第1章 数论与应用--整数的唯一分解定理

拆数的原理拆数是指将一个数拆分成若干个数之和的过程。

这种操作在数学中具有广泛的应用，特别是在数论、组合数学、计算几何以及各种应用数学中都是非常重要的。

拆数的原理包括数论、组合数学以及小学数学中的常见知识。

1. 数论基础数论是研究整数性质的一个分支学科，是拆数的基础。

在数论中，一个整数可以表达为另外两个整数之和或积的形式，这被称为“唯一分解定理”。

基于唯一分解定理，我们可以使用分治法拆分任何一个整数。

唯一分解定理表示：任何一个大于1的整数都可以写成质数的乘积，而且这个乘积表示方式是唯一的（除了质数的顺序不同外）。

例如，我们将整数分为奇数和偶数两部分，然后对它们进行递归处理，直到不能再被分为止。

这样，我们可以将一个整数n拆分成如下形式：n = 2k + (n-2k)其中，n-2k是小于n的数，因此如果我们可以拆分n-2k，则可以使用上述公式拆分n。

这个递归过程可以不断进行下去，直到所有分解式都是质数。

2. 组合数学组合数学是一门研究离散结构的学科，它被广泛应用于计数问题和概率问题。

拆数是组合数学的一个典型应用，因为拆数涉及到不同的组合方式。

例如，一个正整数n可以拆分为若干个正整数之和的组合方式数目可以用组合数公式计算。

设f(n)表示将n拆分为若干个正整数之和的组合方式数目，我们有：f(n) = C(n-1, k-1)其中k表示正整数的个数，可以从1一直递增到n。

组合数C(n, k)表示从n个元素中取k个元素组成的组合，其组合数公式为：C(n, k) = n! / (k!*(n-k)!)根据上面的公式，我们可以计算得到f(n)的值。

例如，当n=5时，其C(n-1,k-1)的值如下：k=1, C(4, 0) = 1k=2, C(4, 1) = 4k=3, C(4, 2) = 6k=4, C(4, 3) = 4k=5, C(4, 4) = 1因此，将5拆分为若干个正整数之和的组合方式数目为1+4+6+4+1=16种。

唯一分解定理数论中的唯一分解定理，也称为质因数分解定理，是数论中非常重要的一个定理。

它表明每个大于1的自然数都可以写成一系列质数的乘积，并且这种表达方式是唯一的。

唯一分解定理的正式表述如下：任何一个大于1的整数n都可以表示为n=p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ的形式，其中p₁、p₂、...、pₙ是不同的质数，a₁、a₂、...、aₙ是大于等于1的整数。

这种表示方式是唯一的，即如果m=p₁^b₁* p₂^b₂* ... * pₙ^bₙ（其中b₁、b₂、...、bₙ是大于等于1的整数），那么对于每个i（1 ≤ i ≤ n），都有aᵢ = bᵢ。

唯一分解定理是数论中一个非常重要且实用的定理。

它使得我们可以将大的整数分解成质数的乘积，从而更方便地进行数学计算和研究。

通过质因数分解，我们可以推导出很多关于整数性质的结论，并且可以在密码学、计算机科学等领域中得到广泛的应用。

首先，让我们来看一个简单的例子。

考虑一个整数n=24。

我们可以将24分解为24=2^3 * 3^1。

这就是24的质因数分解。

其中，2和3都是质数，而3的指数为1，表示在分解中3只出现了1次。

这个分解方式是唯一的，没有其他的分解方式。

这意味着我们可以将任何一个大于1的自然数都表示为一系列质数的乘积，而且这种表达方式是唯一的。

同样地，我们可以将其他整数进行质因数分解。

例如，考虑整数30。

我们可以将30分解为30=2^1 * 3^1 * 5^1。

同样地，这个分解方式是唯一的，没有其他的分解方式。

这样我们就可以方便地得到整数的质因数分解。

唯一分解定理的证明比较复杂，涉及到数论的深入理解和推导。

在此我们不再展开讨论。

但是，唯一分解定理在数论中的重要性不言而喻。

它为我们提供了一种将整数分解为质数的乘积的方法，并且这种分解方式是唯一的。

这非常有利于我们在数学计算和研究中的推导和应用。

综上所述，唯一分解定理是数论中一个非常重要的定理。

齐次分解定理齐次分解定理，也被称为数论中的唯一分解定理或质因数分解定理，是数论中的一个重要定理。

该定理指出：任何一个正整数都可以被唯一地分解成若干个质数的乘积，即质因数。

所谓齐次是指分解后的每一个因子的乘幂均为1的情况。

这个定理具有重要的数论性质和实际意义，在数论的研究中有着非常广泛的应用。

齐次分解定理的内容如下：任何一个大于1的自然数N，要么是一个质数，要么可以写成几个质数的乘积，并且这个分解是唯一的。

具体来说，对于任意自然数N，如果N是一个质数，则直接分解为N本身。

如果N不是一个质数，则可以写成以下形式：N = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak其中，p1, p2, ..., pk为质数，a1, a2, ..., ak为正整数。

这种分解的形式是唯一的，即如果还有其他的质因数分解形式，则这些质因数和指数都完全相同。

这个定理在数论中非常重要，它确保了任何一个自然数都可以进行质因数分解，并且这种分解方式是唯一的。

这为数论的研究提供了基础，同时也为数学的其他领域提供了重要的工具。

齐次分解定理的证明方法可以通过数学归纳法来完成。

首先，对于N = 2的情况，由于2是质数，所以分解也是唯一的。

然后，假设对于某个自然数m成立，即m可以唯一分解为几个质数的乘积。

接下来，考虑m + 1的情况，如果m + 1是一个质数，则分解为m + 1本身即可。

如果m + 1不是一个质数，则可以进行质因数分解，即：m + 1 = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak然后，将每个质因数的指数减去1，即：m = p1^(a1-1) * p2^(a2-1) * ... * pk^(ak-1)由于对于m，质因数分解是唯一的，所以对于m + 1来说，其质因数分解也是唯一的。

因此，质因数分解定理成立。

齐次分解定理的重要性体现在许多数论相关的问题中。

首先，齐次分解定理可以用来求解最大公约数和最小公倍数问题。

唯一分解定理：每个大于1的自然数n 均可分解为有限个素数之积，如不计素数在乘积中的顺序，那么这种分解方式是唯一的.将相同的素因子写在一起，那么n 可以唯一地写成：1212k k n p p p ααα=⋅⋅⋅其中12,,,k p p p ⋅⋅⋅为互不相同的素数，而12,,,k ααα⋅⋅⋅是正整数，上式称为n 的标准分解.自然数n 的正约数个数公式：12()(1)(1)(1)k n τααα=++⋅⋅⋅+．第11讲 初等数论唯一分解定理11.1唯一分解定理【例1】 ⑴数135720132015⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的末三位数字为多少？⑵完全平方数除以1999所得的不同余数有几个？【例2】 设,a b 为正整数，1a b ≤<.证明：连续b 个整数中必有两个数的积被ab 整除.【例3】 记1!2!100!S =.证明：有一个整数k ，1100k ≤≤，使!S k 是一个完全平方数，并且这样的k是唯一的.【例4】 证明：若整数,a b 满足2223a a b b +=+，则a b -和221a b ++都是完全平方数.【例5】 证明：任意正整数可以表示为(不同)素因子的个数相等的正整数之差.【例6】 设,,a b c 是给定的整数.证明：有无穷多个正整数n ，使得32n an bn c +++不是完全平方数.【例7】 求正整数k ，使得存在函数:f N Z →满足：⑴(2000)2001f =；⑵()()()((,)),,f ab f a f b kf a b a b N =++∀∈.（其中(,)a b 表示,a b 的最大公约数.）【例8】 设12n p p p p =是最初的n 个质数的乘积，这里*n N ∈，2n ≥.证明：1p -和1p +都不是完全平方数.【例9】 求最小的质数(3)p >，使得不存在非负整数,a b 满足32a b p -=.【演练1】证明：存在无穷多个由连续3个正整数组成的数组，使得该数组中的每个数都可以表示为两个整数的平方和.（追问：是否存在这样的连续4个正整数？）实战演练【演练2】已知存在*,m n N ∈，使得195m n k =-，正整数k 的最小值为多少？【演练3】求出所有的正整数,a b ，使得对所有的正整数n ，n n a b +都是正整数的1n +次幂.【演练4】设正整数,,,a b c d满足ab cd+++不是素数.=，求证：a b c d【演练5】任意给定正整数n，证明：存在连续的n个正整数都是合数.。

第一章 整数的唯一分解定理第一节 整除性教学重点：应用带余数除法定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a . 如果a = bc 里的c 不存在，我们就说b 不能整除a 或a 不被b 整除，记作b |/a . 定理1 （传递性）若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数， 也就是b |a,c|b ⇒c|a.证 b |a,c|b 就是说存在两个整数1a ，1b 使得111111,(),a ab b bc a a b c a b ===成立因此但是是一个整数，故c|a 定理2 若a ，b 都是m 的倍数，则a ±b 也是m 的倍数.证 a ，b 是m 的倍数的意义就是存在两个整数a 1 , b 1，使得111111,.(),a a m b b m a b a b m a b a b m ==±=±±±因此但是整数，故是的倍数 .定理3 若1212,,,,,,n n a a a m q q q 都是的倍数，是任意个整数，1122.n n q a q a q a m +++ 则是的倍数注：1、显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数.2、若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数.以后若无特别说明，素数总是指正素数.3、下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；·(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0；(ⅴi) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ ba ∣a . 定理4(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b ≠ 0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r < |b |. (1)证明 存在性 若b ∣a ，a = bq ，q ∈Z ，可取r = 0. 若b |/a ，考虑集合A = { a + kb ；k ∈Z },其中Z 表示所有整数的集合.在集合A 中有无限多个正整数，设最小的正整数是r = a + k 0b ，则必有0 < r < |b |， (2)否则就有r ≥ |b |. 因为b |/a ，所以r ≠ |b |. 于是r > |b |，即a + k 0b > |b |，a + k 0b - |b | > 0，这样，在集合A 中，又有正整数a + k 0b - |b | < r ，这与r 的最小性矛盾. 所以式(2)必定成立. 取q = - k 0知式(1)成立. 存在性得证.唯一性 假设有两对整数q '，r '与q ''，r ''都使得式(1)成立，即a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则(q '' - q ')b = r ' - r ''，|r ' - r ''| < |b |， (3)因此r ' - r '' = 0，r ' = r ''，再由式(3)得出q ' = q ''，唯一性得证. 证毕3、定义2 称式(1)中的q 是a 被b 除的不完全商，r 是a 被b 除的余数，也叫最小非负剩余，记作r a b =><.第二节 最大公因数与辗转相除法第三节 最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法一、最大公因数定义 设12,,,2).n a a a n n d ≥ 是（个整数若整数是它们之中每一个的因数， 12,,,n d a a a 那么就叫作的一个公因数.整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k ).如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）.显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2.定理1 12,,,n a a a n 若是任意个不全为零的整数，则1212i ,,,,,n n a a a a a a （）与的公因数相同； 1212ii ,,,,,.n n a a a a a a = （）(）（）证 12,,,.,1,2,,,n i d a a a d a i n = 设是的任一公因数由定义12,1,2,,,,,i n d a i n d a a a = 因而故是的一个公因数，121,2,,,.n n a a a a a 同法可证，的任一个公因数都是，a 的一个公因数 121,2,,,n n a a a a a 故与a 有相同的公因数.定理2 若b 是任一正整数，则（i ）0与b 的公因数就是b 的因数， 反之，b 的因数也就是0与b 的公因数 . (ii) (0,b)=b .证 显然0与b 的公因数是b 的公因数 .由于任何非零整数都是0的因数， 故b 的因数也就是0，b 的公因数，于是（i ）得证.其次，我们立刻知道b 的最大因数是b ；而0，b 的最大公因数是b 的最大公因数，故（0，b ）=b.推论2.1 若b 是任一非零整数，则（0，b ）= b .定理3 ,,,,,,)(,).a b c a bq c q a b b c a b b c =+=设是任意三个不全为零的整数，且其中是非零整数，则与有相同的公因数，因而（ 定理4 ,(,)a b a b 若是任意两个整数，则就是a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .中的最后一个不等于零的余数，即得(,)n a b r =推论4.1 ,(,).a b a b 的公因数与的因数相同例（1）1859,1573185928621431859143.a b =-=-⨯⨯=⨯-=由定理得（，1573）=（1859,1573）.1859=11573+2861573=5286+143所以（，1573）=（1859,1573）例（2）169,121484812532512322311212211.a b ==⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=由定理得169=1121+48121=2+25所以（169,121）定理5 ,i (,),a b a b a b δδδδ设是任意两个不全为零的整数，（）若m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.(ii)若是a,b 的任一公因数，则（,）= 特别地, )(),(,),(b a b b a a = 1. 定理6 1212,,,,,,).n n n a a a n a a a d = 若是个整数，则(二、最小公倍数1、定义 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数. a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ].2、定理1 下面的等式成立：(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |.3、定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =),(b a ab . 证明：设m 是a 和b 的一个公倍数，那么存在整数k 1，k 2，使得m = ak 1，m = bk 2，因此ak 1 = bk 2 . (1)于是21),(),(k b a b k b a a =. 由于)(),(,),(b a b b a a = 1，所以 t b a b k k b a b ),(),(11|=即，， 其中t 是某个整数. 将上式代入式(1)得到m =),(b a ab t . (2) 另一方面，对于任意的整数t ，由式(2)所确定的m 显然是a 与b 的公倍数，因此a 与b 的公倍数必是式(2)中的形式，其中t 是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a , b ] =),(b a ab . 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明 由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ].证明 由定理2及前面的定理2的推论得到[ma , mb ] =),(),(),(22b a mab b a m ab m mb ma ab m === m [a , b ]. 证毕4、定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，则[a 1, a 2, , a n ] = m n .证明：我们有m n = [m n -1, a n ] ⇒ m n -1∣m n ，a n ∣m n ，m n -1 = [m n -2, a n -1] ⇒ m n -2∣m n -1∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n -1∣m n ，m n -2 = [m n -3, a n -2] ⇒ m n -3∣m n -2∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n ，a n -2∣m n ，m 2 = [a 1, a 2] ⇒ a n ∣m n ， ，a 2∣m n ，a 1∣m n ，即m n 是a 1, a 2, , a n 的一个公倍数.另一方面，对于a 1, a 2, , a n 的任何公倍数m ，由定理2的推论及m 2, , m n 的定义，得m 2∣m ，m 3∣m ， ，m n ∣m .即m n 是a 1, a 2, , a n 最小的正的公倍数. 证毕推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m .定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n . (3)证明：必要性 因为(a 1, a 2) = 1，由定理2得到[a 1, a 2] =),(2121a a a a = a 1a 2 . 由(a 1, a 3) = (a 2, a 3) = 1及前面的定理4推论得到(a 1a 2, a 3) = 1，由此及定理3得到[a 1, a 2, a 3] = [[a 1, a 2], a 3] = [a 1a 2, a 3] = a 1a 2a 3 .如此继续下去，就得到式(3).充分性 用归纳法证明. 当n = 2时，式(3)成为[a 1, a 2] = a 1a 2. 由定理2a 1a 2 = [a 1, a 2] =),(2121a a a a ⇒ (a 1, a 2) = 1， 即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k 时成立，即[a 1, a 2, , a k ] = a 1a 2 a k ⇒ (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j .对于整数a 1, a 2, , a k , a k + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1]. (4)其中m k = [a 1, a 2, , a k ].因此，如果[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = a 1a 2 a k a k + 1，那么，由此及式(4)得到[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1] =),(11++k k k k a m a m = a 1a 2 a k a k + 1， 即),(1+k k k a m m = a 1a 2 a k ， 显然m k ≤ a 1a 2 a k ，(m k , a k + 1) ≥ 1.所以若使上式成立，必是(m k , a k + 1) = 1， (5)并且m k = a 1a 2 a k . (6)由式(6)与式(5)推出(a i , a k + 1) = 1，1 ≤ i ≤ k ； (7)由式(6)及归纳假设推出(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立. 由归纳法证明了充分性. 证毕三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid 算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a 和b 是整数，b ≠ 0，依次做带余数除法：a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .由于b 是固定的，而且|b | > r 1 > r 2 > ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1 用下面的方式定义Fibonacci 数列{F n }：F 1 = F 2 = 1，F n = F n - 1 + F n - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有F n > α n - 2， (2)其中α =251+.证明：容易验证α 2 = α + 1.当n = 3时，由F 3 = 2 >251+= α 可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤ n （n ≥ 3）成立，即F k > α k - 2，k ≤ n ，则F n + 1 = F n + F n - 1 > α n - 2 + α n - 3 = α n - 3(α + 1) = α n - 3α 2 = α n - 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕. 定理11(1),1,,;k k k k a P b r k n --=-= 若a,b 是任意两个正整数，则Q其中 0111201121,,,0,1,,k k k k k k k k P P q P q P P Q Q Q q Q Q ----===+===+ 其中k=2,,n.推论1.1若a,b 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数s,t 使得as+bt=(a,b).定理2 若a,b,c 是三个整数，且(a,c)=1.则i （）ab,c 与b,c 有相同的公因数，ii （） (ab,c)=(b,c),,.b c 上面假定了至少有一不为零推论2.1 ,.ab c b 若（a,c)=1,c 则推论2.2 1212,,,,,,.n m a a a b b 设及b 是任意两组整数1212,,,,,,.n m a a a b b 若前一组中任意整数与后一组中任意整数互质，则与b 互质例2 用辗转相除法求(125, 17)，以及x ，y ，使得125x + 17y = (125, 17).解：做辗转相除法：125 = 7⋅17 + 6，q 1 = 7，r 1 = 6，17 = 2⋅6 + 5， q 2 = 2，r 2 = 5，6 = 1⋅5 + 1， q 3 = 1，r 3 = 1，5 = 5⋅1， q 4 = 5.由定理4，(125, 17) = r 3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P 0 = 1，P 1 = 7，P 2 = 2⋅7 + 1 = 15，P 3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q 0 = 0，Q 1 = 1，Q 2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q 3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x = (-1)3 - 1Q 3 = 3，y = (-1)3P 3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22) = (125, 17) = 1.例3 求(12345, 678).解：(12345, 678) = (12345, 339) = (12006, 339) = (6003, 339)= (5664, 339) = (177, 339) = (177, 162) = (177, 81)= (96, 81) = (3, 81) = 3.例4 在m 个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n （n < m ）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m , n ) = 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m , n ) = 1，所以存在整数x ，y ，使得mx + ny = 1. 因此对于任意的自然数k ，有1 + m (-x + kn ) = n (km + y )，这样，当k 充分大时，总可找出正整数x 0，y 0，使得1 + mx 0 = ny 0 .上式说明，如果放y 0次（每次放n 个），那么在使m 个盒子中各放x 0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1. 因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.第四节 素数、整数的唯一分解定理教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、定理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、定理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、定理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理4 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。

整数唯一分解定理整数唯一分解定理，也被称为质因数分解定理或素因数分解定理，是数论中的一个重要定理。

它告诉我们，每个大于1的整数都可以写成一系列素数的乘积，并且这个乘积的形式是唯一的。

这个定理在数论中有着广泛的应用，不仅对于数学的发展有重要意义，也在实际问题中有着实际的应用。

我们需要明确什么是素数。

素数是指大于1且只能被1和它自身整除的正整数。

比如2、3、5、7等都是素数，而4、6、8等都不是素数。

素数是整数中最基本的构成单元，任何一个整数都可以由素数的乘积构成。

根据整数唯一分解定理，我们可以将一个大于1的整数分解成一系列素数的乘积。

具体的分解方法是，从最小的素数2开始，不断地除以素数，直到无法再被整除为止。

例如，对于数字24，我们可以将其分解为2×2×2×3，即24=2^3×3。

同样地，对于数字60，我们可以将其分解为2×2×3×5，即60=2^2×3×5。

这种分解的过程是唯一的，也就是说，无论从哪个素数开始分解，最后得到的乘积都是相同的。

整数唯一分解定理的证明是比较复杂的，涉及到数论中的一些基本概念和定理。

在这里，我们不详细讨论其证明过程，而是来看一些应用。

整数唯一分解定理可以用来判断一个数是否为素数。

如果一个数不能被任何比它小的素数整除，那么它就是素数。

例如，对于数字23，我们无法找到任何比它小的素数能够整除它，所以23是素数。

同样地，对于数字37，我们也无法找到任何比它小的素数能够整除它，所以37也是素数。

整数唯一分解定理可以用来求一个数的所有因数。

因为一个数可以唯一地分解成素数的乘积，所以它的因数就是这些素数的各种乘积组合。

例如，对于数字24，它的所有因数包括1、2、3、4、6、8、12和24。

这些因数都是24的素因子的各种乘积组合。

整数唯一分解定理还有很多其他的应用，比如在求最大公约数和最小公倍数时，可以利用整数的分解形式。

初等数论-第一讲 整数基本性质性质1. 整数虽然是无穷多，却是离散分布的。

1x y x y <⇔≤-。

性质2. 如果一个整数集合A 中所有元素均有下界，那么一定有一个最大下界（在A 中）； 性质3.带余除法—设0,m >对于任何一个整数n ，总可以找到唯一的一对数,q r 使得,0.a qb r r b =+≤<q --商；r --余数。

整除概念--如果0,r =则说b 整除a 或者b 是a 的因数，记为b a ；如果0,r ≠则说b 不能整除,a 记为|b a注意：这个定理的意义在于：可以将所有的整数可以按照它们被b 除后的余数所决定。

另外，这个除法定理在多项式理论中也有推广。

即，对于任何两个多项式(),()f x g x ，只要()0,g x ≠那么就有唯一的多项式(),()q x r x 使得()()()(),deg(())deg(())f x q xg x r x r x g x =+< 最大公因数概念--两个整数,m n 如果有公共的因数d 使得它们的每一个公因数'd 都可以整除d ，则称d 是,m n 的最大公因数。

例如：36,27m n ==，9d =便是它们的最大公因数。

性质4.设d 为,a b 的最大公约数（记为(,)d a b =），则有,u v 使得ua vb d +=。

注意：这就是著名的裴蜀（E.Bezout,1730-1783）定理。

这个定理可以从带余除法直接得到。

例1。

某人携带9品脱和16品脱的两个容器走到河边。

它如何在16品脱的容器中得到1品脱的水？例2。

求两个自然数,m n 的最大公因数(,)d m n =。

例3.证明：任何两个连续的Fibonacci 数1,,2n n F F n +>是互质的（它们的公共因数为1）。

性质5.如果,a b b c a c ⇒性质6.如果,a c b c 且(,)1,a b ab c =⇒。

数论初步前置知识1.唯⼀分解定理也称算术基本定理，任何⼀个⼤于 1 的⾃然数，都可以唯⼀分解成有限个质数的乘积。

即质因数分解。

2.同余：定义：设 m 是给定的⼀个正整数，a,b 是整数，若满⾜ m∣(a−b) ，则称 a 与 b 对模 m 同余，记为 a≡b(mod m)。

这个式⼦称为 模 m 的同余式。

同余概念⼜常表达为：1.a=b+km,(k∈Z)2.a 与b 被 m 除时有相同的余数。

性质同余式可以逐项相加：若a1≡b1(mod m),a2≡b2(mod m),a2≡b2(mod m),…,a n≡b n(mod m)，则a1+a2+⋯+a n≡(b1+b2+⋯+b n)(mod m)同余式可以移项，需要反号。

若a+c≡b(mod m)，则a≡b−c(mod m)同余式可以逐项相乘，类似相加。

同余式每⼀边边可以加上或减去模m的任意倍数。

若 a≡b(mod m) ，则a±km≡b(mod m)同余式两边的数如有公约数，此公约数⼜和模互素，那么就可以把两边的数除以这个公约数。

若 a≡b(mod m) 且a=a1d,b=b1d,gcd(m,d)=1, 则a1≡b1(mod m)同余式两边的数和模可以同时乘上⼀个整数。

若 a≡b(mod m) ，则 ak≡bk(mod mk)同余式两边的数和模可以同时被它们任⼀公约数除。

若 a≡b(mod m) 且a=a1d,b=b1d,m=m1d,则a1≡b1(mod m1)如果同余式对于模m成⽴，那么它对于m的任意约数相等的模d也成⽴。

若 a≡b(mod m) 且m=m1d ,则a≡b(mod d)如果同余式⼀边上的数和模能被某个数除尽，则同余式的另⼀边的数也能被这个数除尽。

若 a≡b(mod m),a∣k,m∣k, 则，b∣k。

同余式⼀边上的数与模的最⼤公约数，等于另⼀边上的数与模的最⼤公约数。

若 a≡b(mod m)，则(a,m)=(b,m)1.求正整数N的所有约数和若正整数 N 在唯⼀分解定理中：N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m则有约数和:sum=m∏i=1(k i ∑j=1p j i)2.求正整数N的约数个数：若正整数 N 在唯⼀分解定理中:N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m 则其约数个数sum=m∏i=1(k i+1)3.求出正整数的所有约数void func(int n)//n为要求的数{for(int i=1;i<=n/i;i++){if(n%i==0){var[++tot]=i;//⽤var来存储因数if(i!=n/i) var[++tot]=n/i;//因数是成对的、但√(n)两个因数⼀样 }}sort(var+1,var+1+tot);//让因数顺序从⼩到⼤}4.欧拉函数欧拉函数ϕ(x)是指 1−n 中与n 互质的数的个数若在唯⼀分解定理中，N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m,则ϕ(N)=N(1−1p1)(1−1p2) (1)1pm),(1)容斥原理求法：1.从 1−N 中去掉 p1,p2,......p k 的所有倍数N−Np1−Np2−Np3−...Np k2.加上所有 p i⋅p j 的倍数+Np1p2+Np2p3+...3.减去所有 p i⋅p j⋅p k 的倍数−Np1p2p3−Np2p3p4−...4.加上所有 p i⋅p j⋅p k⋅p l+Np1p2p3p4+...以此类推......最后得到的式⼦，恒等变形之后与(1)式相同。

初等数论 第一章 整除理论第六节 素数与算术基本定理（正整数唯一分解定理）一、知识大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n .若n 仅有两个正约数（称n 没有正因子），则称n 为素数（或质数）.若n 有真因子，即n 可以表示为a b ⋅的形式（这里,a b 为大于1的整数），则称n 为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1. 大于1的整数必有素约数.2. 设p 为素数，n 为任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素.事实上，p 与n 的最大公约数(,)p n 必整除p ，故由素数的定义推知，或者(,)1p n =，或者(,)p n p =，即或者p 与n 互素，或者|p n .【素数最精彩的性质是下面的】：3. 设p 为素数，,a b 为整数.若|p ab ，则,a b 中至少有一个数被p 整除.事实上，若p 不整除a b 和，由性质2知，p 与a b 和均互素，从而p 与ab 互素。

这与已知的|p ab 矛盾.特别地：若素数p 整除(1)n a n ≥，则|p a4. 定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k 个素数，设它们是p 1, p 2, , p k 。

记N = p 1p 2 p k + 1。

（N 不一定是素数）由第一节定理2可知，N 有素因数p ，我们要说明p ≠ p i ，1 ≤ i ≤ k ，从而得出矛盾 事实上，若有某个i ，1 ≤ i ≤ k ，使得p = p i ，则由p ∣N = p 1p 2 p k + 1推出p ∣1，这是不可能的。

因此在p 1, p 2, , p k 之外又有一个素数p ，这与假设是矛盾的。

所以素数不可能是有限个。

5.引理1 任何大于1的正整数n 可以写成素数之积，即n = p 1p 2 p m ， (1)其中p i （1 ≤ i ≤ m ）是素数。

证明 当n = 2时，结论显然成立。

走近数学王国------数论学习收获与体会这学期我们在XX老师的引领指导下学习了初等数论这门课。

光阴如水，韶华易逝，转眼间，我们已完成了这门课的学习，又到了一段时光的终结，又是一个总结的时刻。

学习收获与体会第一章我们学习了整数的惟一分解定理。

学习了整除的定义，又由整除的定义出发，给了几条性质，其中我印象最为深刻的是：如果c|a,c|b,则对任意的整数m,n,有c|ma+nb。

又给了一个定理：设a，b是两个整数，其中b>0,则存在两个唯一的整数q 和r，使得a=bq+r，0<=r<b成立。

我认为这个定理是数论的基础与灵魂。

我们又由上述定理和整除定义出发，研究了最大公因数与辗转相除法还有最小公倍数。

而素数，整数的惟一分解定理的出现又使得数论进入更有趣的环节，任一大于1的整数都能表示成惟一一种形式的素数的乘积，这是一个多么美妙的定理，它是一种同一性的体现，好比上帝面前，众生平等。

在数学王国里，只要你是整数，不管你大还是小，都必须得服从这条规则。

这又好比，无论一个人地位高低，在历史面前都仅仅是一粒微小的尘埃，在时间的长河中都不过是一滴渺小的水滴。

可见数论虽是理性的科学，但却也透射出生命的意义，也有着一种哲学的意蕴。

厄拉多筛法的出现教会了我们构造素数的方法，素数的无穷性证明更是充满了智慧的结晶与饱满的趣味。

第二章我们学习了同余式。

由同余的定义我们可知道它是一种自反，对称，传递的关系，是一种等价关系。

抽象代数中的同余与等价关系的定义也是由数论衍生出来的，可见数论在数学界的举足轻重的地位。

我觉得比较经典的定理是：如果a和b对模数m同余，则f（a）和f（b）对模数m同余，其中f（x）为任意给定的一个整系数多项式。

关于完全剩余系我觉得比较经典的定理是：设m1>0,m2>0,(m1,m2)=1,而x1，x2分别通过模数m1，m2的完全剩余系，则m2x1+m1x2通过模数m1m2的完全剩余系。

对数分解定理对数分解定理是数论中一个十分重要的定理，是数的唯一分解定理的一个推广。

它告诉我们，任何一个大于1的整数，都可以表示为一系列素数的乘积。

这个定理的证明非常复杂，牵涉到深奥的数论知识，需要用到比较高级的工具和方法。

在这篇文章中，我将简要介绍对数分解定理的概念、应用以及一些相关的应用问题。

首先，我们来看一下对数分解定理的概念。

对数分解定理又称为唯一分解定理，它是指任何一个大于1的整数，都可以表示为一系列素数的乘积，并且这个乘积的顺序是唯一的。

换句话说，任何一个大于1的整数，都可以被分解为若干个质因数的乘积，而且这个质因数的乘积只有一种可能性。

那么，我们为什么要研究对数分解定理呢？对数分解定理在数论和密码学等领域中有广泛应用。

在数论中，对数分解定理是研究整数性质的基础，它对于解决一些数论方程和证明一些数论性质非常重要。

在密码学中，对数分解定理被广泛应用于加密算法中，如RSA算法。

RSA算法通过对两个大素数的乘积做质因数分解来破解加密信息，因此对数分解定理的应用十分关键。

对数分解定理的证明过程非常复杂，需要运用到包括素数分布定理、群论和域论等数论中的高级概念和方法。

证明思路一般是反证法，假设存在两种不同的分解方式，然后由此推导出一个矛盾。

证明过程需要运用到大量的数论知识，因此对于初学者来说比较困难。

但是理解对数分解定理的原理和应用并不需要深入了解证明过程，只需要掌握一些基本概念和方法即可。

对数分解定理的应用非常广泛。

在数论中，对数分解定理可以帮助我们判断一个数是否为素数，通过质因数分解的方法，我们可以找到一个数的所有质因数，并进一步判断这个数是否为素数。

在密码学中，对数分解定理被广泛应用于加密和解密算法中。

RSA算法是一种基于对数分解定理的公钥加密算法，它在信息安全领域有着重要的应用。

除了以上的应用，对数分解定理还可以用于解决一些实际问题。

例如，我们可以使用对数分解定理来找到一个数的所有因数，进而计算一个数的约数个数和约数之和，这在一些数学问题中非常常见。