北京101中学—上学期初中九年级数学试卷
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北京101中学2008—2009学年上学期初中九年级
数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你把正确答案前的字母填写在相应的括号中。
1. 如果x=2是一元二次方程cx2的一个根，那么常数c为（ ）
A. 2 B. –2 C. 4 D. -4
2、下图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、相交
C、相切 D、内含
3、一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况是（ ）
A、没有实数根 B、有两个相等的实数根
C、有两个不相等的实数根 D、有两个实数根
4、在下列图形中，一定有∠1=∠2的是（ ）
5、用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（ ）
A. 5x2x2 B. 5x4x2
C. 5x2x2 D. 5x4x22
6、如图，阴影部分组成的图案既关于y轴成轴对称，又关于坐标原点O成中心对称、若点A的坐标是（2，1），则点M、N的坐标分别是（ ）
A、M（2，1），N（2，-1） B、M（2，-1），N（-2，-1）
C、M（-2，1），N（-2，-1） D、M（-2，1），N（2，-1）
7、如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则圆O与半圆P半径的比为（ ）
A、5：3 B、4：1
C、3：1 D、2：1
8. 如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，∠ACB的平分线交圆O于D，且AB=10cm，则AD的长为（ ）
A. cm5 B. 5cm C. cm25 D. cm10
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 方程x3x2的解为______________。
10. 已知P是圆O外一点，PA切圆O于A，PB切圆O于B。若PA=6，则PB=________。
11. 若2yy,13x22，则)xy2(y9yx2y322的值为________。
12. 如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD。若△BCD的面积为2cm3，则AC=________cm。
三、解答题（本题共28分，第13题8分，第14题、第15题各4分，第16题3分，第17题5分，第18题4分）
13. 解下列方程：
（1）03x6x22
解：
（2）02x)2x(x
解：
14. 在实数范围内分解因式：4x4
解：
15. 已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE。
求证：BC=DE。
证明：
16. 如图，在正方形网格中，已知格点△ABC。请画出△ABC关于点B成中心对称的△'BC'A。
解：
17. 根据国家“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费5000万元，预计2008年投入教育经费7200万元。求这两年投入教育经费的年平均增长率。
解：
18. 已知关于x的方程02x4kx2有实数根，求k的取值范围。
解：
四、解答题（本题共22分，第19题、第20题各5分，第21题、第22题各6分）
19. 如图，BC是圆O的弦，A是圆O上一点，OD⊥BC于D，且3BD，∠A=60°，求BC的长及圆O的半径。
解：
20. 先阅读，再回答问题：
如果21x,x是关于x的一元二次方程)0a(0cbxax2的两个根，那么21xx，21xx与系数a，b，c的关系是：acxx,abxx2121。例如：若21x,x是方程01xx22的两个根，则2121acxx,2121abxx2121。 （1）若21x,x是方程03xx22的两个根，则21xx_________，21xx_______；
（2）若21x,x是方程03xx2的两个根，求2112xxxx的值。
解：（1）21xx____________，21xx_________。
（2）
21. 已知关于x的方程0)2k2(x)1k(x2。
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的底边a=3，另两边b，c恰好是此方程的两根，求△ABC的周长。
解：
22. 如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过D点的直线与AB的延长线交于点C。
（1）若∠A=25°，∠C=40°，求证：CD是圆O的切线；
（2）当∠A与∠C满足什么关系时，直线CD与圆O相切。请直接写出你得到的结论；
（3）当CD是圆O的切线，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的长。
解：
五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分）
23. 请阅读下列材料：
问题：已知方程03xx2，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x。
所以2yx。
把2yx代入已知方程，得
032y2y2
化简，得012y2y2
故所求方程为012y2y2
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程01xx2，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为：____________________；
（2）已知关于x的一元二次方程0cbxax2有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的方程0nmxx2有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的平方。 解：（1）所求方程为：____________________。
（2）
（3）
24、如图1，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（4，4），C（0，4），点F、D分别在x轴、y轴上，正方形ODEF的边长为a（a<2），连接AC、AE、CE。
（1）求图1中△AEC的面积，请直接写出计算结果；
（2）将图1中正方形ODEF绕点O旋转一周，在旋转的过程中，S△AEC是否存在最大值、最小值?如果不存在，请说明理由；如果存在，在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；
（3）将图1中正方形ODEF绕点O旋转，当点E在第二象限时，设E（x，y），△AEC的面积为S，求S关于x的函数关系式。
解：（1）△AEC的面积为____________。
（2）
（3）
25、已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合），以AD为一边向右侧作等边△ADE（C与E不重合），连接CE。
（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为_________度；
（2）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立?请说明理由；
（3）若△ABC不是等边三角形，且BC>AC（如图3所示）、试探究当点D在线段BC上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请指出当∠ACB满足什么条件时，能使（1）中的结论成立，并说明理由。
解：（1）直线BD与直线CE所夹锐角为____________度。
（2）
（3） 数学参考答案与评分标准
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1. C 2. A 3. A 4. D 5. B 6. C 7. D 8. C
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 3x,0x21 10. 6 11. 8 12. 2
说明：解答题不同于参考答案的正确解法，相应给分。
三、解答题（本题共28分，第13题8分，第14题、第15题各4分，第16题3分，第17题5分，第18题4分）
13. （1）解：012324)6(ac4b22△
43264126x 3分
21x,233x233 4分
（2）解：0)1x)(2x( 2分
01x02x或
1x,2x21 4分
14. 解：)2x)(2x(4x224 2分
)2x)(2x)(2x(2 4分
15. 证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE 1分
在△ABC和△ADE中，
AEACDAEBAC,ADAB 2分
∴△ABC≌△ADE 3分
∴BC=DE 4分
16. 解：所画'BC'A如下图所示
3分
说明：没有标出字母'C,'A累计扣1分。
17. 解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，依题意
7200)x1(50002 2分
解得2.2x,2.0x21（不合题意，舍去） 4分
答：这两年投入教育经费的年平均增长率为20%。 5分
18. 解：（1）当k=0时，原方程为02x4，此时方程有实数根。 1分
（2）当0k时，02x4kx2为关于x的一元二次方程。
∵方程02x4kx2有实数根，
∴0k816)2(k442 2分
因此2k且0k 3分
综上所述，k的取值范围是2k 4分
四、解答题（本题共22分，第19题、第20题各5分，第21题、第22题各6分）
19. 解：∵BC是弦，OD⊥BC，
∴BC=2BD=32 1分
连接OB，OC，则OB=OC
∵∠A=60°
∴∠BOC=2∠A=120° 2分
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=∠COD=60° 3分
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，则BO=2DO 4分
根据勾股定理，有222ODBDOB
222OD)3()OD2(
解得OD=1
∴OB=2OD=2 5分
即圆O的半径为2。
