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自主广场我夯基 我达标1。
如果一个质点从定点A 处开始运动，在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3.那么，当t 1=4时，Δy=_____________,xy ∆∆=_____________。
思路解析：主要利用Δy=f(t 0+Δt）-f （t 0）=f （4+Δt）-f （4)=(4+Δt)3+3—43—3=Δt 3+48Δt+12Δt 2=0。
013+48×0。
01+12×0。
012=0.481 201. ∴01.0481201.0=∆∆t y =48.120 1。
答案:0.481 201 48.120 12.在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系s=10t+5t 2(s 单位:m ，t 单位：s ）,则t=20 s 时的速度为___________。
思路解析：由导数的定义知在t=20时的瞬时速度为 v=t t t t t t t t s ∆--∆++∆+=∆∆22510)(5)(10=t t t t t ∆∆+∆+∆10102=10+10t+Δt.当Δt 趋近于0时，v 趋近于10+10t ，即v=10×20+10=210.答案:210 m3。
若一物体运动方程如下:⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=,3,)3(32,30,1322t t t t s 则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为____________、____________.思路解析:因为t=1时，0≤t＜3，所以此时s=3t 2+1. v=t tt t t t t t s t t s t s ∆+=∆∆+∆=∆-⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆36361131)1(3)()(222。
当Δt 趋于0时，v 趋近于6，所以v=6.因为t=3时,t≥3,所以此时s=2+3（t-3)2。
v=t t t t t t s t t s t s ∆∆=∆----∆++=∆-∆+=∆∆2223)33(32)33(32)()(=3Δt。
1.1导__数1．1.1函数的平均变化率[对应学生用书P2]山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0.问题2：Δy 的大小能否判断山坡陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．问题5：从A 到B ，从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．对平均变化率的理解(1)x 0，x 1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 1)－f (x 0)是相应Δx ＝x 1－x 0的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．(2)函数f (x )在点x 0处的平均变化率与自变量的增量Δx 有关，与x 0也有关．同一个函数，不同的x 0与不同的Δx 其平均变化率往往都是不同的．(3)平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．[对应学生用书P3][例1] 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率，并求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[思路点拨] 先求函数值的增量Δy ，再求ΔyΔx，然后代入已知数据求解．[精解详析] Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－(2x 20＋1)＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴函数f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为 Δy Δx ＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率为4×1＋2×12＝5.[一点通] 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.答案：C2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－2＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx .答案：C3．计算函数f (x )＝x 2在区间[1,1＋Δx ](Δx >0)的平均变化率，其中Δx 的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.并思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12 ＝Δx 2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 2＋2Δx Δx＝Δx ＋2. (1)当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝4；(2)当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝3；(3)当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝2.1；(4)当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.[例2] (12分)已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？[精解详析] 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx (2分)＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx分)当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73，(6分) 当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133，(8分) 当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，(10分)，∵－73>－133>－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大．(12分)[一点通](1)比较平均变化率大小的步骤：(2)函数的平均变化率的大小反映的是函数的图像在该点x 0附近的“陡峭”程度，其绝对值越大，则在该处附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快．4．求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－33Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．5．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率，说明婴儿体重的变化情况．解：第一年婴儿体重平均变化率为 11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)，第二年婴儿体重平均变化率为 14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．因此，婴儿第一年体重的平均变化率比第二年体重的平均变化率大．说明第一年婴儿的体重增加要快一些．1．用定义法求平均变化率的基本步骤： (1)作差，求出Δy ；(2)对Δy 进行有效变形，通常用到的变形是：通分、配方、分子(母)有理化、因式分解等；(3)作商，求Δy Δx.2．比较平均变化率大小，实际是比较实数大小的问题，只需先根据平均变化率的定义分别计算，再用比较两数大小的方法比较即可．1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0解析：根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 答案：D2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2Δx[对应课时跟踪训练(一)]C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2解析：2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1 ＝2＋2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx ， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx . 答案：C3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① 解析：根据平均变化率的定义计算知y ＝x 3的最大． 答案：B4．函数y ＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]的平均变化率为k 2，则( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：∵k 1＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx ，又由题意知Δx >0，故k 1>k 2. 答案：A5．已知函数y ＝f (x )＝1x ，则此函数在区间[1,1＋Δx ]的平均变化率为________．解析：ΔyΔx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx ＝－11＋Δx .答案：－11＋Δx6．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎫2，－12，B ⎝⎛⎭⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3， ∴Δy ＝⎝⎛⎭⎫13－1－⎝⎛⎭⎫12－1＝13－12＝－16. k AB ＝Δy Δx ＝－16. 答案：－167．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx ＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx，∴函数y ＝1x 在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率为 Δy Δx＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 8．试求余弦函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤π3，π2的平均变化率，并比较大小． 解：当自变量在0到π6之间变化时，函数的平均变化率为f ⎝⎛⎭⎫π6－f (0)π6－0＝cos π6－cos 0π6＝32－1π6＝3(3－2)π，当自变量在π3到π2之间变化时，函数的平均变化率为f ⎝⎛⎭⎫π2－f ⎝⎛⎭⎫π3π2－π3＝cos π2－cos π3π6＝0－12π6＝－3π，显然函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π6的平均变化率大．。
