上的正弦函数y=sinx

函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2. 于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02sin 4141=+x 得 4π=x故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。

§4.4 正弦函数的性质教学目标：1、进一步熟悉单位圆中的正弦线；2、理解正弦诱导公式的推导过程；3、掌握正弦诱导公式的运用；4、能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；5、理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；6、能熟练运用正弦函数的性质解题。

二、教学重、难点重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。

难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。

第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。

如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。

这就是我们这一节课要解决的问题。

【探究新知】 1．复习：（公式1）sin(360︒k +α) = sin α2．对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）[[[[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3． 公式2：设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知：sin(180︒+α) = -sin α4．公式3：如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得：sin(-α) = -sin α,5．公式4：由公式2和公式3可得：P’(P(x ,-y )sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,同理可得： sin(180︒-α) = sin α, 6．公式5：sin(360︒-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评例1：求下列函数值（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－150︒15’)； (3)sin(－47π) 解：（1）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝21(2) sin(－150︒15’)＝－sin150︒15’＝－sin(180︒－29︒45’) ＝－sin29︒45’＝－0.4962(3) sin(－47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4π＝22 例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：（略，见教材P24）2．学生练习教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

四个象限的三角函数正负
一象限横坐标为正，纵坐标为正；二象限横坐标为负，纵坐标为正；三象限横坐标为负，纵坐标为负；四象限横坐标为正，纵坐标为负。

表示格式为“象限”／“＋或－”
（1）正弦函数：y=sinx，一／+、二／+、三／-、四／-。

（2）余弦函数：y=cosx，一／+、二／-、三／-、四／+。

（3）正切函数：y=tanx，一／+、二／-、三／+、四／-。

（4）余切函数：y=cotx，一／+、二／-、三／+、四／-。

三角函数在四象限的正负口诀：一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）。

2四象限坐标数值
第一象限：（正＋，＋正），横纵坐标同号，记作xy>0。

第二象限：（负－，＋正），横纵坐标异号，记作xy<0。

第三象限：（负－，－负），横纵坐标同号，记作xy>0。

第四象限：（正＋，－负），横纵坐标异号，记作xy<0。

正弦函数y=sinX的定义域
正弦函数y=sinX的定义域是实数集R，即包括所有实数的集合。

正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。

因此，sinX在每个周期内的取值范围都是[-1,1]。

我们可以用单位圆来解释sinX的定义域。

以原点为圆心，半径为1的圆为单位圆。

我们把X轴正方向与圆上右侧的切线作为起始位置，按照逆时针方向旋转一个角度X，使得与X轴正方向的夹角为X。

此时，点P的坐标为(cosX,sinX)，其中cosX表示点P在X轴上的投影，而sinX表示点P在Y轴上的投影。

因为sinX的定义域是实数集R，所以我们可以在单位圆上找到每个实数对应的点。

正弦函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，它可以用来描述周期性变化的现象，如电流、气压、音波等。

在计算机图形学中，正弦函数也被广泛应用，用来生成复杂的图像和动画效果。

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