常州大学高数(二)期末B卷

2020年常州市名校数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AF BF ⊥且ABF ∆的周长为42a c +，则该双曲线的离心率为（ ） A ．32B ．52C ．10 D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的另一个焦点为1F ，则根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，2AB c =，由条件可得4AF BF a +=，由双曲线的定义2BF AF a -=，再由勾股定理可解得离心率.【详解】设双曲线的另一个焦点为1F ，由AF BF ⊥.根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，如图，12AB F F c ==. 又ABF ∆的周长为42a c +，则4AF BF a +=…………①. 由双曲线的定义2BF AF a -=………………② 由①，②得3,BF a AF a ==.在直角三角形ABF 中,222AB AF BF =+ . 则()22243c a a =+，即22410c a =，所以10e =. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.2．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B 【解析】 【分析】 根据41ln33<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出． 【详解】 解：∵41ln33<<， ∴33ln36b =+>，43336a <<<，34643327c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭． ∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图，点、、A B C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ= ( )．A ．43B 5C ．23D ．23-【答案】C 【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =， 由空间向量的结论可得：42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅.本题选择C 选项.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住条件有目的推理论证.(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．4．若曲线()f x =()a g x x =在点(1,1)P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A 【解析】试题分析：因为1a f x g x ax -'='=（）（），则f′（1）=12，g′（1）=a ，又曲线()()a f x g x x =a在点P （1，1）处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=-1，即112a =-，所以a=-1．故选A ． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=，且()f x 的导函数为()f x '，那么()5f '等于A ．3B ．1C ．8-D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】求出切线的斜率即可 【详解】由题意切线方程是x+y ﹣8＝0， 即y ＝8﹣x ，f'（5）就是切线的斜率， f′（5）＝﹣1， 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题． 6．已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是（ ） A ．83π B ．43C ．2πD ．43π 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形面积公式212S R α=（α为扇形的圆心角的弧度数，R 为扇形的半径），可计算出扇形的面积. 【详解】由题意可知，扇形的面积为21242233S ππ=⨯⨯=，故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.7．过抛物线22y px =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，其中点()02,A y ，且4AF =，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得0p >，再由||22pAF =+，即可求出结论. 【详解】因为抛物线22y px =的准线为2p x =-， 点()02,A y 在抛物线上，所以0p >，||24,42pAF p ∴=+=∴=. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题. 8．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导数'()f x 满足x 2'()f x ＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．f （14）+1＜f （13）＜f （12）﹣1 B ．f （12）+1＜f （13）＜f （14）﹣1 C ．f （14）﹣1＜f （13）＜f （12）+1D ．f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1【答案】D 【解析】 【分析】构造函数g （x ）＝f （x ）1x+，利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求． 【详解】由x 2f ′（x ）＜1，得f ′（x ）21x ＜，即得f ′（x ）21x -＜0， 令g （x ）＝f （x ）1x +，则g ′（x ）＝f ′（x ）21x -＜0，∴g （x ）＝f （x ）1x+在（0，+∞）上为单调减函数，∴f （12）+2＜f （13）+3＜f （14）+4， 则f （12）＜f （13）+1，即f （12）﹣1＜f （13）；f （13）＜f （14）+1．综上，f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系进行判断． 【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，A 正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，可证此时1D PA ∠为钝角，B 错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C 正确；1D P 在平面11CC D D 上的射影是直线1D C ，而11⊥D C DC ，因此11DC D P ⊥，D 正确．故选B ．【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．10．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“()20a a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性. 【详解】当a b >时，令0,0a b =<，此时()20a a b -=，所以不是充分条件；反过来，当()20aa b ->时，可得20a >，且0a b ->，即a b >，所以是必要条件，a b ∴>是()20a a b ->的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可. 11．函数sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个单调增区间是（ ） A ．[],0π- B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】对函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项.【详解】对于A 选项，当[],0x π∈-时，3444x πππ-≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[],0π-上不单调；对于B 选项，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，442x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增；对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3244x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；对于D 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，35444x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题.12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a 、b ，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 A ．16B ．112C ．124D ．132【答案】D 【解析】 【分析】设这个篮球运动员得1分的概率为c ，由题设知 ，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab 的最大值． 【详解】设这个篮球运动员得1分的概率为c ，∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5， 投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1， ∴，解得2a+b=0.5， ∵a、b∈（0，1）， ∴ ==，∴ab，当且仅当2a=b= 时，ab 取最大值．故选D ．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用． 二、填空题：本题共4小题13．设函数2,0,()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范是____________．【答案】(,0)-∞. 【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.详解：函数()2,0,1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图：满足()()12f x f x +<，可得201x x <<+或210x x <+≤， 解得(),0x ∈-∞. 故答案为：(),0-∞.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力. 14．已知角θ的终边经过()2,3-，则3cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 313【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值,再结合诱导公式即可得到结果． 详解：∵角θ的终边经过点()2,3-，∴x=2-，y=3，则sin θ=y r =13．∴3cos sin 213πθθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭． 点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题． 15．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是25，既刮风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮风，那么(|)P B A 等于__________． 【答案】38【解析】由题意可知()()()()()143,,|10158P AB P AB P A P B A P A ==∴==，故答案为38.16．某校生物研究社共8人，他们的生物等级考成绩如下：3人70分，3人67分，1人64分，1 人61分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出样本的平均数，再求出其标准差. 【详解】这八个人生物成绩的平均分为370367164161678x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，所以这八个人生物成绩的标准差为3s ==故得解. 【点睛】本题考查样本的标准差，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年常州市名校数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．42．观察下列各式：， ， ， ，……据此规律.所得的结果都是的倍数.由此推测可得（ ） A ．其中包含等式：B ．其中包含等式：C ．其中包含等式：D ．其中包含等式：3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ） A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( ) A ．99A 种B ．812A 种C ．888A 种D ．84842A A 种5．若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．86．如图所示的电路有a ，b ，c ，d 四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为12且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（ ）A ．116B ．18C ．316D ．147．在ABC V 中,,B C 为锐角, sin sin a b B c C =+ ,则ABC ∆的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对8．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>2，抛物线()220y px p =>的准线与双曲线C 的渐近线交于,A B 点，OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．216y x =9．设x ∈R ，则“23x <<”是“21x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件10．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A ．(,0)12πB ．(,0)6π C ．(,0)3π D ．(,0)2π11．已知集合{2,3}A =，集合B 满足{}2,3A B ⋃=，则集合B 的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．412．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝( ) A ．－62B ．62C ．32D ．－32二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知a v ，b v 是单位向量.若2a b b a +≥-vv v v ，则向量a v ，b v 夹角的取值范围是_________.14．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ．15．已知实数x,y 满足不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则3z x y =+的最大值是__________．16．计算：1sin xxdx e dx ππ-+=⎰⎰_________三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()| -1|f x a x =，不等式()3f x …的解集是{|12}x x -剟.（1）求a 的值； （2）若关于x 的不等式()()3f x f x k +-<的解集非空，求实数k 的取值范围.18．已知函数()()ln ,xf x xg x e ==． （1）求函数()y f x x =-的单调区间；（2）求证：函数()y f x =和()y g x =在公共定义域内，()()2g x f x ->恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()1212f x f x a x x ==，求证：1221x x e >． 19．（6分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面,ABCD //DE AF ，//,AD BC AB CD =，60ABC ∠=o ，22BC AD ==.（1）请在图中作出平面α，使得,DE α⊂且//BF α，并说明理由； （2）证明：AC BF ⊥.20．（6分）设a 为实数，函数()()2xf x e x a =--，x ∈R（Ⅰ）若1a =-求()f x 的极小值.（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+. 21．（6分）设集合(){}12,,,|{0,1}(1,2,,)n n iS x x x x i n =∈=L L ，其中*,2n N n ∈≥.（1）写出集合2S 中的所有元素；（2）设()()1212,,,,,,,n n n a a a b b b S ⋯⋯∈，证明“0110111212222222n n n n a a a b b b --++⋯+=+++L ••••••”的充要条件是“(1,2,,)i i a b i n ==L ” （3）设集合(){}12,,,,|{0,1}(1,2,,,)niS x x x x i n =⋯⋯∈=L L ，设()()1212,,,,,,,,,n n a a a b b b S ∈L L L L ，使得1212111222nn a a a A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L •••，且1212111222nn b b b B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L •••，试判断“A B =”是“(1,2,)i i a b i ==L ”的什么条件并说明理由.22．（8分）设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()22,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅u u u v u u u v的取值范围；（3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据余弦函数图象的对称性可得23cos xdx S π=⎰，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得()2203cos 3sin 3103S xdx xππ===-=⎰，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题． 2．A 【解析】 【分析】先求出数列3,7,11,15，……的通项，再判断得解. 【详解】数列3,7,11,15，……的通项为，当n=26时，，但是85,53,33都不是数列中的项，【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度， 可得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-.故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 4．A 【解析】根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体， 将这个整体与8辆不同的车全排列,有99A 种不同的排法，即有99A 种不同的停车方法；故选A.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 5．D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 6．C 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率公式计算．把,c d 组成一个事整体，先计算它通路的概率． 【详解】记,c d 通路为事件M ，则213()1()24P M =-=， 所以灯泡亮的概率为113322416P =⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查相互独立 事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可． 7．A 【解析】分析：由正弦定理化简并结合选项即可得到答案. 详解：Q sin sin a b B c C =+，则由正弦定理可得：sin sin b A c A a b c a b=⋅+⋅，即()222sin a b c A =+， 则当2A π=时，符合题意，故选：A.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理． 8．C 【解析】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是y x =±，而抛物线的准线方程为2px =-，由题设可得(,),(,)2222p p p pA B ---，则AB p =，所以OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为2144224p p S p p =⨯⨯==⇒=，应选答案C 。

高等数学二期末复习题及答案_28171462418361700(共19页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C) 223023ad r dr a πθπ=⎰⎰(D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰Lds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D)4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛 12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

高等数学（ B2）期末模拟试卷（一）题号一二三五六七总 分23四14得分一、选择题（ 本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1.z1y 2 ln( x 2 y 2 1) ，其定义域为 ----------------------------------（A ）.4x 2A ( x, y)1 x 2y 2 4B ( x, y) 1 x 2 y 2 4C ( x, y)1 x 2 y 2 4D ( x, y)1 x 2y 24 .2. 设 z x y ，则 dz --------------------------------------------------------------------------（D ）.A x y ln xdx yx y 1dyB yx y 1dx x y dyCyx y 1 ln xdx x y ln xdyDyx y 1 dx x y ln xdy .3. x 2 y21绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（C ）.由椭圆1625A 252dxB 45 y2dx24442dy .y 0Cx 2dyDx4. 设 a(1, 2, 3) ， b (2, 3, 4) ， c(1, 1, 2) ，则 (a b ) c. 为 --------------------（A ）.A 5B1C1D 5 .5. 设: 2x 3 y 4z 50 ， L :x1y z 1 ，则 与直 L 的关系为 ---（ A ）.2 3 4A L 与垂直B L 与 斜交C L 与 平行D L 落于 内.6. 若 D (x, y)x 2, y 4 ， D 1 ( x, y) 0 x 2,0y4 , f ( x 2 y 2 ) 为 D 上的连续函数，则f ( x 2y 2 ) d 可化为 ----------------------------------------------------（ C ）.DAf ( x 2y 2 )dB 2f ( x 2y 2 )dD 1D 1C 4f ( x 2y 2 )dD 8f ( x 2y 2 )d .D 1D 17. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.Ay cx e xBy c 1 e c 2 x xC y c 1 e xc 2 xD y c 1 c 2 (x e x ) .8. 下列哪个级数收敛 ---------------------------------------------------------------------------（D ）.A( 1) nB1 n 1C1 n nD100 .n 1n100n100n 1 n 1009. 若d4，其中 D:0xa, 0yax ，则正数 a ---------------------（ B ）.D243A 2 3B 2C 2 3D 22.10. 若幂级数a n (x 1)n 在 x3处条件收敛，则其收敛半径为----------------- （ B ） .n 1A 1B2C 3D 4 .二 、 计算题（ 本大题共 4 小题，每题 7 ，共 28 ）:1. 设 zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，若zz 2zf (sin x, cos y) ，求 ,.xx y解：z c o sxf 1 ,2z( z ) cos xf 12( sin y)sin y cos xf 12 .xx yy x2. 设 zsin(x 2y 2 ) ，求zdxdy. D :2x 2 y 24 2 .D解：zdxdy = (cos 2cos42 )D3. 设曲线 ye 2 x ， y ln( x 1) 与直线 x 1 及 y 轴所围成的区域为 D ，求D 的面积.解D 的面积=1( e 2 1) 2ln 2 .24. 解微分方程 x dyyx 2 e x .解：dy1 y dxxe xdxxP( x)1, Q (x) xe xxP(x)dxln x ，Q(x)e P( x) dxdxxexeln xdxex故通解为 yx( e x C)y三 、 计算题（ 本题 9 ）设 I2dy2ysin x xdx ，（ 1）改变积分次序；（2）计算 I 的值 .解： I2dyy 2ysin xdxxx2 dx 2 2xsin xdy x2sin x ( x2x 2 )dx 12x四、证明题（ 本题 8 ）求证：曲面xyza 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（ x 0 , y 0 , z 0 ）且设 F ( x, y, z)x yza ，则切平面方程为：1 ( x x 0 )1 ( y y 0 )1(zz 0 )2 x 0 2 y 02 z 0令 y z 0 可得： 切平面在 x 轴上的截距为x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 x 0 a同理可得： 切平面在 y, z 轴上的截距分别为 y 0 a, z 0 a ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于x 0 ay 0 az 0 aa 。

同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数,a b 有()()()f a b f a f b +=⋅，且()0f x >，若1(1)2f =，则(2)f -＝ ( )A ．2B ．4C ．12D ．142．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则 ()D X =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ） A ．18B ．24C ．30D ．365．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A ．30B ．36C ．60D ．726．已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ，n 没有公共点，则//m n B ．若,m n ⊂α⊂β，//αβ，则//m n C ．若,//m m n ⊂α，则//n α D ．若//m n ⊥αα，，则m n ⊥7．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ） A ．M N R ⋃= B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N =8．已知113k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为1212,()x x x x <，函数()2121x k g x k =--+的零点分别为3434,()x x x x <，则4321()()x x x x -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2log 3C ．2log 6D ．39．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}10．已知定义在R 上的函数()f x ，若()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(2019)f = （ ） A ．1-B ．1C ．0D ．2201911．使得()3nx n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．712．已知函数()2ln x f x x x =++.正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，则下述结论中正确的一项是( ) A ．12512x x -+≥B ．12512x x -+<C ．12512x x ++≥ D ．12512x x ++<二、填空题：本题共4小题13．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线()22014y px p =-<<和圆()2249x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则22AB CD ⋅的最大值为______.14．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF 与MN 所成角的余弦值为________．15．设变量满足约束条件，则的最大值是__________.16．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

中国民航大学 高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――温馨提示（请务必仔细阅读）（1）本试卷共8页，第1-2页为答题纸，第3-6页为试题页，第7-8页为草稿页。

试题页空白处及背面也可做草稿纸用。

（2）请将答案写在答题纸相应位置上，答案写在试题页或草稿页上一律无效。

（3）交卷时请将答题纸（1-2页）和试题页、草稿页（3-8页）分开上交。

一、填空题Ⅰ（共12分，每小题3分）1. 若三重积分(,,)d 1f x y z v Ω=⎰⎰⎰，且Ω的体积2V =，则[](,,)2d f x y z v Ω-=⎰⎰⎰___________． 2. 对于正项级数1n n u ∞=∑，若1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑的收敛性为___________．3. 将函数3()e x f x =在(,)-∞+∞内展开为x 的幂级数，则展开式为()f x =________________________．4. 幂级数2n nn x ∞=∑在11(,)22-内的和函数为()s x =_________________． 答：1．3- 2．收敛 3．301!n n x n ∞=∑ 4．112x - 二、填空题Ⅱ（共18分，每小题3分）5. 方程32ln y y x ''+=是_______阶微分方程． 6. 微分方程d d 0yx x-=的通解为________________________________． 7. 微分方程sin y x ''=的通解为_______________________________． 8. 微分方程0y y '''-=的通解为_________________________． 9. 微分方程10250y y y '''-+=的通解为________________________． 10.若函数e cos 2xy x =与e sin 2xy x =是常系数线性方程0y py qy '''++=的两个解，则该方程的通解为__________________________．答：5．二 6．212y x C =+ 7．12sin y x C x C =-++8．12e x y C C =+ 9．512()e x y C C x =+ 10．12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+三、单项选择题（每小题只有一个正确选项）（共18分，每小题3分）11.设Ω是由上半球面2224x y z ++=与xOy 面所围成的空间闭区域，则三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰可转化为（ ） （A）2204d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰ （B ）2224d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰⎰（C）2204(,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰ （D ）2224d (,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰⎰12．设级数①11n n ∞=∑，②()01nn ∞=-∑，则收敛的为（ ）（A ）①② （B ）① （C ）② （D ）①②均发散 13．设幂级数1nn n a x∞=∑在点1x =处收敛，在点1x =-处发散，则（ ）（A ）幂级数1nn n a x∞=∑在点2x =处必发散（B ）幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在点2x =处可能发散（C ）数项级数13nnn a ∞=∑必条件收敛 （D ）幂级数1n nn a x∞=∑在点23x =-处必发散 14．幂级数112nn x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）[1,1]- （B ）[1,1)- （C ）(1,1)- （D ）{0} 15．关于微分方程21y y''=-，下列说法正确的是（ ）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――（A ）是可分离变量的微分方程，可利用分离变量的方法求解 （B ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为21p y'=-求解 （C ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为2d 1d p p y y=-求解 （D ）是二阶线性微分方程，可通过特征方程求解16．若11()y y x =、22()y y x =分别是线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=（()0f x ≡/）及其对应的齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则函数122y y y =+是方程（ ）的解．（A ）()()0y p x y q x y '''++= （B ）()()()y p x y q x y f x '''++= （C ）()()2()y p x y q x y f x '''++= （D ）()()3()y p x y q x y f x '''++=111213141516A D ABC B四、计算题（共28分，每小题7分）17．设闭区域:02, 02, 01x y z Ω≤≤≤≤≤≤，计算三重积分2d xz v Ω⎰⎰⎰． 解：22122000d d d d xz v x y xz z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4分）2212000d d d x x y z z =⋅⋅⎰⎰⎰（5分）142233=⋅⋅=（7分）18．计算三重积分()22d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=与平面0z =、4z =围成的闭区域．解：()223d d d d x y v z ΩΩρρθ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2分）2143000d d d z πθρρ=⎰⎰⎰（5分）12424ππ=⋅⋅=（7分）19．求微分方程311107e xy y y '''-+=的通解．解：特征方程为211100r r -+=，121,10r r ==，对应齐次方程11100y y y '''-+=的通解为1012e e x xy C C =+；（3分）设原方程一个特解为3e xy C *=，代入方程得33339e 33e 10e 7e x x x xC C C -+=，12C =-，从而31e 2x y *=-，（6分） 原方程通解为103121e ee 2xxx y y y C C *=+=+-（7分） 20．求解微分方程的初值问题4304e1x x y x y y -=⎧'+=⎪⎨=⎪⎩．解：方程通解为()3344d 4d e ee d x xx xx y x C --⎰⎰=⋅+⎰（3分）()()4444e e e d e xx x xx C x C ---=⋅+=+⎰（6分） 由01x y ==，得1C =，从而初值问题的解为()4e 1xy x -=+（7分）解法二（常数变易法）：解出对应齐次方程通解4ex y C -=（2分）设非齐次方程通解为4()e x y u x -=（3分），代入整理得出通解()4e x y x C -=+（6分），代初始条件得出特解（7分）五、解答题（共24分，每小题8分）21．判断级数1cos(1)!n n n ∞=+∑是否收敛？是否绝对收敛？ 解：cos(1)11cos(1)!!!n n n n n +=+≤（2分）由正项级数11!n n ∞=∑收敛（4分），知1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛（6分），从而1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛且绝对收敛（8分） 22．将函数21()4f x x =-展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的范围． 解：211()414f x x =-⋅-（2分）20144nn x ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（6分）21014nn n x ∞+=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（7分），214x <即22x -<<（8分） 23．已知函数()y x 在区间(1, 1)-内满足方程()yy s x '=，且(0)0y =，其中()s x 在区间(1, 1)-内可展开为幂级数211()n n s x nx∞-==∑，求()y x ．学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――解：方程分离变量，有d ()d y y s x x =，两边积分，得21()d 2y s x x =⎰（2分）0()d x s x x C =+⎰（3分）由(0)0y =，得0C =（4分）又 22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（7分） 故22222(1)y x x =-，即2()1x y x x=±-（8分） 解法二：对211()n n s x nx∞-==∑两端积分，得22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（3分） 于是22()2(1)x s x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，方程即为222(1)x yy x '⎛⎫'= ⎪-⎝⎭（4分） 分离变量得22d d 2(1)x y y x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，两边积分，得22222(1)y x C x =+-（6分） 由(0)0y =，得0C =，于是2221x y x =-，2()1x y x x=±-（8分）。

《咼等数学B2》本科期末考试试卷(A 卷)一、选择题(共5题，每小题3分，共15分) 1、 对于二元函数z f(x,y)在点P(x o ,y 。

)处偏导数存在是在该点处可微的()条 件。

A 、充分非必要B 、必要非充分 C 充要D 非充分非必要 0 1 x 2、 设I 1dx o f (x, y)dy ，交换积分次序后得I () 1 x 0 1 1 x A • 0 dy 1 f (x, y)dx B . °dy 0 f(x, y)dx 0 1 1 0 C . 1dy 0 f (x, y)dx D • 0 dy y 1f (x, y)dx 3、 设 D : x 2 y 2 9,,贝S 2dxdy () D A. 36 B.18 C.9 D. 3 4、 曲线积分jj(x 2y)dx (2x y)dy ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2) 的三角形正向边界，该曲线积分二() A.0B.4 C.6D.8 _5、级数(1)n 1的敛散性为() n 1 n _A •绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断三二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)西南科技大学 20132 0 14 2 学期 师教二二二二二一二名姓-------------号学称名级班一二二二二二二院学1、lim (x,y) (1.0)2、设z x y，求dz _____________ 。

3、求曲线x t,y t2,z t3在点(1,1,1)处的切线方程________________ 。

4、求函数u xy3z在点(1, 1,2)处的梯度________________。

5、设，为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角，则平面曲线L上的两类曲线积分的关系L Pdx Qdy J Jds。

三、解答题( 求曲面x21、2、设z f (x21-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分)寸z2 14上平行于平面x 2y 3z 20的切平面方程。