人教A版必修一 2.1.1函数的概念教案1
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函数的概念
1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数y＝f(x)的值域，则值域是集合B的子集．
注意：(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
2．常见函数的定义域和值域
有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值
范围．例如函数y＝x的定义域为[0，＋)，函数y＝1
x＋1
的定义域为(－，－1)(－1，＋)．（1）函数y＝f(x)的定义域为P，值域为Q，对于m P，与m对应的函数值为n，则有( )．
A．n P B．m＝n C．n P Q D．n唯一
（2）函数y＝5－2x的定义域是( )．
A．R B．Q C．N D．
（3）函数y＝2x2－x的值域是__________．
3．区间与无穷大
(1)区间的概念．设a，b是两个实数，且a＜b.
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
(2)无穷大．“”读作“无穷大”，“－”读作“负无穷大”，“＋”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．
，＋)
（1）集合{x|x≥1}用区间表示为( )．
A．(－，1) B．(－，1] C．(1，＋) D．[1，＋)
（2）区间[5,8)表示的集合是( )．
A．{x|x≤5，或x＞8} B．{x|5＜x≤8} C．{x|5≤x＜8} D．{x|5≤x≤8} 4．函数相等
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由________和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．
函数符号f(x)的意义
剖析： (1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．
(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．
例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5.
题型一函数关系的判断
【例1】下列式子能否确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝2； (2)x－1＋y－1＝1； (3)y＝x－2＋1－x.
反思：(1)判断一个对应关系f：A→B是否是函数，要从以下三个方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y的对应关系是
“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
题型二 求函数值
【例2】 已知f (x )＝11＋x (x R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2
＋2(x R )．
(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．
题型三 求函数的定义域 【例3】 求函数y ＝－2
x ＋1
－1－x 的定义域．
反思：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .
(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合． (4)如果f (x )是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．
(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． 题型四 判断函数相等
【例4】 判断下列各组函数是否是相等函数：
(1)f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4
x －2
；
(2)f (x )＝(x －1)2
，g (x )＝x －1； (3)f (x )＝x 2
＋x ＋1，g (t )＝t 2
＋t ＋1.
反思：判断两个函数f (x )和g (x )是否相等的方法是：先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．
题型五 易混易错题
易错点 求函数定义域时先化简函数关系式 【例5】 求函数y ＝ x －2 x ＋1
x －2 x ＋3 的定义域．
答案：【例1】 解：(1)由x 2
＋y 2
＝2，得y ＝±2－x 2
.当x ＝1时，对应的y 值有两个，故y 不是x 的函数．
(2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2
＋1.
所以当x 在{x |x ≥1}中任取一个值时，都有唯一的y 值与之对应，故y 是x 的函数．
(3)因为不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2≥0，
1－x ≥0的解集是∅，即x 取值的集合是，故y 不是x 的函数．
【例2】 解：(1)∵f (x )＝
11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝1
3
. 又∵g (x )＝x 2
＋2，∴g (2)＝22
＋2＝6. (2)∵g (3)＝32
＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝
11＋11＝112
. 【例3】 解：要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≠0，
1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，
即函数的定义域是{x |x ≤1，且x ≠－1}．
【例4】 解：(1)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠2}． 由于定义域不同，故f (x )与g (x )不是相等函数．
(2)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，即定义域相同．
由于f(x)与g(x)的表达式不相同，
故f(x)与g(x)不是相等函数．
(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数．
【例5】要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
1函数y( )．
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
2下列式子中，y不是x的函数的是( )．
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1 C．x－2y＝6 D．x
3已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__________.
4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．
(1)y＝x－1，x R与y＝x－1，x N； (2)y y (3)y＝1y＝1＋
5已知函数f(x)＝x2＋1，x R.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
答案：1． D 要使函数有意义需
10,
0,
x
x
-≥
⎧
⎨
≥
⎩
解得0≤x≤1.
2． A 选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数．对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x＝5时，y＝±2.故y不是x的函数．
3． 5 ∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.
4．解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．
(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．
(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等．
5．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．故对任意x R，总有f(x)＝f(－x)．。
