苏教版(文科数学) 函数的奇偶性与周期性 单元测试

专题7 函数的奇偶性和周期性专题知识梳理1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2．奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__．(5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__．3．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注1：函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注2：函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．考点探究考向1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ＜0）－x 2＋x （x ＞0）； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2．题组训练1.下列函数中为偶函数的是________．①y ＝1x②y ＝lg|x | ③y ＝(x －1)2 ④y ＝2x2.下面的定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________．3.（易错题）试判断函数()f x =的奇偶性．考向2 函数奇偶性与单调性的综合应用【例1】（1）若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=______．（2）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x−1)>0,则x的取值范围是______．【例2】(1) 设函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)为奇函数，求实数a的值；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．题组训练1.设函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,则a=______ ．2.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(−1)=______．3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(−∞,0)上单调递增,若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2),则a 的取值范围是______．4.若函数f(x)={x(x −b),x ≥0ax(x +2),x <0(a,b ∈R)为奇函数,则a +b 的值为______．5.设f(x)=log 21−ax x−1−x 为奇函数,a 为常数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在x ∈(1,+∞)时的单调性；(3)若对于区间[2,3]上的每一个x 值,不等式f(x)>2x +m 恒成立,求实数m 取值范围．考向3 函数的奇偶性与周期性的综合应用【例1】定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝3x9x ＋1．求f(x)在[－2，2]上的解析式．【例2】（2019·江苏卷）设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x ∈(0,2]时，f(x)=√1−(x −1)2，g(x)={k(x +2),0<x ≤1,−12,1<x ≤2,其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______．题组训练1.若f(x)是周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f(x)=x 2−8x +30,则f(√10)=______．2.奇函数f(x)的周期为4,且x ∈[0,2],f(x)=2x −x 2,则f(2018)+f(2019)+f(2020)的值为________．3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．4.（拔高题）设函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：① f (x 1-x 2)=1221()()1()()f x f x f x f x +- (x 1≠x 2)；② 存在正常数a ，使得f (a )=1． 求证：（1） f （x ）是奇函数；（2） f （x ）是周期为4a 的周期函数．。

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数， 则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

《函数的奇偶性与周期性》达标检测[A 组]—应知应会1．（2020春•延庆区期末）在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为( ) A ．3y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．x y e =2．（2019•上海）已知R ω∈，函数2()(6)sin()f x x x ω=-，存在常数a R ∈，使()f x a +为偶函数，则ω的值可能为( ) A ．2πB ．3π C ．4π D ．5π 3．（2020春•渭滨区期末）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()321f x x x =+-，则当0x <时，()(f x =)A ．2321x x ---B ．2321x x -++C ．2321x x +-D ．2321x x --4．（2019秋•天津期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若对动于任意的x R ∈，(2)()f x f x -，则实数a 的取值范围为( )A ．11[,]66-B ．[C ．11[,]33-D ．[ 5．（2020•泰安一模）已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2x ∈-，2)时，1()()43x f x x =--，则33(log 6)(log 54)(f f -+= )A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 6．（2020•新课标Ⅱ）设函数()|21||21|f x ln x ln x =+--，则()(f x ) A ．是偶函数，且在1(2，)+∞单调递增B ．是奇函数，且在1(2-，1)2单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减7．（2020春•海淀区校级期末）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件：①对任意的1x ，2[4x ∈，8]，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-；②x R ∀∈，都有(8)()f x f x +=．若(7)a f =-，(11)b f =，(2020)c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<8．（2020•山西模拟）已知函数224,0,()4,0x x x g x x x x ⎧+=⎨-<⎩，()()f x xg x =，若(2)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(1,)3-B ．2(2,)3-C ．2(,)3-∞D ．2(,)3+∞9．（2019•烟台二模）已知函数()y f x =的定义域为R ，(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<，满足2121()()0f x f x x x -<-，若f （3）1=，则不等式2(log )1f x <的解集为( )A ．1(2，8)B ．(1,8)C ．(0，1)(82⋃，)+∞D ．(-∞，1)(8⋃，)+∞10．（多选）（2020•山东模拟）设()y f x =是定义在R 上的偶函数，满足(1)()f x f x +=-，且在[1-，0]上是增函数，给出下列关于函数()y f x =的判断正确的是( ) A ．()y f x =是周期为2的函数 B ．()y f x =的图象关于直线1x =对称C ．()y f x =在[0，1]上是增函数D ．1()02f =．11．（2020•江苏）已知()y f x =是奇函数，当0x 时，23()f x x =，则(8)f -的值是 ．12．（2019秋•密云区期末）若函数21()2x x k f x k-=+为奇函数，则k = ．13．（2020春•新华区校级期中）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()2f x x x =+，若2(2)f a f -<（a ），则实数a 的取值范围是 ．14．（2019秋•上城区校级期末）设函数()f x 是以2为最小正周期的周期函数，且[0x ∈，2]时，2()(1)f x x =-，则7()2f = ．15．（2020春•海淀区校级期末）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(-∞，0]上是增函数，若f （a ）f（3），则实数a 的取值范围是 ．16．（2020•江苏四模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()5f x x x =-，则不等式(2)()f x f x ->的解集为 ．17．（2020•青岛模拟）已知定义在(,)-∞+∞的偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，1(1)2f -=-，若1(21)2f x --，则x 取值范围 ．18．（2020•南昌三模）已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，4(log 25)p f =，则m ，n ，p 的大小关系是 ．19．（2020春•贵池区校级期中）已知函数()x xmf x e e =-是定义在R 上的奇函数（其中e 是自然对数的底数）． （1）求实数m 的值；（2）若2(1)(2)0f a f a -+，求实数a 的取值范围．20．（2019秋•石家庄期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2()log f x x =． （1）求当0x <时函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->．21．（2020•浙江学业考试）设a ，b R ∈，函数2()3f x ax bx =+-，()||g x x a =-，x R ∈． （Ⅰ）若()f x 为偶函数，求b 的值；（Ⅱ）当12b =-时，若()f x ，()g x 在[1，)+∞上均单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）设[1a ∈，3]，若对任意[1x ∈，3]，都有()()0f x g x +，求26a b +的最大值．[B 组]—强基必备1．（2020•徐州模拟）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=．且当01x 时，3()log ()f x a x =-．若对于任意[1x ∈-，0]，都有231()1log 53f x tx ---，则实数t 的取值范围为 ．2．（2020春•海淀区校级期中）若3()log 3m x f x x -=+，设其定义域上的区间[α，](0)ββα>>． （1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当1m >时，判断函数在区间[α，](0)ββα>>上的单调性，并证明；（3）当01m <<时，若存在区间[α，](0)ββα>>，使函数()f x 在该区间上的值域为[log (1)m m β-，log (1)]m m α-，求实数m 的取值范围．。

函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。

高考总复习数学文科第二篇函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性[最新考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.(√)(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×)2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在R上是周期函数．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．两个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x ＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)．。

课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．(2018·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A ．f (2)＞f (3) B ．f (2)＞f (5) C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，从而f (3)＞f (6)．]5．(2018·深圳模拟)已知f (x )＝4－x 2，g (x )＝|x －2|，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数 B ．h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数 C ．h (x )＝g x ·f x2－x 是偶函数D ．h (x )＝f x2－g x是奇函数D [A.h (x )＝f (x )＋g (x )＝4－x 2＋|x －2|＝4－x 2＋2－x ，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2＋2＋x ≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B ．h (x )＝f (x )·g (x )＝4－x 2|x －2|＝4－x 2(2－x )，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2(2＋x )≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数． C ．h (x )＝g x ·f x 2－x＝4－x 2，x ∈[－2,2)，不关于原点对称，是非奇非偶函数．D ．h (x )＝f x 2－g x ＝4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．故选D.]二、填空题6．(2018·成都模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.]7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝x ＋2x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.【导学号：00090023】－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________． 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x2－－x ＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－fx ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：00090024】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1，x ≥0g x ，x ＜0，则g (－8)＝( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3A [当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 3(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )，即g (x )＝－log 3(1－x )，x ＜0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.故选A.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增加的， 要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。

函数的奇偶性与周期性试卷14.定义在R 上的偶函数/(%)满足：对任意的X 1?X 2G ［0,+OO )3 H X 2) 必少如＜0.则x 2 一兀1A. /⑶ 5—2)5)h(x) = ,则“ f(x) , g(x)均为偶函数”是“加兀)为偶函数”的 A.充要条件 B.充分而不必要的条件 G 必要而不充分的条件 D ・既不充分也不必要的条件4 .奇函数f(0在区间［3, 7］上递增，且最小值为5,那么在区间［ — 7, —3］上是()A. 增函数且最小值为一5B. 增函数H.最大值为一5C. 减函数J1最小值为一5D. 减函数且最大值为一55 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数乂是减函数的是( )A. y = e xB. y = sin xC. y = -x 3D. y = log, x6 .已知/(兀)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数都有f (a • b) = qf (b) + b 、f (a),贝ij()A.于(兀)是奇函数，但不是偶函数B. /(x)是偶函数，但不是奇函数C. /(兀)既是奇函数，又是偶函数D. /(兀)既非奇函数，又非偶函数姓名 _____一、选择题(51分)班级 学号 分数.已知函数/(%) =-x 2 +x(x > 0) 兀2+兀(兀5 0)，则的奇偶性依次为 A.偶函数，奇函数 C.偶函数，偶函数B. D. 奇函数，偶函数 奇函数，奇函数 C. /(-2) </(!)</(3) D. /(3) < /(I) < /(-2)/(x), g(%)是定义在R 上的函数,7.如果奇函数/⑴在区间［3,7］上是增函数且最大值为5,那么于⑴在区间［-7,-3］上是( )A.增函数且最小值是-5B.增函数且最犬值是-58 .已知函数/(x) = (m - l)x 2 + (m - 2)x + (m 2 - Im +12)为偶函数,那么m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 49 .已知函数f(Q 是定义域为/?的偶函数，且/(兀+ 1)= 丄，若/(町在［-1,0］上是减函数，那么/")在［2,3］上是15. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，它在［0,+oo)上为增函数11/(-) > 0,则不等式/(呃x)>03 -的解集为 A. (0?—) C.(㊁,l)u(2,+oo)16. 已知函数y = f(x)是定义在［a,b ］ ±的增函数，其中tz,/?eR,j=L0 </?<-«.设函数10. A.增苗数 B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数已知定义域为 的函数代Y )在(&+OO )上为减函数，.R 尸£(对8)函数为偶函数，则B. r(6)>A9)C. A7)>r(9) 11. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)二log 2(l-x),x<0 f(x -1) - / (x - 2), x > 0，则A2010)的值为 12.A. -1 1 函数g 讦A.是偶函数,在区间(-8,0)上单调递增C.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增 B. 0C. B.D. D. 2是偶函数，在区间(-8,0)上单调递减是奇函数,在区间(0,+ 8)上单调递减 函数/(兀八/(x + 2)均为偶函数, 且当兀丘［0 , 2］时,f(x)是减函数,14. « = /(log s = c = /(—5),则 °、b 、C 的大小是A. a> b> cC. b> a> cD. c> a> b设/(兀)是R 上的奇函数，当x e [-1,0)时,/(x) = x, ja/(x +2)= -/(%),那么</a )< Xi12丿<f ~ < /(l)</(!)</ 4了3、(D) f - <f - < /(l)B. (2, +8) D. (0,—) u (2,+oo)F(X)=[/(X)]2-[/(-X)]2,KF(X)不恒等于0,则对于F(x)有如下说法:①定义域为［-伏刃②是奇函数③最小值为0 ④在定义域内单调递增其屮正确说法的个数有17.下列函数中，既是偶函数乂在(0,+oo)上单调递增的是( )3 1 】A. y = xB. y = cosxC. y = —D・y = In xx二、填空题(27分)18.设fd)是定义在R上的偶函数，且Hl+劝二A1 - x)，当一1W/W0时，f(x) =—* 兀,贝厅(86) = ______ .19.己知函数/(x) = 5znx4-c^(x + r)为偶函数,且r满足不等式r2-3r-40<0,则/的值为____________ •20.已知f (劝是泄义在实数集斤上的函数，且满足/(兀+ 2) = -——，/(1)=--,则于'/(x) 8 (2007)= __________2(7-321.设函数于(对是定义在R上以3为周期的奇函数，若/(1)>1,兀2)= —,则a的Q + 1 取值范围是______ .22.已知定义在R上的偶函数/⑴满足f(x + 2) = -^—对丁nw/?恒成立，且/(x)>0 ,/W则/(1)= ___________ 、/(H9)= ____________ •23.已知偶函数y = f(x),当x>0时，/(x) = (x-l)2,若当"［-2,-丄］时，不等式nW/⑴W2m恒成立，则m・n的最小值是 _______ .24.在直角坐标系内，已知点A (2, 3),则点A关于y轴対称的点的坐标是_________ ，点A关于x轴对称的点的坐标是______ ，点A关于直线y =兀对称的点的坐标是_______ ,点A关于直线y = -x对称的点的坐标是_________ ，点A关于原点对称的点的坐标是______ ，点A关于点(a,b)对称的点的坐标是________ ，点A关于克线兀=3对称的点的处标是______ .25.如果函数y = /(%),对于任意的xeR，恒有/(2 + x)=/(2-x),则函数.f(x)图像的对称轴是________ ,将其图像向_______ 平移____ 个单位，即得偶函数的图像. 26.若［幻表示不超过x的最大整数,如［e］二2, ［—2. 27］二一3,则函数f 3二x—［幻对于下列命题：①函数产f (力的泄义域为R,值域为［0, 1］②函数产f (0为偶函数③函数尸f(Q在斤上是增函数④函数尸f(Q是周期函数⑤方程f(Q 专有无数解•其小正确命题的序号为____________________________ ・三、解答题(22分)27.对于圧Z,用厶表示区间(2&T, 2&+1］。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性、周期性）填空题错误！未指定书签。

．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）函数ln ,(0,)y x x x =-∈+∞的单调递减区间为________.【答案】(0,1)错误！未指定书签。

．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数,则m 的取值范围是____________.【答案】410≤≤m错误！未指定书签。

．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）函数))(1()(a x x x f +-=为奇函数,则)(x f 的减区间为______________.【答案】11[,]22- 错误！未指定书签。

．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ,都有2]1)([=-xx f f , 则)51(f 的值是____________. 【答案】6错误！未指定书签。

．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）函数xx y +-=11的单调递减区间为__________________.【答案】),1(),1,(+∞---∞错误！未指定书签。

．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）已知函数f (x )=⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是_______. 【答案】[12,1)错误！未指定书签。

．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））函数2()||f x x x t =+-在区间[-1,2]上最大值为4,则实数t=____________________.【答案】2或154错误！未指定书签。

．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））给定函数①1y x -=,②121(1),y og x =+③|1|,y x =-④12,x y +=其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号为______________________________.【答案】①②③ 错误！未指定书签。