最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》同步测控

人教A 版高中数学必修一第一章 《1.3函数的基本性质》练习题11.3.1函数的单调性[基础练习]1．判断1)(2-=xx f 在（0，+∞）上是增函数还是减函数 2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，0）上是增函数还是减函数3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）（A ）y=x1 （B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x 4． 函数y=x1-1的单调 递 区间为 5．证明函数 f （x ）=-2x +x 在（21，+∞）上为减函数[巩固练习]1．已知f （x ）=（2k+1）x+1在（-∞，+∞）上是减函数，则（ ）（A ）k ＞21 （B ）k ＜21 （C ）k ＞-21 （D k ＜-21 2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ） （A ）y=2x+1 （B ）y=32x +1 （C ）y=x 2 （D ） y=32x +x +1 3．若函数f （x ）=2x +2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上为增函数，则实数a 的取值范围是 （ ）（A ） a ≤ -3 （B ）a ≥-3 （C ）a ≤ 3 （D ）a ≥34．如果函数f （x ）是实数集R 上的增函数，a 是实数，则 （ ）（A ）f （2a ）＞f （a+1） （B ）f （a ）＜ f （3a ）（C ）f （2a +a ）＞f （2a ） （D ）f （2a -1）＜f （2a ）5．函数y=11+x 的单调减区间为 6．函数y=1+x +x -2的增区间为 减区间为7．证明：21)(x x f =在（0，+∞）上是减函数[能力提高]1．证明函数xx x f 1)(+=在（0，1）上是减函数2．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t 都有)5()5(t f t f -=+，那么f （—1），f （9），f （13）的大小关系是 3．若f （x ）是定义在[]1,1-上的减函数，f （x-1）＜f （2x -1），求x 的取值范围答案[基础练习]1、增2、增3、B4、减，()0,∞-和()+∞,05、略[巩固练习]1、D2、C3、A4、D5、()1,-∞-和()+∞-,16、[)+∞,2，(]1,-∞-7、略[能力提高]1、略2、f(9)＜f(—1)＜f(13)3、（0，1）。

高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）例题2-3-1、判断下列函数的单调性：(1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .例题2-3-2、用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3、已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.例题2-3-4、证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.例题2-3-5、证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.例题2-3-6、求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.例题2-3-7、判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性.例题2-3-8、函数f (x )，x (-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围.例题2-3-9、已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.例题2-3-10、若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围.高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）解析 例题2-3-1判断下列函数的单调性： (1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .1. 求函数单调性是基本问题，通过图像来解决非常直接.2. 本题涉及两个图像变换问题：(1) 把f (x )图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方去得到)(x f 的图像. (2) 把 f (x )图像在y 轴左侧的部分抹去，并把在y 轴右侧的部分沿y 轴翻折到左边来，并保留y 轴右侧的部分，就可得到y ＝f (x )的图像(一定是偶函数，关于y 轴对称).3. 解决绝对值问题有时需要讨论，去掉绝对值后解析式可化简，这样再研究函数的性质就方便了. 解：(1) 因为 y ＝|4)1(|2-+x 则可以画出此函数的图像，如图，由图像可得 当x ∈(-∞，-3]时，函数单调递减； 当x ∈(-3，-1]时，函数单调递增； 当x ∈(-1，1]时，函数单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，函数单调递增.(2) 因为y ＝4)1|(|3||2||22----x x x ＝，所以此函数为偶函数，可以画出函数图像如图.(或由y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-+----)0 ( 4)1( 32)0 ( 4)1( 322222＜＝＝x x x x xx x x 同样可以画出如图所示的函数图像)则可知当x ∈(-∞，-1)时，f (x )单调递减； 当x ∈[-1，0]时，f (x )单调递增； 当x ∈[0，1]时，f (x )单调递减；当x ∈(1，+∞)时，f (x )单调递增.(3) 因为y＝|1|122---x xx＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--+--)0 1( 2112)2 1 ( 11222x x x x x x x x x x xx 且＜＝且＝此函数为分段函数，可以画出它的图像， 如图可知当x ∈(-∞，0)和x ∈(0，1)时，f (x )为增函数； 当x ∈(1，2)和x ∈(2，+∞)时，f (x )为减函数.例题2-3-2用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.y-3 -1 1 3 O-3xy 1 2-2xO ≥ ≥ ≠ ≠y -3 -1 1 O 4x(1) 任取：在单调区间内任取两个自变量x 1，x 2，且x 1＜x 2； (2) 作差：用x 1和x 2的函数值作差，即f (x 1)-f (x 2)；(3) 变形：作差后可以因式分解变为乘积或商的形式，也可以凑配成完全平方式； (4) 比较：判断f (x 1)-f (x 2)的符号，从而比较f (x 1)与f (x 2)的大小. 此方法用到了不等式中的一个重要的比较方法：求差比较法. 解：任取x 1，x 2∈[1，+∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)-f (x 2)＝(*))1)(1()1)(()1)(1(1122212112222122121221222211++--++--++-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x ＝＝因为1≤x 1＜x 2，x 2 -x 1＞0且x 1x 2＞1.又因为121+x ＞0，122+x ＞0，所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3 已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.此题所涉及的函数是高中数学经常要遇到的函数，经过此题的讨论，我们可清楚地知道其大致性质，因此也能画出其大致图像，不妨试试看. 解：(1) x ≠0.(2) 因为)(11)(x f x x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+----＝＝＝，所以f (x )为奇函数.(3) 任取x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞) 且x 1＜x 2， 则22112111)()(x x x x x f x f --+-＝＝(*))1()()(212121211221x x x x x x x x x x x x ---+-＝.因为x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞)且x 1＜x 2， ① 当x 1＜x 2＜-1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). 所以f (x )在(-∞，-1)上是增函数. ② 当-1≤x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[-1，0]上是减函数. ③ 当0＜x 1＜x 2≤1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在(0，1)上是减函数. ④ 当x 2＞x 1＞1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).所以f (x )在(1，+∞)上是增函数.例题2-3-4证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.此题考查用定义证明函数的奇偶性，注意有时采用变通的办法更灵活，如证明：(1) f (-x ) +f(x )＝0⇒奇函数；(2) ⇒--1)()(＝x f x f 奇函数.证明： 因为R ∈x 又f (-x )＝111122+-+--+x x x x＝)]1(1)][1(1)][1(1[)]1(1)][1(1)][1(1[222222+++-++--+-++++++-+x x x x x x x x x x x x＝)11(2)11(222+++-++-x x x x x x＝111122+++-++-x x x x＝)(x f -.所以f (x )是R 上的奇函数.例题2-3-5证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.证明(判断)函数在指定区间A 上的单调性应严格遵循五个步骤： (1) 设元：设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2；(2) 作差：将函数值f (x 1)与f (x 2)作差；(3) 变形：对上述差值(因式分解，或配方等)变形；(4) 判号：对上述变形结果的正、负加以判断，从而看出f (x 1)，f (x 2)的大小； (5) 定论：确定f (x )的单调性.证明： 设x 1，x 2∈(-∞，]0，且x 1＜x 2， 则 f (x 1)-f (x 2)＝x 13-x 23＝(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x .由x 1-x 2＜0，22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ＞0，43x 22≥0，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x ＜0，所以f (x 1)- f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2).所以，函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数. 例题2-3-6求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.如果函数＝f (u )和u ＝g (x )在公共区间A 上都是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 上也是单调函数，并且，若y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]是增(减)函数. 这一性质，我们简记为“同增异减”.解：首先，由x 2-2004x ≥0，得x ≤0，或x ≥2004.∴函数的定义域是(-∞，0] [2004，+∞). ①xy O1002 2004其次，由于函数y ＝u 在[0，+∞]上是增函数，所以，求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间，只需求出函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间，且满足①.如图所示，函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间是[1002，+∞). ②由①、②知函数y ＝x x 20042-的单调递增区间是[2004，+∞).例题2-3-7 判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性. )、g (x )在区间A 上都是增(减)函数，则函数f (x )+g (x )在区间A 上也是增(减)函数. 应用这一性质解答数学问题时，易出错的地方是：忘记了A 是公共区间.将函数y ＝x 2+x 1拆成函数f (x )＝x 2与xx g 1)(=，依据f (x )、g (x )的单调性确定f (x )+g (x )的单调性，见下图.解：∵ f (x )＝x 2在(-∞，0)上是减函数，g (x )＝x1在(-∞，0)上也是减函数， ∴ y ＝f (x )+ g (x )在(-∞，0)上是减函数，即y ＝x 2+x1在(-∞，0)上是减函数. 例题2-3-8函数f (x )，x ∈(-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围. 是增(减)函数，且f [g (a )]＞f [)(a ϕ]，则a 的取值范围是{a |g (a )＞)(a ϕ}，或{a |g (a )＜)(a ϕ}. 解：首先，-1＜1-a ＜1，-1＜1-a 2＜1.由f (1-a )+f (1-a 2)＜0，得f (1-a )＜-f (1-a 2). ∵ f (-x )＝-f (x )，x ∈(-1，1)，∴ f (1-a )＜f (a 2-1).又∵ f (x )是(-1，1)上的减函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧------,11,111,11122a a a a ＞＜＜＜＜ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧--12,22,20＜＜＜＜＜＜a a a 且a ≠0，解得0＜a ＜1(参看右图). ∴实数a 的取值范围是(0，1).例题2-3-9已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.满足f (-x )＝- f (x ) (或f (-x )＝f (x ))的函数在对称区间(-∞，0)与(0，+∞)上的单调性相同(反). 可以通过两个特殊的函数的图象帮助我们记忆，如图所示. 解：F (x )在(-∞，0)上是减函数.1 2-2 -22 yxOy ＝x 3yxOy ＝x 2任取x 1，x 2∈(-∞，0)，且x 1＜x 2， 则-x 1＞-x 2＞0.∵ y ＝f (x )在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴ f (-x 2)＜f (-x 1)＜0. ① 又∵ f (-x )＝- f (x )， ∴ f (-x 2)＝- f (x 2)， ② f (-x 1)＝- f (x 1). ③ 由①、②、③，得f (x 2)＞f (x 1)＞0. 于是F (x 1)-F (x 2)＝)()()()(2112x f x f x f x f -＞0，即F (x 1)＞F (x 2).∴ )(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是减函数.例题2-3-10若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围. 对a 进行如下分类讨论： 解：① 当a ＝0，f (x )＝4x +1在[-1，3]是单调函数；② 当a ≠0时，f (x )是二次函数，若函数在区间[-1，3]上是单调函数，则对称轴 ∉-a a x 2＝(-1，3)，(如图所示)，即a a 2-≤-1，或aa 2-≥3， 解得-1≤a ＜0，或0＜a ≤1.综上，由①、②可知a 的取值范围是[-1，1].xyO1 3-1xyO 13-1。

课后训练基础巩固1．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋3 B ．f (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝－|x －1| D ．1()=f x x2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 3．已知函数y ＝ax 和=by x-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)＞0B ．增函数且f (0)＞0C ．减函数且f (0)＜0D ．增函数且f (0)＜04．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (m 2)＞f (－m )，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时为增函数，x ∈(－∞，－2]时为减函数，则f (1)＝( )A ．－3B ．13C ．7D ．无法确定 6．证明函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数． 能力提升7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有>0f a f b b a()-()-成立，则必有( )A ．函数f (x )是先增后减B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数8．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )9．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )10．函数f (x )在其定义域M 上是增函数，且f (x )＞0，那么在M 上为减函数的是( ) A ．y ＝4＋3f (x ) B ．y ＝[f (x )]2C ．y ＝3＋1f x () D ．y ＝2－1f x ()11．函数=y x ( )A ．函数最小值为12，无最大值 B ．函数最大值为12，无最小值C ．函数最小值为12，最大值为2D ．函数无最大值，也无最小值12．已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)＜2的解集为______．13．已知函数2()=2f x x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图象恒在f (x )的图象的上方，求m 的取值范围． 14．试确定函数2()=1axf x x -(a ≠0)在(－1,1)的单调性，并证明． 15．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (x )＜0(x ＞0)，试判断1()=()F x f x 在(0，＋∞)上的单调性并证明．参考答案1．B 点拨：画出各个函数的图象，由单调函数图象特征可知，选项B 正确．2．D 点拨：依题意，直线1=2x 是函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴，且函数在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数．因为f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，1＜2＜3，所以f (1)＜f (2)＜f (3)，即f (0)＜f (2)＜f (－2)．3．C 点拨：∵由题意，知a ＜0，b ＜0.∴f (x )＝bx ＋a 在R 上是减函数，且f (0)＝a ＜0.4．D 点拨：∵y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (m 2)＞f (－m )， ∴m 2＞－m .∴m 2＋m ＞0. ∴m (m ＋1)＞0.∴m ＜－1或m ＞0.应选D.5．B 点拨：二次函数f (x )＝2x 2－mx ＋3的对称轴为===2224m mx ---⨯，∴m ＝－8.故f (x )＝2x 2＋8x ＋3.∴f (1)＝2＋8＋3＝13.这里要引起注意的是二次函数单调区间的划分是由对称轴决定的．6．证明：设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 23－x 13＝(x 2－x 1)(x 22＋x 12＋x 1x 2)＝(x 2－x 1)22211324x x x ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＝Δx ＞0，221213>024x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴Δy ＞0.∴f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数．7．D 点拨：由>0f a f b b a()-()-，知a －b 与f (a )－f (b )永远异号，由单调函数的定义知，f (x )在R 上是减函数．8．D 点拨：当a ∈R 时，a 与2a ，a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小，而a 2＋1－a ＝213>024a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴a 2＋1＞a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)＜f (a )．9．C 点拨：∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，b ＞－a .由函数的单调性可知，f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，两式相加得选项C 正确．10．C 点拨：(特例法)取f (x )＝x (x ＞0)，很容易可以判断1=3y f x +()在定义域内为减函数．11．A 点拨：∵=y x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，∴11=22y f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即函数最小值为12，无最大值，选A. 12．(8,9) 点拨：∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x )＋f (x －8)＝f (x (x －8))．又f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2f (3)＝2， ∴f (x )＋f (x －8)＜2，即f (x (x －8))＜f (9)，∴89,0,80,x x x x (-)<⎧⎪>⎨⎪->⎩解不等式组得8＜x ＜9. 13．解：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝122222x x ---＝2112222x x x x (-)(-)(-)＞0， 由单调函数的定义可知，函数2()=2f x x -在[3,6]上是减函数．(2)由(1)知，f (x )ma x ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图象恒在f (x )的图象的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.14．解：当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上是减函数；当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上是增函数． 证明如下：设任意x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝21222111ax ax x x --- ＝22212121222111ax x ax ax x ax x x --+(-)(-)＝1212121212222221211=1111ax x x x a x x a x x x x x x x x (-)+(-)(-)(+)(-)(-)(-)(-). ∵x 1，x 2∈(－1,1)，∴21x ，22x ∈[0,1)，x 1x 2∈(－1,1)． ∴22x －1＜0，21x －1＜0，x 1x 2＋1＞0. 又∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＝－Δx ＜0. ∴121222211<011x x x x x x (-)(+)(-)(-).当a ＞0时，Δy ＜0.∴a ＞0时，f (x )在(－1,1)上是减函数． 当a ＜0时，Δy ＞0.∴a ＜0时，f (x )在(－1,1)上是增函数． 15．解：F (x )在(0，＋∞)上为减函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且Δx ＝x 2－x 1＞0， F (x 2)－F (x 1)＝12212111=f x f x f x f x f x f x ()-()-()()()(). ∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.而f (x 1)＜0，f (x 2)＜0，∴f (x 1)f (x 2)＞0.∴F (x 2)－F (x 1)＜0.又∵Δx ＞0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.3.1 单调性与最大（小）值建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是()A ．y ＝B ．y ＝3x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|2．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f(x 2)的值()A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知函数f(x)＝x 2＋4x ，x ≥０，4x －x 2，x<0.若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞）B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞）4.如果函数2()3(,4]f x x ax 在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是()A ．(8，＋∞)B ．[8, ＋∞）C ．(∞,8)D ．(∞,8]5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为() A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[－3，－1]二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 6.函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞）时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.7.已知函数2(1)21f x x x x ，[1，2]，则()f x 是 (填序号). ①[1，2]上的增函数；。

高一数学同步测试（7）—函数的单调性、奇偶性一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。

1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-2．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+D ．与a 的取值无关3．若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥35．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()111x g x x x +=--，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则 ()()(),,f x g x h x 的奇偶性依次为 （ ）A ．奇函数，偶函数，奇函数B ．奇函数，奇函数，偶函数C ．奇函数，奇函数，奇函数D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数6．已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或D ．不能确定7．已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数8．函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ）A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114 C ．1 D ．114- 10．函数()y f x =与()y g x =的定义域相同，且对定义域中任何x 有()()0f x f x -+=，()()1g x g x -=，若()1g x =的解集是{}0，则函数()()()()21f x F x f xg x =+-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数二、填空题：请把答案填在题中横线上。

数学必修一《函数的单调性》精选练习（含答案解析）一、选择题1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x) ( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+43下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.A.①B.②C.③D.④4.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是( )A.(2,7)B.(-2,3)C.(-6,-1)D.(0,5)5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )A.>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.>06.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6).7.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于( )A.-3B.13C.7D.由m而定的常数8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)二、填空题9.函数f(x)=的减区间是.10.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.11.已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为.12.函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是.13.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.三、解答题14.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.15.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.16.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).求证:函数F(x)在R上是单调增函数.17.定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.参考答案与解析1【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.2【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.3【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.4【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).5【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1<x2时,可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.6【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤67【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13. 8【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).9【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].答案:(0,1]10【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)11【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0. 答案:(-3,0)【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.答案:a≥213【解析】依题意,得不等式组解得<x≤4.答案:【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.14【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.15【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.16【证明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函数F(x)在R上是单调增函数.17【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3, 故不等式的解集为{t|t≤3}.。

同步测控我夯基,我达标.函数的单调增区间是().(∞,］.［,］.［∞).(∞∞)解析：对于>的一次函数,它在定义域范围内为增函数.答案：.关于函数的单调性的表述正确的是().在(∞∞)上递增.在(∞］上递增.在(∞)上递减.在［∞)上递减解析：对于二次函数(≠),对称轴为,当>时,在区间(∞,］上是单调递减函数,在区间［∞)上是单调递增函数.简称为“>,左减右增”;当<时,在区间(∞,］上是单调递增函数,在区间［∞)上是单调递减函数.简称为“<,左增右减”.答案：.关于函数的单调性的表述正确的是… ().在(∞)上增加,在(∞)上减少.在(∞)∪(∞)上减少.在［∞)上减少.在(∞)和(∞)上都减少解析：对于反比例函数(≠),当>时,在区间(∞)上是单调递减函数,在区间(∞)上也是单调递减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当<时,在区间(∞)上是单调递增函数,在区间(∞)上也是单调递增函数.答案：.关于函数,下列论述错误的是().单调性只与有关.不论>,还是<,函数的单调性不变.在(∞］上单调增加的前提是>.当>时,函数在(∞∞)上增加解析：根据一次函数的单调情况,它与的系数的符号有关,当>时,它在(∞∞)上是单调递增函数;当<时,它在(∞∞)上是单调递减函数.答案：.函数在［∞)上增加,则实数的取值范围是.解析：二次函数的单调区间取决于该函数的二次项系数的符号以及它的对称轴>,左减右增,所给区间为其单调增区间的一个子区间,即≤.所以≥.答案：≥.已知函数在(∞)上单调增加,则实数的取值范围是.解析：反比例函数的单调区间取决于该函数的系数的符号.当<时,在区间(∞)上是单调递增函数,在区间(∞)上也是单调递增函数.所以该函数的系数<.答案：<.求函数()的单调区间.分析：按照定义去判断单调性时,我们可以用口诀“同向则增,异向则减”帮助理解.解：设、∈(］,且<,则()()().∵<<≤,∴<<>.∴()()>,即()在(］上是减函数,同理可证()在［∞)及(∞］上是增函数()在［)上是减函数.我综合,我发展.函数()是［∞)上的单调递减函数()≠且(),求函数()()在［］上的单调性.分析：函数()没有给出解析式,因此对()的函数值作差后,需由()的单调性,确定作差后的符号. 解：任取≤<≤.()()()()()()［()()］·［］.∵≤<≤且()是［∞)上的单调递减函数,∴()>()≥().∴()()>()·()>,<>.∴()()>()>().∴()是［］上的单调递减函数..已知()是定义在［］上的函数,且()()(),若、∈［］≠,>.()用定义证明()在［］上是增函数;()若()≤对所有∈［］∈［］恒成立,求实数的范围.分析：本题给出的是抽象函数,进行适当的转化是解题的关键.()证明:>说明()()与同号,①如果>,则()()>,也即>时有()>()();②如果<,则()()<,也即<时有()<()();显然只要>就有()>(),根据、的任意性知函数在[]上是增函数.()解：()在[]上是增函数,所以()≤(),显然时()≤成立;≠时()≤对所有∈[]∈[]恒成立,。