公式法解一元二次方程说课稿(徐)教学文稿24页PPT

C．a＝3，b＝2，c＝－3
D．a＝3，b＝－2，c＝3
2. 关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值
范围是( C )
A．m≥0
B．m＞0
C．m≥0且m≠1
D．m＞0且m≠1
3. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y
＝kx＋b的大致图象可能是(B )

将 ax2+bx+c=0 (a≠0)配方成 x 2a 4a 2 后，可以看出只


2
有当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，这样b2－4ac的值就决定着一元
二次方程根的情况.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，
通常用希腊字母“ ∆ ”表示它，即 ∆= b2-4ac.
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
4a2>0,
当b2－4ac≥0时，
b 2 4ac
0,
2
4a
b
b 2 4ac
x

,
2a
2a
b b 2 4ac
即x
.
2a
b b 2 4ac

4
又因为二次项系数不为0，
1
所以m≠0，即m＞−
4
且m≠0．
4.（例2变式）若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，
则 k 的取值范围为 k≤2
．
解：分两种情况讨论：
（1）若方程为一元一次方程，则k=0，
1
方程化为−4x+2=0. 解得 x .
2
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
, x2
.
4
4
4
4
,
课堂导入
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
2
二次项系数化为1，得 +
配方，得 2 +
即 +
2
2
=



+
2
2
2 −4
．
2
4



=

=− ．


2
− +
．

2
这里可以直接开平
方吗？为什么？
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
四判：判断方程根的情况.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相
k<2且k ≠0
等的实数根，则 k 的取值范围为
解：∵ Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0，

例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5 , b 4 , c 12
b 4 ac ( 4 ) 4 5 ( 12 ) 256 0
2 2
方程有两个不等的实数
根
x
b
b
2
4 ac 4 16 10
2 2
x
- 2 3） （ 21
x1 x 2 3
0

2 3 2

3
即：
x 2 1 3 x
解：去括号，化简为一般式：
6
3x 7x 8 0
2
这里

2
a 3、 b = - 7 、 c= 8
2
b 4 a c （ 7） 4 3 8 49 96 - 47 0
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程
解:x
2
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
b a b
a
x
c a
0.
c a
2 2
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x
2
x
.
c b b x x . 3.配方:方程两边都加上一次项 a a 系数绝对值一半的平方; 2a 2a
2、求出b2-4ac的值。
当 0时，方程有两个不相等 当 0时，方程有两个相等的 当 0时，方程无实数根 的实数根 实数根
3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
课堂小测:
用公式法解下列方程：

利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0

∵ = 1，b=−4，c=−7.

∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
 = 2 + 11， = 2 − 11.
x


，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k

=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得


用公式法解一元二次方程的
小结
一般步骤：
由配方法解一般的一元二 1、把方程化成一般形式, 次方程 ax2+bx+c=0 并写出a，b，c的值。 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 2、求出b2-4ac的值。 得 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
公式法是这样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗? b c 2 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a
b b b c x x . a 2a 2a a
2 2 2
b b2 4ac . x 2 4a 2a
方程有两个相等的实数根
x1 x2 3
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例4：用公式法解方程 x2+17=8x
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解
想一想：
关于一元二次方程 ax bx c 0 a a，b，c满足什么条件时，方程的两根互