解直角三角形(2)

BCD第6课时 解直角三角形（2）班级 姓名 学号 ［学习目标］1、能综合应用直角三角形边角关系的知识解直角三角形，进一步体会三角函数的意义与作用；2、经历研讨直角三角形边角关系以及利用这些关系解直角三角形的过程，发展归纳整理知识的能力和计算能力。

［学习过程］问题1、（1）如图，AB 表示地面上一段斜坡的坡面，BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度，∠A ＝30°，AB=240m ，（1）求sinA 和cosA 的值；（2）求点B 相对于水平地面的高度。

练习：如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD ⊥AB ，CD ＝33m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长。

问题2、小明正在放风筝，风筝线与水平线成30°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度。

（精确到1m ）问题3、如图，求半径为10的圆的内接正五边形的边长（结果精确到0.1）。

（sin36°=0.59, cos 36°=0.81, tan36°=0.73）练习：求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（结果保留根号）．问题4、在△ABC 中，∠B=30°，AB=10，BC=63，求AC 的长。

练习：在△ABC 中，∠A=75°，∠B=45°， BC=3+1，求AC 和AB 的长。

问题5、在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=23，DC=2，∠DAB=30°，∠C BA=60°，求AB 的长。

练习：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=8，面积为A DB 三、课后作业：1．正三角形边长为a ，则其外接圆半径等于 （ ）A ．a 3 B.a 33 C.a 23 D.a 21第七章 锐角三角函数BAAOBH D E CA CBB C2．如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）m 2A ．αsin 1600 B 。

∙概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，（1）三边之间的关系：（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：。

∙解直角三角形的函数值:锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

∙解直角三角形的应用：一般步骤是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；（2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）还原为实际问题的答案。

∙解直角三角形的函数值列举：sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097sin3=0.05233595624294383sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816sin6=0.10452846326765346sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544sin9=0.15643446504023087sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448sin12=0.20791169081775931sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773sin15=0.25881904510252074sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705sin48=0.7431448254773941sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208sin81=0.9876883405951378sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913 sin90=1cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404cos24=0.9135454576426009cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468cos57=0.5446390350150272cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836 cos90=0tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144 tan90=(无限)。

解直角三角形（二）主讲：黄冈中学数学高级教师 知识归纳:李平友仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从 上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示：精讲精练： 例 1、如图所示，一位同学在高为 40m 的建筑物的顶端 A 处，测得另一建筑物的 顶部 D 点的俯角α 为 50°，测得底部 C 点的俯角β 为 65°，试求另一建筑物的 高 CD（精确到 0.1m）．解： 延长 CD 交过 A 点的水平线于 E，则∠E=90°．设 AE 的长为 x m，在 Rt△ADE 中， ∴ED=AE·tanα =tan50°·x．，在 Rt△ACE 中，，∴CE=tanβ ·AE=tan65°·x．∵CE=40m，∴tan65°·x=40， ∴DE=tan50°·x=18.65×tan50°≈22.23（m） ∴DC=CE－DE=40－22.23≈17.8（m） 答：另一建筑物 CD 的高约为 17.8m． 变式练习 1：．如图，为测量建筑物 AB 的高度，先测标杆 CD 的高度为 2m，并分别在 C、D 处测得建筑物 AB 的顶点处的仰角为β =60°，α =45°，求建筑物 AB 的高度．解： 过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 EBCD 为矩形， ∴DE=CB，BE=CD，设 DE=BC=x m．（视频中应加括号）例 2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米的上空 P 点，测得 A 村的俯角为 30°，B 村的俯角为 60°，如图所示，求 A、B 两个村庄之间的距离．（精确到 1m．参考数据 ）解： 如图，过 P 作 PC⊥AB 于 C，依题意∠DPA=30°，∠DPB=60°， ∵PD∥AC，∴∠A=30°，∠PBC=60°．变式练习 2： 如图，B、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，小明测得∠ABC=45°，∠ ACB=30°，BC=60m，他很快求出了河的宽度，你知道他是怎样求出来的吗？变式练习 3： 如图，河两岸 a，b 互相平行，C，D 为河岸 a 上间隔 50m 的两根电线杆，某 人在河岸 b 上的 A 处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了 100m 到达 B 处，测得∠ CBF=60°．求河流的宽（精确到 1m）．答案： 如图，过 C 作 CE∥AD 交 b 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F， 则∠CEB=30°，∵∠CBF=60°，∴∠ECB=30°=∠CEB， ∴CB=BE=100－50=50（m）即河宽为 43m． 例 3、如图所示，A、B 两地间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过 D、C，沿 折线 A→D→C→B 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到 B 地．已 知 BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥 DC 与 AB 平行，则现在从 A 地到达 B 地可 比原来少走多少路程？（精确到 0.1km， 0.80） ，sin37°≈0.60，cos37°≈答案： 分别过 D、C 作 DH⊥AB 于 H，CG⊥AB 于 G． 在 Rt△CBG 中，CG=sin37°×11（km），∴DH=sin37°×11（km）， 在 Rt△ADH 中，AH=DH=sin37°×11≈6.60（km），， 在 Rt△CBG 中，BG=BCcos37°=11cos37°≈8.80（km）． ∴少走 9.33＋11－6.60－8.80≈4.9（km） 1、桥头堡高 10 米，在堡顶发现附近有一可疑点，测得其俯角为 40°，则可疑 物距堡底__________米（精确到 0.1 米）． 2、如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测 得大树在底面的影长为 10 米， 则大树的长约为__________ （保留两个有效数字） ．3、如图，小明在操场上距离旗杆 AB 的距离为 9m 的 C 处，用测角仪测得旗杆顶 端 A 的仰角为 30°，测角仪高 CD=1.2 米，则旗杆 AB 的高为__________米．4、把一块三角形草地记为△ABC，量得∠A=60°，AB=6m，AC=4m，则△ABC 的面 积为__________m ．25、一架飞机在空中 A 处测得地面 B 处的俯角为 30°，飞行高度 AC=1200m，则飞 机在 A 处距 B 处水平距离__________m． 6、 一架飞机在高为 1000m 的高空， 在前进的方向上同时测得桥头的俯角为 30°， 桥尾的俯角为 60°，由此算出桥长为__________m．隐藏答案1、11.9 2、17 米 3、4、5、6、二、选择题 7、王师傅在楼顶的 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C 的俯角为 60°，又知水平 距离 BD 为 10m，楼高 AB 为 24m，则树高 CD 为（ ）m．8、 如图， 在高为 60m 的小山上， 测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30°， 60°，则这个建筑物的高度为（ ）m．A．20 三、综合题B．30C．40D．509、某市在迎接奥运圣火活动中，在一教学楼上悬挂着宣传条幅 DC，如图．小明 同学在点 A 处，测得条幅顶端 D 的仰角为 30°，再向条幅方向前进 10 米后，又 在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45°， 已知测点 A、 B 和 C 离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据 ）隐藏答案10、如图，小明为测量一氢气球离地的高度 CD，他在地面上相距 80 米的 A、B 两点，测得∠CAD=43.8°，∠CBD=39.2°，已知 A、D、B 三点在同一条直线上，求氢气球离地面的高度．（结果精确到 0.1 米．参考数据：sin43.8°=0.69， tan43.8°=0.96，sin39.2°=0.63，tan39.2°=0.82）隐藏答案11、如图，某海滨浴场的岸边可以近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现 海中 B 处有人求救，1 号救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是在岸边自 A 处跑 300 米到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处．假若所在救生员在岸边跑的速度为 6m/s，在海中游的速度为 2m/s，∠BAD=45°． （1）根据以上条件分析 1 号救生员的选择是否正确； （2） 若 2 号救生员同时从 A 处在岸边跑到 C 处， 再游向 B 处， 且∠BCD=65°， 问哪名救生员先赶到 B 处救人（本题计算过程中的数值均可精确到 0.1）？隐藏答案解：（1）依题意△ABD 为等腰直角三角形，∴BD=AD=300（m）．，∴1 号救生员直接由 A 游到 B 的时间为：，1 号救生员由 A 到 D 再游到 B 的时间为 ∵210s＞200s，∴1 号救生员选择正确． （2）在 Rt△BCD 中，，∴AC=AD－CD=300－142.9=157.1（m）∴2 号救生员由 A 到 C 再游到 B 的时间为 而 1 号救生员到 B 处时间为 200s，200s＞192.9s， ∴2 号救生员先赶到 B 处救人．．如图 1 是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为 10cm 的正三角形，三个侧面都 是矩形．现将宽为 15cm 的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形 ABCD（如 图 2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面 进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱 柱包装盒的侧面全部包贴满．在图 3 中，将三棱柱沿过点 A 的侧棱剪开，得到如 图 4 的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件 的平行四边形进行研究. （1）请在图 4 中画出拼接后符合条件的平行四边形； （2）请在图 2 中，计算裁剪的角度（即∠ABM 的度数）.分析： （1）将三棱柱侧面展开，通过平移拼成平行四边形． 解： （1）将图 4 中的△ABE 向左平移 30cm，△CDF 向右平移 30cm，拼成如图下 中的平行四边形，此平行四边形即为图 2 中的□ABCD．（2）由图 2 的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30． ∵纸带宽为 15，∴ sin∠ABM= ∴∠AMB=30°．．点评：如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A、B、C、D、分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图,则在直角△OAQ中有，即．在直角△OAQ中,则∠O＝90°－∠A＝90°－α，由弧长公式得PQ为．故选B．例2、（宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）.分析：（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝ABcos∠BAF＝2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844．∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51 ∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．。

九年级 班 姓名：“1.4 解直角三角形 （2）”导学提纲主备课人：实验中学 邢乃先 王明新 新元中学 于保波 刘海波 学习目标：1.能够应用解直角三角形的知识解决有关的问题；2.经历把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题的过程，发展分析和解决问题的能力.教学过程：一. 自主探究：1.如图1， Rt ⊿ADC 中，∠ADC =90°，∠A =60°, AC =12,求AD 和CD 的长;①2.如图2， Rt ⊿ADB 中，∠BDC =90°，∠B =45°, CD =36,求BD 的长. ①3.如图3，⊿ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12,CD ⊥AB 于D ，你能迅速说出AB 的长吗？①4. 如图4，⊿ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12, 如何求AB 的长？试写出解题步骤.②二. 合作交流，成果展示：1. 交流上面各题，说说是怎样把锐角⊿ABC 的问题转化为解直角三角形的？图1B 图2B图3 B 图42.一中4题，作⊿ABC 的高AH 试一试根据原题条件求AB.3.交流:含有特殊角的三角形，怎样添加辅助线把它转化为直角三角形来解决？三.应用规律，巩固新知：1. ⊿ABC 中，∠A =105°，∠B =45°，AC =12,求AB 的长？2.P19随堂训练 1、2、33. ⊿ABC 中，∠A =120°，∠B =15°，AC =2, 求AB 的长？③四.自我测评，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有那些疑惑？2.当堂检测： ①P19 习题1②如图，⊿ABC 中，∠ABC =120°，tan C =21，BC =11, 求AB 的长？④3.课外自评： P19 试一试五.教（学）后反思B图5CC“4 解直角三角形（1）”导学提纲设计意图与教学建议①承接上一课时，将学生自然引入到本课时内容.②对①的三问题的概括集结，学生在该探究过程中，很自然体会辅助线分割在解决问题过程中的重要性.③引进方程思想，解题中三角函数关系式确定不同线段间的数量关系，布列简单的方程，解方程求得未知数的值，进而解决问题.④通过本题，让学生认识到特殊角的特殊在于其三角函数值是确定的，添加辅助线是为了形成含确定三角函数值的锐角的直角三角形.。