=a x在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a即可．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[0，1]上为单调减函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=a x在[0，1]上为单调增函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2故答案为：2．【点评】本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．13. （5分）在平面直角坐标系中，若集合{（x，y）|x2+y2﹣2mx﹣2my+2m2+m﹣1=0}表示圆，则m的取值集合是．参考答案：{m|m＜1}考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，利用右边大于0，即可得到结论．解答：x2+y2﹣2mx﹣2my+2m2+m﹣1=0可化为（x﹣m）2+（y﹣m）2=1﹣m∵集合{（x，y）|x2+y2﹣2mx﹣2my+2m2+m﹣1=0}表示圆，∴1﹣m＞0∴m＜1故答案为：{m|m＜1}点评：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．14. 对于函数f（x）定义域内的任意x1，x2（x1≠x2），有以下结论：①f（0）=1；②f（1）=0③f（x1+x2）=f（x1）?f（x2）④f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）⑤f（）＜⑥f（）＞当f（x）=2x时，则上述结论中成立的是（填入你认为正确的所有结论的序号）参考答案：①③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】f（0）=20=1，故①正确；f（1）=2，故②错误；根据分数指数幂的运算性质可知③正确，④错误；根据基本不等式和分数指数幂的运算性质可知⑤正确，⑥错误．【解答】解：对于①：f（0）=20=1，故①正确；对于②：f（1）=2，故②错误；对于③：根据分数指数幂的运算性质可知，f（x1+x2）=2x1+x2==f（x1）?f（x2），故③正确；对于④：根据分数指数幂的运算性质可知，f（x1?x2）==，．则f（x1?x2）≠f（x1）+f（x2），故④错误；对于⑤⑥：根据基本不等式和分数指数幂的运算性质可知．由于=，=，所以，故⑤正确，⑥错误．故答案为：①③⑤．【点评】本题主要考查了分数指数幂的基本运算性质，以及基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．15. 已知x+y=3﹣cos4θ，x﹣y=4sin2θ，则 + = ．参考答案：2【考点】HW：三角函数的最值．【分析】根据题意解方程组得x、y的值，再根据三角函数的恒等变换化简求值即可．【解答】解：x+y=3﹣cos4θ，x﹣y=4sin2θ，∴x===sin22θ+2sin2θ+1=（1+sin2θ）2；y==sin22θ﹣2sin2θ+1=（1﹣sin2θ）2；∴+=|1+sin2θ|+|1﹣sin2θ|=（1+sin2θ）+（1﹣sin2θ）=2．故答案为：2．16. 若，，且，则的最小值是_____．参考答案：16【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】，且，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的应用，考查计算能力，属于基础题.17. 三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。