(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1

1.1集合（第3课时）一、知识目标：①内容：初步理解集合的表示法②重点：集合的表示法③难点：集合的表示法中的描述法④注意点：注意集合的各种表示方式的特点及联系，注意描述法中的代表元素二、能力目标：由集合表示方式的选择，集合符号语言的使用，培养自觉使用符号的意识能力三、教学过程：1）情景设置首先请一位同学回答一下上节课我们所学的内容：集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性集合的分类：有限集，无限集，空集练习：1、不等式 X+1>0的解集是有限集吗？-1<02、集合{0}，{φ}，{空集}是空集吗？我们对集合的研究要想继续深入下去的话，除了应懂得以上集合的基础知识外，还须知道如何将集合清楚、准确的表示出来2）新课讲授集合的表示方法最主要有三类：列举法，描述法和图示法①列举法——将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开例如：{所有大于0且小于10的奇数}这个集合用列举法表示为{1,3,5,7,9}注意：1。

元素之间用“，”放开2。

.对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须要把元素间的规律显示清楚后才能用删节号。

例如{小于100的自然数}这个集合可用列举法表示为{0,1,2,3,4, (99)②描述法——将所给集合中全部元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来其一般格式如下：{ x│ x∈P }↑ ↑该集合中的元素是什么？ 这些元素具有什么共同的特征和性质？例如：不等式x-3>2的解集表示为{x │x>5,x ∈R}注意：1。

明确集合中的代表元素的形式。

代表元素只代表了一个集合中元素的形式，至于代表元素中表示变量的字母的取值，则是由后面的条件关系决定的，只要不影响元素的取值，代表元素中表示变量的字母并不是固定不变的。

2。

说明该集合中代表元素的性质。

③ 图示法——画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合。

常用于表示不需给出具体元素的抽象集合，对已经给出了具体元素的集合集合当然也可以用图示法表示。

第一章集合与函数概念
本章要览
1.集合语言是现代数学的基本语言，通过本章的学习，要学会使用集合语言表示有关数学对象，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，感受集合语言的意义和作用.集合作为语言表示常用列举法和描述法.
2.元素与集合是“属于”“不属于”关系，元素具有确定性、互异性、无序性.
3.理解集合与集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集.
5.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
6.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.。

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集合（第1课时）一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念,常用数集,集合元素的特征等集合的基础知识。

②重点：集合的基本概念及集合元素的特征③难点：元素与集合的关系④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元素的基本属性的理解与把握。

二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合，培养分析、判断的能力;②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。

三、教学过程：Ⅰ)情景设置:军训期间，我们经常会听到教官在高喊:（x）的全体同学集合！听到口令,咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。

这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。

数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念,而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。

Ⅱ）探求与研究:①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子）②为了明确地告诉大家,是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个整体来看待，就用大括号｛ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记为……（板书）另外,我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字母a、b、c……(或x1、x2、x3……）表示同学口答课本P5练习中的第1大题③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出：对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A;如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。

人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March人教版高中数学必修一第一章函数与集合概念知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系———子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

§1.1.1 集合的含义与表示【教材分析】集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题.本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换.【教学目标】1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.3.在从实例理解集合的含义过程中，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.4.在理解集合含义及特性过程中，运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.【教学重难点】教学重点：集合的含义与表示方法.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【教学设计建议】一、导入新课1.生活中的集合现象：体育课的集合、军训的集合；蔬菜、水果、家电、服装等总称、整体现象.2.数学里的集合现象：整体、全体、所有等统称问题.【设计意图：从生活中和数学里已有的集合知识概括性的导入新课，学生体会到数学与生活的联系，激发学习兴趣】二、探索新知（一）、集合的含义1、小学初中数学涉及到的“集合”如:数集所有整数、所有有理数、实数，方程（组）、不等式的解，几何中圆的轨迹、线段的垂直平分线等.2、再看一些生活实例P2（1）1～20以内所有的质数；（2）我国从1991～2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程x2+3x－2=0的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体.3、问题思考（1）8个实例的共同特征.（2）具体分析每一个实例的元素和这些元素的全体所组成一个集合.4、归纳新知（1）集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示①通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.②元素与集合的“属于”关系如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.【设计意图：集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.】（二）集合元素的特性（1）问题思考①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？（2）集合元素的特性①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.【设计意图：集合元素的特性及其中的约定通过实例的分析和思考，目的是让学生形成认知冲突，体会元素的确定性、约定元素的无序性和互异性的必要.】（二）集合元素的特性（1）问题思考①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？（2）集合元素的特性①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.（三）集合的表示方法（1）自然语言描述（2）大写字母表示（3）列举法①问题引出：书上的例1如何表示集合引出列举法例1怎样表示下列集合？（1）小于10的所有自然数组成的集合;（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合;（3）由1~20以内的所有质数组成的集合.②列举法把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法.（4）描述法①问题引出：你能用列举法表示x 的解集吗?不等式-73数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合吗?②描述法在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.【设计意图：集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.】三、反思提升（一）集合的含义及表示方法（1）集合的含义（高中唯一不定义的概念，仅描述性说明含义）（2）表示方法：字母表示法、自然语言描述、列举法、描述法（二）自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.【设计意图：学生浸润在新课导入的情境中，对集合的新知进行探索后，有了较深刻的学习体验，通过对反思小结，提升集合的知识和方法，说明集合的表示方法各有优点，需要根据具体问题确定采用哪种表示方法，启发学生关注知识间的联系和区别，并能根据问题情境适时进行语言转换.】 四、反馈例练（一）基础例练书P5练习1、2书P4例2.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.（二）巩固例练例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x 1图象上所有的点例2.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5)6{|,}3x Z x Z x ∈∈-.例3.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式2x-7<3的解集.(三)拓展例练1.数集{}23,,2x x x -中,实数x 满足什么条件?2.集合A 中的元素由关于x 的方程2320kx x -+=的解构成,其中k R ∈,若A 中仅有一个元素,求k 的值.3、集合{|,,}A x x a a Z b Z ==∈∈,判断下列元素0x =、121-、231-与集合A 之间的关系.4、设集合{}|21,A x x m m Z ==+∈与{}|21,B x x n n Z ==-∈，试问集合A 与B 是同一集合吗?说明理由.5、集合A 满足：若a A ∈且1a ≠，则11A a∈-. ①若2A ∈，求集合A 中其他元素.②证明：集合A 不可能只有一个元素.③证明：若a A ∈且1a ≠，则11A a-∈. 【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】五、课后作业课本P11习题1.1 A 组1、2、3、4、5 B 组1、2建议校本教材辅助练习【教学设计感悟】集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的含义、表示方法及特征比较难以理解，很容易囫囵吞枣,因此设计时采用渐进式问题引导、尝试探索、归纳新知的学习方法.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生针对具体问题，恰当使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换，这不仅是学习集合语言的需要，更是培养学生数学语义转换能力的需要，为接下来的运用集合和对应的语言来进一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法打下一定的基础.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.从一开始引导学生养成良好学习习惯,思维习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力.。

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修11.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自主预习1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.2.元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.3.元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )(2)一个集合可以表示成{a，a，b，c，}.( )(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A中的元素.( ) 提示(1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 答案 B3.下列关系正确的是( )①0∈N ；②2∈Q ；③12∉R ；④－2∉Z .A.③④B.①③C.②④D.①解析 ①正确，∵0是自然数，∴0∈N ；②不正确，∵2是无理数，∴2∉Q ；③不正确，∵12是实数，∴12∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z . 答案 D4.若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”“∉”).解析 集合A 与集合B 相等，则A 、B 两集合的元素完全相同，又1∈A ，故1∈B . 答案 ∈类型一 集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( ) A.著名的中国数学家 B.北京四中2015级新生 C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合. 答案 A规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解；(4)2的近似值的全体.解(1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解有两个，即±2，故能组成一个集合.(4)“2的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.类型二元素与集合的关系【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A.1B.2C.3D.4(2)(2016·连云港高一检测)集中A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.解析(1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，①②④正确，③不正确.(2)由63－x∈N，则6是3－x的正整数倍，所以3－x＝1，2，3，6.又x∈N，∴x＝0，1，2. 答案(1)C (2)0，1，2规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征. 【训练2】设不等式2x－3>0的解集为M，下列表示正确的是( )A.0∈M，2∈MB.0∉M，2∈MC.0∈M，2∉MD.0∉M，2∉M解析因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M的元素，0∉M.又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x－3>0的解集中元素，2∈M.答案 B类型三集合中元素的特性及应用(互动探究)【例3】已知集合A中含有两个元素a＋1，a2－1，且0∈A，则实数a的值为________. [思路探究]探究点一a＋1，a2－1是A中的两个元素，揭示二者满足什么关系？提示根据集合元素的互异性，a＋1≠a2－1.探究点二0∈A，与A中的两元素a＋1，a2－1间有什么关系？提示根据元素与集合间的从属关系，应有a＋1＝0或a2－1＝0.解因为0∈A，所以0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1，a＝－1(舍)，所以a＝1.此时，A＝{2，0}，符合题意.答案 1规律方法(1)由于A中含有两个元素，0∈A，本题以0是否等于a＋1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.【迁移探究1】(变换条件) 本例若将集合A中元素“a＋1”“a2－1”改为“a－3和2a－1”，“0∈A”改为“－3∈A”，则实数a的取值是什么？解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A”，其他条件不变，试求实数a的取值.解由集合元素的互异性，a＋1≠a2－1，所以a2－a－2≠0，即(a－2)(a＋1)≠0，因此a≠2且a≠－1.[课堂小结]1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号∈和∉的两点说明(1)符号∈和∉刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA的篮球明星解析A、C、D中对象不具有确定性，不能构成集合.答案 B2.若以方程x2－2x－3＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.答案 C3.已知集合A中只含有一个元素1，若|b|∈A，则b＝________.解析由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.答案±14.已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，求实数a的值.解∵M中有两个元素，3和a＋1，且4∈M，∴4＝a＋1，解得a＝3.即实数a的值为3.基础过关1.下列各对象可以组成集合的是( )A.中国著名的科学家B.感动中国2016十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合. 答案 B2.由x 2，2|x |组成一个集合A 中含有两个元素，则实数x 的取值可以是( ) A.0B.－2C.8D.2解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x 的取值可以是8. 答案 C3.下列正确的命题的个数有( )①1∈N ；②2∈N *；③12∈Q ；④2＋2∉R ；⑤42∉Z .A.1B.2C.3D.4解析 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确； ∵2不是正整数，∴2∉N *，故②不正确； ∵12是有理数，∴12∈Q ，故③正确； ∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴42∈Z ，故⑤不正确. 答案 B4.方程x 2－3x －4＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 解析 方程x 2－3x －3＝0的两根分别是－1和4， 由题意可知，a ＋b ＝3. 答案 35.(2016·成都高一检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析 因为x ∈N ，且2<x <a .又集合P 中恰有三个元素，结合数轴a ＝6. 答案 66.设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解 (1)由集合中元素的互异性可得x ≠3且x 2－2x ≠x ，x 2－2x ≠3，解得x ≠－1且x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 则x 2－2x ≠－2，所以x ＝－2.7.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 因为当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6； 当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8； 当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个.8.已知集合A 是由三个元素a －2，2a 2＋5a ，12组成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 解 ∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3， 不符合集合中元素的互异性，故舍去.当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合题意.综上可知，a ＝－32.能 力 提 升9.由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A.1B.－2C.6D.2解析 因A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等，将选项中的数值代入验证，C 正确. 答案 C10.集合A 中的元素为全部小于1的数，则有( ) A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－3∉A解析 由于集合A 中的元素为全部小于1的数，故3∉A ，1∉A ，0∈A ，－3∈A ，故只有C 正确. 答案 C11.(2016·金华高一检测)若集合P 中含有两个元素1，2，集合Q 含有两个元素1，a 2，若集合P 与集合Q 相等，则a ＝________.解析 ∵P 中含有两元素1，2；集合Q 含有两个元素1，a 2，又P ＝Q ， ∴a 2＝2，且a 2≠1，解之得a ＝±2且a ≠±1. 答案 ± 212.集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为________. 解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ； 若a ＝6，则6－6＝0∉A .答案 2或413.已知由方程kx 2－8x ＋16＝0的根组成的集合A 只有一个元素，试求实数k 的值. 解 当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实根， 需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A 中只有一个元素4. 综上可知k ＝0或1.探 究 创 新14.设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a≠1).求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集. 证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－（－1）＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中必有另外两个元素，分别为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，而方程无解. 所以a ≠11－a，所以A 不可能为单元素集.第2课时 集合的表示目标定位 1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.自主预习1.列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.温馨提示：(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)满足元素的互异性和元素的无序性.2.描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的公共特征.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}.( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.( )(3)集合A＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )提示(1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素.答案(1)×(2)√(3)×2.已知A＝{x|3－3x>0}，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A解析A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.答案 C3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A.{1，1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}解析方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1，故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}.答案 B4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|________}.解析平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0，即x>0，y>0，故第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}.答案x>0，y>0类型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合.解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}； (3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本例(3)在求解时易出现⎩⎨⎧⎭⎬⎫75，25的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }.【训练1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合.解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}. (2)方程x (x 2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合为{(1，1)}.类型二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (3)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解集. 解 (1)要使y ＝1x 2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0，即x ≠2且x ≠－3，故可写成{x ∈R |x ≠2且x ≠－3}.(2)易知集合可写成{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0，x ∈R }. (3)易知集合可写成{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }.规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面. 2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }；②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认x ∈R . 【训练2】 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合； (3)所有正奇数组成的集合.解 (1){x |3x ＋2>2x ＋1}＝{x |x >－1}. (2){(x ，y )|xy >0，且x ，y ∈R }. (3){x |x ＝2k －1，k ∈N *}.类型三 集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B . [思路探究]探究点一 如何利用条件首先确定函数f (x )的解析式？提示 根据A ＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定f (x )－x ＝0中的a ，b . 探究点二 怎样用列举法表示出集合B?提示 解出方程f (x )－ax ＝0的实根，确定集合B .解 ∵f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0，又集合A ＝{1，－3}，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋（－3）＝a ＋1，1×（－3）＝b . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3.f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±2 3.因此B ＝{x |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}.规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}，若集合A 中有两个元素，求实数a 取值范围的集合.解 若A 中有两个元素，则一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0 有两个不等的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3）2－8a >0，a ≠0，解得a <98，且a ≠0.因此实数a 取值范围的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <98，且a ≠0.[课堂小结] 1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( ) A.{1，2，3} B.{0，1，2，3}C.{－2，－1，0，1，2}D.{－3，－2，－1，0，1，2，3} 解析 由－3≤x ≤3，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，则B ＝{0，1，2，3}. 答案 B2.集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}表示( ) A.方程y ＝2x ＋3 B.点(x ，y )C.函数y ＝2x ＋3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析 集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合.答案 C3.设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若集合A与集合B相等，则a＋b＝________.解析由于{4，a}＝{2，ab}，所以a＝2且ab＝4，从而a＝2，且b＝2，所以a＋b＝4.答案 44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P＝{0，2，4}.(2)可用列举法表示为{6，9，12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4<x<15，且n∈N}.基 础 过 关1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( )A.{x ＝1，y ＝1}B.{1}C.{(1，1)}D.(1，1)解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D. 答案 C2.下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{(3，2)}，N ＝{3，2}解析 A 中集合M ，N 表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B 中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C 中集合M 表示直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 表示直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D 中的集合M 表示点集，N 表示数集，所以是不同集合. 答案 B3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A.{x |－3<x <11，x ∈Q } B.{x |－3<x <11，x ∈R } C.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N } D.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }解析 {x |x ＝2k ，k ∈Z }表示所有偶数组成的集合.由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素. 答案 D4.点(2，11)与集合{(x ，y )|y ＝x ＋9}之间的关系为________. 解析 ∵11＝2＋9，∴(2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}. 答案 (2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}5.下列集合中，不同于另外三个集合的是________. ①{x |x ＝1}；②{y |(y －1)2＝0}；③{x ＝1}；④{1}解析 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，所以答案为③.答案③6.用描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}.(3)用描述法表示该集合为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.7.用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}.解由－1≤x≤1且x∈Z，得x＝－1，0，1，当x＝－1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝1，∴A＝{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}.8.设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系.解因为a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)；b∈B，则b＝2k2＋1(k2∈Z)，所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b∉A.能力提升9.集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析∵x∈N，y∈N，且x＋y≤1，∴当x＝0时，y＝0或1；当x＝1时，y＝0.故A＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.答案 C10.(2016·德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.答案 B11.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A ，且a ∈B ，则a 为________. 解析 集合A ，B 都表示直线上点的集合，a ∈A 表示a 是直线y ＝2x ＋1上的点，a ∈B 表示a 是直线y ＝x ＋3上的点，所以a 是直线y ＝2x ＋1与y ＝x ＋3的交点，即a 为(2，5).答案 (2，5)12.下列命题中正确的是________(只填序号).①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |2<x <5}可以用列举法表示.解析 对于①，0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的. 答案 ②13.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合.解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}. (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故 ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2，0，2}.探 究 创 新14.(2014·福建高考改编)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d ).解 若只有①对，即a ＝1，则b ≠1不正确，所以b ＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有②对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)； 若只有③对，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有④对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2 集合间的基本关系目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自主预习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集A⊆B或B⊇A真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集A B和B A与“⊆”有什么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系.2.集合相等若A⊆B且B⊆A，则集合A＝B.3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)空集用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，∅为不含任何元素的集合，{∅}为含有一个元素∅的集合.4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}.( )(3)已知A＝B，A＝{1，2，3}，B＝{x，y，3}，则x＝1，y＝2.( )(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C，可得A⊆C.( )提示(1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，∅也是集合{0，1}的子集.(3)错，x＝1，y＝2或x＝2，y＝1.(4)对，由集合的包含关系可得.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.集合{1，2}的真子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个解析集合{1，2}的真子集有∅，{1}，{2}共3个.答案 B3.设集合M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是( )A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案 A4.已知集合A＝{2，9}，集合B＝{1－m，9}，且A＝B，则实数m＝________.解析因为A＝B，所以1－m＝2，所以m＝－1.答案－1类型一有限集合的子集问题【例1】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合A的含义而把集合A表达为{0，1，2}，究其原因是没有看清集合A的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.【训练1】已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x A}，求集合B.解由题意可知，集合B的元素是集合A的所有真子集，故B＝{∅，{1}，{2}}.类型二集合间关系的判断【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}{(0，1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )} A.1B.2C.3D.4(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a 等于( )A.1B.－1C.2D.－2解析 (1)对于①，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于③，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(a ，b )}与{(b ，a )}是不同的点集，所以④错误.(2)因为a ≠0，所以a ＋b ＝0，所以ba＝－1，所以b ＝1，a ＝－1.故b －a ＝2.故选C. 答案 (1)B (2)C规律方法 (1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；③若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.【训练2】 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7>0}，试判断集合A 和B 的关系.解 A ＝{－3，2}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈B ，2∈B ，∴A ⊆B ，又0∈B ，但0∉A ，∴AB .类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. [思路探究]探究点一 B ⊆A ，集合B 是否满足B ≠∅？提示 不能，因为集合B 中的元素不确定，有B ＝∅和B ≠∅两种情况. 探究点二 若B ≠∅，B ⊆A ，m 应满足什么条件？ 提示 根据子集定义，m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －6，m －6≤2m －1，2m －1≤5，解 (1)B ＝∅时，有m －6>2m －1，则m <－5，此时B ⊆A 成立.(2)当B ≠∅时，B ⊆A ，此时满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －6，m －6≤2m －1，2m －1≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥4，m ≥－5，m ≤3.不等式组解集为∅.由(1)(2)知，实数m 的取值范围是{m |m <－5}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围.解 由A ⊆B 题设条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.所以m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}.【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |x <2或x >5}”，其余条件不变，求实数m 的取值范围. 解 (1)当B ＝∅时，m －6>2m －1， 则m <－5，此时满足条件B ⊆A . (2)当B ≠∅时，B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，2m －1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，m －6>5. 解之得－5≤m <－12或m >11.综合(1)，(2)知，实数m 取值的范围⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <－12或m >11.[课堂小结]1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集中元素个数分类，再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有。

1.1 集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义预习课本P2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合． ( )(2)新课标数学人教A 版必修1课本上的所有难题．( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A ．0∈N B．π∈Q C.2∈Q D ．－1∉Z答案：A3．已知集合A 中含有3个元素－2,4，x 2－x ，且6∈A ，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．3或－2答案：D4．方程x 2－1＝0与方程x ＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素． 答案：2[例1] 考察下列每组对象，能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数；④2016年第31届奥运会金牌获得者． A ．③④ B ．②③④ C ．②③D ．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B集合的基本概1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0.[答案] (1)C (2)0,1,2[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3元素与集合的关系解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B . 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． [解析] 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a ＝－1. [答案] －1 [一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A ”改为“2∈A ”，其他条件不变，求实数a 的值． 解：因2∈A ，则a ＝2或a 2＝2即a ＝2，或a ＝2，或a ＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因A 中有两个元素a 和a 2，则由a ≠a 2解得a ≠0且a ≠1.3．[变条件]已知集合A 含有两个元素1和a 2，若“a ∈A ”，求实数a 的值． 解：由a ∈A 可知，当a ＝1时，此时a 2＝1，与集合元素的互异性矛盾， 所以a ≠1.当a ＝a 2时，a ＝0或1(舍去)． 综上可知，a ＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤集合中元素的特性及应用层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.5．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ， ∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3. 答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意． (2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． (3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1.答案：0或17．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.8．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明：(1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．第二课时 集合的表示预习课本P3～5，思考并完成以下问题[新知初探]1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．[点睛] 列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[点睛] 描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)}答案：C3．不等式x －3<2且x ∈N *的解集用列举法可表示为( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案：B4．不等式4x －5<7的解集为________． 答案：{x |4x －5<7}[例1] 用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x 3＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 3＝x 的解是x ＝0或x ＝1或x ＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}． (3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)， 故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．[活学活用]1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．用列举法表示集合2．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A . (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B .(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D . 解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}． (2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．[例2] 用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于4的所有偶数．[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x |x ＝3n ＋1，n ∈N}． (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x ，y )|x >0，y >0}． (3)偶数可表示为2n ，n ∈Z，又因为大于4，故n ≥3，从而用描述法表示此集合为{x |x ＝2n ，n ∈Z 且n ≥3}．描述法表示集合的2个步骤[活学活用]3．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A ＝{x |x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ； (2)(1,2)________{(x ，y )|y ＝x ＋1}． 解析：(1)易知A ＝{0,1}，故1∈A ，－1∉A ； (2)将x ＝1，y ＝2代入y ＝x ＋1，等式成立． 答案：(1)∈ ∉ (2)∈ 4．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2且n ∈N}；用描述法表示集合(2)抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合． 解：(1)列举法：P ＝{0,2,4}．(2)描述法：⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x 2－2x y ＝0.或列举法：{(0,0)，(2,0)}． (3)描述法：{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．[例3] (1)若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．0或1(2)设12∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－ax －52＝0，则集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－192x －a ＝0中所有元素之积为________．[解析] (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0， 此时x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，原方程的解为x ＝－1，符合题意． 故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．(2)因为12∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－ax －52＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12a －52＝0，解得：a ＝－92，当a ＝－92时，方程x 2－192x ＋92＝0的判别式Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1922－4×92＝2894>0，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－192x ＋92＝0的所有元素的积为方程的两根之积等于92.[答案] (1)D (2)92集合表示法的综合应用[活学活用]5．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．解：由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6.6．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N. 试判断元素1,2与集合B 的关系； 用列举法表示集合B . 解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N. 当x ＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B .(2)∵62＋x ∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}.[例4] 用描述法表示抛物线y ＝x 2＋1上的点构成的集合．[解] 抛物线y ＝x 2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． [一题多变]1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x |y ＝x 2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 解：集合{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ， 所以{x |y ＝x 2＋1}中的元素是全体实数．2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y |y ＝x 2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 解：集合{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．层级一 学业水平达标集合含义的再认识1．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D 集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}解析：选B {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B. 3．已知M ＝{x |x －1<2}，那么( ) A ．2∈M ，－2∈M B ．2∈M ，－2∉M C ．2∉M ，－2∉MD ．2∉M ，－2∈M解析：选A 若x ＝2，则x －1＝1<2，所以2∈M ；若x ＝－2，则x －1＝－3<2，所以－2∈M .故选A.4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选D 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D.6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________. 解析：由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4， 则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． 答案：{1,3}8．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． 解析：由题意可知集合B 是由A 中元素的平方构成的，故B ＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16}9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 016＋b 2 016的值． 解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以ba＝0，即b ＝0. 又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时，得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意． 当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)． 故a ＝－1，b ＝0，所以a2 016＋b2 016的值为1.层级二 应试能力达标1．下列命题中正确的是( ) A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R}中有两个元素 B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合解析：选 A {x |x 2＝1，x ∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，所以13∉{x |x <23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．2．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．3．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B解析：选C 集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．4．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P *Q 中元素的个数是( ) A ．6个 B ．7个 C ．8个D ．9个解析：选A 若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1,2,3；若a ＝2，则ab ＝2,4,6.故P *Q ＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．5．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，用列举法表示A 为________． 解析：∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0.∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}． 答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}6．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若(x 0，y 0)∈A ，(x 0，y 0)∈B ，则(x 0，y 0)的值为________．解析：由题意知，(x 0，y 0)∈A ，(x 0，y 0)∈B ，所以(x 0，y 0)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝5.答案：(2,5)7．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根， 所以Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916.故所求的a的取值范围是a≤－916或a＝0.8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解：①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a的值为－1或0.1．1.2 集合间的基本关系[新知初探]1．子集的概念任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[点睛] (1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．3．真子集的概念记作A B(或B A)(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B4．空集的概念(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )(2)任何一个集合都有子集．( )(3)若A＝B，则A⊆B.( )(4)空集是任何集合的真子集．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆M答案：D3．下列四个集合中，是空集的为( )A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案：B4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案：－1集合间关系的判断[例1] 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B ＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n ∈N *，因此集合M 含有元素“1”，而集合N 不含元素“1”，故N M .[活学活用]1．能正确表示集合M ＝{x ∈R|0≤x ≤2}和集合N ＝{x ∈R|x 2－x ＝0}关系的Venn 图是( )解析：选B 解x 2－x ＝0得x ＝1或x ＝0，故N ＝{0,1}，易得N M ，其对应的Venn 图如选项B 所示．2．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x |x <8，x ∈N}，用适当的符号填空： (1)A ________B ；(2)A ________C ； (3){2}________C ；(4)2________C .解析：集合A 为方程x 2－3x ＋2＝0的解集，即A ＝{1,2}，而C ＝{x |x <8，x ∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A ＝B ；(2)AC ；(3){2}C ；(4)2∈C .答案：(1)＝ (2) (3)(4)∈[例2] (1)集合M ＝{1,2,3}的真子集个数是( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9有限集合子集的确定(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案] (1)B (2)72．与子集、真子集个数有关的3个结论中含有n个元素，则有：的子集的个数为2n个；[活学活用]3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.4．已知集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，则满足条件的集合A 的个数是________．解析：若集合A ＝∅，满足A ⊆B ，A ⊆C ；若集合A ≠∅，集合A 可能是{a }，{b }，{a ，b }．故集合A 共4个．答案： 4[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[解] ∵A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.∴实数m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}．[一题多变]1．[变条件]本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解：(1)当B ＝∅时，m －6>2m －1，即m <－5.当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m －6≤2m －1，m －6≥－2，2m －1≤5，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－5，m ≥4，m ≤3，即m ∈∅.故实数m 的取值范围是{m |m <－5}．2．[变条件]本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．解：因为A ⊆B ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，B ＝{－1,3,1}，A ＝{3,1}满足A ⊆B .由集合间的关系求参数值(或范围)层级一 学业水平达标1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1D ．4解析：选C ∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，∴m ＝2或m ＝－1. 2．已知集合A ＝{x |－1－x <0}，则下列各式正确的是( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈AD ．{0}⊆A解析：选D 集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，∅⊆A ，D 正确． 3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选B 由已知x 是正方形，则x 必是矩形，所以C ⊆B ，故选B. 4．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.5．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．答案：{(1,2)}，{(－3,4)}7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则A ，B 的关系是________．解析：因为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .答案：8．已知集合A ＝{x |x <3}，集合B ＝{x |x <m }，且A ⊆B ，则实数m 满足的条件是________． 解析：将数集A 在数轴上表示出来，如图所示，要满足A ⊆B ，表示数m 的点必须在表示3的点处或在其右边，故m ≥3. 答案：m ≥39．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.10．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且，求a 的值．解：∵，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . (1)当a 2－a ＋1＝3时，解得a ＝－1或a ＝2. 经检验，满足题意．(2)当a 2－a ＋1＝a 时，解得a ＝1，此时集合A 中的元素1重复，故a ＝1不合题意． 综上所述，a ＝－1或a ＝2为所求．层级二 应试能力达标1．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1解析：选C 由A ＝B ，得x ＝0或y ＝0.当x ＝0时，x 2＝0，此时B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y ＝0时，x ＝x 2，则x ＝0或x ＝1.由上知x ＝0不合适，故y ＝0，x ＝1，则2x ＋y ＝2.2．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C 有4个．3．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z}，则A 与B 之间的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ＝B C ．A BD ．A B解析：选D 对于x ＝3k (k ∈Z)，当k ＝2m (m ∈Z)时，x ＝6m (m ∈Z)；当k ＝2m －1(m ∈Z)时，x ＝6m －3(m ∈Z)．由此可知A B .4．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,1解析：选D 因为集合A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，故a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意． 综上所述，a ＝0，或a ＝±1.5．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1,1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________．解析：由题意，得1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，符合题意；当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合题意．所以a 的值为－1或13.答案：－1或 136．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2， ∴M ＝{y |y ≥－2}，∴N M .答案：7．已知A ＝{x ∈R|x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R|a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ≠∅时， ∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a ≤2a －1成立，解得a >3；②当B ＝∅时，由a >2a －1，得a <1.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a <1或a >3}．8．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求m 的取值范围． 解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)． (2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．1．1.3 集合的基本运算 第一课时 并集与交集[新知初探]1．并集和交集的概念及其表示[点睛] (1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．2．并集与交集的运算性质[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并集定义中的“或”就是“和”．( )(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．( )(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2} D ．{－1,0,1,2}答案：D3．若集合A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |－5<x <2} C ．{x |－3<x <3} D ．{x |－5<x <3} 答案：A4．满足{1}∪B ＝{1,2}的集合B 的个数是________． 答案：2[例1] (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{5,8} C ．{3,5,7,8} D ．{4,5,6,8} (2)若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x >－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |－1<x <2}[解析] (1)由并集的定义知，M ∪N ＝{3,4,5,6,7,8}． (2)画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x |x >－2}．[答案] (1)A (2)A[活学活用]1．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >5}，则M ∪N ＝( ) A ．{x |x <－5或x >－3} B ．{x |－5<x <5} C ．{x |－3<x<5}D．{x |x <－3或x >5}解析：选A 将集合M 和N 在数轴上表示出来，如图所示，并集的运算可知M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}．2．已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{0,1,2,3,5}，则A ∪B ＝________________. 解析：A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． 答案：{0,1,2,3,4,5}[例2] (1)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |1≤x ≤4}(2)(全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] (1)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图．则由交集的定义，A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．(2)集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.[答案] (1)A (2)D[活学活用]3．(北京高考)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}解析：选C 集合A ＝{x |－2<x <2}，集合B ＝{－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}． 4．若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，B ＝{x |－1<x <3}，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12，B ＝{x |－1<x <3}，画数轴如图：交集的运算∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <3题点一：由并集、交集求参数的值1．已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M ∩N ＝{3}，求实数a 的值． 解：∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.题点二：由并集、交集的定义求参数的范围2．设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．解：如图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. 题点三：由交集、并集的性质求参数的范围3．已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2.②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52.综合①②可得k 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪k ≤52. 4．把3题中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围．由集合的并集、交集求参数解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠∅. 由数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 不存在．层级一 学业水平达标1．已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选A 借助数轴易得A ∪B ＝{x |x ≥－1}．2．(天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3}D ．{1,4}解析：选D 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}． 又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.3．A ＝{x ∈N|1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：选A 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.6．(江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}7．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．答案：R {x|－1＜x≤1，或4≤x<5}8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设所求人数为x，则x＋10＝30－8⇒x＝12.答案：129．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，。