33两角和与差及二倍角的三角函数

两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点要求(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． (2)二倍角的三角函数公式①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式的变形 公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 4．公式C 2α的变形(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)．(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．5.公式的逆用(1)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. (2)sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．题型一 给角求值1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D 2.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝( )A. 3B.3－12 C ．1 D.32解析：利用三角函数公式求解.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3，故选A.答案：A题型二 给值求值问题1. (1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56[解析] tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.[答案] A2.(2016·贵阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] 法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.法二：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝29－1＝－79.[答案] D3．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23 C.13 D.23解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.答案：D4．已知α为第二象限角，cos α＝－35，则tan 2α的值为( )A.2425 B.247 C ．－247 D ．－2425解析：因为α为第二象限角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.题型三 三角函数式的化简1.化简(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝＝＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ. 2.化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-【解析】原式＝12(2cos2x －1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x 4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x 2sin(π2－2x)＝12cos 2x.3. 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，所以tan x ＝＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x －sin2x 2(22cos x －22sin x)sin x [＝(cos x －sin x)(cos x ＋sin x)(cos x －sin x)sin x ＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.4.已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .【解析】f(sin 2θ)＋f(－si n 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－co s θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.题型四 三角函数式的简单应用问题1.】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x)2＝－1－2sin xcos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x )＝cos3x －sin3x ＝(cos x －sin x)(cos2x ＋cos xsin x ＋s in2x)2tan 12tan 22xx＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x ±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x ±cos x 取值符号. 2.化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.题组 基础能力提升1、已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2B ．1－k 2C ．±1－k 2D ．－k【答案】A【解析】由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝1－k 2，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2.故选A.2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B ．3715 C.3720D ．1315【答案】D【解析】.∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D.3、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3【答案】D【解析】∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4、已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43 D ．－43【答案】B【解析】因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B.5、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.2 23B ．－223C ．13D ．－13【答案】D【解析】∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 6、若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以θ是第二象限角，故选B.7、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°【答案】C【解析】因为sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，所以角α终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，又0°≤α<360°，所以角α的值是300°，故选C. 8、已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C ．15D ．35【答案】B9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.答案：B10．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：C11．(2015·枣庄模拟)已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＋πcos －αtan α的值为( )A ．2 6B ．－2 6C ．－612D.612解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＋πcos －αtan α＝－sin αtan αsin α＝－cos αsin α，∵cos α＝15，－π2<α<0，∴sin α＝－265，原式＝612.答案：D12．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：由2tan α·sin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.答案：B13．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限14、现有如下命题：①若点P (a ，2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且仅有一个；③设tan α＝12且π＜α＜3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限． 则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上) 【答案】③【解析】①中，当α在第三象限时，sin α＝－255，故①错误；②中，同时满足sin α＝12，cos α＝32的角为α＝2k π＋π6(k ∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误．综上选③.15、已知sin x ＋3cos x 3cos x －sin x ＝5，则sin x cos x ＋cos 2x ＝________．【答案】35．【解析】由已知，得tan x ＋33－tan x＝5，解得tan x ＝2，所以sin x cos x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x ＋1tan 2x ＋1＝2＋122＋1＝35. 16、已知在△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________.【答案】－1213【解析】∵在△ABC 中，tan A ＝－512，∴A 为钝角，cos A ＜0.由sin A cos A ＝－512，sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A＝－1213.17、若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 【答案】1－ 5【解析】由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 18、若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α的值等于________．【答案】－25【解析】由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，所以sin α cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 19．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.20、已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．【答案】(1) －cos α (2)265【解析】(1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cosα.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－2 65.故f (α)＝265.。

第33课 两角和与差及二倍角公式1．两角和与差的三角函数公式sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-； cos()αβ+=cos cos sin sin αβαβ- cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+； tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+- tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+.变形有：tan tan αβ±=tan()(1tan tan )αβαβ±m 2.二倍角公式sin 2α=2sin cos αα tan2α=22tan 1tan αα- cos2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-【例1】求下列各式的值.（1）212sin 22.5-︒ （2）sin163cos 223sin 253cos313⋅+⋅o o o o（3）cos15sin15cos15sin15+-o o o o(4) tan 20tan 4020tan 40++⋅o o o o【解析】（1）212sin 22.5cos 45-︒==o（2）原式sin(9073)cos(29043)=+⋅⨯+o o o o sin(29073)cos(39043)+⨯+⋅⨯+o o o ocos73cos 43sin 73sin 43=-⋅-⋅o o o o cos(7343)=--=o o ．（3）cos15sin151tan15tan 45tan15tan 60cos15sin151tan151tan 45tan15+++====---⋅o o o o oo o o o o o（4）tan 20tan 4020tan 40+⋅ooootan 60(1tan 20tan 40)20tan 40=-⋅+⋅o o o o otan 20tan 40)20tan 40=-⋅⋅=o o o o 【例2】(1)（2013全国高考）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ． 12D ．23【答案】A【解析】∵22sin 2cos(2)12cos ()243ππααα=-+=-+=，∴21cos ()46πα+=．(2)若02πα<< ，02πβ-<< ，cos 41()3πα+=，()4cos 2πβ-=os 2(c )βα+等于( )A.3 B．3-9 D．9- 【答案】A 【解析】cos )cos[()()]24(42βππβαα+=+--cos()cos()sin()sin()442442ππβππβαα=+-++- ∵02πα<<，则3444πππα≤+≤，∴sin ()34πα===+. 又02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，∴()s 42in πβ-===故1cos )23(3βα+=+=【例3】已知α、β为锐角，且1tan ,sin 7αβ==．求2αβ+的值． 【解析】∵β为锐角，sin 10β=，∴cos 10β==，1tan 3β=， ∴22tan tan 2ta 23311419n βββ=-==-，∴13tan 741131ta tan 2tan(2)tan 2n 174αβαβαβ++=+==-⋅-⨯． ∵β为锐角，sin β=，∴04πβ<<，∴022πβ<<，∵α为锐角，∴02αβπ<+<，∴ 24παβ+=．【例4】（2013重庆高考）4cos50tan 40-=o o（ ）ABCD．1 【答案】C【解析】sin 404cos50tan 404sin 40cos 40-=-ooooo4sin 40cos 40sin 40-=o o o o 2sin80sin 40-=o oo140sin 40)sin 4022cos 40+-=o o oo40cos 40==o ．第33课 两角和与差及二倍角公式的课后作业1．（2013江西高考）若sin23α=，则cos α=（ ） A ．23-B ．13-C ． 13D ．23【答案】C 【解析】221cos 12sin 12)233αα=-=-⨯=． 2．(2014南海质检)已知4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，则tan()4πα-=（ ）A ．17-B ．7-C ．71D ．7【答案】D 【解析】∵4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，∴3sin 5α=，∴3tan 4α=-，∴1tan tan()741tan πααα--==+．3．求值：(sincos)(sincos)12121212ππππ+-=( )A．2 B ．12 C. 12-D. 2- 【答案】D【解析】22(sincos)(sincos)sin cos cos12121212121262πππππππ+-=-=-=-4. 已知)an(2t 5αβ+= ，)an(1t 44πβ=-，那么)an(t 4πα+= ( ) A.1318 B. 1322 C. 322 D. 16【答案】C【解析】)(4t tan(tan )3(a )()]221tan(ta n tan[)(44)(n )4παββππααββπαββ++-+==--+⋅=+-- 5．sin 47sin17cos30cos17-=o o oo（ ） A．．12- C ．12D【答案】C【解析】原式sin(3017)sin17cos30cos17+-=o o o oosin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17+-=o o o o o o o sin 30cos171sin 30cos172===o o o o ．6. (2014·课标全国Ⅰ)设)2(0πα∈， ，)2(0πβ∈，，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-= B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】B【解析】由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos cos sin αβααβ=＋ ，∴sin cos ())2(sin παβαα-=-= ．∵)2(0πα∈， ，)2(0πβ∈，，∴()22ππαβ--∈， ，(02)2ππα-∈，，∴由sin()2)(sin παβα-=-，得2παβα-=-，∴22παβ-=.7. sin347cos32sin77cos58︒︒-︒︒=【答案】2-【解析】 sin347cos32sin77cos58︒︒-︒︒sin(27077)cos32sin 77cos(9032)=︒+︒-︒-o o ocos 77cos32sin 77sin 32cos(7732)cos 452=-+=--=-=-o o o o o o o 8.（2013全国高考）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+= ．【答案】5-【解析】∵1tan()42πθ+=，∴1tan 11tan 2θθ+=-，∴1tan 3θ=-．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵θ为第二象限角, ∴sin cos θθ+=． 9.2 coscos 55ππ的值是 【答案】14【解析】22242sincoscossin cos sin 21555555 coscos5542sin2sin 4sin555πππππππππππ====10. 在ABC ∆中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 5A =，sin B =．求A B +的值． 【解析】∵A 、B为锐角，sin A B ==∴cos 5A =，cos 10B =． cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-2==． ∵ 0A B π<+<，∴ 4A B π+=．11.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A ,B 两点，已知A，B点的纵坐标为10．（1）求tan α和tan β的值；（2） 求2αβ+的值． 【解析】（1）由已知得sin 10α=，sin 10β=， ∵,αβ均为锐角，∴cos α==，cos 10β==， ∴sin 1tan cos 3ααα==，sin 1tan cos 7βββ==． （2）∵tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-11137112137+==-⋅，∴tan(2)tan[()]αβααβ+=++11tan tan()321111tan tan()132ααβααβ+++===-+-⋅， ∵02πα<<，tan y x =在(0,)2π上单调递增，且tan 1tan 4πα<=，∴04πα<<，同理04πβ<<，∴3024παβ<+<，∴24παβ+=．。

高中三角函数公式大全三角函数公式 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA 2-Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A +tan(2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin 2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+-tana=2)2(tan 12tan2aa -其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ]1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )21-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数csc(a) =a sin 1sec(a) =acos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -aacosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinαcos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosαcos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotαcot （2π+α）= -tanαsin （2π-α）= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosαcos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotαcot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ————————————————————————一、诱导公式口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。