n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法

1．利用对角线法则

“对角线法则”：

（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；

（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素

的乘积；

（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。例1计算二阶行列式4

23

1=

D 。解：2

2341423

1−=×−×==D 例2计算三阶行列式2

108340

21−−=D 。

解：

)

1(812420)3(0)1(400822)3(12108340

21−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14

−=2．利用n 阶行列式的定义

n 阶行列式==

nn

n n n

n a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯2122221

11211n

n np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。

显然有

上三角形行列式nn

nn n

n a a a a a a a a a D ⋯⋮

⋱⋯⋯221122211211

==

下三角形行列式nn

nn

n n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱

⋮⋮221121

22

21

11==

对角阵n

n

D λλλλλλ⋯⋱

212

1

==

另外n

n n n

D λλλλλλ⋯⋰

212

)1(2

1

)

1(−−==

例3计算行列式

0010020

010000

00n D n n

=−⋯⋯⋮

⋮⋮⋮⋯⋯解

D n 中不为零的项用一般形式表示为

112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.

该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于

(1)(2)

2

n n −−，故

(1)(2)

2

(1)

!.

n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算

性质1行列式与它的转置行列式相等,即T

D D =。

注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。

性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。性质3用数k 乘行列式的某一行(列),等于用数k 乘此行列式,即

kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn

n n in i i n nn n n in i i n ===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121112

112121

112111。第i 行(列)乘以k ，记为k r i ×(或k c i ×)。

推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，

nn

n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯

⋯⋯⋯

2

12

21111211+++=。则

212

1

21112

1121

21

11211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn

n n in i i n nn n n in i i n +=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。性质5

将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。

例4计算x a a a

x a a a x D n ⋯⋮⋮⋮⋯⋯=。

解x

a a a x a a n x D n r r r n ⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯1

11]

)1([)(21−+=+++a x a x a n x −−−+=⋯⋮⋮⋮⋯⋯000

0111]

)1([1

)]()1([−−−+=n a x a n x 例5

一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足

,,1,2,,,

ij ji a a i j n =−=⋯则称n D 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =−知ii ii a a =−，即

0,1,2,,ii a i n

==⋯故行列式n D 可表示为

1213112

23213

2331230000

n n n n n

n n

a a a a a a D a a a a a a −=−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由行列式的性质T

D

D =1213112

23213

2331230000

n n n n n n n

a a a a a a D a a a a a a −−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1213112

23213

2331230

0(1)00

n n n n n n n

a a a a a a a a a a a a −=−−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)n n

D =−当n 为奇数时，得n n D D −=，因而得0=n D 。

4．利用行列式按行（列）展开

=+++jn in j i j i A a A a A a ⋯2211),,2,1,(0n j i j

i j

i D

⋯=⎩⎨

⎧≠=例6计算1

31421131

1023351−−−−−=D 。

解

3

401

2

1131

1027

2016−−−−=

D 3

411

127

216)1(23−−−−=+551

7520)1)(1(1

071125

020)1(22−=−−−=−−−=+5．利用化上三角形法

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。