第二章随机过程基本概念.
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第二章随机过程基本概念.
2随机过程的基本概念
§2.1 基本概念
随机过程是指一族随机变量 .
对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 .
其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 .
一随机过程的定义
1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈
T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量,
(2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t,
t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。
((((({}
{}
[](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式:
参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意:
t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R
S T t e X t
21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令
掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1
t e X t X R
t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例
例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则
(1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..},
且对于不同的 t, 是不同的随机变量 .
(2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 .
(即:在多长时间内来 n 个人 ?
所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 .
相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 (
2, 0(~
sin( (3t X U Y R t Y t a t X pw?+=例 4 考虑抛掷骰子的试验 :
(i 设 X n 是第 n 次抛掷的点数 ,对于n = 1, 2, … 的不同值, X n 为不同的随机变量,因而{Xn , n≥ 1}构成一个随机过程,
(ii 设是前 n 次抛掷中出现的最大点数,
n Y }1, {3n Y n 为随机过程。
k n
k n X Y ￡￡=1max
例 5 1827年布朗(Brown 发现静水中的花粉在不停的运动,后来就把这种运动称为布朗运动。在静水中花粉运动的原因是由于花粉受到水中分子的碰撞,这些相互独立的分子每分钟多达 1021次对花粉随机碰撞的合力使花粉产生随机运动。若用 X(e,t表示在 t 时刻花粉所处位置的横坐标,那么
{X(e,t , t∈(0,+∞}
就是描述花粉运动的随机过程。(布朗运动
例 6 群体生长随机模型
一个群体 (如:自然生长的鸟的群体、一个宇宙射线粒子引起的裂变的原子全体、数量遗传学中:传染病的扩散数、癌细胞的扩散数等的大小和组成是有起伏的(随时间而变,用 X(t表示时间 t 时群体的大小, 则为一随机过程。
}
(
{T t
t
X ?
例 7 排队问题:
顾客来到服务站要求服务(如:某时间段内用户对电话交换台的呼叫数、到银行要求服务的顾客数、用户对电器故障要求修理的户数等,当服务站中的服务员都在忙碌时,来到的顾客就要排队。如:用 X(t表 t 时要求服务的用户数,
Y(t表 t 时来到的顾客需等候的时间
Z(t表 t 时的队长,等。
则 X(t, Y(t, Z(t 均为随机过程。
自然界还有许多随机现象,如
地震波幅 ,
结构物承受的风荷载 ,
§在时间间隔 [0, t 内船舶甲板“ 上浪” 的次数 , §通讯系统和自控系统中的各种噪声和干扰 , §生物群体的生灭问题
§数量遗传学
§竞争现象,
§传染病扩散,癌细胞扩散
§质点随机游动,排队问题等等
§都可用随机过程这一数学模型来描述。
例 8
(((
(((((.
, 2, 0(, 1, 13. , , 2, 0(2. , , 1, 11.
, , sin 为常数而的均匀分布上服从上均匀分布的随机变量是若为常数上的均匀分布服从若为常数上均匀分布的随机变量是若画出其图形的任意两个样本函数并试写出随机过程
Q-QQ-+￥￥-?Q+=pwwpwwA A A t t A t X
§2.2随机过程的分布与存在定理
一、随机过程的分布函数族
定义 2.1设 X (t为随机过程,对任意固定的 t ,及实数 x ,称
为随机过程的一维分布函数 , 而称为此随机过程的一维分布函数族 .
}
, , , ({T t R x t x F ??T
t x t X P t x F ?￡oD
(( , (1注意:随机过程的一维分布函数不是一个函数而是一族(无数个函数,描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。 1 随机过程的一维分布函数族
(1 若有的一维密度函数。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
=3ò￥-(2 若有的一维概率分布。
为称满足 }: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k ?=3==?
T t
t
X
t
X ?
=,
cos
(w 例 1 考虑随机过程
此处 w为常数, X 服从标准正态分布。试求 X (t 的一维概率密度。
例 2 设随机过程为
(
,
(>
=t
te
t
Y X
其中 X 服从参数为 l的指数分布, 试求 Y (t 的一维概率密度。
定义 2设 X(t为随机过程,对于任意两个时刻 t 1,t 2,及实数 x 1, x
2,称为随机过程的二维分布函数 , 而
称为此随机过程的二维分布函数族 .
(, (( , , , (221121212x t X x t X P t t x x F ￡￡=}
, , , , , , , ({21212121T t t R x x t t x x F ??2 随机过程的二维分布函数族
注意:随机过程的二维分布函数描述了随机过程在任意两个不同时刻的状态之间的联系。
定义 3设 X (t为随机过程,对于任意 n 个时刻 ,及实数 ,称 T t t t
n ?, , , 21L R x x x n ?, , , 21L (, , (, (( , , , , , , , (22112121n n n n n x
t X x t X x t X P t t t x x x F ￡￡￡=L L L }1, , , , , , , , , , , , ({2121213?n
T t t t t t t x x x F n n n n L L L 3 n维分布函数族
为 X (t 的有限维分布函数族。
为随机过程的 n 维分布函数。称关于随机过程 X (t 的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的 n 维分布函数描述了随机过程在任意 n 不同时刻的状态之间的联系。 随机过程 X (t 的有限维分布函数族的意义何在 ? 随机过程的 n 维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n 越大,则 n 维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
1931年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫证明了关于有限维分布函数族的重要性的定理 .
(1对称性:对于(1, 2, … , n 的任一排列i 1,i 2, … ,i n 有满足
} , 1 , , , , , , , , ({2121T t n t t t x x x F F i n n n ?3=L L
, , , , , , , ( , , , , , , , (21212121n n i i i i i i n t t t x x x F t t t x x x
F n n L L L L =
(, , (, (( , , , , , , , (22112121n n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x
F ￡￡￡=L L L 则 F 必为某个随机过程的有限维分布族。即存在 X(t,使
(2相容性:对于任意自然数 m < n ,函数簇中的 m 维分布函数与 n 维分布函数之间有关系:
定理 2.1(存在定理设分布函数簇
, , , , , , , , , , ( , , , , , , , (21212121n m n m m m t t t x x x F t t t
x x x F L L L L L
+￥+￥=
例 3 设为随机过程,其中 A 和 B 为随机变量 , 相互独立 , 均服从正态分布 N (0, 1 b t a Bt A t X ￡￡<+=0 , (试求 X (t 的 n 维分布函数。
二、随机过程的数字特征与特征函数
1 随机过程的数字特征
(1若对于任意给定的 t , EX (t的存在,则称它为随机过程的均值(t
的函数,记为
( (t EX t m X =又称为 X(t的均值函数。 (2若对于任意给定的 t ,
EX 2(t存在,则称它为随机过程的均方值函数,记为
( (2
2
t EX t X =y(3若对于任意给定的 t, E(X(t-mX (t2存在,则称它为随机过程的方差函数,记为 []2
