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第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt

第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件

第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件

于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1

计量经济学-多元线性回归模型

计量经济学-多元线性回归模型
多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断

计量经济学庞皓课件(第三章 多元线性回归模型)

计量经济学庞皓课件(第三章 多元线性回归模型)
2
怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
ˆk
k
c jj
~
N (0,1)
21 21
2 未知时βˆ 的标准化变换
因 2 是未知的， 可用 ˆ 2 代替 2 去估计参数的
标准误差:
●
当为大样本时，用估计的参数标准误差对
^
β
作
标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分
布
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标 准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：
( X X )1 X 2 IX ( X X )1
2 ( X X )1
注意
βˆ 是向量
(i 1, 2,L ( j 1, 2,L
n) n)
(由无偏性)
(由OLS估计式)
(由同方差性)
其中：
ˆ ( X X )1 X Y ( X X )1 X ( Xβ + u) β ( X X )1 X u
0
两边左乘 X
X Y = X Xβˆ + X e
根据最小二乘原则 则正规方程为
Xe = 0
X Xβˆ = X Y
14
OLS估计式

计量经济学第3章 多元线性回归模型(1)

计量经济学第3章 多元线性回归模型(1)

BB ( X X ) 1 0
这意味着 BB ( X X ) 1为半正定矩阵。这样的协方差 矩阵之差 ˆ ) BB 2 ( X X ) 1 2 [ BB ( X X ) 1 ] 2 0 Var (b) Var ( 也是半正定矩阵。因此多元线性回归参数的最小二 乘估计是最小方差的线性无偏估计。
i
21
•
但是需注意：多元线性回归模型解释变量的 数目有多有少，而上述可决系数R2又可以证明是 解释变量数目的增函数。这意味着不管增加的解 释变量是否对改善模型、拟合程度有意义，解释 变量个数越多，可决系数一定会越大。因此，以 这种可决系数衡量多元回归模型的拟合优度是有 问题的，而且会导致片面追求解释变量数量的错 误倾向。正是由于存在这种缺陷，可决系数R2在 多元线性回归分析拟合优度评价方面的作用受到 很大的限制。
10
Q ˆ X Y ˆ X X ˆ ) 2 X Y 2 X X ˆ 0 (Y Y 2 ˆ ˆ
• 其中矩阵求导：
f ( B) A f ( B) BA B f ( B ) f ( B) BAB 2 AB B
11
Q ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) (1) 0 2 ( Y i 0 1 1 i 2 2 i k ki ˆ 0 Q ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) ( X ) 0 2 (Yi 0 1 1i 2 2i k ki 1i ˆ 1 Q ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) ( X ) 0 2 (Yi 0 1 1i 2 2i k ki ki ˆ k
• 整理该向量方程，得到下列形式的正规方程组
ˆ X Y X X
• 当X X 可逆，也就是X是满秩矩阵（满足假设5）时，在 上述向量方程两端左乘的 X X 逆矩阵，得到

计量经济学-3多元线性回归模型

计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性 回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型

《计量经济学》第三章 多元线性回归模型

《计量经济学》第三章 多元线性回归模型
总体回归函数也可表示为:
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki ui
7
多元样本回归函数
Y 的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki
或
ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ei
22
ˆ ˆ 因 2 是未知的，可用 2代替 2 去估计参数 β 的标
准误差:
ˆ ● 当为大样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标 准化变换，所得Z统计量仍可视为服从正态分布 ˆ ●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标
准化变换，所得的t统计量服从t分布： ˆ βk - βk t ~ t (n - k ) ^ ˆ SE( βk )
i i
i
e e 0 4.残差 ei 与 X 和
3.
i
e X
i
3i
ei X 2i 0
2i
X 3i 都不相关，即
ˆ 5.残差 ei 与 Yi 不相关，即
e Yˆ 0
i i
18
二、OLS估计式的性质－统计性质
OLS估计式（用矩阵表式） 1.线性特征:
ˆ = (X X)-1 X Y β
2 i
ˆ ei2 (Yi - Yi )2
ˆ X X ... X )]2 ˆ min e [Yi -(1 ˆ2 2i ˆ3 3i k ki
求偏导,令其为0:
( ei2 ) 0 ˆ
j
13
即 ˆ ˆ ˆ ˆ -2 Yi - (1 2 X 2i 3 X 3i ... ki X ki ) 0

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
2
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3

3计量经济学(多元回归分析估计)

3计量经济学(多元回归分析估计)

拟合优度
• 拟合优度：样本方差中被OLS回归线所解释的部分。
n
R2
( yˆ
y)
(y
y)
i 1
n
i 1
n
(y
i 1
i
y)
i
i
2
n
uˆ
2
1
2
i 1
n
(y
i
i 1

n
( yˆ
i 1
i
y)
2

2
i
y )2
n
uˆ
i 1
2
i
• 拟合优度介于0和1之间。
– 无论模型中包含了多少解释变量，总有一些因
素无法被包括进来，所有这些因素就包括在了
误差项中。
– 线性是指回归方程是诸参数的线性函数。
– 参数的解释，例4：
log( salary ) 0 1 log sales 2 ceoten 3ceoten 2 u
•
1
是其他条件不变的情况下薪水对销售量的弹性。
ˆ
0
i 1
i 1
n
n
L
2 xim rˆij 0 xim rˆij 0, m j
ˆ m
i 1
i 1

n
n
x rˆ (ˆ
ij ij
i 1
i 1
0
ˆ1 xi1 ˆ j 1 xi , j 1 ˆ j 1 xi , j 1 ˆ k xik rˆij )rˆij
Ƹ 是样本自变量的函数，因此
rˆ y
rˆ u
i n
ˆ j
n

多元线性回归分析课件

多元线性回归分析课件
注意：似然函数取对数是一个单调变换，不会影响参 数估计值的最优解。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。

计量经济学多元线性回归模型及参数估计

计量经济学多元线性回归模型及参数估计

-973 1314090 1822500 947508
-929 975870 1102500 863784
-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
V
ar
Cov( N
)
E
N
E(N
)N
E(
N
)
E(
NN
)
1
E
n2 1
2
12
n
E
2 1
n1
12 22
n2
1n
2n
n2
2
0
0
0
2
0
2
I
0
0
2
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
E(X
N )
E
1 X 11
ei 0 X i1ei 0 X i2ei 0
X ik ei 0
(*) (*)或（**）是多 元线性回归模型正
(**) 规方程组的另一种 写法。
离差形式的样本回归方程
由于
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik
[Yi (ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik )] 0
????eemm??所以有???eem??mnnee???ee?????????????????????????????????????????????nnnnnnnnmmmmmmmmme??????????????2121222211121121????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????21221122221121221111因为xxxxim?????1为对称等幂矩阵即mm??mmmm???2????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????????????????22112222211211221111??nnnnnmmmememem??????????22112222222111?????1212122??????????????kntrtrtrmtr????????xxxxixxxxi其中符号tr表示矩阵的迹其定义为矩阵主对角线元素的和

第三章 多元回归模型

第三章 多元回归模型
其计算公式如下:
r0i,12i1i1k
r r r 0i,12i1i1k 1 0k ,12k 1 ik ,12i1i1k 1
1 r02k,12k1
1
r2
ik ,12i1i1k
1
问题：在多元回归中 r12(i1)(i1)k ,0 是越大越好，
还是越小越好？
17
模型显著性检验（F检验）: F统计量
核心思想：残差平方和最小准则
min ei2 min yi yˆi 2
min yi ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki 2
求解原理
ei2
ˆ j
0
结论
j 0,1,2,, k
ˆ X ' X 1 X 'Y
8
例子
经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭 收入及户主教育年数的影响。现对某地区 的家庭进行抽样调查，得到的样本数据如 表所示，其中 y 表示家庭书刊消费水平
其中，n k 1为 ei2 的自由度，n 1 为 yi y2
的自由度
引入修正的样本决定系数R 2的作用：
用自由度调整后，可以消除拟合优度评价中解释变量多 少对决定系数计算的影响
对于包含的解释变量个数不同的模型，可以用调整后的 决定系数直接比较它们的拟合优度的高低，但不能用原 来未调整的决定系数来比较
零阶偏相关系数、一阶偏相关系数、k 1 阶偏相关系数
r01 为零阶偏相关系数、 r02,1 称为一阶偏相关系数、 r01,23 称
为二阶偏相关系数、r01,234 称为三阶偏相关系数，依此类推
16
偏相关系数：一般公式
一般地，在研究多个变量的偏相关系数时，因变量 y
与解释变量 xi i 1,2,, k 的k 1 阶偏相关系数时，

计量经济学-3多元线性回归模型

计量经济学-3多元线性回归模型
值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学
Y1 1 X11 X12 X1P 0 u1
Y2 Yn

1 1
X 21
X n1
X 22
X n2

X 2P
2
0
0 0
2



2I
计量经济学
3、u无自相关，Cov（ui，u j） E{[ui Eui ][u j Euj ]}
E（uiu j） 0 i j
4、解释变量X（j j 1，2，，p）与随机扰动项ui不相关，即Cov（X j，ui） 0
5、u服从正态分布，ui ~ N（0， 2）

E

(ˆ1

1 )(ˆ0


0
)
(ˆ1 1 )2


(ˆ1

1 )(ˆ P


P
)

(ˆP P )(ˆ0 0 ) (ˆP P )(ˆ1 1)
(ˆP P )2
计量经济学
Var(ˆ0 ) Cov(ˆ0 , ˆ1 ) Cov(ˆ0 , ˆP )
6、无多重共线。设（X i1，X i2，，X iP）为（X1，X 2，，X P）的第i个观测值，
1 X11 X12 X1P
记：
X

1 1
X 21
X n1
X 22
X n2

X2P
X nP

则：X为n （p 1）矩阵，且Rank（X） p 1
计量经济学
容易证明：
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E（uiu j） 0 i j
4、解释变量X（j j 1，2， ，p）与随机扰动项ui不相关，即Cov（X j，ui） 0
5、u服从正态分布，ui ~ N（0， 2）
6、无多重共线。设（X i1，X i2， ，X iP）为（X1，X 2， ，X P）的第i个观测值，
1
记：
X
1 1
X11 X12 X 21 X 22 X n1 X n2
Q Bˆ
2 X TY
2X T
XBˆ
0
Bˆ （X T X）1 X TY
计量经济学
求多元回归的步骤： 由样本值写出矩阵X，Y； 计算X T X，X TY，（X T X）1； Bˆ （X T X）1 X TY
例1，某厂利润Y（百万元）主要取决于A、B两种产品的销 售量X1（万吨）、X2（万吨），现有1981—1990年的数据， 求该厂利润Y随A、B两种产品销售量变化的回归方程。
X iP ˆ0
X iP X i1ˆ1
X iP X i2ˆ2
X
2 ip
ˆP
X iPYi
写成矩阵形式：
n
X i1 X
i2
X iP
X i1
Xi2
X2 i1
X i1 X i2
X i2 X i1
X
2 i2
X iP X i1
X iP X i2
X iP ˆ0
计量经济学
整理得：
nˆ0
X i1ˆ1
Xi2ˆ2
X ˆ1 X i1X i2ˆ2
X i2 X i1ˆ1
X
2 i2
ˆ2
X i1X iP ˆP X i2 X iP ˆP
X i1Yi X i2Yi
其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期望
值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学
Y1 1 X11 X12 X1P 0 u1
X kn Yn X iPYi
计量经济学
( X T X ) Bˆ X TY
Bˆ ( X T X )1 X TY
Y1
其中，Y
Y2 Yn
也可直接对向量微分，求得结果：
ˆ0
Bˆ
ˆ1
ˆP
Min Q（Bˆ） ei2 eT e （Y XBˆ）（ T Y XBˆ）
YTY Y T XBˆ Bˆ T X TY Bˆ T X T XBˆ
Y2 Yn
1 1
X 21 X 22 X n1 X n2
X 2P X nP
1
P
u2
un
或： Y Xβ u
2.样本回归模型的SRF
SRF : Yi 0 1X i1 2 X i2 P X iP ei , i 1,2, , n
计量经济学
二、基本假定： 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Y 13.5 15 16.5 13 17.5 14 16 18 19 21 X1 3 3.5 4 2.5 4 3 4 4.5 5 6 X2 5 6 7 5 8 5 7 8 9 10
解:设定模型为: Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
X1P
X2P
X nP
则：X为n （p 1）矩阵，且Rank（X） p 1
计量经济学 第二节 参数的最小二乘估计
一、参数的最小二乘估计
X11
如何由：
X 21 X n1
X12 X 22 X n2
X1P
X 2P X nP
ˆ 0，ˆ1，
，ˆ
P
计量经济学
Min Q（ˆ0，ˆ1， ，ˆP） （Yi Yˆi）2
Yi
X i1X iP X i2 X iP
ˆ1 ˆ1
X i1Yi
X
i 2Yi
X
2 ip
ˆP
X iPYi
计量经济学
容易证明：
n
X i1
X T X
X i2
X iP
X i1
Xi2
X2 i1
X i1 X i2
X i2 X i1
X
2 i2
u1
u12 u1u2 u1un
E uuT
u2 un
u1
u2
un
E
u 2 u1
unu1
u
2 2
unu2
u2un
u
2 n
2 0 0 0
0 0 0
2
0 0
0
2
0
0 0
2
2I
计量经济学
3、u无自相关，Cov（ui，u j） E{[ui Eui ][u j Euj ]}
X iP X i1
X iP X i2
X iP
X i1 X iP
X
i
2
X
iP
X
2 ip
1 1
X 21 X 22
X TY
X
31
X 32
X
k1
Xk2
1 X 23 X 33 X 3k
1 Y1
X 2n X 3n
Y2 Y3
Yi
X i1Yi
X
i 2Yi
计量经济学
第3章 多元线性回归模型
第一节：概念和基本假定 第二节：参数的最小二乘估计 第三节：最小二乘估计的基本性质 第四节：模型检验 第五节：预测
计量经济学
第一节 概念和基本假定
一、基本概念：
设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依 存关系。
1.总体回归模型：
PRF : Yi 0 1X i1 2 X i2 p X ip ui , i 1,2, , n
（Yi
ˆ0
ˆ1 X i1
ˆP
X
）2
iP
由极值的必要条件有：
Q
ˆ0
2
（Yi ˆ0 ˆ1 X i1 ˆP X iP）（1） 0
Q
ˆ1
Q
ˆ P
2
2
（Yi ˆ0 ˆ1 X i1 ˆP X iP）（ X i1） 0
（Yi ˆ0 ˆ1 X i1 ˆP X iP）（ X iP） 0
XT
1 3
1 3.5
1 6
5 6 10
YT 13.5 15 21
n
X T X X i1
Xi2
X i1
X
2 i1
X i2 X i1
Xi2 10 39.5
Xi1Xi2 39.5 165.75
X
2 i2
70
292.5
70 292.5 518