江苏省宿迁市宿豫中学届高考数学(二轮复习)专题检测：分段函数,剪不断理还乱.docx

8 函数性质在运用中的巧思妙解1．已知函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝13x ＋2 013－a ，则f (log 312)＝________. 答案 12 015×2 014解析 由题意，可知函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝130＋2 013－a ＝0， 解得a ＝12 014，所以当x ≥0时， f (x )＝13x ＋2 013－12 014. 所以f (log 32)＝13log 32＋2 013－12 014＝12 015－12 014＝－12 015×2 014. 从而f (log 312)＝f (－log 32) ＝－f (log 32)＝12 015×2 014. 2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________.答案 337解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335. 而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335＋2＝337.3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[－2－2，2＋2]，不等式f (x ＋t )≤2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 设x <0，则－x >0. f (－x )＝(－x )2，又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－x 2.∴f (x )在R 上为增函数，且2f (x )＝f (2x )．∴f (x ＋t )≤2f (x )＝f (2x )⇔x ＋t ≤2x 在[－2－2，2＋2]上恒成立，∵x ＋t ≤2x ⇔(2－1)x ≥t ，要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t⇒t ≤－2即可．4．(2013·天津改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 由题意知a >0，又log 21a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 21a )，∵f (log 2a )＋f (log 21a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 5．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 2114)·f (log 2114)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 b >a >c解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称．所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 1214＝2， 从而0<ln 2<20.2<log 1214， 所以b >a >c .6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是______________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 8(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为________．答案 13解析 当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )．由函数f (x )在R 上为偶函数，可得f (－2 013)＝f (2 013)，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)，f (2 014)＝f (4×503＋2)＝f (2)．而f (1)＝log 8(1＋1)＝log 82＝13， f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝－log 81＝0.所以f (－2 013)＋f (2 014)＝13. 8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.9．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0 不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0－x 2－4x >x ，解得：x >5或－5<x <0.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称；②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确．11．设函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.(1)证明 方法一 设x 1<x 2，∴Δx ＝x 2－x 1>0，∴f (Δx )>1，∴f (x 2)＝f (x 1＋Δx )＝f (x 1)＋f (Δx )－1>f (x 1)，∴f (x )是R 上的增函数．方法二 ∵f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，∴f (0)＝1，∴f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1＝1，∴f (－x )＝2－f (x )．设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1＝f (x 2)＋2－f (x 1)－1＝f (x 2)－f (x 1)＋1>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是R 上的增函数．(2)解 f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3，∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2)．又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43. 12．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (21x －22x )＋b (31x －32x )． ∵21x <22x ，a >0⇒a (21x －22x )<0， 31x <32x ，b >0⇒b (31x －32x )<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ， 则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 故a <0，b >0时，x ∈(log 1.5(－a2b )，＋∞)； a >0，b <0时，x ∈(－∞，log 1.5(－a 2b))．。

江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题是虚数单位，复数A．B．C．D．第(2)题已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．4C．D．8第(3)题执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（）A．B．C．D．第(4)题32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（）A．24B．25C．26D．27第(5)题若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（）A．B．C．D．第(6)题为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班．已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率为0.95．若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9第(7)题已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A．3B．5C．7D．9第(8)题若，且，则下列不等式中，恒成立的是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知平面向量，，都是单位向量，且，则的值可能为（）A．0B．1C．-1D．2第(3)题已知，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为虚数单位，复数，则实数a的值是___________．第(2)题在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为____________．第(3)题数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为_____________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求的标准方程；(2)过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点.第(2)题已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.第(3)题设等差数列的前n项和为，，，数列满足.(1)若，求数列的前n项和；(2)若，，（，且）成等比数列，求t.第(4)题学校为了让学生的学习与活动两不误，在延时课开设篮球、书法两项活动，为了了解学生的选择意向，随机调查了部分同学，得到如下列联表.性别选择篮球选择书法男生4010女生2525(1)根据上表，分别估计该校男、女生选择篮球的概率；(2)试根据小概率值的独立性检验，分析性别与选择意向是否有关联.附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.841 5.024 6.6357.87910.828第(5)题2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：时间段频数100300m n(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.参考数据：若，则①；②；③.。

江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（）A．B．C．D．第(3)题函数在开区间的零点个数为（）A．B．C．D．第(4)题已知，且，则（）A．B．C．D．第(5)题已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1B．C．D．第(6)题已知函数（是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是A．或B．或C．或D．或第(7)题某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（）A．B．C．D．第(8)题设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（）A．函数是奇函数B．函数是减函数C．对于实数，当时，函数有两个零点D．曲线存在与直线垂直的切线已知函数，则（）A．函数在上单调递增B．函数是奇函数C．函数与的图象关于原点对称D．第(3)题正方体的棱长为3，、为底面内的动点，且，直线与所成角为，下列说法正确的是（）A．动点轨迹长度为B．C．线段的长度最小值为D．三棱锥的体积可以取值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若关于的方程只有一个实数解，实数的取值的集合是__________．第(2)题若在的展开式中第项的二项式系数最大，则的展开式中，常数项是___________.第(3)题已知O为平面直角坐标系的原点，为双曲线的右焦点，E为的中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别y轴交于C，D两点，B为双曲线的右顶点，若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料:日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差X/℃101113128发芽数Y/颗2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出Y关于X的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?第(2)题已知函数(1)求函数的对称轴和对称中心；(2)当，求函数的值域．第(3)题已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且.(1)求的方程.(2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.第(4)题已知椭圆过点，其离心率为，设、是椭圆上异于点的两点，且在线段上，直线、分别交直线于、两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的最小值.如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O．(1)求证：平面ABCD；(2)求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值．。

9 分段函数，剪不断理还乱1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12， 所以x >1.综上可知x ≥0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3)x ＋5，x ≤1，2a x，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．答案 (0,2] 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2. 3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是______________________．答案 [－94，0]∪(2，＋∞) 解析 由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2. 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]． 综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)． 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ －2x (－1≤x ≤0)，x (0<x ≤1)， 则下列函数的图象错误的是________．答案 ④解析 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此①正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此②正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，③正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0.若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析 若m >0，则－m <0，f (m )＝12log m＝－log 2m ，f (－m )＝log 2m ，由f (m )>f (－m )，得－log 2m >log 2m ，即log 2m <0,0<m <1；若m <0，则－m >0，f (－m )＝log 12 (－m )＝－log 2(－m )，f (m )＝log 2(－m )，由f (m )>f (－m )得log 2(－m )>－log 2(－m )，解得m <－1.6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－2]∪(－1，－34)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知c 的取值范围为(－∞，－2]∪(－1，－34)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，f (x ＋2)＋1，x ≤0，则f (－3)的值为________．答案 2 解析 f (－3)＝f (－1)＋1＝f (1)＋2＝2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 答案 －1<a <3解析 由分段函数可得f (f (1))＝f (3)＝6a ＋9，故f (f (1))>3a 2⇔6a ＋9>3a 2，解得－1<a <3. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1) 解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10 解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2013·四川)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 又当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2，因为x 1<x 2<0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立． 所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ， ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2. 由①②得，a ＝ln x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t . 设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)， 因为h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0， 所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，a >－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．12．(2013·湖南)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －x x ＋2a ； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a(x ＋2a )2<0，f (x )在(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a， 故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a 4＋2a； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a (x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a <3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。

江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）部编版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（）A．720种B．3168种C．1296种D．5040种第(3)题若，则的值为（）A．B．C．D．第(4)题《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（）A．189B．190C．191D．192第(5)题将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为（）A．B．C．D．第(6)题设集合，则集合A的真子集个数是（）A．6B．7C．8D．15第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A． cm3B． cm3C． cm3D． cm3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知,若,其中是自然对数的底数,则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，，函数的图象在点处的切线为，与两坐标轴交点分别为，；在点的切线为，与两坐标轴交点分别为，．若两条切线互相垂直，则下列变量范围正确的是（）A．B．C．D．第(3)题当且时，不等式恒成立，则自然数可能为（）A．0B．2C．8D．12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．第(2)题设复数满足（其中为虚数单位），则的模为______ _第(3)题已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在正项等差数列中，其前项和为.（1）求；（2）证明：.第(2)题在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．(1)求b的值；(2)求的值．第(3)题已知函数为函数的导函数．(1)若，讨论在上的单调性；(2)若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围．第(4)题已知函数.（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）证明：当时，恒成立.第(5)题已知曲线（为参数），（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.。

江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）统编版质量检测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（）A．B．C．2D．4第(2)题如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A．2B．3C．9D．16第(3)题已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（）A．B．C．D．第(4)题已知函数那么不等式的解集是（）.A．B．C．D．第(5)题已知点是由三条直线，，围成的平面区域内的一个动点，则的最小值为（）A．B．C．D．第(6)题函数ƒ(x)＝sin x cos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2第(7)题设全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．第(8)题如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设函数，则下列结论正确的是（）A．的一个周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在上单调递减第(2)题是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.第(2)题若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．第(3)题在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和;(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.第(2)题2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：球队输球球队赢球总计甲参加23032甲未参加81018总计104050(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．①证明：；②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值．附：．参考数据：a0.050.010.0050.0013.841 6.6357.87910.828第(3)题已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.第(4)题已知函数的部分图象如图所示，且的面积等于.(1)求函数的单调递减区间；(2)若，且，求的值.第(5)题已知函数（e是自然对数的底数），．(1)若函数，求函数在上的最大值．(2)若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：．。

江苏省宿迁市（新版）2024高考数学人教版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设i为虚数单位，复数满足，则（）A．B．2C．D．1第(2)题设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题在区间上随机取一个实数，使恒成立的概率是（）A．B．C．D．第(5)题设命题p：，，则为（ ）A．，B．，C．，D．，第(6)题已知平面向量，的夹角为，若，，则（）A．2B．C．或2D．2或第(7)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知i为虚数单位．则复数的虚部为（）A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（）A．事件A与事件B互为对立事件B．事件A与事件B相互独立C．D．第(2)题口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A．B．与互斥C．与相互独立D．与互为对立第(3)题已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题执行如图所示的程序框图,输出S的值为_____.第(2)题若的展开式中的系数为40，则实数________．第(3)题直线与圆有________个交点．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数x（单位：千件）之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位；元）（i=1，2，3，4，5）数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.45.160.415 2.028300.507表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程；（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位；元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．第(2)题如图1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到四棱锥P-BCED，如图2所示，设平面平面PBC=l.(1)求证：平面PBD；(2)若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值.第(3)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求C；（2）若的面积为，求c的最小值.第(4)题已知函数(1)若是的一个极值点，求的最小值；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．第(5)题已知数列和满足：，，，且对一切，均有.（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）设（），记数列的前n项和为，问：是否存在正整数，对一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由.。

江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）人教版测试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数（其中为自然对数的底数）有两个极值点，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3第(3)题圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（）A．B．C．D．第(4)题把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，已知函数，则当函数有4个零点时的取值集合为A．B．C．D．第(5)题已知曲线在点处的切线方程为，则A．B．C．D．第(6)题一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（）A．B．C．D．第(7)题已知某地冬季的室内外温度差为30℃，根据调查数据研究知，双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）、两层玻璃间夹空气层厚度与热传导量满足关系式，其中为室内外温度差，热传导量越小，保温效果越好．根据统计，该地一些房屋的双层玻璃窗户满足，则当双层玻璃的保温效果最好时，的值为（）A．B．C．D．第(8)题在汉代的石刻造像中有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”的图．规的形状如图所示，中间直立的杆为规的固定脚，右面下垂部分的端点为笔尖，横杆绕立杆旋转即可画出圆．若把规的固定脚的端点放在平面直角坐标系的坐标原点处，笔尖落在点处，横杆绕立杆旋转一周后得到圆，直线被圆截得的弦长为，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A．4B．5C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于函数，下列判断正确的是（）A ．是的极小值点B．函数图像上的点到直线的最短距离为C．函数有且只有1个零点D．不存在正实数k，使成立第(2)题已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（）A．4为的一个周期B．8为的一个周期C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答，至少答对2道题才算合格.则甲不合格的概率是________；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是__________.第(2)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.第(3)题已知等差数列前9项的和为27，，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某猎人发现在距离他100米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?附:.第(2)题已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且．(1)求A；(2)若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD．第(3)题已知直线与曲线在点处相切，且与轴交点的横坐标为.（1）求函数的单调减区间；（2）在前提下，试确定曲线与直线交点个数.第(4)题已知函数.(1)若函数在上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数在上有两个极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：.第(5)题已知椭圆的离心率为，且过点.点P到抛物线的准线的距离为. (1)求椭圆和抛物线的方程；(2)如图过抛物线的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A，B两点（点A在x轴下方），直线交椭圆于另一点Q.记，的面积分别记为，当恰好平分时，求的值.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作13 以函数为背景的创新题型1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为________．答案 ③ 解析如图，平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除④；当t ＝－12时，S >14S max ，排除①②.2．设函数f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤k (k >0)，则称f (x )与g (x )在[a ，b ]上是“k 度和谐函数”，[a ，b ]称为“k度密切区间”．设函数f (x )＝ln x 与g (x )＝mx －1x 在[1e ，e]上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是________． 答案 [－1，e ＋1]解析 设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx －1x＝－m ＋1x＋ln x ，h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，故当x ∈[1e ，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，函数h (x )单调递增． 所以函数h (x )的最小值为h (1)＝－m ＋1，而h (1e )＝－m ＋e －1，h (e)＝－m ＋1e＋1，显然e －1>1e ＋1，所以h (1e)>h (e)，故函数h (x )的最大值为h (1e)＝－m ＋e －1.故函数h (x )在[1e ，e]上的值域为[－m ＋1，－m ＋e －1]．由题意，得|h (x )|≤e ，即－e ≤h (x )≤e ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－e ，－m ＋e －1≤e ，解得－1≤m ≤1＋e.3．(2014·苏州模拟)对于函数f (x )，若任意的a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是________．答案 [12，2]解析 因为对任意的实数x 1，x 2，x 3∈R ， 都存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形， 故f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立．由f (x )＝e x＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，设e x＋1＝m (m >1)，则原函数可化为f (m )＝1＋t －1m(m >1)，当t >1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递减，所以f (m )∈(1，t )，此时2<f (x 1)＋f (x 2)<2t,1<f (x 3)<t ，要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，需t ≤2，所以1<t ≤2；当t ＝1时，f (x )＝1，显然满足题意； 当t <1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递增， 所以y ∈(t,1)，此时2t <f (x 1)＋f (x 2)<2，t <f (x 3)<1， 要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，需满足2t ≥1，所以12≤t <1.综上t ∈[12，2]．4．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________对． 答案 2解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对．5．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝lgx －2x的零点，则[x 0]＝________.答案 2解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为________．答案 14解析 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1，则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x )．∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.7．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“垂直双点集”．给出下列四个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}．其中是“垂直双点集”的序号是________．答案 ②④解析 对于①，y ＝1x是以x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”．对于②，M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图1所示，在曲线y ＝sin x ＋1上，对任意的点B (x 1，y 1)∈M ，总存在点C (x 2，y 2)∈M ，使得OB ⊥OC ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，故M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直双点集”．对于③，M＝{(x，y)|y＝log2x}，如图2所示，在曲线y＝log2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”．对于④，M＝{(x，y)|y＝e x－2}，如图3所示，在曲线y＝e x－2上，对任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如取(0，－1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义．8．如图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；④f(x)为偶函数．其中真命题为________(写出所有真命题的序号)．答案①②③解析如图所示．①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．9．对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](其中a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x.其中存在“稳定区间”的函数有________．(填出所有满足条件的函数序号) 答案 ①②③解析 据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间[a ，b ]内的定义域与值域相等． 问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断①②③均符合条件，而对于④易知由于f ′(x )＝e x，故f (x )＝e x在原点处的切线方程即为y ＝x ，故不符合条件．综上可知①②③均为存在“稳定区间”的函数．10．(2014·山东)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析 由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)．11．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2 x ，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)，f 3(x )＝(log 2 x )2，f 4(x )＝log 2(2x )．则“同形”函数是________．答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)＝log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故根据新定义得，f2(x)＝log2 (x＋2)与f4(x)＝log2 (2x)为“同形”函数．12．已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)．对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m”，则称S为理想集．对于下列命题：①当n＝10时，集合B＝{x∈A|x>9}是理想集；②当n＝10时，集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是一个理想集；③当n＝1 000时，集合S是理想集，那么集合T＝{2 001－x|x∈S}也是理想集．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．答案②③解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定．(1)当n＝10时，A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．因而B不具有性质P，不是理想集，故①为假命题．(2)对于C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}，因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.故C具有性质P，②为真命题；(3)当n＝1 000时，则A＝{1,2,3，…，1 999,2 000}，因为T＝{2 001－x|x∈S}，任取t ＝2 001－x0∈T，其中x0∈S，S⊆A，所以x0∈{1,2,3，…，2 000}，从而1≤2 001－x0≤2 000，即t∈A，所以T⊆A.由S具有性质P，就是存在不大于1 000的正整数m，使得对S 中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m.对于上述正整数m，从集合T＝{2 001－x|x∈S}中任取一对元素t1＝2 001－x1，t2＝2 001－x2，其中x1，x2∈S，则有|t1－t2|＝|x1－x2|≠m，所以集合T＝{2 001－x|x∈S}具有性质P，③为真命题．故填②③.。

江苏省宿迁市（新版）2024高考数学人教版测试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（）A．1B．C．D．2第(2)题已知实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．第(3)题如图，在直三棱柱中，，，，点P在棱上，且P靠近B点，当时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A．B．C．3D．5第(5)题如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（）A．B．C．D．第(6)题设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知，则（）A．B．C．D．第(8)题一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是A．若，则乙有必赢的策略B．若，则甲有必赢的策略C．若，则甲有必赢的策略D．若，则乙有必赢的策略二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有（）A．线段长度的最小值为B ．满足的情况只有种C ．无论，如何运动，直线都不可能与垂直D．三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关第(2)题如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（）A．长轴长为B．离心率为C．焦距为D．面积为第(3)题在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）A ．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C ．当时，有且仅有一个点，使得D ．当时，有且仅有一个点，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线与曲线相切，则k =___________.第(2)题若实数x ，y 满足约束条件，则z =2x y 必有最______值（填“大”或“小”）．第(3)题的展开式中，的系数是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在，使成立，求a 的取值范围.第(2)题为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．第(3)题已知函数.(1)比较与0的大小；(2)证明：对任意的，恒成立.第(4)题已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.(1)若，，求k的值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程.第(5)题如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.。