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多目标凸优化束方法子问题的对偶问题分析沈洁;田淼;张俊男;胡盼【摘要】多目标凸优化在众多领域中都有广泛应用,因此找到能够有效解决这一问题的方法尤为重要.利用改进函数将约束优化问题转化为无约束优化问题,借助惩罚思想构建近似模型,将相应子问题改写成二次规划子问题.最后通过求解其对偶问题,得到原子问题解的显式表达以及相关重要结论,这些结论对整个算法的收敛性分析起着重要作用.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】4页(P59-62)【关键词】多目标凸优化;束方法;次梯度;对偶问题【作者】沈洁;田淼;张俊男;胡盼【作者单位】辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029【正文语种】中文【中图分类】O221.2多目标优化问题是指有两个或者两个以上目标函数的优化问题，此类优化问题非常普遍并应用于诸多领域[1-3]，具有很大的科研价值和实际意义.故对此前人有很多研究结果[4-8].文献[4]介绍了一种非光滑非凸多目标函数优化问题的算法；文献[8]介绍了解决实际生活中存在的多目标优化问题的几种经典算法并对算法进行详细的分析；文献[9]提出了一种通过求解对偶问题解决原问题的方法，该方法可用于解决多种优化问题[10-12].基于以上研究工作，本文给出一种针对多目标凸优化问题的求解方法.重点研究了模型的构建和子问题解的显示表达.本文将文献[9]的方法推广至求解多目标凸优化问题，同时得到了关于次微分归属问题的重要结论.1 基础知识本文主要考虑非光滑多目标优化问题(1)其中S={x∈Rn|gj(x)≤0，j=1，…，m}，目标函数fi：Rn→R和约束函数gj：Rn→R都是凸函数.为方便研究，我们构造如下改进函数：H(x，y)=max{fi(x)-fi(y)，gj(x)|i=1，…，k，j=1，…，m}.(2)下面的定理揭示了改进函数与问题(1)最优解之间的关系：定理1[4] 如果x*∈Rn是(1)的全局弱帕累托解，那么假设xh是问题(1)在进行第h次迭代时获取的近似解，根据定理1，我们可以将问题(1)转化为下面的近似问题：(3)问题(3)仍然是非光滑问题，设yj∈Rn是通过过去迭代获取的附属点，并且我们可以获得次梯度及这些信息.我们将目标函数与约束函数在yj点进行线性化：和2 多目标凸优化束方法子问题的对偶问题对于问题(3)，我们定义目标函数的一个凸分片线性近似模型：由此，我们得到问题(3)的近似问题：(4)其中uh>0，添加二次项是用来保证问题(4)解的存在性和唯一性.引理1 令dh是问题(1)的唯一解，则其中是下述问题的解：(5)除此之外，以下三个结论成立：(ⅰ)(ⅱ)其中(ⅲ)证明将问题(4)改写成二次规划：(6)其中：问题(6)对应的拉格朗日函数为其中λ∈因为目标函数强凸，故问题(4)有唯一解.另外，等价问题(6)有仿射约束，因此存在最优乘子又由于对偶间隙为可以通过求问题(6)的对偶问题得到.该问题是关于v的无约束极小化问题.因为对偶问题的最优值有限，所以v的系数为0.由此得到λ依赖于单纯形因而dh和解决了原始问题以及对偶问题，即问题(6)等价于下述表达：其中考虑对偶问题，对于每一个固定的λ∈Δh，都有特别的，当时，因此得到其中下面证明是问题(5)的解.根据因为是的解，所以是问题(5)的解.为了证明结论(ⅰ)，首先写出问题(4)的最优性条件，即所以(ⅰ)得证.下面证明(ⅱ).因为对偶间隙为0，故问题(4)与有相同的解，即因而其中下面证明(ⅲ).根据模型的构造有由(ⅰ)可知所以根据以及结论(ⅱ)，我们可以得到由此可得(ⅲ)得证.3 结论本文借助改进函数将多目标约束优化问题转化为无约束优化问题，并利用惩罚思想给出其对偶子问题的解的显示表达，同时得到次梯度归属等相关结论.这对算法的收敛性分析起着重要作用.参考文献【相关文献】[1]武慧虹，钱淑渠，王海英.基于混沌克隆的混杂多目标免疫优化算法[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2014，35(1)：41-46.[2]潘浩，舒服华.基于改进布谷鸟算法的无线传感网络覆盖多目标优化[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2017，38(2)：125-129.[3]董萍，徐良德，刘明波，等.大电网多站点无功补偿协调控制的多目标混合优化方法[J].电工技术学报，2017，32(2)：271-280.[4]MKEL M M，KARMITSA N，WILPPU O.Proximal bundle method for nonsmooth and nonconvex multiobjective optimization[M].Switzerland：Springer International Publishing，2016.[5]MIETTINEN K.Nonlinear multiobjective optimization[M].Heidelberg：Kluwer Academic Publisheer，1999.[6]MUKAI H.Algorithms for multicriterion optimization[J].Ieee T Automat Contr，1978，25(2)：177-186.[7]MIETTINEN K，MKEL M M.Nimbus—Interactive method for nondifferentiable multiobjective optimization problems[J].Aiaa J，1996，37(7)：881-889.[8]肖晓伟，肖迪，林锦国，等.多目标优化问题的研究概述[J].计算机应用研究，2011，28(3)：805-808.[9]BONNANS J F，GILBERT J C，LE MARÉCHAL C，et al.Bundle methods.The quest for descent[M].Heidelberg：Springer，2006.[10]沈洁，曹天水，李娜，等.关于复合迫近束方法对偶问题的研究[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2013，34(4)：1-4.[11]沈洁，李轩，李娜.关于双稳定束方法对偶问题的研究[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2014，35(3)：64-67.[12]沈洁，刘晓倩，陈颖，等.非凸优化的近似束方法及对偶问题[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2016，33(1)：1-5.。
多目标半定规划的最优性条件及对偶理论李永玲;杨洋;罗洪林【摘要】在不变凸的假设下来讨论多目标半定规划的最优性条件、对偶理论以及非凸半定规划的最优性条件.首先给出了非凸半定规划的一个KKT条件成立的充分必要条件,并利用此定理证明了其最优性必要条件.其次讨论了多目标半定规划的最优性必要条件、充分条件,并对其建立Wolfe对偶模型,证明了弱对偶定理和强对偶定理.【期刊名称】《运筹学学报》【年(卷),期】2016(020)003【总页数】11页(P68-78)【关键词】非凸半定规划;多目标半定规划;KKT条件;不变凸【作者】李永玲;杨洋;罗洪林【作者单位】重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.6Chinese Library Classification O221.62010 Mathematics Subject Classification 90C22,90C29在本文中,我们用分别表示m维向量空间,n阶对称矩阵空间及n阶半定矩阵锥.如果我们用Z表示Ri(Sj或Ri×Sj),则用Z+表示或,其中i,j可以为任意的正整数.在此基础上可定义如下的偏序关系:考虑如下形式的多目标半定规划问题：其中F:Rm→Rl,g:Rm→Rk,G:Rm→Sn,记F(x)=(F1(x),F2(x),···,Fl(x))T,g(x)=(g1(x),g2(x),···,gk(x))T,且G(x)≤0当且仅当事实上若问题(0.1)中的目标函数F:Rm→Rl退化为单目标(即l=1)时,问题(0.1)可退化为一般的非凸半定规划问题：考虑如下形式的多目标半定规划问题：其中f:Rm→R,g:Rm→Rk,G:Rm→Sn．半定规划是数学规划的一个重要的分支,近年来,由于它在控制论、特征值优化、互补问题等众多方面的重要应用,半定规划的理论和算法得到了迅猛发展,对半定规划的研究受到了各学者的关注．无论是单目标还是多目标半定规划,最优性条件即在某种含义下,最优解(有效解、弱有效解等)存在的充分条件、必要条件、充分必要条件的研究是一个极为重要的方面．此外,对偶理论的研究一直是优化理论与方法研究中的基础和热点课题．文献[1]建立了广义Farkas引理,并在类凸(预不变凸)性的假设下利用此广义Farkas 引理证明了非凸半定规划问题的最优性必要条件以及充分必要条件．文献[2]则对一般的非线性半定规划问题的最优性条件进行了研究．在非线性半定规划一个局部最优解处满足约束品性的前提下,文献[2]中证明了以下条件是等价的:强二阶充分条件和约束非退化;KKT系统的Clarke’s~Jacobian非奇异;KKT点满足强正则性．事实上这也说明了局部最优解与KKT条件之间存在着密切的联系．因此,本文也将讨论最优性条件与KKT条件之间的关系．文献[3]以矩阵作为决策变量,在对称矩阵内积的基础上建立了含矩阵方程的择一性定理,利用此定理证明了多目标半定规划的最优性条件．文献[4-6]中研究的多目标半定规划是把式(0.1)中的“g(x)≤0”退化为等式约束,即“h(x)=0”．文献[4]利用择一性定理得到了多目标半定规划及其在弱有效解意义下的对偶理论,且利用鞍点的等价性定义,得到了鞍点最优性条件．文献[5]在较弱的凸性假设下,利用含矩阵和向量约束的择一性定理,建立了多目标半定规划问题的互补弱鞍点和G-鞍点充分必要条件．文献[6]中也是在较弱的凸性假设下,利用择一性定理,给出了多目标半定规划问题的弱对偶、强对偶以及逆对偶定理．事实上,文献[4-6]中研究的多目标半定规划是问题(0.1)的特殊情况,因此本文给出的部分结论比文[4-6]中的结论更一般．文[5,6]中的部分结论对于问题(0.1)也是成立的．在一般的含不等式约束或者等式约束的单(多)目标优化问题中,在对其最优性条件、对偶理论的研究中,KKT条件起着重要的作用[7,8],本文讨论了KKT条件与最优性条件之间的关系．文献[1]中在类凸的假设下讨论了非凸半定规划问题的一阶最优性条件,文献[5]中也是在较弱的凸性假设下讨论了多目标半定规划的对偶理论,而本文则考虑在另一种广义凸性--不变凸的假设下来讨论问题(0.1)的最优性条件、对偶理论以及问题(0.2)的最优性条件．文献[4,6]建立的是Lagrange对偶模型,本文则对问题(0.1)建立了Wolfe对偶模型．本文主要是在不变凸的假设下讨论问题(0.1)的最优性条件、对偶理论以及问题(0.2)的最优性条件．首先给出了问题(0.2)的一个KKT条件成立的充分必要条件,并利用此定理证明了问题(0.2)的最优性必要条件．我们还讨论了问题(0.1)的最优性必要条件、充分条件,并对其建立Wolfe对偶模型,给出了弱对偶定理和强对偶定理．在这一节,先介绍一些定义、性质与符号．在对称矩阵空间Sn中可定义内积为其中Tr表示矩阵的迹．基于此定义,我们可以定义其中为对称矩阵空间Sn中定义的内积．若A≥0,B≥0,则有A·B≥0．事实上,因为A≥0,B≥0,则存在n阶矩阵P,H使得A=PPT,B=HTH,所以有称G:Rm→Sn是可微的,若G(x)作为x∈Rm的多元函数是可微的,令其中为n×n偏导数矩阵,则称为G(x)对x的导数．我们用DG(x)表示G(·)在x的微分映射,即DG(x)为从Rm到Sn的线性映射,定义为且记定义1.1[7] 设非空集合X⊂Rm,表示集合X的闭包),d∈Rm,如果存在使得则说d 是X在点的切方向,X在点的所有切方向构成的集合称为X在点的切锥,记作定义1.2[7] 设非空集合X⊂Rm,且X≠{0},则称X+={y∈Rm:yTx≥0,∀x∈X}为集合X的正极锥．定义1.3[9] 设集合C⊂Rm,f:C→R可微,如果存在一个向量值函数η:Rm×Rm→Rm使得则称f是关于函数η的不变凸函数．类似于Rm→R上的不变凸函数的定义,我们可定义Rm→Sn上的不变凸函数,即定义1.4 设集合C⊂Rm,G:C→Sn可微,如果存在一个向量值函数η:Rm×Rm→Rm使得则称G是关于函数η的不变凸函数．定义1.5[10] 设(可行集),如果不存在x∈Ω,使得(或F(x)<则称为问题(0.1)的有效解(或弱有效解)．为了研究多目标半定规划问题(0.1)的最优性理论的需要,我们首先给出非凸半定规划问题(0.2)的一阶最优性条件．用Ω表示问题(0.1)的可行集,即显然Ω也是问题(0.2)的可行集．令则称为积极约束指标集．设f(x),g(x),G(x)可微,类似于一般的含等式与不等式约束的单目标优化问题,先给出如下形式的锥,则称为Ω在点关于的局部约束方向向量．称为f(x)点处的下降方向向量．为了证明非凸半定规划的最优性条件,首先给出文献[7]中两个定理如下：定理2.1[7](Farkas) 设A是m×n矩阵,b∈Rn,则线性方程组有解的充分必要条件是对任意满足uTA≥0的u∈Rn,必有uTb≥0．定理2.2[7] 设f(x)可微,若是规划问题的最优解,则我们把下面的式(2.1)称为非凸半定规划问题(0.2)的KKT条件,下列定理给出了KKT 条件成立的一个充分必要条件,并利用此定理证明了问题(0.2)的一个最优性必要条件(也可称为KKT必要条件)．定理2.3 设f(x),g(x),G(x)可微,的充分必要条件是存在,使得证明因为,所以因此=ø⇔对满足的每个z,有设,由Farkas定理知,对任意满足式(2.2)的z,式(2.3)成立⇔存在,使得当时,令当时,令令,则有式(2.1)成立,得证．定理2.4 设f(x),g(x),G(x)可微,为问题(0.2)的最优解,Ω满足=,则必存在,使得式(2.1)成立．证明由定理2.2和知所以对任意都有,这说明,再由定理2.3即可得证．例2.1 考虑下面的非凸半定规划问题因为存在正交矩阵使得则G(x)≤0等价于x1+2x2−4≤0,−x1≤0,所以易知例2.1的可行域如图1中的阴影部分,且从图1中可得(2,1)T为其最优解．存在使得积极约束指标集,可得现证明为KKT点,由,得,因此要满足KKT条件,只需证明存在(其中)使得可得,故存在,使得在最优解处满足KKT条件．这一节我们主要对多目标半定规划问题(0.1)的最优性条件以及对偶理论进行研究．设,现对问题(0.1)引入如下的单目标规划问题其中我们把下面的式(3.1)称为多目标半定规划问题(0.1)的KKT条件,下列定理证明了问题(0.1)的最优性必要条件和充分条件(也可称为KKT必要条件和KKT充分条件).定理3.1 设F(x),g(x),G(x)在处可微,Ω′满足,若是问题(0.1)的有效解,则存在使得证明的Lagrange函数为则因为是问题(0.1)的有效解,所以不存在x∈Ω,使得F(x)≤F(x),下证是的最优解.假设不是的最优解,则存在x0∈Ω′使得因为x0∈Ω′,则x0∈Ω且而不成立,则有与矛盾,故是的最优解．因为是的最优解,,由定理2.4知存在(λ′,μ′,U′)∈Rl×Rk×Sn使得令(其中e=(1,···,1)T∈Rl),则由式(3.2)知式(3.1)成立,得证．设现对问题(0.1)引入如下的单目标规划问题其中定理3.2[7] 对每个给定的则相应于的最优解必是问题(0.1)的弱有效解(或有效解)．定理3.3 设是关于相同的η:Rm×Rm→Rm的不变凸函数,如果存在使得则必是问题(0.1)的弱有效解(或有效解)．证明因为则所以不妨设又因为是关于相同的η的不变凸函数,且式(3.3)成立．当时,由知从而于是由式(3.3)及不变凸性的定义可得因此是的最优解,由定理3.2得是问题(0.1)的弱有效解(或有效解),得证．现对多目标半定规划问题(0.1)建立Wolfe对偶,如下:其中e=(1,1,···,1)T∈Rl.对每个给定的λ,对偶问题(3.4)相应于λ的可行集为Wλ={(y,μ,U):▽F(y)Tλ+▽g(y)Tμ+U·DG(y)=0,(λ,μ,U)≥0,λTe=1},则对偶问题(3.4)的可行集为下面建立弱对偶和强对偶定理．定理3.4(弱对偶) 设任意λ∈Λ+,Fi(i=1,···,l),gj(j=1,···,k),G是关于相同的η:Rm×Rm→ Rm的不变凸函数,则任意x∈Ω,(y,μ,U)∈Wλ都有λTF(x)≥λTω(y,μ,U).证明因为Fi(i=1,···,l),gj(j=1,···,k),G是关于相同的η的不变凸函数, (λ,μ,U)≥0,则λTF(x),μTg(x),U·G(x)也是关于相同的η的不变凸函数,则有又因为▽F(y)Tλ+▽g(y)Tμ+U·DG(y)=0,由式(3.5)得即由λTe=1可得所以λTF(x)≥λTω(y,μ,U),得证．定理3.5(强对偶) 设F(x),g(x),G(x)在处可微,是问题(0.1)的有效解,且的约束集合Ω′满足则存在使得是对偶问题(3.4)相应于的有效解,且证明因为是问题(0.1)的有效解,,由定理3.1知存在,使得式(3.1)成立,则现对对偶问题(3.4)作相应于的如下单目标规划问题：则为的可行解,下证为的最优解．假设不是的最优解,则存在使得因为为的可行解,则,即由式(3.6)知式(3.7)中至少有一个严格不等式成立,又因为,所以有即与定理3.4矛盾,因此是的最优解．下证是对偶问题(3.4)相应于的有效解．假设不是对偶问题(3.4)相应于的有效解,则存在使得,因此ω0是的可行解且与是的最优解矛盾,故是对偶问题(3.4)相应于的有效解．因为则得证．【相关文献】[1]李成进,孙文瑜．非凸半定规划的广义Farkas引理及最优性条件[J]．高等学校计算数学学报,2008, 30:184-192．[2]Sun D．The strong second-order sufficient condition and constraint nondegeneracy in nonlinear semidefinite programming and their implications[J]．Mathematics of Operations Research, 2006,31:761-776．[3]邹彬,王晓敏．多目标半定规划的最优性条件[J]．贵州大学学报,2004,21：225-232．[4]李超,王晓敏．多目标半定规划的Lagrange对偶与鞍点定理[J]．上海交通大学学报,2005,39：1733-1736．[5]Wang X,Li C．Complementary weak saddle point and G-saddle point theorem for multiobjective semidefinite programming[J]．Journal of Operational Research,2005,9:75-81．[6]王晓敏.多目标半定规划的 Lagrange函数和Lagrange对偶 [C]//中国运筹学会学术交流会.香港：Global-Link出版社,2004,418-425.[7]林锉云,董加礼．多目标优化的方法与理论[M]．吉林：吉林教育出版社,1992．[8]Bazaraa M S,Sherali H D,Shetty C M．Nonlinear Programming:Theory and Algorithms [M]．New Jersey:John Wiley&Sons,2006．[9]Weir T,Jeyakumar V．A class of nonconvex functions and mathematical programming[J]．Bulletin of the Australian Mathematical Society,1988,38:177-189．[10]Sawaragi Y,Nakayam H,Tanino T．Theory of Multiobjective Optimization[M]．New York: Academic Press,1985．。
多目标优化问题的同伦内点解法曹梅;赵雪【摘要】利用组合同伦内点方法对多目标规划问题进行了研究.在给定的假设条件下,通过构造同伦方程证明了从几乎所有的初始内点出发并达到(MOP)KKT系统解的光滑路径的存在性和收敛性.%Using a combined homotopy interior-point method, a general multiobjective programming problem is studied. Under some assumptions, it is proved by a constructed homotopy equation that the existence and convergence of a smooth homotopy path from almost any initial interior point to a solution of the KKT system of (MOP).【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(035)006【总页数】3页(P605-607)【关键词】多目标规划;同伦内点方法;KKT点【作者】曹梅;赵雪【作者单位】北华大学计算机学院,吉林吉林132011;北华大学数学学院,吉林吉林132013【正文语种】中文【中图分类】O221.20 引言考虑以下多目标规划问题:其中和都是2次连续可微的函数. 令同伦方法是20世纪70年代开始发展起来的,用于求解数学问题的一种重要的大范围收敛方法.自从文献[1-2]发表后, 作为一个全局收敛方法——同伦方法, 引起了广泛关注, 并且成为了数值解决互补问题的重要工具[3-5]. 1997年, Lin等[6]提出了一个新的内点组合同伦方法(CHIP方法). Lin等[7]随后拓广了CHIP方法, 应用到有不等式约束的凸多目标规划问题[8].1 主要引理定义1[9] 称一个点x∈Ω为多目标规划问题(MOP)的有效解, 如果不存在y∈Ω使得f( y)≤f( x)成立.引理1 令V⊂Rn 和U⊂Rm是开集, 且ϕ:V× U→Rk 是一个Ca映射, 其中a＞max{0,m−k}, 如果0∈Rk是ϕ的一个正则值, 则对于几乎所有的a∈V, 0是ϕa=ϕ(a,·)的一个正则值.引理 2 令ϕ:U ⊂Rn→Rp是Ca(a＞max{0,n −p})映射, 如果0是ϕ的一个正则值, 则ϕ−1(0)是由一些(n−p)-维Ca流形构成的.引理3 一个1维光滑流形同胚于一个单位圆或一个单位区间.本文的基本条件:(A1)Ω是非空有界的连通集合;(A2)∀x∈∂Ω, MF约束品性成立;2 主要结论构造和KKT系统直接相联系的组合同伦方程为当t=1时, 易得λi＞0,i=1,2,…,p, 并且存在唯一解ω=ω0=(x0,λ0,u0), x=x0,U×g(x)=U0× g(x0), ln(1/λ)=ln(1/λ0).由同伦方程(1)得如果假设则由于tk→t*∈[0,1], λk＞0, 则当k→∞时, (2)式的左边的第2部分趋于无穷, 而其它两部分是有界的,矛盾. 从而λ的分量是有界的.定理1 假设Ω≠∅, 令条件(A2)成立, 则对几乎所有的初始点, 0是的正则值,并且(0)包含一些光滑曲线, 其中起始于(ω0,1)的一条曲线, 记为Γω0.证∀(ω, ω0,t)∈H−1(0),由条件(A2)和x, x0∈Ω,t ∈(0,1]得所以0是H和∂H的正则值. 由引理2知, 对几乎所有的ω0, 0是的正则值. 又由引理2知, (0)包含一些光滑曲线. 由于H(ω0,ω0,1)=0, 则必有一条起始于(ω0,1)的光滑曲线, 记为.定理 2 假设条件(A1)～(A3)成立, 则对几乎所有的初始点ω0∈Ω×Λ++×, 如果0是的正则值, 则是有界曲线.证假设Γω0是无界曲线, 由Ω和λ的有界性知,存在一个序列{(ωk,tk )}⊂Γω0, 使得, 当k→∞时,当k→∞时, 由假设条件(A2), 上式变成再由条件(A3)知x*=x0, 矛盾.由于是有界的, t*∈[0,1), 从而上式左边第3项当k→∞时趋于无穷, 而其它部分是有界的, 矛盾.所以, Γω0是非空有界的曲线.定理 3 令假设条件(A1)～(A3)成立, 则对几乎所有的ω0∈Ω×Λ++×, (0)包含一条起始于(ω0,1)的光滑曲线当t→0时,的极限集非空, 并且T内的每个点都是方程(1)KKT系统的解.证因为非奇异. 所以起始于(ω0,1)的光滑曲线Γω0微分同胚于[0,1].令是Γω0的极限点, 有以下3种可能的情形:因为H(ω, ω0,1)=0只有唯一解ω=ω0, 所以情形(i)是不可能出现的.对于情形(ii), 首先证明假设则存在序列使得对某些j0有考虑第j0个方程当k→∞时, 有ln(1/)→∞. 但λi是有界的,并且t*∈(0,1), 矛盾. 所以然后验证如果存在某个j∈I, 使得0则存在序列使得又由于gj0(xk)有界, 则但是, 因为矛盾. 从而最后, 如果存在序列使得对于某些j, 有则但是矛盾.从而只有情形(iii)成立, 即并且是KKT系统的解.3 参考文献【相关文献】[1] Kellogg R B, Li T Y, Yorke J A. A constructive proof the Brouwer fixed-point theorem and computational results [J]. SIAM J Numer Analysis, 1976, 13(4): 473-483.[2] Chow S N, Mallet-Paret J, York J A. Finding zero of maps: Homotopy methods that are constructive with probability one [J]. Math Comput, 1978, 32(143): 887-899.[3] Gowda M S. On the extended linear complementarity problem [J]. Mathematical Programming, 1996, 72(1): 33 -50.[4] Facchinei F, Pang Jongshi. Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems [M]. New York: Springer, 2003.[5] Zhao Xue, Zhang Shugong, Liu Qinghuai. A combined homotopy interior point method for the linear complementarity problem [J]. Journal of Information and Computational Science, 2010, 7(7): 1589-1594.[6] Lin Zhenghua, Yu bo, Feng Guochen. A combined homotopy interior point method for convex nonlinear programming [J]. Applied Mathematics and Computation, 1997, 84(2/3): 193-211.[7] Lin Zhenghua, Zhu Daoli, Sheng Zhongping. Finding a minimal efficient solution of a convex multiobjective program [J]. J Optim Theory Appl, 2003, 118(3): 587- 600.[8] 龙宪军, 黄应全. 不可微多目标规划问题的最优性条件和对偶 [J]. 重庆师范大学学报: 自然科学版, 2010, 27(3): 9-13.[9] 张筑生. 微分拓扑新讲 [M]. 北京: 北京大学出版社, 2002.。
