高二精选题库 数学选修4-5-2北师大版

高二下学期数学期末复习试卷（1）一、选择题：1、已知集合A ＝｛y ︱322+-=x x y ｝，B ＝｛x ︱291x y -=｝，则A ∩B ＝（ C ）（A ）[]3,3- （B ）（－3，3）（C ）[)3,2 （D ）（2，3）2、a 、b 、c R ∈使c c b a >成立的一个充分条件是（ A ）（A ）0,0>>>c b a （B ）0,0<>>c b a （C ）0,0<>>c a b （D ）0,0>>>c a b3、函数[]8)(log )(2131-=x x f 的定义域是（ D ） （A ）[)+∞-,3log 22（B ）()3,-∞-（C ）[)3,3log 22- （D ）[)3,3log 22--4、设()π,0∈x ，则函数xx y sin 22sin +=的最小值是（ C ） （A ）2 （B ）49 （C ）25 (D) 3 5、设函数b ax x f +=)( )10(≤≤x ，则02>+b a 是0)(>x f 恒成立的（ B ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 6、令6242)(---+-=x x x x f ，其中82≤≤x ，则)(x f 的值域是（ D ）（A ）[]1,0 （B ）[]2,1 （C ）[]2,1- (D) []2,07、已知-1<a+b<3，且2<a-b<4，则2a+3b 的范围是D A.(213-，217) B.(27-，211) C.(27-，213) D.(29，213) 8、关于x 的不等式ax-b>O 的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式2x b ax -+>0的解集是A A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞)9、有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题。

一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A．B．C． D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n a na b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A1 BC1D6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B．C ．18D ．97．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,499．y=x 的最大值是 （ ） A ．1B ．2CD ．410．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( ) A ．3B ．1C．3D11．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n12．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．34二、填空题13．已知,,,,,(0,)x y z R αβγπ+∈∈，且222346,2x y z αβγπ++=++=，则sin sin sin xy xz yz αβγ++的最大值为________．14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．设x ，y ，z 均为实数，则22222x y z x y z +-++的最大值是________．16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．17．函数3141y x x =++-的最大值为______________； 18．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 19．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____．20．已知,(0,)x y ∈+∞3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数3()|3|(0)f x x a x a a =-++>．（1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为4，且1(0,0)am m nn +=>>≤24．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．25．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．26．设函数()()222,f x x a x b a b R =-++∈.（1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n-⨯⨯⋯⨯<∈即得解.【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n a nb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴，∴<， 假设当n k =时，原式成立，即1121232k k-⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．A解析：A 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】()21122n n a x a x a x +++()()2222221212111nn aa a xx x ++++++=⨯= ，当且仅当12121nnx x x a a a ==== 时取等号. ∴1122n n a x a x a x +++ 的最大值是1故选：A 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.6．B解析：B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +，当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221xx =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．C解析：C 【解析】 由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C. 12．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ．考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．二、填空题13．【分析】如图所示：设则根据柯西不等式证明得到利用上面不等式得到得到答案【详解】如图所示：过作于设故当时根据柯西不等式：故当时等号成立即即即故当三点共线且时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等【分析】如图所示：设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，则sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=，根据柯西不等式证明222()a b a b x y x y++≥+，得到()22222346a h b h z ++++=，利用上面不等式得到)()6ABC m z a b ∆≥++≥，得到答案.【详解】如图所示：过O 作⊥OD AB 于D ，设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，AOB α∠=，AOC β∠=，BOC γ∠=.故sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=.当0x >，0y >时，根据柯西不等式：22222()a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++≥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故222()a b a b x y x y++≥+，当a b x y =时等号成立.222346x y z ++=，即()22222346a h b h z ++++=，即22224346a h b z +++=.即()())()222222611111111434443ABC h z a b a h b z h z a b ∆+++++=≥+≥++≥++，故2ABC S ∆≤OCD 三点共线，且3a b =，h z =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，将sin sin sin xy xz yz αβγ++表示成三角形面积是解题的关键.14．9【分析】首先根据题意利用代1法可得再借助柯西不等式即可得出结论【详解】是正数且当且仅当时取等号的最小值是9故答案为：9【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题属于基础题解析：9 【分析】首先根据题意，利用代“1”法，可得1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再借助柯西不等式，即可得出结论. 【详解】,,x y z 是正数，且1231x y z++=， 1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22323y z x y z x ≥ 2(111)=++ 9=，当且仅当3x =，6y =，9z =时取等号，23y zx ∴++的最小值是9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2 【分析】 首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++≤. 【详解】 由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-， 所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，≤，当且仅当202x y z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】 该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时【解析】的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大， 由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ， ∴225x y +≤ 由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x y a b=时等号成立． ∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17．【解析】因为所以故函数的最大值为 解析：52【解析】 因为(()()2223141341150x x x x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5218．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．考点：柯西不等式．19．【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等 解析：【解析】 试题分析：,所以，原式转化为,根据基本不等式，,所以原式,等号成立的条件是,所以求原式的最小值转化为求的最小值，,令，,,当时，,函数单调递减，当，,函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，,取得最小值，最小值等于． 考点：1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值．20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式 解析：10k >【解析】 试题分析：由柯西不等式得22(3)(13)()x y x y ≤++，所以310x y x y ≤+10k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++， 因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤， 当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．利用零点分段法去绝对值,分三段解不等式即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为334a a +=，解得1a =，可得11m n+=， 利用柯西不等式即可求证.【详解】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．当3x ≤-时，136x x ---<，即226x --<，解得：4x >-，所以43x -<≤-； 当31x -<<时，136x x -++<，即46<，所以31x -<<；当1≥x 时，136x x -++<，即226x +<，解得2x <，所以12x ≤<．综上所述：不等式()6f x <的解集为()4,2-．（2）证明：因为333()|3|(3)3f x x a x a x a x a a a =-++≥--+=+，且0a >，所以()f x 的最小值为334a a +=．因为函数3()3g a a a =+为增函数，且()14g =，所以1a =． 从而11m n+=，因为0m >，0n >，所以由柯西不等式得()222112mn ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即25≥，≤（当且仅当15m =，54n =时等号成立） 【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：a 为正实数，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔<-或x a >； （2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x a x b -<-或x a x b ->-型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图像求解.24．[]1,2-.【分析】 由柯西不等式得()2222236a b c a b c ++++≥=，转化条件得()3f x ≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x =++-≥+-+=，即可得解.【详解】 由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c ++≤++++，所以()2222236a b c a b c ++++≥=，当且仅当121a b c ==即b =a c ==时，等号成立， 所以()222a b c f x ≥++恒成立()3f x ⇔≤，因为()12123f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()3f x ≤的解集为12x -≤≤，所以实数x 的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.25．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】 因为()222222*********()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 26．（1）13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）【分析】（1）分别在0x ≤、01x <<和1x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可求得2228a b +=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1a =，0b =时，()1f x x x =-+，当0x ≤时，()122f x x =-≥，解得：12x ≤-； 当01x <<时，()112f x x x =-+=≥，解集为∅；当1x ≥时，()212f x x =-≥，解得：32x ≥； 综上所述：()2f x ≥的解集为13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=（当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号），()()222212242a b a b ⎛⎫∴++=≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取等号），2a b ∴+≤即2+a b 的最大值为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用柯西不等式求最值的问题，属于常考题型.。

选修4-5 第2节[知能演练]一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：(a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. ∴a ＋b ＋c ≤ 3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 故应选C. 答案：C2．设a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由柯西不等式得 (a 2＋b 2)(12＋22)≥(a ＋2b )2， 因为a 2＋b 2＝5， 所以(a ＋2b )2≤25， 即－5≤a ＋2b ≤5，当且仅当b ＝2a 且a 2＋b 2＝5时等号成立，故选D. 答案：D3．已知a >0，且M ＝a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3，N ＝a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M >NC ．M ≤ND ．M <N解析：取两组数：a ，a ＋1，a ＋2与a 2，(a ＋1)2，(a ＋2)2， 显然a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3是顺序和；而a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B. 答案：B4．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝2，则x ＋4xy ＋4y 的最大值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：x ＋4xy ＋4y ＝(x ＋2y )2≤(12＋22)[(x )2＋(y )2] ＝5(x ＋y )＝5×2＝10. ∴x ＋4xy ＋4y ≤10. 当且仅当1×y ＝2x . 即y ＝4x (x >0)时等号成立．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x x ＋y ＝2得x ＝25符合x >0，∴x ＋4xy ＋4y 的最大值为10，故应选C. 答案：C 二、填空题5．把一条长是m 的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．解析：设三段的长度分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝m ，三个正方形的面积和为S ＝(x4)2＋(y 4)2＋(z 4)2 ＝116(x 2＋y 2＋z 2)． 因为(x 2＋y 2＋z 2)(12＋12＋12) ≥(x ＋y ＋z )2＝m 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝m3时等号成立，所以x 2＋y 2＋z 2有最小值m 23，从而S 有最小值m 248.答案：m 2486．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为________．解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22·2b －33·3c ，由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22·2b －33·3c )2 ≤[12＋(22)2＋(－33)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a 2＋2b 2＋3c 2. ∴a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2≤666.故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题7．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C)≥36R 2. 证明：由正弦定理知： a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C )≥(a sin A ＋b sin B ＋c sin C)2＝(6R )2＝36R 2. 即(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C)≥36R 2.8．设a 1、a 2、…、a n 是1、2、…、n 的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 证明：设b 1、b 2、…、b n －1是a 1、a 2、…、a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1、c 2、…、c n －1是a 2、a 3、…、a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1 ≥12＋23＋…＋n －1n.∴原不等式成立．[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝3x ＋3(1－x )的最大值＝________. 解析：3x ＋3(1－x )＝3x ＋3－3x ， 由柯西不等式得(3x ＋3－3x )2 ≤(12＋12)[(3x )2＋(3－3x )2]＝6， ∴3x ＋3－3x≤(1＋1)·(3x ＋3－3x )＝ 6.当且仅当3x ＝3－3x 即x ＝12时等号成立．答案： 62．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x 、y 、z 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由柯西不等式得(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9， 由题意|a －1|≥3， ∴a ≥4或a ≤－2. 答案：a ≥4或a ≤－23．已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9.证明：左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )≥(1＋1＋1)2＝9(或＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a) ＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2a ＋b b ＋c ·b ＋ca ＋b ＋2a ＋bc ＋a ·c ＋aa ＋b＋2b ＋c c ＋a ·c ＋ab ＋c＝9)， ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9. 4．已知实数m ，n >0.(1)求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x 〔x ∈(0，12)〕的最小值．(1)证明：因为m ，n >0，利用柯西不等式， 得(m ＋n )(a 2m ＋b 2n)≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n.(2)解：由(1)，函数y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25， 所以函数y ＝2x ＋91－2x 〔x ∈(0，12)〕的最小值为25，当且仅当x ＝15时取得．。

高二数学选修4-5第二章检测题（2013北师大版有答案）综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy>0，则(x2＋4y2)(y2＋1x2)的最小值为()A．－9B．9C．10D．0【解析】x2＋(2y)2](1x)2＋y2]≥(x•1x＋2y•y)2＝9.【答案】B2．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n3A．1＋123C．1＋123【解析】∵n≥2，第一步应是n＝2时，1＋123【答案】A 3．(2013•新乡检测)已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为()A．0，455]B．－165，165]C．0，165]D．－455，455]【解析】∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，故0≤e≤165.【答案】C4．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花________元．() A．300B．360C．320D．340【解析】由排序原理，逆序和最小．∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．【答案】C5．函数y＝2－9x－4x(x>0)的最大值是()A．－10B．10C．－11D．11【解析】y＝2－(9x＋4x)≤2－236＝－10.【答案】A6．用数学归纳法证明“对于任意x>0的正整数n，都有xn＋xn－2＋xn －4＋…＋1xn－4＋1xn－2＋1xn≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1,2D．以上答案均不正确【解析】n∈N＋，n的最小值为n0＝1.【答案】A7．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．21B.121C．16D.116【解析】∵1＝x＋2y＋4z≤x2＋y2＋z2•1＋4＋16，∴x2＋y2＋z2≥121，即x2＋y2＋z2的最小值为121.【答案】B8．设S(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝12＋13B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14【解析】S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14.【答案】D9．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A>BB．AC．A≥BD．A≤B【解析】不论x1，x2，…xn的大小顺序如何变化，其中A＝x21＋x22＋…＋x2n一定是顺序和，∴A≥B.【答案】C10．设a1，a2，…，an为正实数，P＝a1＋a2＋…＋ann，Q＝n1a1＋1a2＋…＋1an，则P、Q间的大小关系为()A．P>QB．P≥QC．P【解析】∵(a1＋a2＋…＋an)(1a1＋1a2＋…＋1an)≥＝n2，∴a1＋a2＋…＋ann≥n1a1＋1a2＋…＋1an即P≥Q.【答案】B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1>n2(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边增加的项数是__________．【解析】左边增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.【答案】2k12．已知数列11×4，14×7，17×10，…，－＋，…，则S1，S2，S3，S4的值分别是__________，根据计算结果，猜想Sn＝__________.【解析】S1＝14，S2＝14＋128＝27，S3＝27＋17×10＝310，S4＝310＋110×13＝413，猜想Sn＝n3n＋1.【答案】14，27，310，413n3n＋113．(2013•宁波检测)函数y＝(1＋1sinα)(1＋1cosα)(0＜α＜π2)的最小值是________．【解析】由柯西不等式，得y＝12＋(1sinα)2]12＋(1cosα)2]≥(1×1＋1sinα•1cosα)2＝(1＋2sin2α)2≥(1＋2)2＝3＋22.当且仅当1cosα＝1sinα即α＝π4时等号成立．【答案】3＋2214．设x1，x2，…xn取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋xnn2的最小值是________．【解析】设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，且满足a1故a1≥1，a2≥2，…，an≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋xnn2≥a1＋a222＋a332＋…＋ann2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n＝1＋12＋13＋…＋1n.【答案】1＋12＋13＋ (1)15．(2013•湖北高考)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y ＋3z＝14，则x＋y＋z＝________.【解析】由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤14.因为x＋2y＋3z＝14，所以x＝y2＝z3，解得x＝1414，y＝147，z＝31414，于是x＋y＋z＝3147. 【答案】3147三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知a，b，c∈R＋，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．【解】取两组数a，b，c与a2，b2，c2，不管a，b，c的大小顺序如何，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，因为顺序和≥乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.17．(本小题满分12分)设x2＋2y2＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最小值．【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|＝|1•x＋2•2y|≤1＋2•x2＋2y2＝3.得umax＝3，umin＝－3.分别在(33，33)，(－33，－33)时达到．18．(本小题满分12分)当x≥0时，试证明xx－32x≥－12.【证明】要证明xx－32x≥－12，只要证明xx≥32x－12，即x32≥32x－12.由x≥0有x－1≥－1，所以由贝努利不等式可得1＋(x－1)]32≥1＋32(x－1)，因此x32≥32x－12，∴原不等式xx－32x≥－12成立．19．(本小题满分13分)求证：12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．【证明】(1)当n＝2时，12>0，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立．即12＋13＋14＋15＋…＋12k－1>k－22，则当n＝k＋1时，左边12＋13＋14＋…＋12k－1＋12k－1＋1＋12k－1＋2＋…＋12k－1＋2k－1>k－22＋12k－1＋1＋12k－1＋2＋…＋12k－1＋2k－1>k－22＋12k＋12k＋…＋12k＝k－22＋2k－12k＝k－12＝＋－22.∴当n＝k＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立．故12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．20．(本小题满分13分)如果数列{an}满足条件：a1＝－4，且an＋1＝－1＋3an2－an(n∈N＋)．证明：对n∈N＋，都有an＋1>an且an【证明】(1)由于a1＝－4，a2＝－1＋3a12－a1＝－1－122＋4＝－136>a1.且a1(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1>ak且ak那么ak＋1＝－1＋3ak＋12－ak＋1当n＝k＋1时(k≥1)，ak＋2－ak＋1＝－1＋3ak＋12－ak＋1－－1＋3ak2－ak＝＋1－－ak＋－这就是说，当n＝k＋1时不等式也成立，根据(1)(2)，不等式对任何正整数n都成立．因此，对任何正整数n，都有an＋1>an，且an21．(本小题满分13分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥13；(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．【解】(1)证明因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得：(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)](x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y)≥(x＋y＋z)2，又因为x＋y＋z＝1，所以x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥＋y＋＋＋＋＋＋＝13.(2)由均值不等式得4x＋4y＋4z2≥334x＋y＋z2，因为x＋y＋z＝1，所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝(z－12)2＋34≥34，故4x＋4y＋4z2≥33434＝32，当且仅当x＝y＝14，z＝12时等号成立，所以4x＋4y＋4z2的最小值为32.。

选修4-5 第二章13.1课时作业12一、选择题1．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥1)时命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现已知n ＝5时，该命题不成立，那么应有( )A ．当n ＝4时该命题成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝6时该命题不成立【解析】 当n ＝4时命题成立，由递推关系知， n ＝5时命题成立，与题中条件矛盾． ∴n ＝4时，该命题不成立． 【答案】 C2．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)【解析】 ∵a 1＝13，由S n ＝n (2n －1)a n ，得a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2， 解得a 2＝115＝13×5，a 1＋a 2＋a 3＝3×(2×3－1)a 3，解得a 3＝135＝15×7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(2×4－1)a 4， 解得a 4＝163＝17×9.猜想a n＝1(2n－1)(2n＋1).【答案】 C3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除．【答案】 A4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋______()A.π2B．πC．2π D.3 2π【解析】n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.【答案】 B二、填空题5．探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·2！＋1·1！(n>1且n∈N＋)的结果时，第一步n＝__________时，A＝__________.【解析】第一步n＝2时，A＝(2－1)(2－1)！＝1.【答案】2 16．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到__________．【解析】∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.【答案】1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－17．用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1时命题成立．(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∵k、k＋1、k＋2和k＋1、k＋2、k＋3分别是三个连续自然数．∴其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立．，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．综合(1)、(2)，对一切n∈N＋这种证明不是数学归纳法，主要原因是__________．【答案】没用上归纳假设三、解答题8．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．【证明】(1)当n＝1时，左边12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设n＝k时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)可知，等式对任何n ∈N ＋都成立．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n 的等差中项为1. (1)写出a 1，a 2，a 3；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．【解】 (1)由题意S n ＋a n ＝2，可得a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14. (2)猜想a n ＝(12)n －1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，(12)n －1＝(12)0＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝(12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，由S k ＋1＋a k ＋1＝2，S k ＋a k ＝2 得(S k ＋1－S k )＋a k ＋1－a k ＝0，即2a k ＋1＝a k ， ∴a k ＋1＝12a k ＝12·(12)k －1＝(12)(k ＋1)－1. 即当n ＝k ＋1时，等式成立． 由①②可知，对n ∈N ＋，a n ＝(12)n －1.10．已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N ＋，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点， …，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．【解】 (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22.(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－12a ， a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝－12(－12a )＝14a ， 由此推测a n ＝(－12)n －1a (n ∈N ＋)． 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝(－12)0a ，公式成立， ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， 公式成立， 即a k ＝(－12)k －1a 成立． 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k2－x k ＋1 ＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12(－12)k －1a ＝(－12)(k ＋1)－1a ， ∴当n ＝k ＋1时，公式仍成立．根据①②可知对任意n ∈N ＋，公式a n ＝(－12)n －1a 成立．1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ca n ＋c n ＋1(2n ＋1)(n ∈N ＋)，其中实数c ≠0. 求{a n } 的通项公式．【解】 由a 1＝1，a 2＝ca 1＋c 2·3＝3c 2＋c ＝(22－1)·c 2＋c ，a 3＝ca 2＋c 3·5＝8c 3＋c 2＝(32－1)c 3＋c 2，a 4＝ca 3＋c 4·7＝15c 4＋c 3＝(42－1)c 4＋c 3，猜测a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ∈N ＋下面用数学归纳法证明．当n＝1时，等式成立；假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即a k＝(k2－1)c k＋c k－1，则当n＝k＋1时，a k＋1＝ca k＋c k＋1(2k＋1)＝c[(k2－1)c k＋c k－1]＋c k＋1(2k＋1)＝(k2＋2k)c k＋1＋c k＝[(k＋1)2－1]c k＋1＋c k.综上，a n＝(n2－1)c n＋c n－1对任意n∈N＋都成立．2．已知△ABC的三边长是有理数．(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数．【证明】(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A＝AB2＋AC2－BC22AB·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，由①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数，即当n＝k ＋1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．。

一、选择题1．设a 1，a 2，a 3∈R ＋，且a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12【解析】 由题意，不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，∴a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3， 当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立． 【答案】 A2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花多少钱( )A ．6元B ．19元C ．25元D ．3元【解析】 由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)． 【答案】 B3．设a ，b 都是正数，P ＝(a b )2＋(b a )2，Q ＝a b ＋ba ，则( ) A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P >QD ．P <Q【解析】 由题意不妨设a ≥b >0，则a 2≥b 2，1b ≥1a ， ∴a 2b ≥b 2a .根据排序不等式，知a 2b ×1b ＋b 2a ×1a ≥a 2b ×1a ＋b 2a ×1b ，即(a b )2＋(b a )2≥a b ＋ba ，∴P ≥Q .当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 【答案】 A4．已知a ，b ，c 为正实数，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零【解析】 设a ≥b ≥c >0， 所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理，得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . ∴a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab .即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 【答案】 B 二、填空题5．若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值是________． 【解析】 不妨设a ≥b >0，则有a 2≥b 2，且1b ≥1a . 由排序不等式b 2a ＋a 2b ≥1a ·a 2＋1b ·b 2＝a ＋b ＝1 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴b 2a ＋a 2b 的最小值为1. 【答案】 16．设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a ncn与n 的大小关系是________．【解析】 不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n，因为c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，所以1c 1，1c 2，…，1c n是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，故由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1c n，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n >0时等号成立．【答案】 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n ≥n三、解答题7．已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3. 【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5， 1c ≥1b ≥1a ＞0. ∴1bc ≥1ac ≥1ba ， ∴1b 3c 3≥1a 3c 3≥1b 3a 3， 由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3. 8．设a ，b ，c 大于0，求证： (1)a 3＋b 3≥ab (a ＋b )； (2)1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc.【证明】 (1)不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2>0. ∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2·a ，∴a 3＋b 3≥ab (a ＋b )．(2)由(1)知，同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )． 所以1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc≤1ab (a ＋b )＋abc ＋1bc (b ＋c )＋abc ＋1ac (a ＋c )＋abc＝1a ＋b ＋c(1ab ＋1bc ＋1ca )．＝1a ＋b ＋c ·c ＋a ＋b abc ＝1abc . 故原不等式得证．9．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．【证明】 ∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)为增函数，y ＝cos x 在(0，π2)为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根据排序不等式得：乱序和>反序和． ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 故原不等式得证． 教师备选10．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10. 【证明】 由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab ， 故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a . ①又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c .再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a .② 所以由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.。

一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（ ）A ．324a b +≤B ．21332213a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．若a ，b ，c 均为正数，且6a b c ++=，则ab bc ac c a b++的最小值为（ ） A ．12B ．6C ．5D ．33．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．404．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．415．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．66．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②33a b c abc ++≥，③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知22111a b b a -+-=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =8．若a ，b R +∈，且1a b +=，则2214a b +++的最小值为 A ．22+B ．22C ．3D ．109．设a 、b 、c 、x 、y 、z 是正数，且22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝，则＝( )A ．B ．C ．D ．10．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ） ABCD12．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）二、填空题13．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________. 14．若21x y +=，则222x y z ++的最小值为__________15．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________．16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．17．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．18．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b⋅的最小值为_______.19．函数y =__________． 20．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________． 三、解答题21．已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y+≥； （21+． 22．已知a ，b ，c 为正数，且1a b c ++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 23．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++ 24．已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111a b c ++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥. 25．已知函数()|23||23|.f x x x =-++ （1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.26．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．B解析：B 【分析】不妨设a b c <<，可得ab ac bc <<，111c b a<<，利用排序不等式即可得解. 【详解】不妨设0a b c <<<，则ab ac bc <<，111c b a<<， 由排序不等式得6ab ac bc ab ac bc a c b c b a b a c++≥++=++=． 故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质、排序不等式，属于基础题.3．B解析：B 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.6．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b cd ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.7．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()222221111a a b b ⎡⎤⎡⎤=≤+--+=⎣⎦⎣⎦，=时，上式取等号，所以ab =()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．8．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-，又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 9．C解析：C 【解析】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋, 当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立∵22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝∴()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋中等号成立，∴一定有：111222a b cx y z ==，∴12a b c x y z === 则12a b c x y z ++=++故选C10．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-92+≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】直接利用柯西不等式得到答案【详解】根据柯西不等式：故当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式求最值也可以利用均值不等式三角换元求得答案【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()222222412x y y x y y -+-+=≥，故2x y +≤当22x y y -=，即x =y =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.14．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z ，然后通过化简即可得出结果. 【详解】根据柯西不等式可得222222212323xyzx yz ，因为21x y +=，所以22218x y z ，当且仅当23y zx 时取等号， 故答案为:18. 【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233aa ab b b a b a b a b ++++≥++，考查计算能力，是简单题.15．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：【解析】分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1)(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以23a b c ++≤23a b c ++的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时【解析】的范围，再根据柯西不等式求解． 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，∴225x y +≤由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x ya b=时等号成立．∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条3 【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可. 详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,3mx ny ∴+mx ny ∴+33点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不 解析：815分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=， 即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭ ； 令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤， 解得111 416t ≤≤，所以328 cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815． 点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.19．10【解析】由柯西不等式可得当且仅当时等号成立解析：10【解析】 由柯西不等式可得=()()21525102x x -+-≤⨯=，当且仅当321522x x x -=-⇒=时，等号成立. 20．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）利用不等式(2x x y ++ （2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）222()2x y x y ++， 而(22x x y ++=， 故222x y +，当且仅当1xy ==不等式取等号；（2）由柯西不等式可得211)(4xy ⎛⎫+++=，114=1+，当且仅当1x y ==不等式取等号． 【点睛】 方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法 . 要根据已知条件选择合适的方法证明. 22．1003【分析】根据柯西不等式，先得到()22222221111111111a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎪⎝，再由柯西不等式，得到()1119a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭，进而可求出最值. 【详解】 因为a ，b ，c 为正数，且1a b c ++=，由柯西不等式可得，()222222111111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 221111111a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝++++⎭++， 当且仅当111b b a ca c +=+=+，即abc ==时，等号成立； 再由柯西不等式可得，()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭，==，即a b c ==时，等号成立； 综上，()()222222************a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤++≥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即2221110031a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，取得最小值1003. 【点睛】本题主要考查根据柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型. 23．证明见解析【分析】 运用柯西不等式可得222222211[1()()](49)()23a b c a b c ++++++，结合条件即可得证． 【详解】 由柯西不等式可得222222221111[1()()](49)(23)()2323a b c a b c a b c ++++++=++， 所以2222()4911149a b c a b c ++++++， 由7a b c ++=，可得2224936a b c ++（当且仅当36497a b c ===时，取得等号）． 【点睛】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 24．()16+()2证明见解析.【分析】()1根据a ，b ，c 是正实数，且21a b c ++=，可得()1111112a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出111a b c ++的最小值即可；()2由柯西不等式可得()()()22222221122a b c a b c ++++≥++，再结合21a b c ++=，即可证明22216a b c ++≥成立.解：()121a b c ++=，∴()11111122b a c a b c a b c a b c a b a ⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭246a c b c b c+++≥+当且仅当a b ==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴22a b ==，12c =时，等号成立， 即111a b c++的最小值为6+ ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++= 即2221 6a b c ++≥当且仅当112a b c==时，等号成立. 又由21a b c ++=， ∴13c =，16a b ==时，等号成立. ∴22216a b c ++≥成立. 【点睛】 本题考查利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想，属于中档题.25．（1）{|22}x x -≤；（2）6【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,a b c a b c ++++++=当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6.此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.26．见解析【分析】利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤.【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()22a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.。

数学归纳法的应用练习1用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )．A．假设n＝k时命题成立 B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C．假设n＝k(k≥5)时命题成立 D．假设n＝k(k＞5)时命题成立21n+(n∈N＋)，某同学证明过程如下：(1)当n＝11+，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k1k+，则当n＝k＋1()11k==++．∴当n＝k＋1时，不等式也成立．在上述证明过程中( )．A．过程全部正确 B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1推理不正确3设n∈N＋，则2n与n的大小关系是( )．A．2n＞n B．2n＜n C．2n＝n D．不确定4平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )．A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)5用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为____________________．6设a为有理数，x＞－1．如果0＜a＜1，证明：(1＋x)a≤1＋ax，当且仅当x＝0时等号成立．7证明不等式：1<n+n∈N＋)．8已知：111123nSn=++++(n＞1，n∈N＋)．求证：212 nnS>+(n≥2，n∈N＋)．参考答案1 答案：C 由题意知n ≥5，n ∈N ＋，故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立．2 答案：D 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设．3 答案：A 2n ＝(1＋1)n ，根据贝努利不等式有(1＋1)n ≥1＋n ×1＝1＋n ，上式右边舍去1，得(1＋1)n ＞n ，即2n ＞n ．4 答案：B 第k ＋1条直线与前k 条直线都相交于不同的交点，此时应比原来增加k 个交点．5 答案：当n ＝1时，左边＝21＋1＝4＝12＋1＋2＝4＝右边，不等式成立．6 答案：证明：0＜a ＜1，令m a n =，1≤m ＜n ，其中m ，n 为正整数，则由平均值不等式， 得(1)(1)a m x x n+=+ ＝1x x x )⨯⨯(+)⨯1=1+1m x n m mx n m x ax n n n(+)+(-)+≤==+， 当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立．7 答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1111+<2k+++ 则当n ＝k＋1时，左边k +++= =． 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)、(2)得原不等式对n ∈N ＋成立．8 答案：证明：(1)当n ＝2时，2211125211234122S =+++=>+， 即n ＝2时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即2111112322k k k S =++++>+． 当n ＝k ＋1时， +112111111232212k k k k S +=++++++++ 211111221222k k k k k +>+++++++211111222222k k k k k k +>++=++=++． 故当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由(1)、(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，21+2n n S >成立．。

一、选择题1．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A B C ．1D ．22．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：①22213a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③2221b c a a b c++≥；≥则正确的结论个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 4．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③；()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65 B ．6 35C ．36 35D ．66．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,497．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．98．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ）A ．2B ．165C ．3D ．259．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14 C ．1 D ．3410．若,,a b c R +∈，且1a b c ++= ）A ．2B ．32C D ．5311．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）二、填空题13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=______. 14．已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，则49x y z ++的最小值为________． 15．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．16．已知0,0,3a b a b >>+=______． 17．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________． 18．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________．19．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 . 20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知函数3()|3|(0)f x x a x a a =-++>．（1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为4，且1(0,0)am m nn +=>>≤ 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()223f x x x =++-. （1）求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：222253a b c ++≥. 24．已知x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z ++=． 证明：（1）1111263xy yz xz++≤； （2）222499x y z ++≥．25．已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.（1）求的最大值； （2）求证：14936a b c++≥ 26．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()()(21f x cosx=+=当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.2．B解析：B利用基本不等式及柯西不等式计算可得； 【详解】解：①：222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩，222a b c ab bc ac ∴++++ 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++．22213a b c ∴++，故①不正确． ②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++，13ab bc ca ∴++，故②正确．③：222222b a b ac b c ba c c c⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩，∴2221b c a a b c a b c ++++=∴2221b c a a b c++，故③正确． ④：由柯西不等式得2()(111)(a b c a b +++++，∴≤④错误．故选：B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy-+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =； 令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.4．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．9．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．10．C解析：C 【解析】试题分析：(()()22221111113a b c ≤++++=，因此，≤==13a b c ===时取等号，故选C ． 考点：柯西不等式．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为31(3)(1)4x x x x ++-≥+--=，则要使不等式2313x x a a ++-<-有解，则有243a a <-，解得1a <-或4a >，故选A ．考点：1、绝对值不等式的性质；2、不等式的解法．12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】凑配进而根据柯西不等式结合已知求解即可【详解】解：根据柯西不等式得：当且仅当时上述两不等式取等号所以因为所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题解题的关键在于解析：【分析】 凑配==，进而根据柯西不等式结合已知求解即可.【详解】解：根据柯西不等式得：()()()222221121xx ++≥+，()()()2222222428y y ++≥+，当且仅当2,1x y ==时，上述两不等式取等号，21x +28y +因为3x y +=，29x y ++=≥==当且仅当2,1x y ==时，等号成立.故答案为： 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题，解题的关键在于根据已知条件凑配使得=，再根据柯西不等式求解，考查运算求解能力，是中档题.14．36【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的条件【详解】由柯西不等式得当且仅当即时等号成立；所以当时取得最小值36故答案为：36【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值意在考查学生对这些知识的理解解析：36【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的条件． 【详解】 由柯西不等式得222222149][()]x y zx ++=++++2111(23)36xyzx y z ++=当且仅当23x y z ==，即6x =，3y =，2z =时，等号成立； 所以当6x =，3y =，2z =时，49x y z ++取得最小值36． 故答案为：36. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】由二维柯西不等式即可得解【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x ＋4y)2当且仅当3y ＝4x 时等号成立∴25×10≥(3x ＋4y)2即∴(3x ＋4y)max ＝5故答案为：5【点睛】【分析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，即34x y -≤+≤ ∴(3x ＋4y )max ＝.故答案为： 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题.16．【解析】由柯西不等式可得所以当且仅当即时等号成立故的最大值是故答案为解析：【解析】由柯西不等式可得()2222211()12≤++=，所以≤=2a =，1b =时，等号成立，故故答案为17．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v ++≥,当且仅当x =0y =或0x =，y =2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1. 18．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64【解析】 试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64． 考点：柯西不等式．19．【分析】利用条件构造柯西不等式进行解答即可【详解】由柯西不等式可知:即故当且仅当即的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配 解析：114【分析】 利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z ++≤++++, 即()222141x y z ++≥ 故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==, 即222x y z ++的最小值为114.故答案为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 20．【解析】试题分析：由柯西不等式因为所以当且仅当即时取等号所以的最小值为考点：柯西不等式 解析：122【解析】试题分析：由柯西不等式，2222222(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122. 考点：柯西不等式三、解答题21．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．利用零点分段法去绝对值,分三段解不等式即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为334a a +=，解得1a =，可得11m n+=， 利用柯西不等式即可求证.【详解】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．当3x ≤-时，136x x ---<，即226x --<，解得：4x >-，所以43x -<≤-； 当31x -<<时，136x x -++<，即46<，所以31x -<<；当1≥x 时，136x x -++<，即226x +<，解得2x <，所以12x ≤<．综上所述：不等式()6f x <的解集为()4,2-．（2）证明：因为333()|3|(3)3f x x a x a x a x a a a =-++≥--+=+，且0a >，所以()f x 的最小值为334a a +=．因为函数3()3g a a a =+为增函数，且()14g =，所以1a =． 从而11m n+=，因为0m >，0n >， 所以由柯西不等式得()222112m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即25≥，≤（当且仅当15m =，54n =时等号成立） 【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：a 为正实数，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔<-或x a >；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x a x b -<-或x a x b ->-型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图像求解.22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证.【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----， 解得2x 或02x <或23x -， 综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞； （2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112a b c =-=+时，上式取得等号． 又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++，即824a b c --+．即得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求出不等式的解集；（2）先求出最小值m ，然后利用柯西不等式可证明. 【详解】 （1）当2x -≤时，()()()22322334f x x x x x x =++-=----=-+，由()7f x ≥，得347x -+≥，解得1x ≤-，此时2x -≤； 当23x -<<时，()()()2232238f x x x x x x =++-=+--=-+，由()7f x ≥，得87x -≥，解得1x ≤，此时21x -<≤；当3x ≥时，()()()22322334f x x x x x x =++-=++-=-，由()7f x ≥，解得113x ≥， 综上所述，不等式()7f x ≥的解集为(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； （2）由（1）可知()34,28,2334,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩. 当2x -≤时，()3410f x x =-+≥；当23x -<<时，()()85,10f x x =-∈；当3x ≥时，()345f x x =-≥.所以，函数()y f x =的最小值为5m =，则5a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222235a b c ++≥， 即222253a b c ++≥，当且仅当53a b c ===时，等号成立. 因此，222253a b c ++≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）运用基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥三式相加，结合题设条件，即可求解；（2）由乘“1”法，结合柯西不等式证明，即可证明.【详解】（1）由基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥， 所以22211111224933x y z xy yz xz ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭． 当且仅当11123x y z==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz ++≥++， 又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz++≤． （2）由题意知222111149x y z ++=， 可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=． 当且仅当23x y z ==时等号成立，所以222499x y z ++≥．【点睛】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理运用均值不等式和柯西不等式是解答的关键，属于中档题．25．（1）18；（2）证明见解析. 【分析】（1）变换得到22a a abc b c ++=+++，再利用均值不等式解得答案. （2）直接利用柯西不等式得到证明.【详解】（1）22a a a b c b c ++=+++≥42144a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，6212a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 31128⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，当且仅当124a b c ===，即12a =，14b c ==时取得最大值18. （2）由柯西不等式得：()()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=， 当16a =，13b =，12c =时等号成立，1a b c ++=，14936a b c ++≥∴. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．1205a ≤≤【分析】 由题意可得222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++，结合柯西不等式即可得到2226(3)3a a -≥-，解一元二次不等式即可． 【详解】解：∵222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++2222()(3)33b c a +=-≥， 即25120a a -≤， ∴1205a ≤≤． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属于中档题．。