素数与算术基本定理

《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。

素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。

公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。

哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

首先证明素数公式。

定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。

我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。

我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。

设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。

我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。

对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。

由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。

我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。

显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。

我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。

若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。

现在我们来估计T(m)的上界。

对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。

所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。

由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。

所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。

当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。

所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。

算术基本定理关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数n总有两个不同的正约数：1和n.若n仅有两个正约数（称n没有正因子），则称n为质数（或素数）.若n有真因子，即n可以表示为a⋅b的形式（这里a,b 为大于1的整数），则称n为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设p为素数，n为任意一个整数，则或者p整除n，或者p与n互素. 事实上，p与n的最大公约数(p,n)必整除p，故由素数的定义推知，或者(p,n)=1，或者(p,n)=p，即或者p与n互素，或者p|n.3.设p为素数，a,b为整数.若p|ab，则a,b中至少有一个数被p整除. 事实上，若p 不整除a和b，由性质2知，p与a和b均互素，从而p与ab互素。

这与已知的p|ab矛盾.特别地：若素数p整除an(n≥1)，则p|a4.定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k个素数，设它们是p1，p2，，pk。

记N=p1p2 pw+1。

（N不一定是素数）由第一节定理2可知，p有素因数p，我们要说明p≠pi,1≤i≤k从而得出矛盾事实上，若有某个i,1≤i≤k使得p≠pi,则由p|N=p1p2 pw+1推出p|1，这是不可能的。

因此在p1，p2，，pk之外又有一个素数p，这与假设是矛盾的。

所以素数不可能是有限个。

5.引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即n=p1p2 pm (1)其中pi,1≤i≤m是素数。

证明当n=2时，结论显然成立。

假设对于2≤n≤k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n=k+1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。

如果k+1是素数，式(1)显然成立。

如果k+1是合数，则存在素数p与整数d，使得k+1=pd。

由于2≤d≤k，由归纳假定知存在素数q1,q2, ql，使得d=q1,q2, ql，从而k+1=pq1,q2, ql。

关于质数（素数）的知识和有关算法（资料来源：维基百科）素数定义：素数(Prime Number)，亦称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其它自然数整除的数。

换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。

比1大但不是素数的数称为合数。

1和0既非素数也非合数。

素数在数论中有着很重要的地位。

关于素数：最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其它素数都是奇数（单数）。

素数有无限多个，所以不存在最大的素数。

围绕着素数存在很多数学问题、数学猜想和数学定理。

著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。

素数序列的开头是这样：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113………………素数集合有时表示成粗体。

在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。

换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。

但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。

算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。

因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。

例如：素数的数目素数有无穷多个。

现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的。

该证明方法如下：假设素数有限。

把所有这些有限的素数相乘以后加1，可以得到一个数。

这个数无法被那些有限的素数里的任何一个整除：因为无论被哪一个素数除，总有余数1。

如果该数为素数，则根据假设，它不在那些假设的素数集合中。

如果该数为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而一开始假设的那些素数都不能整除该合数，所以该合数分解得到的素因子肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其它素数。

对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。

初一到初三数学所有知识点初一数学：1.数的概念：自然数、整数、有理数、实数2.数的运算：加减法、乘除法，混合运算，分数的加减乘除3.算术基本定理：素数与合数，质因数分解，最大公因数与最小公倍数4.约分与通分：分数的约分与通分，化简真分数与带分数5.小数的概念与运算：小数的加减乘除，小数、分数、百分数的相互转化6.数轴与坐标系：数轴的表示法，坐标系的概念，平面直角坐标系的表示法7.基本图形的认识：点、线、面的认识，正方形、长方形、圆、三角形的概念8.数学语言的运用：数学语言与符号的运用，数学问题的表述和解决初二数学：1.整式的知识：整式的定义，同类项的概念，整式的加减乘除，公式的应用2.分式的知识：分式的定义，基本性质，分式的约分、通分、加减、乘除法3.二次根式的知识：二次根式的化简、加减、乘除法，含有二次根式的方程4.平面图形的认识：多边形的概念、性质及全等条件，相似图形的概念及应用5.圆的知识：圆的概念、性质及判定方法，圆上的重要点、弧和角6.三角形和四边形的知识：三角形的角度和边长关系、中线、中位线、高，四边形的性质、面积公式7.比例和增减比：比例的定义、性质及应用，增减比的概念及应用8.百分数和利率：百分数的概念、性质及应用，利率的概念、计算方法及应用初三数学：1.函数与方程：函数的概念、性质及图像，方程及方程组的解法和应用2.数列与指数函数：等差数列、等比数列的概念、性质及求和公式，指数函数的概念、性质及图像3.立体图形的认识：正方体、长方体、正棱柱、正棱锥的概念及性质，体积及表面积的计算公式4.三角函数和解三角形：三角函数的概念、性质及图像，解三角形（利用正弦、余弦、正切函数及海伦公式）5.平面向量的概念及运算：向量的概念和运算、向量的加减、数量积及其应用6.概率与统计：随机事件的概念、基本概率公式，频率、概率密度、方差和标准差的概念及计算7.解析几何：点、直线、平面的坐标表示，直线的斜率及方程，平面上的圆的方程8.数学思维的拓展：数学论证、数学建模、数学思维方法与技巧的培养。

算术基本定理质数公式算术基本定理是数论中的一个重要定理，它为我们理解整数的结构和性质提供了关键的基础。

而质数公式，则是在这个定理的基础上，数学家们一直追寻和探索的神秘领域。

咱先来说说算术基本定理。

它告诉我们，任何一个大于 1 的整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。

比如说12 吧，它可以分解成2×2×3。

这里的 2 和 3 就是质数。

你看，通过这种分解，我们就能更清楚地了解一个整数的“构成成分”。

那质数又是什么呢？质数就是那些只能被 1 和它本身整除的数。

比如说 2、3、5、7 等等。

可别小看这些质数，它们就像是整数世界的“基石”，构建出了整个算术的大厦。

记得我之前教过一个小学生，他对于质数和算术基本定理那是一脸懵。

我就拿分糖果的例子给他解释。

假设我们有 18 颗糖果，要平均分给小朋友。

那我们就得想想 18 可以怎么分。

18 可以是 2×9，也可以是3×6。

但是 2、3 这些数，它们除了 1 和自己，就不能再被别的数整除啦，这就是质数的特点。

通过分糖果这个具体的事儿，这孩子慢慢地就对质数有了点感觉。

再说回质数公式。

虽然到现在还没有一个能完美找出所有质数的简单公式，但数学家们可一直没放弃努力。

就像在黑暗中摸索，一点点地靠近那光明的答案。

在研究质数公式的过程中，有很多有趣的发现。

比如说，质数的分布看起来似乎毫无规律，但又隐隐有着某种神秘的秩序。

有时候，连续好几个数都不是质数，然后突然又冒出一个来，就像是在和我们捉迷藏。

对于我们普通人来说，了解算术基本定理和质数公式可能不会直接改变我们的生活，但它能锻炼我们的思维，让我们学会用更严谨、更有逻辑的方式去思考问题。

就好比我们在搭积木，每一块积木都有它的位置和作用，而算术基本定理和质数公式，就是帮助我们找到那些最关键的积木，搭出漂亮的“数学城堡”。

想象一下，如果有一天真的找到了一个超级厉害的质数公式，那对数学界乃至整个科学界的影响可就太大啦！密码学、计算机科学等领域都可能因此发生巨大的变革。

成都七中高一竞赛数论专题5.素因数分解算术基本定理：设整数1a >,那么12.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12.s a p p p =中相同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.nn n n a p p p p p p αααααα=<<<≥正因数个数定理：设|()1d nn τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则1()(1).sii n τα==+∏正因数和定理：设|()d nn d σ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则111().1i si i i p n p ασ+=-=-∏1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.4.设n为正整数.证明：若n的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.n ,不超过n的素数共有k个.设A为集合{2,3,,}n的子集,A的元素个数小于,k且A中任意5.设整数3一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n的k元子集,B使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数,且B包含.A高一竞赛数论专题 5.素因数分解解答算术基本定理：设整数1a >,那么12.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12.s a p p p =中相同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.nn n n a p p p p p p αααααα=<<<≥正因数个数定理：设|()1d nn τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则1()(1).sii n τα==+∏正因数和定理：设|()d nn d σ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则111().1i si i i p n p ασ+=-=-∏1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =证明：设素因数分解式1212121212, ,,0.n nn n n i i a p p p b p p p p p p αβααββαβ==<<<≥则11221122min{,}max{,}min{,}min{,}max{,}max{,}1212(,),[,].n n n n n n a b p p p a b p p p αβαβαβαβαβαβ==11112222min{,}max{,}min{,}max{,}min{,}max{,}12(,)[,]n n n n n a b a b p p p αβαβαβαβαβαβ+++=11221212121212.n n n nn n n p p p p p p p p p ab αβαβαβαβααββ+++==⋅=2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑证明：一方面若素数|!,p n 则|,1.p k k n <≤另一方面,任一素数p n ≤,必有|!.p n 所以12121212!, 2 ,,,,0.ss n s n p p p p p p n αααααα=≤<<<≤>下面去确定.j α设(,)p n α为整数!n 的素因数p 的次方.因为必有整数k 满足1,kk p n p +≤<所以.k n n ∞⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥∑∑设j c 表示1,2,,n 中能被j p 整除的数的个数,则.j j n c p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦j d 表示1,2,,n 中恰能被j p 整除的数的个数.则11.j j j j j n n d c c p p ++⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然当j k >时,0.j d =及12(,)12.k p n d d k d α=⋅+⋅++⋅于是1212231(,)121()2()()k k k p n d d k d c c c c k c c α+=⋅+⋅++⋅=⋅-+⋅-++⋅-12112111.kkk k k k j j j j j n n c c c c c c c c p p ∞+===⎡⎤⎡⎤++++=+++===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑所以(,)!.p n p nn p α≤=∏3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.解：这就是要求正整数k 使得10||2017!.k因为1025=⨯,实际上是求2的最大方次与5的最大方次的最小值. 显然2的最大方次大于5的最大方次. 所以就是求5的最大方次(5,2017).α 注意到520175.< 所以2342017201720172017(5,2017)40380163502.5555α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以2017!的十进制表示式中末尾的零的个数为502个.4.设n 为正整数.证明：若n 的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.证明：设12121212, ,,,,0,s s s s i n p p p p p p p αααααα=<<<>为素数.则n 的所有正因数之和2|1()(1).i siii d ni n d p pp ασ===++++∑∏若()n σ为2的整数次幂,则()n σ的因数12111i ii i i ii i p f p p p p αα+-=++++=-也是2的整数次幂.显然2,i p ≠i α是奇数.若1i α>, 则112324(1)()()(1)(1).i i i i i i i i i i i i i f p p p p p p p p p ααα--=+++++=+++++由于i f 的素因数只有2,所以1241i i i i p p p α-++++不含大于1的奇数因数.于是12i α-是奇数.所以11222124246221(1)()()i i i iiii i iiip p p p p p p p ααα--⋅-⋅-++++=++++++12232482482(1)(1)(1)(1)i i iiiii i i i p p p p p p p p αα-⋅--=++++=++++.从而3248(1)(1)(1).i i i i i i i f p p p p p α-=+++++于是21,1i i p p ++都是2的整数次幂,显然211i i p p +<+,于是21|1.i i p p ++因为21(1)(1)2i i i p p p +=+-+,1|(1)(1).i i i p p p ++-所以1|2.i p +于是1i p =矛盾.因此1,1,2,,).i i s α==n 的正因数的个数|11()1(1)(11)2.sss i d ni i n τα====+=+=∑∏∏故n 的正因数的个数也是2的整数次幂.5.设整数3n ≥,不超过n 的素数共有k 个.设A 为集合{2,3,,}n 的子集,A 的元素个数小于,k 且A 中任意一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n 的k 元子集,B 使得B 中任意一个数也不是另一个数的倍数,且B 包含.A证明：引理：若||,A k <则可在{2,3,,}\n A 中找到一个数b ,其不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.若引理得证,进而将数b 添入集合A 中,并重复这一过程,直到将A 扩充成一个k 元子集,B 则集合B 满足要求.下面证明引理,对大于1的整数m ,设m 的标准素因数分解为1212.ss m p p p ααα=定义1212()max{,,,}.s s f m p p p ααα=由于||,A k <则()a AN f a ∈=∏不同的素因子个数小于,k 又不超过n 的素数共有k 个,因此,存在素数,p n ≤使得.p N Œ于是().p f a Œ 设1,p n pαα+≤<则p A α∉(若不然,将有()f p p αα=,于是|,p N 与p N Œ矛盾).若|,p a α因为,p N Œ所以(),p f a 宖故(),f a q q β=为不同于p 的素数,且.q p p βα>≥从而1,a p q p p pn αβαα+≥>=>矛盾.因此.p a αŒ从而,不属于A 的元素p α不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.法2 将不超过n 的所有k 个素数从下到大记为12,,,.k p p p对1,2,,i k =,取正整数i α满足1,i i i i p n p αα+≤<对这个i α,取正整数i λ满足(1),i i i i i i p n p ααλλ≤<+其中,,i i αλ均唯一确定的,且.i i p λ<令**{|,},{|,}.i s i i i i i i D p s s N M tp t t N ααλ=≤∈=≤∈则i D 为i i p α在{2,3,,}n 中的约数全体,i M 为i i p α在{2,3,,}n 中的倍数全体.考虑k 个集合(1,2,,}i i i A D M i k ==,注意到集合i A 中的每个数均以i p 为最大素因子,从而12,,,k A A A 为{2,3,,}n 的两两不相交的k 个子集.当||A k <时,必存在某个{1,2,,}i k ∈,使得,i AA =∅即ii p α不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.将i i p α添入集合.A 重复这一过程,直到将A 扩充成一个k 元子集,B 则集合B 满足要求.。

算术基本定理解析及其应⽤摘要 本⽂主要讲述了算术基本定理的内容，具体的应⽤形式，重点结合例题展⽰如何使⽤算术基本定理求解问题。

算术基本定理 算术基本定理可表述为：任何⼀个⼤于1的⾃然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯⼀分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pn an，这⾥P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。

这样的分解称为 N 的标准分解式。

算术基本定理是初等数论中⼀条⾮常基本和重要的定理，它把对⾃然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。

唯⼀因⼦分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯⼀性”。

所谓“存在性”就是指⼀个元素可以分解为有限多个不可约因⼦的乘积；“唯⼀性”是指这种分解表⽰在某种意义上来说是唯⼀的。

定理应⽤算法实现1 typedef long long ll;2const int maxn = 1e6 + 7;3 ll a[maxn], b[maxn];//a[i]表⽰第i个质因⼦，b[i]表⽰第i个质因⼦的指数4void fac(ll n, int& tot) {//待分解的整数和不同质因数的个数（按引⽤传递）5 ll tmp = (ll)(sqrt(n) + 0.5);6 tot = 0;7 ll now = n;8for(int i = 2; i <= tmp; i++) {9if(now % i == 0) {10 a[++tot] = i;11 b[tot] = 0;12while(now % i == 0) {13 ++b[tot];14 now /= i;15 }16 }17 }18if(now != 1) {//如果剩下的不是1，那就是最⼤的质因数19 a[++tot] = now;20 b[tot] = 1;21 }22 }可以⽤如下代码直接输出2 到100的质因数分解结果1 #include <iostream>2 #include <cstdio>3 #include <cmath>4using namespace std;56 typedef long long ll;7const int maxn = 1e6 + 7;8 ll a[maxn], b[maxn];//a[i]表⽰第i个质因⼦，b[i]表⽰第i个质因⼦的指数9void fac(ll n, int& tot) {//待分解的整数和不同质因数的个数（按引⽤传递）10 ll tmp = (ll)(sqrt(n) + 0.5);11 tot = 0;12 ll now = n;13for(int i = 2; i <= tmp; i++) {14if(now % i == 0) {15 a[++tot] = i;16 b[tot] = 0;17while(now % i == 0) {18 ++b[tot];19 now /= i;20 }21 }22 }23if(now != 1) {//如果剩下的不是1，那就是最⼤的质因数24 a[++tot] = now;25 b[tot] = 1;26 }27 }31for(ll i = 2; i <=100; i++) {32 printf("%lld = ", i);33int tot = 0;34 fac(i, tot);35for(int i = 1; i <= tot; i++) {36 printf("%lld^%lld %c ", a[i], b[i], i == tot ? '\n' : '+');37 }38 }39return0;40 }View Code例题解析题意 给出⼀个长⽅形的⾯积a（不是正⽅形），给出该长⽅形最⼩的边b，问组成该⾯积的长⽅形有多少种组合⽅案。

1.3素数及算术基本定理 知识扫描：1. 素数的定义以及一些基本性质。

大于1的整数n 至少有两个不同的正约数：1和n 。

如果n 没有大于1而小于n 的约数，则称n 是素数。

如果n 有大于1而小于n 的约数，即n 可表示为a b 的形式，则称n 为合数。

（1） 大于1的整数必有素因子（2） 既为偶数又为素数的正整数只有一个，它就是2.（3） 设p 为素数，n 是任意整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素。

（4） 设p 是素数，,a b 是整数，如果/p ab ，则,a b 中至少有一个被p 整除。

证明：如果p 不整除,a b ，则p 与a 和b 均互素，从而p 与a b 互素，矛盾！（5） 素数有无穷多个。

用反证法证明这个命题，假设素数只有有限个，1212122,3,,1,1.,,(1),/1.k k k i p p p N p p p N N p p p p p p i k p ===+>≤≤ 设是全部素数，考虑显然故有素因子因是全部素数，故必等于某个从而这不可能，因此素数有无穷多个。

2. 唯一分解定理：每个大于1的正整数均可分解成有限个素数的积。

如果不计素因数在乘积中的次序，则其分解方式是唯一的，即1212kk n p p p = a a a，其中i p 是质数，i a 是正整数，1i k ≤≤。

（证明为推理说明性的，可自己来做） 3. n 的约数的标准分解，设n 的标准分解为1212kkn p p p = aa a则正整数d 是n 的约数的充分必要条件是其标准分解为1212kkd p p p = b b b0,1,2,,i i i k ≤≤= b a4. ()()()()()()()()()()()()()()()1212112211212=+1+1+11111+1=+1+1+1kk k ki k k n r n n n n n r n n p p p p p p k r n =+++++++++ 的正约数的个数及正约数的和：记是的正约数的个数，是的正约数之和，且的标准分解式为上式，则有下面给出证明：由于指数有种选取且彼此独立，又由唯一分解定理知指数所有可能的选取产生种不同的约数，因此由乘法原理知即：个数与选取方aaad a a a d b a b b b a a a ()()()()12122k k n n dp p p = 式相等的证明，只需要把展开就可发现形如：的数恰恰出现一次，也就是左右两边相等，命题得证。