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− (α + β ) z
(2) 并联的情况
X
L1
Y
L2
因为当且仅当都损坏时， 才停止工作， 因为当且仅当都损坏时，系统 L 才停止工作， 都损坏时 所以L的寿命 的寿命Z为 所以 的寿命 为 Z = max{X,Y}
Z的分布函数 的分布函数
FZ ( z ) = FX ( z ) FY ( z ) (1 − e −αz )(1 − e − βz ), z > 0, = 0, z ≤ 0.
解 (1) 串联的情况
X
L1
Y
L2
因为有一个损坏时，系统 L就停止工作， 就停止工作， 因为有一个损坏时， 有一个损坏时 就停止工作 所以 L的寿命为 Z = min{X ,Y }, 的寿命为
X , Y都服从指数分布，分布函数为
1 − e −αx , x > 0; 1 − e − βy , y > 0; FX ( x) = , FY ( y ) = 0, x ≤ 0, 0, y ≤ 0,
原公式
P131 例 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为
8xy, 0 < x <1,0 < y < x, f (x, y) = 其它 0,
求E(X), E(Y), V(X), V(Y). 解 E( X ) = ∫ ∫ xf (x, y)dxdy −∞ −∞ 1 x 4 = ∫ dx∫ x ⋅ 8xydy = 0 0 5
应用概率统计
主讲教师 叶宏 山东大学数学院
5.6 二维随机变量函数的分布
3. 布 设连续型随机变量X , Y 相互独立, 问题 X , Y的分布函数分别为 F (x), F (y), X Y M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y }, 求 M ,N 的分布函数.
设随机变量 X 的密度函数为
1 −|x| f (x) = e , − ∞ < x < +∞ 2
(1) E( X ), V( X )
(2) 求cov( X ,| X |), 问X 与| X |相关与否. (3) 问X 与| X | 是否独立？为什么？ 解 (1)
1 −|x| E( X ) = ∫ x e dx = 0 −∞ 2
1 x
V (Y) = E(Y ) − E (Y)
2 2
P126.1 1 设 X , Y 是两个相互独立且服从正态分布 N (0 , ) 2 的随机变量，则 E X − Y = ____ ， D X − Y = ____
法2 法1
Z =| X −Y |, E(Z) = ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
∫
g(x, y) f (x, y)dxdy ?
+∞ +∞
E(Y) = ∫−∞ ∫−∞ yf (x, y)dxdy
+∞ +∞
V( X ) = E( X ) − E ( X )
2 2
E( X ) = ∫
2
+∞ −∞
∫
+∞ −∞
x f (x, y)dxdy
2
2
2 = ∫ dx∫ x ⋅ 8xydy= 8xydy 0 0 3 2 2 2 V( X ) = E( X ) − E ( X ) = 75
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 的分布函数是
FN (z) = 1− [1− FX1 (z)] … [1− FXn (z)]
特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相 特别， 同分布函数F(x)时，有 同分布函数 时 FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n
注意 是连续型随机变量， 若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得 M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布 和 的分布 函数后，不难求得M和 的密度函数 的密度函数. 函数后，不难求得 和N的密度函数
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
cov( X,Y) ρXY = V ( X ) V(Y) D (5 X − 3Y ) = V (5 X ) + V (3Y ) − 2 cov(5 X ,3Y ) = 25V ( X ) + 9V (Y ) − 30 cov( X , Y )
P132
T = X −Y ∼ N(0,1), Z =| T |,
E(Z) = ∫ g(t) f (t)dt = ∫ | t | f (t)dt =
−∞ −∞ +∞ +∞
2
π
D(Z) = E(Z ) −[E(Z)] = E(T ) −
2 2 2
2
π
=1− .
2
π
5.8 协方差和相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量， 和方差，对于多维随机变量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的， 间关系的数字特征中，最重要的，就是现 在要讨论的 协方差和相关系数
2 2 2 2
而 D(U) = a2D( X ) + b2D(Y) = (a2 + b2 )σ 2
D(V ) = a D( X ) + b D(Y) = (a + b )σ
2 2 2 2
2
故
ρUV
a −b = 2 2 a +b
2 2
思考：还有其他方法吗？ 利用协方差的性质
cov(aX + bY, aX −bY) = a cov( X , X ) −b cov(Y,Y)
若 ( X ,Y ) ~ N ( µ1, σ12, µ2, σ22, ρ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关
2. 协方差和相关系数的性质
(1)
cov( X ,Y) = cov(Y, X )
(2) cov(aX , bY ) = ab cov( X ,Y ) (3) cov( X +Y, Z) = cov( X , Z) + cov(Y, Z)
1 −|x | V ( X ) = E( X ) = ∫ x e dx = 2 −∞ 2
2 2 +∞
+∞
1 −|x| (2) E( X | X |) = ∫ x | x | e dx = 0 −∞ 2
cov( X ,| X |) = E( X | X |) − E( X )E(| X |) = 0
=1−[1− FX (z)][1− F (z)]. Y
推广
个相互独立的随机变量, 设X1 ,…, Xn是n个相互独立的随机变量 个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为
FXi (x)
(i =0,1，…, n) ，
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为 的分布函数为: 的分布函数为
FM (z) = FX1 (z) … FXn (z)
FM (z) = P(m X,Y} ≤ z) ax{
= P( X ≤ z,Y ≤ z) = P( X ≤ z)P(Y ≤ z)
= FX (z)FY (z)
FN (z) = P(m X ,Y} ≤ z) in{
=1− P(m X ,Y} > z) in{
=1− P( X > z,Y > z)
=1− P( X > z)P(Y > z)
1. 协方差和相关系数的概念
定义
E([X − E(X )][Y − E(Y)])
称为 X ,Y 的协方差. 记为
cov( X,Y) = E([X − E(X )][Y − E(Y)])
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
cov( X,Y) D( X ) D(Y)
为X ,Y 的 相关系数，记为
教材P122.7
7. 设系统 L 是由 2个相互独立的子系统L1，L2 连接而成，并且 L1，L2 的寿命分别为 X , Y ， 它们的密度分别为 α e −αx x > 0 β e − βy y > 0 f X (x ) = , fY ( y ) = x≤0 y≤0 0 0 求 L 在串联和并联方式下寿命 Z 的密度函数．
ρXY =
cov( X,Y) D( X ) D(Y)
若 ρXY = 0, 称 X ,Y 不相关.
计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质， 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
X ,Y 相互独立
因为 ρXY
X , Y 不相关
X , Y 不相关
=0
cov( X ,Y) = 0
若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关
P131
8xy, 0 < x <1,0 < y < x, f (x, y) = 其它 0,
+∞ +∞
求cov(X,Y), V(5X- 3Y). 解 E( XY) = ∫ ∫ xyf (x, y)dxdy −∞ −∞
故Z 的分布函数
FZ ( z ) = 1 − (1 − FX ( z ))(1 − FY ( z )) 1 − e = 0,
− (α + β ) z
, z > 0, z ≤ 0,
, z > 0; z ≤ 0.
于是，得Z的密度函数 于是， 的密度函数
(α + β )e f Z ( z) = 0,
绝对收敛, 则
E(Z) = ∫−∞ ∫−∞ g(x, y) f (x, y)dxdy
