高一数学必修一第一章集合与函数概念

新人教版高中数学知识点总结　高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，*或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或)AB⊇A中的任一元素都属于B(1)A⊆A(2)A∅⊆(3)若BA⊆且B C⊆，则A C⊆(4)若BA⊆且B A⊆，则A B=A(B)或B A N N N+Z QRa M a M∈a M∉x x x∅真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A）B A ⊆，且B中至少有一元素不属于A （1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C≠⊂集合相等A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆A （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A= （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ 并集{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A= （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ 补集(1)∅=⋂A C AU (2)UA C AU =⋃【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x x a <-或}x a >A (1)n n ≥2n 21n -21n -22n -把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法〖〗函数及其表示（1）函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法A B f A x B ()f x A B A B f A B :f A B →①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．,a b a b <a x b ≤≤x [,]a b a x b <<x (,)a b a x b ≤<a x b <≤x [,)a b (,]a b ,,,x a x a x b x b ≥>≤<x [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞{|}x a x b <<(,)a b a b a b <()f x ()f x ()f x tan y x =()2x k k Z ππ≠+∈()f x ()f x [,]a b [()]f g x ()a g x b ≤≤（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念()y f x =y x 2()()()0a y x b y x c y ++=()0a y ≠,x y 2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．〖〗函数的基本性质（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．A B f A B A B A B f A B :f A B →A B ,a A b B ∈∈a b b a a byxo③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．（2）打“√”函数的图象与性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法[()]y f g x =()u g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()(0)af x x ax=+>()fx (,-∞)+∞[()y f x =I M x I ∈()f x M ≤0x I ∈0()f x M =M ()f x max ()f x M =()y f x =I m x I ∈()f x m ≥0x I ∈0()f x m =m ()f x max ()f x m =如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数为奇函数，且在处有定义，则．③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图()f x 0x =(0)0f =y y对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图第二章基本初等函数(Ⅰ)〖〗指数函数（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的是偶数时，正数的正的次方次方根用符号的次方根是0；负数没有次方根．叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．③根式的性质：；当；当为偶数时，．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①,,,1n x a a R x R n =∈∈>n N+∈x a n n a n n a n nn a n n a n a n 0a ≥n a =n a =n (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩0,,,m na a m n N +=>∈1)n >1(0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈1)n >(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②③（4）指数函数〖〗对数函数（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．（2）几个重要的对数恒等式，，．()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈(0,1)x a N a a =>≠且x a N log a x N =a N log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>log 10a =log 1a a =log b a a b =（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．（4）对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：（5）对数函数(6)反函数的概念lg N 10log N ln N log e N 2.71828e =0,1,0,0a a M N >≠>>log log log ()a a a M N MN +=log log log a a a MM N N-=log log ()n a a n M M n R =∈log a N a N =log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分()y f x =A C ()y f x =x ()x y ϕ=y C ()x y ϕ=x A ()x y ϕ=x y ()x y ϕ=()y f x =1()x f y -=1()y f x -=()y f x =1()x f y -=1()x f y -=1()y f x -=()y f x =1()y f x -=y x =()y f x =1()y f x -=(,)P a b ()y f x ='(,)P b a 1()y f x -=()y f x =y x α=x αy布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．(0,)+∞(1,1)0α>[0,)+∞0α<(0,)+∞x y ααqpα=,p q p q Z ∈p q qp y x =p q qp y x =p q q py x =,(0,)y x x α=∈+∞1α>01x <<y x =1x >y x =1α<01x <<y x =1x >y x =2()(0)f x ax bx c a =++≠2()()(0)f x a x h k a =-+≠12()()()(0)f x a x x x x a =--≠③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．③二次函数当时，图象与轴有两个交点（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号．①k＜x 1≤x 2x ()f x 2()(0)f x ax bx c a =++≠,2bx a=-24(,24b ac b a a--0a >(,2ba-∞-[,)2b a -+∞2b x a=-2min 4()4ac b f x a -=0a <(,]2ba -∞-[,)2b a -+∞2bx a=-2max 4()4ac b f x a -=2()(0)f x ax bx c a =++≠240b ac ∆=->x 11221212(,0),(,0),||||M x M x MM x x =-20(0)ax bx c a ++=≠20(0)ax bx c a ++=≠12,x x 12x x ≤2()f x ax bx c =++a 2bx a=-∆⇔②x1≤x2＜k③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令．（Ⅰ）当时（开口向上）①若，则②若，则③若，则x叫做函数))((Dxxfy∈=的零点。

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R2.关于“属于”的概念如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A3.集合的分类：(1)．有限集含有有限个元素的集合(2)．无限集含有无限个元素的集合(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。

即A⊆A②如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1．交集: 记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2．并集: 记作A∪B(读作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3．交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A ,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.4.全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即SA⊆），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作： C S A即 C S A ={x | x∈S且 x∉A}（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高一数学必修1 数学。

第一章。

完整知识点梳理大全(最全)集合与函数概念集合是数学中的基本概念之一，它包含了一些确定性、互异性和无序性的元素。

常见的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。

集合中的元素与集合之间存在着一些关系，例如一个元素属于一个集合，可以表示为a∈M，而不属于则表示为a∉M。

集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法和图示法等。

其中，描述法是通过{x|x具有的性质}来表示集合，而图示法则是用数轴或XXX来表示集合。

集合还可以分为有限集、无限集和空集。

空集是不含有任何元素的集合，记为∅。

集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等等。

子集指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合。

如果两个集合中的元素完全相同，则它们是相等的。

集合的基本运算有交集、并集和补集等。

交集是指两个集合中共同存在的元素所组成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素所组成的集合。

补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素所组成的集合。

最后，含有绝对值的不等式和一元二次不等式的解法也是数学中的重要知识点。

对于含有绝对值的不等式，可以通过分情况讨论来求解。

而对于一元二次不等式，则可以通过求解二次函数的根来确定其解集。

x|>a (a>0)x|c (c>0)XXX:x|-a<x<a}x|xa}We can treat ax+b as a whole and transform it into the form of |x|a (a>0) XXX.Summary of Knowledge Points in Chapter 1 of High School Mathematics2.Solving Quadratic InequalitiesDiscriminantΔ>0Δ=b-4acQuadratic ny=ax^2+bx+c (a>0) Δ=Δ<0XXXax^2+bx+c=0 (a>0) Ox=(-b±√Δ)/(2a)1,2where x1<x2)x|xx2}x|x1<x<x2}x1=x2=-b/2an of No Real Root ax^2+bx+c>0 (a>0) n setx|x≠-b/2a}Rax^2+bx+c0)n set1.2 n and Its XXX1.2.1 Concept of n1.A n is a correspondence een two non-empty sets A and B。

高中数学必修一知识点整理高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由一些确定、互异、无序的元素组成。

常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。

集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。

集合可以分为有限集、无限集和空集。

1.1.2 集合间的基本关系集合间有子集、真子集和集合相等的关系。

子集表示A 中的任一元素都属于B，真子集表示A是B的子集且B中至少有一个元素不属于A，集合相等表示A和B互为子集。

1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。

交集表示同时属于A和B的元素组成的集合，并集表示属于A或B的元素组成的集合，补集表示不属于A的元素组成的集合。

补充：含绝对值的不等式的解法是将其化为|x|a的形式进行求解。

含有ax+b的绝对值不等式可以化为|ax+b|c的形式进行求解。

注意：文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此不需要删除和改写。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的判别式为 $\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的大小关系可以得到不等式的解集。

对于二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$，它的图象是一个开口朝上的抛物线。

对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$，它的根可以通过公式 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求得，其中$\Delta=b^2-4ac$，当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根；当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$ 时，方程没有实根。

对于一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$，它的解集为$\{x|xx_2\}$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 分别是方程$ax^2+bx+c=0$ 的两个实根，且 $x_10)$ 时，它的解集为$\{x|x_10)$ 时，它的解集为 $\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$。

高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇UA {|x x )A =∅【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法{0)()()U A B A =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值。