高三数学高考第二轮复习《概率与统计》试题研究专题讲解
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概率与统计
高考考点突破
例1、有九张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9。甲、乙两人依次从中抽取一张卡片（不放回）．试求：
（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率；
（2）甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．
[分析] 运用古典概型公式，结合排列组合知识加以解决．至少型问题可用直接法或间接法解决．
[解析]（1）甲抽到奇数数字卡片的概率为59，因为卡片没有放回，所以乙抽到偶数数字卡片的概率为48,所以甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为5459818P．
（2）54455459898986P或4351986P．
[启迪] 注意恰当地进行分类，分类时应不重不漏；要分清问题是“放回”还是“不放回”．
[变式训练] 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（1）求甲通过考试的概率．
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
[解析] 记甲通过考试的概率为P甲，乙通过考试的概率为P乙．
则（1）21364631023CCCPC甲．
（2）2138283101415CCCPC乙，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1(1)(1)PPP乙甲2141(1)(1)3154445．
例2、从正方形的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条是异面直线的概率是 ．
[分析] 这是一类有关几何图形的概率问题，如何计算异面直线的对数是本题的难点所在，利用四面体模型可以轻松解决．
[解析] 正方体的8个顶点可以构成个481258C不同的四面体，而每个不同的四面体均存在3对异面直线，所以共有583对异面直线．
所以两条直线是异面直线的概率2285832963PC． [启迪] 用间接法计算四面体的个数，这也是一个难点．利用四面体模型计算异面直线的对数的方法要注意掌握．
[变式训练] 在一个圆周上有间距不同的9个点，以这9个点为顶点作没有公共顶点的3个三角形，则其不同的3个三角形的边不相交的概率是 ．
[解析] 可分成两类计算：
（1）如图1所示，共有3种；（2）如图2所示，共有9种；
所以符合题意的概率为3339633339370PCCCA．
例3、把一根长度为7的铁丝截成任意长度的3段，求能构成三角形的概率．
[分析] 本题是一个几何概型的问题，关键是找出变量的线性约束条件，求出相应区域的面积．
[解析] 设铁丝被分割成长度为x,y,7-x-y的三段，x,y满足0070xyxy
而这三段要构成三角形，则必须满足0070777xyxyxyxyxxyyyxyx，
即007022702727xyxyxyyx．
所以能构成三角形的概率为
14DEFOABSPS．
[启迪] 三段能构成三角形的充要条件是任意两边之和均大于第三边，由此得到符合题意的线性约束条件，画出平面区域，求得相应的面积． 图1 图2
x y
0 A B
D E F
72
7 7 [变式训练] 在区间1,5和2,4分别取一个数，记为,mn，则方程22221xymn表示焦点在y轴上的椭圆的概率是 ．
[解析] 由题意得，m,n满足的条件为1524mnmn．
易知，符合题意的概率为：
12AEDFABCDSPS．
高考阅卷在线
（2009年广东高考数学B卷第17题）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
API 0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 251～300 300
级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ
状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染
对某城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图无所示：
（1）求直方图中x的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．
(结果用分数表示。已知7578125，
72128，3273812318253651825182591259125，365735）
[解析]（1）32738()5011825365182518259125x 100
0
50
150
200
250
300
89125 71825
31825 2365 x
API
频率组距 y
x 0 1 5 2 4
A B C F D
E 所以11918250x．
（2）1192()5036521918250365(天)．
(3) 某一天空气质量为良或轻微污染的概率为121933655P，其他状况的概率为25，设该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率为P，则761722376653155578125PC．
点评：本题的背景是环境问题，通过表格的形式呈现数据，考察概率统计中的频率分布直方图的有关知识，考察的内容相对简单，但数据比较复杂，在题目的后面已经给出了主要的运算结果，使运算得以简化．题（3）的解决体现了间接法的妙用．
智能提升演练
一、选择题
1、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局，则比赛结束．假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3：1获胜的概率为（ ）．
A. 827 B. 6481 C. 49 D. 89
解：选A。223212833327PC．
2、在0,1上任取两个数，则两数之和大于65的概率为（ ）．
A. 725 B. 825 C. 1225 D. 1725
解：选B。由几何概型易得。
3、在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是（ ）．
A. 427 B. 625 C. 320 D. 310
解：选B．符合题意的方法数有11332336CCA种，所有的安排方法有
111235454322150CCCCAA种，所以概率为36615025P．
4、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）．
A. 12 B. 16 C. 18 D. 28 一年级 二年级 三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z 解：选B．由题意得：二年级女生有380人，所以三年级学生总人数为500人，三年级应抽取50064162000人．
5、集合,1Axyyx，集合,5Bxyyx。先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子所得点数记作a，投掷第二颗骰子所得点数记作b，构成,ab，则,abAB的概率等于（ ）．
A. 14 B. 29 C. 736 D. 536
解：选B．
符合题意的共有1,1;1,2;1,3;1,4;2,1;2,2;2,3;3,28组，所以概率82369P．
6、某学校对一次数学考试成绩进行了统计分析，结果显示这1200名考生的成绩服从正态分布2110,12N，根据3原则，23、、对应的值分别为0.683、0.954、0.997。那么成绩在98～122间的考生数大约为（ ）．
A. 1145 B. 55 C. 820 D. 380
解：选C．110,12，成绩在98～122间，其概率即为对应值，
考生数为1200×0.683=819.6≈820人．
二、填空题
7、随机从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果组成此课外学习小组的成员恰好与按性别分层抽样的结果一致的概率是 ．
解：按性别分层抽样即男生4人，女生2人．其概率为
4210561560143CCPC．
8、甲乙两队各选派三名队员参加象棋联赛，按照抽签顺序比赛三局，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，最后得分多者获胜。则三局比赛后，甲队获胜的概率是 ．
解：考虑甲对乙得分相同的情形，三局的比赛情况为：一胜一平一负，共有336A种；三局皆平，一种；总共7种．所以甲队获胜的概率为2771022727P．
9、现有一批长度为3、4、5、6和7的细木棒，它们的数量足够多，从中适当取3根，组成不同的三角形中直角三角形的概率是 ．
解：不能组成三角形的组合有：3，3，6；3，3，7；3，4，7．
所以总共可以组成三角形个数为235552332CC个，而其中直角三角形只有3，4，5一组。所以概率132P． 10、位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上或向右移动的概率都是12，质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为 ．
解：2555216CP．
三、解答题
11、三个元件A、B、C正常工作的概率分别是133,,244，
（1）在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（2）三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？并说明理由．
解：（1）记电路不发生故障的概率为P，则1331511124432P．
（2）有下列几种连接方法：①全部串联：133924432P．
②两个并联再跟另一个串联，则
1331511124432P或
3132111142432P．
③三个都并联：13331111124432P，此时的概率最大．
12、现有A、B两个盒子，A盒子里盛有4个白球和4个红球，B盒子里盛有3个白球和若干个红球，若从B盒子里任取两个球，取到同色球的概率是1328．
（1）求B盒子里红球的个数；
（2）若从A盒子里任意取出2个球放入B盒子里充分搅匀后，再从B盒子里任意取出2个球放回A盒子里，求A盒子里的白球没有增加的概率．
解：（1）5n．
（2）112221124667444422222288101081017()21CCCCCCCCPCCCCCC．
规律方法提炼： C B
A
