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《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
设有k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:N k ≤（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（4）恰有k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；k m ≤（2）某指定的一个盒子恰有m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例2（分房模型）例7两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1 到达码头的时刻为x，0 ≤x < 24船2 到达码头的时刻为y，0 ≤y < 24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头设Ω是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件A 的概率，这种赋值满足下面的三个条件：非负性：0)(,≥⊂∀A P A Ω 规范性：1)(=ΩP ∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P U 可列可加性：L ,,21A A 其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.三、概率的公理化定义6、加法公式：对任意两个事件A, B, 有)()()()(ABPBPAPBAP−+=∪)()()(BPAPBAP+≤∪推广：) ()()() ()( )()()(ABC PBCP ACPAB PCP BPAPCBAP+−−−+ +=∪∪)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i nj i j i ni i ni i A A A P A A A P A A P A P A P L L U −≤<<≤≤<≤==−++++−=∑∑∑一般：右端共有项.12−n例9 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？2.07.0×若是的话, 则应有)()()(2121A P A P A A P =而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.21,A A例10设A , B 满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()()(B A P B P A P AB P ∪−+=3.01)()(=−+≥B P A P 1)(=∪B A P 最小值在时取得6.0)()(=≤A P AB P ——最小值——最大值)()(B P B A P =∪最大值在时取得。
概率的基本概念1 概率是什么概率是表⽰某种情况（事件）出现的可能性⼤⼩的⼀种数量指标，它介于0与1之间。
1.1 主观概率凭着经验和知识对事件发⽣的可能性作出的⼀种主观估计，主观概率可以理解为⼀种⼼态或倾向性。
这⾥的某种事件后⾯即定义为随机事件，所谓“随机事件”，即它的结果具有偶然性。
1.2 古典概率的定义假定某个试验有有限个可能的结果e1,e2,…,e N。
假定从该试验的条件及实施⽅法去分析，我们找不到任何理由认为其中某⼀结果，例如e i，⽐任⼀其他结果，例如e j，更具有优势（即更倾向于易发⽣），则我们只好认为，所有结果e1,e2,…,e N在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会。
常常把这样的试验结果称为“等可能的”。
设⼀个试验有N个等可能的结果，⽽事件E恰包含中的M个结果，则事件E的概率，记为P(E)，定义为：P(E)=M/N上⾯的古典定义它只能⽤于全部试验结果为有限个，且等可能性成⽴的情况，某些情况下，这个概念可以引申到试验结果有⽆限多的情况。
古典概率的核⼼实际上就是"数数"，⾸先数样本空间中基本事件的个数N，再数事件A包含的基本事件个数M1.3 ⼏何概率甲、⼄⼆⼈约定1点到2点之间在某处碰头，约定先到者等候10分钟即离去。
设想甲、⼄⼆⼈各⾃随意地在1-2点之间选⼀个时刻到达该处，问“甲⼄⼆⼈能碰上”这事件E的概率是多少？如果我们以⼀个坐标系来代表所有事件发⽣的平⾯，则x轴代表甲出发的时刻，y轴代表⼄出发的时刻，如果甲⼄能碰上则必须满⾜：|x−y|<10可以计算在坐标轴平⾯上，满⾜上⾯不等式的区域的⾯积。
⼏何概率的基本思想是把事件与⼏何区域对应，利⽤⼏何区域的度量来计算事件发⽣的概率。
1.4 概率的频率定义⽅法1）与考察事件A有关的随机现像可⼤量重复进⾏2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，⼜称n(A)为事件A的频数。
称f n(A)=n(A)n为事件A出现的频率。
3.古典概型（通用）-人教B版必修三教案一、教学目标1.了解古典概型的定义和基本性质。
2.熟练掌握事件的概念和互斥事件、独立事件的概念。
3.能够应用古典概型的方法计算事件的概率。
二、教学内容1. 古典概型的定义和基本性质1.1 古典概型的定义古典概型指的是在同等条件下，每个基本事件发生的概率相等的概率模型。
通常用基本事件的总数和每个基本事件发生的概率来描述。
1.2 古典概型的基本性质•古典概型的基本事件满足互异性和等可能性。
•事件是基本事件的子集，事件发生的概率是包含这些基本事件的概率之和。
•所有基本事件的概率之和等于1。
2. 事件的概率2.1 事件的概率概率是指某件事发生的可能性大小或发生的频率。
事件的概率用P(A)表示，其中A是一个事件。
2.2 互斥事件的概率互斥事件指的是两个事件不能同时发生的事件。
如果事件A和事件B是互斥事件，那么P(A或B) = P(A) + P(B)。
2.3 独立事件的概率独立事件指的是两个事件之间没有相互影响的事件。
如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A且B) = P(A) × P(B)。
3. 应用古典概型计算事件的概率3.1 应用古典概型计算事件的概率古典概型的计算方法是统计基本事件数目和每个基本事件发生的概率。
如果事件A包括n个基本事件，那么P(A) = n(A) / n。
3.2 理解概率的意义概率是事件发生的可能性大小，是用0到1之间的数值表示的。
概率越大，事件发生的可能性就越大。
三、教学方法本学习周期我们采用讲授教学法、课堂练习和小组合作学习法。
1.讲授教学法：通过理论课教学，让学生全面了解古典概型的定义、基本性质和具体应用方法。
2.课堂练习：在理论教学后，引导学生进行一些应用练习，巩固古典概型的理论知识。
3.小组合作学习法：组织学生分组，进行小组合作学习。
每个小组选择一个合适的实际问题，运用所学的知识，进行实际计算。
四、教学流程教学环节教师活动学生活动复习导入提问引导回答问题理论教学讲解理论记笔记知识点讲解详细讲解听讲理解课堂练习出题目回答问题实例分析分析实例讨论解决方法小组讨论和报告组织小组工作分享成果五、教学评估教学评估是指对教学过程进行评价和反馈，以判断教学效果和改进教学方法。
