必修第一章空间几何体单元测试题

高中数学-《空间几何体》单元测试题参考公式：球的体积公式34,3V R π=球，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V 台体1()3h S SS S ''=++，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．一、选择题（每小题5分，共60分）：1.对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） （A ）2倍 （B ）12倍 （C ）22倍 （D ）24倍2.下面哪一个不是正方体的平面展开图（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3.已知棱台的体积是76cm 3，高是6cm ，一个底面面积是18cm 2，则这个棱台的另一个底面面积为（ ）（A ）8cm 2 （B ）7cm 2 （C ）6cm 2 （D ）5cm 2 4.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）5.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后剩下的几何体的体积是（ ） （A ）67 （B ）56 （C ）45 （D ）236.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的2倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）（A ）4：3 （B ）1：1 （C ）2：1 （D ）1：27.圆柱的侧面展开图是矩形ABCD,母线为AD ，对角线AC=8cm ，AB 与AC 成角为30，则圆柱的表面积为（ ）E FDIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．（A ）2163cm （B ）212(323)cm π+ （C ）224(163)cm π+（D ）212(163)cm π+8.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比为( ) A3π B 4π C 2πD π 9.所有棱长为1的三棱椎的表面积为 ( ) A3 B 32 C 33 D 3410.在ABC 中，2AB =，BC=1.5，120ABC ∠=，如图所示。

第一章章节测试题YC一、选择题：1．不共面的四点能够确立平面的个数为（）A ． 2 个B． 3 个C． 4 个 D ．没法确立2．利用斜二测画法获得的①三角形的直观图必定是三角形；②正方形的直观图必定是菱形；③等腰梯形的直观图能够是平行四边形；④菱形的直观图必定是菱形 .以上结论正确的选项是（）A ．①②B．①C．③④ D ．①②③④3．棱台上下底面面积分别为16 和 81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为（）A ．1∶ 1B． 1∶ 1C． 2∶ 3 D ． 3∶44．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A ．正方体B．正四棱锥C．长方体 D ．直平行六面体5．已知直线 a、 b 与平面α、β、γ，以下条件中能推出α∥β的是（）A ．a⊥α且 a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a α， b β， a∥ b D． a α， bα， a∥β， b∥β6．如下图，用符号语言可表达为（）A ．α∩β＝ m， nα， m∩ n＝AB ．α∩β＝ m，n∈α， m∩ n＝ AC．α∩β＝ m，nα， A m， A nD ．α∩β＝ m， n∈α， A ∈ m， A ∈ n7．以下四个说法① a//α， b α ,则 a// b②a∩α＝ P， bα，则 a 与 b 不平行③ a α，则 a//α④a// α， b //α，则 a// b此中错误的说法的个数是（）A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm, 高是 1cm,它的侧面积为（）97B．9 7 cm223 cm2 D ． 3 2 cm2A ．cm2C．239．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶ 4.再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（）A ．3∶ 4B． 9∶ 16C． 27∶64 D ．都不对10．将边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a，则三棱锥D— ABC 的体积为（）a3a33a32a3A ．B．C． D ．6121212二、填空题：11．螺母是由 _________和两个简单几何体组成的．12．一个长方体的长、宽、高之比为2：1： 3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________ ．13．如图，将边长为 a 的正方形剪去暗影部分后，围成一个正三棱锥，则正三棱锥的体积是．14．空间四边形、 、 G 、H 分别是ABCD 中， E F、 BC 、CD 、DA 的中点 .①若 AC=BD ，AB则四边形 EFGH 是；②若 ACBD ， 则四边形 EFGH 是．三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分 )．15．（ 12 分）将以下几何体按构造分类填空①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○11量筒；○ 量杯；○ 十字架．1213（ 1）拥有棱柱构造特点的有 ；（ 2）拥有棱锥构造特点的有 ；（ 3）拥有圆柱构造特点的有 ；（ 4）拥有圆锥构造特点的有 ；（ 5）拥有棱台构造特点的有 ；（ 6）拥有圆台构造特点的有 ；（ 7）拥有球构造特点的有；（ 8）是简单会合体的有；（ 9）其余的有．16．（ 12 分）已知： a,b ,a b A, P b, PQ // a.求证： PQ .．17．（ 12 分）正四棱台的侧棱长为 3cm ，两底面边长分别为 1cm 和 5cm ，求体积．18．（ 12 分）直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 Q 1， Q 2 ，求直平行六面体的侧面积．19．（14 分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求此中截面把此棱台侧面分红的两部分面积之比．20．（ 14 分）如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中， AC ＝ BC ＝1，∠ ACB ＝ 90°， AA1＝ 2 ，D是 A1B1中点．（1）求证 C1 D ⊥平面 A1B ；（ 2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．参照答案（五）一、 CBCDA ACADD ．二、 11．正六棱柱，圆柱； 12．48cm 31313) 13a2； 14．菱形，矩形 .；．(212三、 15．⑴①⑦⑨；⑵⑧；⑶⑾；⑷⑩；⑸⒁；⑹⑿⒃；⑺③⑥⒂；⑻②④⒀；⑼⑤. 16．此题主要考察用平面公义和推论证明共面问题的方法.证明∵ PQ∥ a,∴PQ 与 a 确立一个平面,直线 a,点P.p b,b,p又 a与重合PQ17．解：正四棱台ABCD A1 B1C1 D1O1 , O是两底面的中心A1 C1 2 ，AC 5 2A1O12AO 5 2 222O1O 3 252212211 1 [125212 52]1[1 25 5]31( cm 3 )Vh[ S SSS ]333318．解：设底面边长为 a ， 侧棱长为 l ， 两对角线分别为c ， d.c lQ 1 (1)则d l Q 2 (2)1 21 2c22da (3)2消去 c ， d 由（ 1）得 cQ 1，由（ 2）得 dQ 2， 代入（ 3）得ll221 Q 1 1 Q 2a 2Q 1 2 Q 2 2 4l 2a 22laQ 12Q 2 22 l 2 lS 侧 4al2 Q 1 2 Q 2219．解：设 A 1B 1C 1D 1 是棱台 ABCD －A 2B 2C 2D 2 的中截面，延伸各侧棱交于P 点.2 21 1a b∵ BC ∥B 11 S ∵ BC=a ，B C =b ∴ B C =C ∴2S(a b)2∴ S PB 1 C 14a2S PBCPBCa 2 PB 1C 1a b 2 ()2同理SPB 2 C 2b 2SPBCSB 1C 1CBSPB 1C 1SPBCa2∴S B C C BSPB C2SPB C2 2 1 121 1(a b) 24a2122ab2(b3a)(b a) b 3ab3ab 2 (ab) 23b 2 2ab a 2(3b a)(b a)3b aa 24a 2同理：SABB 1 A 1S DCC 1 D 1SADD 1 A 1b 3a SA 1B 1 B 2 A 1SD 1 C 1C 2 D 2SA 1D 1D 2 A 13b a由等比定理，得S 上棱台侧＝ 3a bS 下棱台侧a 3b20．（ 1）证明：如图 ，∵ABC — A 1B 1C 1 是直三棱柱，∴ A 1C 1 ＝ B 1C 1 ＝ 1，且∠ A 1C 1B 1 ＝90°．又D 是B 的中点 ，∴CD ⊥ A B 1．A 1 111∵ AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1 ， C 1D 平面 A 1B 1C 1 ，∴ AA 1 ⊥ C 1D ，∴ C 1D ⊥ 平面 AA 1B 1B ．（2）解：作DE ⊥ AB 1 交 AB 1 于 E ， 延伸 DE 交 BB 1 于 F ， 连接 C 1F ， 则 AB 1 ⊥ 平面 C 1DF ， 点 F 即为所求．事实上，∵C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1平面 AA1B1B ，∴C1D ⊥AB1．又 AB1⊥DF ， DF C1D ＝ D ，∴AB 1⊥ 平面C1DF ．。

高中数学高一上册《第1章空间几何体》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.三棱锥P−ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O中，若(1)三条侧棱与底面所成的角相等，(2)三条侧棱两两垂直，(3)三个侧面与底面所成的角相等；则点O中依次为垂心、内心、外心的条件分别是()A. (1)(2)(3)B. (3)(2)(1)C. (2)(1)(3)D. (2)(3)(1)2.已知几何体的三视图(如图)，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰为3，则该几何体的表面积为()A. 5πB. 3πC. 4πD. 6π3.半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为()A. B. C. D.4.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=√2，设点A关于BD1所在直线的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为()A. 1B. √2C. √33D. √325.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是()A. 2+√22B. 1+√22C. 2+√2D. 1+√26.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺(1丈=10尺)，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为()A. 1998立方尺B. 2012立方尺C. 2112立方尺D. 2324立方尺7.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对8.已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为A. B. C. D.9.如图，网格纸中的小正方形的边长为1，图中组线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为()(√22+3√2+4)A. 12(√22+3√2+8)B. 12(√22+√2+8)C. 12(√22+2√2+8)D. 1210.下列说法中正确的是()A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了并流入杯中，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．(冰、水的体积差异忽略不计)(π≈3.14)12.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为．13.三棱锥S−ABC，若SA，SB，SC两两互相垂直，且SA=1，SB=3，，则此三棱锥S−ABC的外接球的半径为________．14.四面体A−BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2√34，AD=BC=2√41，则四面体A−BCD外接球的表面积为______．15.在四面体ABCD中，△ABC和△ABD都是边长为2√2的等边三角形，该四面体的外接球表面积为12π，则该四面体ABCD的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共73.0分）16.如图所示在圆锥PO中，已知PO=√2，⊙O的直径AB=2，C是ÂB上的点(点C不与AB重合)，D为AC中点．(Ⅰ)证明：平面POD⊥平面PAC；(Ⅱ)求圆锥PO的表面积．17.一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V表示为x的函数；(2)若x=6，求图2的主视图的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2．(1)求PC与平面ABCD所成角的大小；(2)求三棱锥P−ABE的体积．19.18、(本题满分3分)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点(图2).有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；④若往容器内再注入升水，则容器恰好能装．其中真命题的序号为：．20. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点(1)求证：GN⊥AC；(2)当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC.并给出证明．21. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是菱形，SA=SD，∠BAD=60°，AB=2，SE=√3，SC=√10，E是AD中点，SF=2FC．(1)求证：AD⊥平面SBE；(2)求三棱锥F−BEC的体积．【答案与解析】1.答案：D解析：解：三棱锥P−ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，(1)若三条侧棱与底面所成的角相等，则△POA≌△POB≌△POC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．(2)若三条侧棱两两垂直，则PA、PB、PC两两垂直，连结AO，延长并BC于D，连结BO并延长并AC于E，∵AP⊥BP⊥CP，BP∩CP=P，∴AP⊥平面BCP，∵BC∈平面BCP，∴AP⊥BC，∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，∴BC⊥OP，∵AP∩OP=P，∴BC⊥平面PAD，∵AD∈平面PAD，∴BC⊥AD，同理AC⊥BE，∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高，∴O是两高的交点，∴O是△ABC是垂心．(3)若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面△的斜高，由三垂线定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角，∠PDO=∠PEO=∠PFO，∵OD=OP⋅cot∠PDO，OE=OP⋅cot∠PEO，OF=OP⋅cot∠PFO，∴OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．故选：D．三棱锥P−ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，若三条侧棱与底面所成的角相等，则O是△ABC的外心；若三条侧棱两两垂直，则O是△ABC是垂心；若三个侧面与底面所成的角相等，则O是△ABC的内心．本题考查三角形的垂心、内心、外心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理的合理运用．2.答案：A解析：解：由三视图可知，该几何体的上半部分为圆锥，下半部分为半个球，其中球的半径为1，圆锥的底面半径为1，圆锥的母线长为3．∴圆锥的侧面积为π×1×3=3π，半球的表面积为2π×12=2π，∴该几何体的表面积是5π，故选：A．由三视图可知，该几何体的上半部分为圆锥，下半部分为半个球，然后根据条件求几何体的表面积．本题主要考查三视图的识别和判断，以及圆锥和球的表面积公式．3.答案：C解析：试题分析：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为，则底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长，可得，圆锥的高，根据圆锥的体积公式，可得故选C．考点：本题考查旋转体，即圆锥的体积，着重考查了旋转体的侧面展开和锥体的体积公式等知识．4.答案：A解析：本题考查了空间几何体的性质，几何体中的对称问题，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．根据几何体画出平面图形，根据边长得出角的大小，转化到△PD1C1中，D1C1=1，PD1=√3，∠PD1C1=30°根据条件运用余弦定理求解即可．解：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=√2，∴AD1=√3，D1B=2，∠AD1C1=90°，∵设点A关于直线BD1的对称点为P，∴在△AD1B中，∠AD1B=30°，∴∠PD1B=30°，AD1=PD1=√3，即∠PD1C1=30°，∵在△PD1C1中，D1C1=1，PD1=√3，∠PD1C1=30°，∴根据余弦定理得出：C1P=√1+3−2×1×√3×√32=1，故选：A．5.答案：C解析：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+√2，S=12(1+√2+1)×2=2+√2．故选：C．水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．6.答案：C解析：本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48尺，∴r=482π≈8尺，又圆堢壔的高ℎ=11尺，∴圆堢壔的体积V=πr2ℎ=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．7.答案：B解析：本题考查长方体体对角线、球的表面积公式、长方体与球的关系，属于中档题目．此题中正解判断出长方体与球的位置关系是关键，利用长方体的体对角线与球的直径相等是构建等量关系的基础，注意多个公式的运用．解：根据题意知：球实际上就是长方体的外接球，这样球的直径就等于长方体的体对角线，长方体中：l=√32+42+52=√50=5√2，所以R=5√22，故．故选B．8.答案：C解析：解：(利用等体积法)由图知=三棱锥中===设点C到平面的距离为x===即X=故选C9.答案：B解析：解：由已知中的三视图，画出几何体的直观图如下，，其中OB=OC=0D=1，AB=3，BD=2，故S△ABD=12×2×3=3，S△BCD=12×2×1=1，BC=√2，故S△ABC=12×√2×3=32√2，AC=√11，CD=√2，AD=√13，故S△ACD=12×√2×√11=12√22，故几何体的表面积S=3+1+32√2+12√22=12(√22+3√2+8)，故选：B．由已知中的三视图，画出几何体的直观图，分别求出各面的面积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三角形求体积和表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．10.答案：D解析：解：由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形，侧面展开图只能为平行四边形构成，且上下边不平行，故A错误；由直观图的画法，以及平行性不变，可得B错误；一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，该直四棱柱不一定是长方体，还要看俯视图是不是矩形，故C错误；由定义可得，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，故D正确．故选：D．由侧面展开图可判断A；由直观图的画法和性质可判断B；由三视图可判断C；由圆台的定义可判断D．本题考查多面体的定义和运用，以及直观图和侧面展开图的画法，考查判断能力和空间想象能力，属于基础题．11.答案：解：半球的半径为4cm，圆锥的底面半径为4cm，高为12cm，∴V半球=12×43πR3=12×43π×43≈134(cm3)V圆锥=13πr2ℎ=13π×42×12≈201(cm3)∴V半球<V圆锥∴冰淇淋融化了，不会溢出杯子．解析：根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案．本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题．12.答案：4．解析：试题分析：由三视图可知，原几何体是球体沿其直径切去四分之一部分，所以其表面积是四分之三球面面积加上一个大圆面，即，其中考点：由已知三视图还原为原几何体，球的表面积公式，圆面积公式．13.答案：2解析：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力．三棱锥扩展为四棱柱(长方体)，两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．解：三棱锥S −ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA =1，SB =3，SC =√6， 则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球， 所以长方体的对角线的长度为：√12+32+√62=4，所以该三棱锥的外接球的半径为2.故答案为2.14.答案：200π解析：解：四面体A −BCD 中，AB =CD =10，AC =BD =2√34，AD =BC =2√41，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ．则{a 2+b 2=100a 2+c 2=136b 2+c 2=164，那么：2(a 2+b 2+c 2)=400．a 2+b 2+c 2=200．长方体的对角线：√200，外接球的半径2R =√200．∴R =5√2．四面体A −BCD 外接球的表面积S =4πR 2=200π．故答案为：200π．由题意，四面体A −BCD 中，AB =CD =10，AC =BD =2√34，AD =BC =2√41，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．即可求解四面体A −BCD 外接球的半径，即可表面积本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 15.答案：83解析：解：如图，设三角形ABD 的中心为G ，三角形ABC 的中心为H ，分别过G 与H 作平面ABD 与平面ABC 的垂线相交于O ，则O 为四面体ABCD 的外接球的球心，连接OA ，由该四面体的外接球表面积为12π，得OA =√3，在Rt △OGA 中，又GA =2√63，∴OG =√3−83=√33． 在Rt △OGE 中，OG =√33，GE =√63，则OE =1， ∴sin∠OEG =√33，cos∠OEG =√63， ∴sin∠CEG =2×√33×√63=2√23． ∴C 到底面ABD 的距离d =CE ⋅sin∠CEG =√6×2√23=4√33． 则该四面体ABCD 的体积为V =13×12×2√2×√6×4√33=83． 故答案为：83． 由题意画出图形，作出多面体外接球的球心，由已知求得外接球的半径，解三角形求出C 到平面ABD 的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体及其外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题． 16.答案：(Ⅰ)证明：∵PA =PD ，D 是AC 中点，∴PD ⊥AC ．又∵OA =OC ，D 是AC 中点，∴OD ⊥AC ．又∵PD 、OD ⊂平面POD ，且PD ∩OD =D ，∴AC ⊥平面POD ．∴平面POD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)解：∵PO=√2，底面半径r=OB=12AB=1，∴母线l=PB=√2+1=√3，∴表面积S=πr2+πrl=π×1+π×1×√3=(1+√3)π．解析：(Ⅰ)根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PD⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；(Ⅱ)求出母线，即可求圆锥PO的表面积．本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直的证明，考查表面积的计算，属于中档题．17.答案：解：(1)如图：设所截等腰三角形的底边边长为x cm．在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=12x cm，所以EO=√25−14x2．于是V=13x2√25−14x2(cm3).依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．(2)主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长AB=6，底边上的高为四棱锥的高EO=√25−14x2=4，故S主视图=4×62=12(cm2)解析：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是根据所给的数据，表示出四棱锥的表面积和体积，注意自变量的取值范围．(1)根据所给的数据写出四棱锥的侧棱的长度，做出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积；(2)主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，求出底边上的高为四棱锥的高，即可求图2的主视图的面积．18.答案：解：(1)连接AC，则∠PCA为求PC与平面ABCD所成角．因为AB=2，AD=2√2，所以AC=2√3，因为PA=2，所以tan∠PCA=√33，所以∠PCA=30°；(2)取PB的中点为G，根据E是PC的中点，可得EG//BC，且EG=√2．∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC，又底面ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴EG⊥平面PAB，V P−ABE=V E−PAB=13×12×2×2×√2=2√23．解析：(1)连接AC，则∠PCA为求PC与平面ABCD所成角；(2)利用三棱锥的体积公式进行求解．本题主要考查线面平行、线面角的求法，空间三棱锥的体积公式，比较综合．19.答案：②④解析：解：设图(1)水的高度h2几何体的高为h1图(2)中水的体积为b2ℎ1−b2ℎ2=b2(ℎ1−ℎ2)，所以2/3b2ℎ2=b2(ℎ1−ℎ2)，所以ℎ1=，故①错误，④正确．对于②，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故②正确．对于③，假设③正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为25/36b2ℎ2> 2/3b2ℎ2，矛盾，故③不正确．故选②④20.答案：证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN又FD⊥AD，FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC∴AC⊥面FDN，GN⊂面FDN∴GN⊥AC(2)点P与点A重合时，GP//面FMC证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA∵G是DF的中点，∴GS//FC，AS//CM∴面GSA//面FMCGA⊂面GSA∴GA//面FMC即GP//面FMC解析：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，则(1)连接DB，我们易得FD⊥AD，FD⊥CD，由线面垂直的判定定理，可得FD⊥面ABCD，进而得到AC⊥面FDN，由线面垂直的定义，即可得到GN⊥AC；(2)由图分析得，点P与点A重合时，GP//面FMC，取DC中点S，连接AS、GS、GA由三角形中位线宣，我们易证明出面GSA//面FMC，根据面面平行的性质，我们易得GA//面FMC，即P与A 重合．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，简单空间图形的三视图，其中根据三视图，判断出该几何体为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，是解答本题的关键．21.答案：(1)证明：连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD中点，∴BE⊥AD．∵SA=SD，E是AD中点，∴SE⊥AD.又SE∩BE=E，SE,BE⊂平面SBE，∴AD⊥平面SBE；(2)在△CED中，由余弦定理可得：CE2=ED2+CD2−2ED⋅CD⋅cos∠CDE =12+22−2×1×2cos120°=7，又SE=√3，SC=√10，∴SE2+CE2=SC2，∴SE⊥EC，又AD∩EC=E，AD,EC⊂面ABCD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD，S△BEC=12BC⋅BE=12×2×√3=√3．∵SF=2FC．∴V F−BEC=13V S−BEC=13×13SE⋅S△BEC=19×√3×√3=13．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、菱形的性质定理、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)连接BD，利用菱形与等边三角形的性质可得：BE⊥AD.再利用等腰三角形的性质可得：SE⊥AD.利用线面垂直的判定定理即可证明：AD⊥平面SBE．(2)在△CED中，由余弦定理可得：CE2=7，又SE=√3，SC=√10，利用勾股定理的逆定理可得：SE⊥EC，从而证明SE⊥平面ABCD.由SF=2FC.可得V F−BEC=13V S−BEC，即可得出．。

人教版高一第一章空间几何体单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D2．如图，正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱,SA SC 作截面SAC ，则截面的面积为A ．232aB ．2aC ．212aD ．213a 【答案】C3．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( ) A ．12B ．14C ．1D ．39129【答案】D4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是（ ）A ．π B ．C πD ．3π 【答案】D5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ） A ．3寸B ．4寸C ．5寸D ．6寸【答案】A6．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】A7．在ABC ∆中，2, 1.5AB BC ==，0120ABC ∠=，若使该三角形绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．32π B ．52πC ．72π D ．92π 【答案】A8．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B9．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为A ．3R B ．324R C ．38R D ．38R 【答案】B10．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( ) A ．1:1 B ．2:1 C ．3:2 D ．4:3【答案】C11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（ ）．A ．B ．C ．D ．2【答案】A12．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD -的外接球的体积为（ ）A ．1256π B ．1259π C ．12512π D ．1253π 【答案】A13．下图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。

第一章空间几何体一、选择题1、下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C.D.解析：设球半径为R，截面半径为r.+r2=R2,∴r2=.∴.4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是( )解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确.答案：A5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S′，则长方体的侧面积等于( )A. B.C. D.参考答案与解析:解析：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2=+2S,∴a+b=,S侧=2(a+b)h=2h.答案：C6、设长方体的对角线长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,则此长方体的体积是( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c，并且长为a、b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a=4cos60°=2,b=4cos60°=2.根据长方体的对角线性质，有a2+b2+c2=42,即22+22+c2=42.∴c=.因此长方体的体积V=abc=2×2×=.答案：B主要考察知识点:简单几何体和球7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )A.S1＜S2＜S3B.S3＜S2＜S1C.S2＜S1＜S3D.S1＜S3＜S2参考答案与解析:解析：由截面性质可知，设底面积为S.;;可知：S1＜S2＜S3故选A.用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一些比例关系：截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连结球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S·r=·S·h,r= h(其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)答案：C主要考察知识点:简单几何体和球9、若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.1∶16B.3∶27C.13∶129D.39∶129参考答案与解析:解析：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有,∴x=.∴.答案：D主要考察知识点:简单几何体和球10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：用共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为,故剩下的凸多面体的体积为.答案：D主要考察知识点:简单几何体和球11、已知高为3的直棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为( )A.B. C. D.参考答案与解析:解析：.答案：D主要考察知识点:简单几何体和球12、向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的( )参考答案与解析:解析：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h,r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符.由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小.答案：B主要考察知识点:简单几何体和球二、填空题1、下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的面都是平的；②棱柱的所有的棱长都相等；③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．正确的有__________.参考答案与解析:①④⑤主要考察知识点:简单几何体和球2、一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为_________.参考答案与解析:解析：横放时水桶底面在水内的面积为.V水=,直立时V水=πR2x,∴x:h=(π-2):4π答案：(π-2):4π主要考察知识点:简单几何体和球3、一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为_________.参考答案与解析:解析：由三视图知正三棱柱的高为2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm.设底面边长为a，则,∴a=4.∴正三棱柱的表面积S=S侧+2S底=3×4×2+2××4×=8(3+)(cm)答案：8(3+)(cm).主要考察知识点:简单几何体和球4、一圆台上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，母线AB长为20 cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为____________. 解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，扉形圆心角90°答案：50cm主要考察知识点:简单几何体和球三、解答题1、画出图中两个几何体的三视图.参考答案与解析:解析：(1)如下图(2)如下图主要考察知识点:简单几何体和球2、在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？解析：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开辅平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N.而两点间以线段的长度最短.所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线.如图所示.主要考察知识点:简单几何体和球3、倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6 cm，水面距离容器口距离为1 cm，现放入一个棱长为4 cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？解析：如图甲所示：O′P=6 cm,OO′=1 cm.当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定.如图甲，设水的体积为V1，容器的总容积为V，则容器尚余容积为V V1.由题意得，O′P=6,OO′=1.∴OP=7,OA2=,O′C2=12,∴V=πOA2×7=×49π,V1=πO′C2×6=24π.∴未放入铁块前容器中尚余的容积为V-V1=×49π-24π≈44.3 cm3.如图所示，放入铁块后，EMNF是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面.∴MN=，∴O1M=，O1P=，∴GM=7-，∴正方体位于容器口下的体积为4×4×(7-)=112-≈33.6＜44.3,∴放入铁块后容器中的水不会溢出.主要考察知识点:简单几何体和球4、棱长为2 cm的正方体容器盛满水，把半径为1 cm的铜球放入水中刚好被淹没.然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？参考答案与解析:解析：本题考查球与多面体相切问题，解决此类问题必须做出正确的截面(即截面一定要过球心)，再运用几何知识解出所求量.过正方体对角面的截面图如图所示.AC1=，AO=，AS=AO-OS=，设小球的半径r,tan∠C1AC=.在△AO1D中，AO1=r，∴AS=AO1+O1S，∴-1=r+r.解得：r=2-(cm)为所求.主要考察知识点:简单几何体和球5、小迪身高1.6 m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A 路灯的底部，他又向前走了5 m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10 m，(两路灯的高度是一样的)求：(1)路灯的高度.(2)当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？参考答案与解析:解:如下图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部.由题中已知得MN=PQ=1.6 m,NQ=5 m,CD=10 m(1)设CN=x，则QD=5-x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD,即又△PQD∽△ACD即由①②式得x=2.5 m,h=6.4 m,即路灯高为6.4 m.(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH)，连接AH交地面于E.则DE长即为所求的影长.∵△DEH∽△CEA解得DE= m，即影长为 m.主要考察知识点:简单几何体和球6、如图1在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的一边将其倾倒，随着容器的倾斜度不同，水的各个表面的图形的形状和大小也不同.试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在的各种规律(不少于3种).图1参考答案与解析:解析：思考问题时，最好做一个实际的水槽进行演示.下面是可能找到的有关水的各个表面的图形的形状和大小之间所存在的规律：(1)水面是矩形.(2)四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形.(3)水面面积的大小是变化的，如图2所示，倾斜度越大(即α越小)，水面的面积越大.(4)形状为直角梯形(如ABDC)的两个侧面的面积是不变的；这两个直角梯形全等.(5)侧面积不变.(6)在侧面中，两组对面的面积之和相等.(7)形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值.在图中，我们可以得到(8)a+b为定值.(9)如果长方体的倾斜角为α,则水面与底面所成的角为90°-α.(10)底面的面积=水面的面积×cos(90°-α)=水面的面积×sinα.当倾斜度增大，点A在BD上时，有最大值.(11)A与B重合时b=2h(h为原来水面的高度).(12)若容器的高度PD＜2h，当A与B重合时，水将溢出.(13)若A在BD的内部，△ADC的面积为定值，即bc为定值.点评：本题对空间想象能力有一定的要求，我们可以边操作边分析，观察并得出结论. 主要考察知识点:简单几何体和球- 11 -。

人教A 必修2第一章空间几何体综合试题一、选择题（每道题5分）1．有一个几何体的三视图如下图所示；这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图(第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°；腰和上底均为1的等腰梯形；那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3；4；5；且它的8个顶点都在同一球面上；则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．在△ABC 中；AB ＝2；BC ＝1.5；∠ABC ＝120°；若使△ABC 绕直线BC 旋转一周；则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面；且侧棱长为5；它的对角线的长分别是9和15；则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．半径为R 的半圆卷成一个圆锥；则它的体积为（ ）A ．324RB ．38RC ．324RD ．38R9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中；错误．．的是( )．A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图；则此物体的直观图是( )．(第10题)二、填空题（每道题5分）11．一个棱柱至少有______个面；面数最少的一个棱锥有________个顶点；顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3；则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中；O是上底面ABCD的中心；若正方体的棱长为a；则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图；E；F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心；则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6；则这个长方体的对角线长是___________；它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球；球全部没入水中后；水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题（17题；18；19各15分；20题25分）17．有一个正四棱台形状的油槽；可以装油190 L；假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm；求它的深度．18．如图；在四边形ABCD中；∠DAB＝90°；∠ADC＝135°；AB＝5；CD＝22；AD＝2；求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第18题)19．已知圆台的上下底面半径分别是2,5；且侧面面积等于两底面面积之和；求该圆台的母线长.20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)；已建的仓库的底面直径为12 m；高4 m；养路处拟建一个更大的圆锥形仓库；以存放更多食盐；现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案一、选择题1．A解析：从俯视图来看；上、下底面都是正方形；但是大小不一样；可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形；其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A解析：因为四个面是全等的正三角形；则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径； l ＝2225＋4＋3＝52；2R ＝52；R ＝225；S ＝4πR 2＝50π． 5．C 解析：正方体的对角线是外接球的直径．6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π． 7．D解析：设底面边长是a ；底面的两条对角线分别为l 1；l 2；而21l ＝152－52；22l ＝92－52； 而21l ＋22l ＝4a 2；即152－52＋92－52＝4a 2；a ＝8；S 侧面＝4×8×5＝160．8.A 2312,,,22324R r R r h V r h R πππ===== 9．B 解析：斜二测画法的规则中；已知图形中平行于 x 轴的线段；在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段；长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆；且为组合体；所以选D.二、填空题11．参考答案：5；4；3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱；三棱锥；三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3；31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ． 解析：画出正方体；平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点； 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ；V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1；它的高为AO ；等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6；6．解析：设ab ＝2；bc ＝3；ac ＝6；则V = abc ＝6；c ＝3；a ＝2；b ＝1； l ＝1＋2＋3＝6．16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3；R ＝32764×＝12． 三、解答题17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ；h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π． 19．解2229(25)(25),7l l ππ+=+=20． 解：(1) 参考答案：如果按方案一；仓库的底面直径变成16 m ；则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)． 如果按方案二；仓库的高变成8 m ；则仓库的体积V 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)． (2) 参考答案：如果按方案一；仓库的底面直径变成16 m ；半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45；仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二；仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10；仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1；S 2＜S 1；∴方案二比方案一更加经济些．。

第一章空间几何体单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分) 1．过棱柱不相邻两条侧棱的截面是( )． A ．矩形 B ．正方形 C ．梯形 D ．平行四边形2．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．03．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．A.13B.23C ．1D ．24．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中1B O C O ''=''=，A O ''=，那么原△ABC 是一个( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形5．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )． A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶46．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )．A.1003πcm 3 B.2083πcm 3C.5003π cm 3cm 38．一圆台上底面半径为5 cm ，下底面半径为10 cm ，母线AB 长为20 cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M ，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短长为( )．A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm9．圆台的母线长扩大到原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的__________倍．( )．A ．1B ．nC ．n 2D.1n10．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A ．9π＋42B ．36π＋18 C.9122π+D.9182π+11．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，右图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )．A ．0B ．9C ．快D ．乐12．如图，在一个盛满水的圆柱形容器内的水面下有一个用细绳吊着的薄壁小球，小球下方有一个小孔，当慢慢地、匀速地将小球从水下面往上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数关系图象大致为( )．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．若球O 1、O 2表面积之比124S S =，则它们的半径之比12RR =__________. 14．一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为__________cm 2.15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是__________cm 3.16．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC ＝__________.三、解答题(本题共6小题，满分74分) 17．(12分)画出如图所示几何体的三视图．18．(12分)一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的侧面积．19．(12分)一个正三棱柱的三视图如图，求这个正三棱柱的表面积．20．(12分)如图所示是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点．现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？21．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：(1)该几何体的体积V ； (2)该几何体的侧面面积S .22．(14分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？答案与解析1.答案：D解析：侧棱平行且相等．2.答案：A解析：①正确，一直三棱柱，其中四边形BCC 1B 1与四边形BAA 1B 1是全等的矩形，且面BCC 1B 1⊥面BAA 1B 1，即满足要求．②正确，如图一正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，即满足要求．③正确．横卧的圆柱即可．如图．3.答案：C解析：根据三视图可以推测出该物体应该为一个三棱柱，底面是直角三角形，因此1(1)12V Sh ===，选C. 4.答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得，2BC B C ''==，2OA == ∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形．5.答案：B解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，依题意得l ＝2r ，而S 侧＝2πrl ，S 全＝2πr 2＋2πrl ，∴S 侧∶S 全＝2πrl ∶(2πr 2＋2πrl )＝2∶3，故选B. 6.答案：D解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A 、B 、C. 7.答案：C解析：根据球的截面性质，截面小圆的圆心与球心的连线与截面垂直，因此球心到截面的距离、小圆半径与球的半径构成直角三角形．由勾股定理得球的半径为5 cm ，故球的体积为34500533ππ⨯=cm 3. 8.答案：C解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则扇形圆心角为90°，且圆锥的母线长为40 cm 50= (cm)． 9.答案：A解析：设改变之前圆台的母线长为l ，上底半径为r ，下底半径为R ，则侧面积为π(r ＋R )l ，改变后圆台的母线长为nl ，上底半径为r n ，下底半径为R n，则侧面积为()()r Rnl r R l nππ+=+，故它的侧面积为原来的1倍． 10.答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，3439()322V ππ=⋅=球，V 长方体＝2×3×3＝18.所以9+182V π=总 11.答案：B解析：本题考查了正方体的表面展开图，选B. 12.答案：C解析：由球顶到球中心被拉出时，小球的体积越露越大，水面高度下降得快，所以曲线向上弯；当球从中心开始到整个球被拉出水面时，球的体积变化越来越小，水面高度下降得慢，所以曲线向下弯．在整个过程中，函数关系图象大致为C.13.答案：2解析：由S ＝4πR 2易知．14.答案：2＋解析：设正四棱柱的高为a ，由长方体与球相接的性质知4＝1＋1＋a 2，则a =∴正四棱柱的表面积为S ＝1×1×2＋4×(2=＋cm 2. 15.答案：144 解析：由几何体的三视图知该几何体是正四棱台与长方体的组合体，所以几何体的体积为V ＝13×(4×464)×3＋4×4×2＝144. 16.答案：90°解析：如下图所示，折成正方体，很明显，点A 、B 、C 是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC ＝90°.17.解：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18.解：如图所示，梯形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，BC ＝5. 作DM ⊥BC ，垂足为点M ， 则DM ＝4，MC ＝5－2＝3，在Rt △CMD 中，由勾股定理得5CD =在旋转生成的旋转体中，AB 形成一个圆面，AD 形成一个圆柱的侧面，CD 形成一个圆锥的侧面，设圆柱与圆锥的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1＝2π×4×2＝16π，S 2＝π×4×5＝20π， 故此旋转体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝36π.19.解：由题意可知正三棱柱的高为2，底面三角形的高为为a ，则2a =∴a ＝4，∴224S ===底.正三棱柱侧面积S 侧＝3×2×4＝24.∴正三棱柱表面积S 表＝S 侧＋2S 底＝20.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3. 三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠F AG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF ＝AG ＝12a . 所以△AGF 的面积为211112228a a a ⨯⨯=. 又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点， 所以12AH a =. 所以锯掉的部分的体积为23111132848a a a ⨯⨯=. 又因33114848a a ÷=，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的148. 21.解：由已知知该几何体是一个四棱锥，记P -ABCD . 如图所示，由已知，知AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4.由俯视图知：底面ABCD 是矩形，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM ，PN ， 因为P A ＝PB ＝PC ，M 、N 为AB 、BC 的中点， 则PM ⊥AB ，PN ⊥BC .故5PM ==，PN ===(1)V ＝13Sh ＝13×(8×6)×4＝64.(2)S 侧＝2S △P AB ＋2S △PBC ＝AB ·PM ＋BC ·PN＝8×5＋6×22.解：(1)对．因为四边形DD 1C 1C 是正方形，且是正对的后面，即恰好是正投影． 所以∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°.(2)对．事实上，连接DA 1以后，△DA 1C 1的三条边都是正方体的面对角线，其长都是，所以△DA 1C 1是等边三角形，所以∠A 1C 1D ＝60°. (3)如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛水的体积等于三棱锥C 1-CB 1D 1的体积，111111-111·36C CB D B C D V S CC ==，所以最多能盛水的体积为16.。

(人教a 版)数学高一必修二：第一章《空间几何体》单元试卷(时间90分钟,满分100分)知识点分布表1.下列说法中正确的是(A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等 2.下列命题正确的是(A.线段的平行投影可能是一点B.圆的平行投影是圆C.圆柱的平行投影是圆D.圆锥的平行投影是等腰三角形3.若圆台两底面周长的比是1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是(A.21 B.41 C.1 D.12939 4.圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的21,则圆锥体积(A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的两倍C.不变D.缩小到原来的61 5.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是(6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直,其长分别为1,6,3,且四面体的四个顶点在一个球面上,则这个球的表面积为(A.16πB.32πC.36πD.64π7.如图所示,梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测),若A 1D 1∥O 1y 1,A 1B ＝∥C 1D 1,2321111==D C B A ,A 1D 1＝1,则四边形ABCD 的面积是(A.10C.25D.2108.如图,在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是(9.如图所示,三视图的几何体是(A.六棱台B.六棱柱C.六棱锥D.六边形10.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )A.3cm 34000B.3cm 38000C.2 000 cm 3D.4 000 cm 3二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.圆锥的轴截面是一个正三角形,则它的侧面积是底面积的_____________倍. 12.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体为___________.13.设矩形边长分别为a ,b (a ＞b ).将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱筒,以其为侧面的圆柱的体积分别为V a 和V b ,则V a____________V b14.正方体的表面积是a 2,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是__________. 三、解答题(本大题共4小题,共44分15.(10分)已知圆台外切于球,圆台的侧面积和球面积之比为4∶3,求圆台的体积和球的体积比. 16.(10分)如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图17.(12分)根据下图所给出的一个物体的三视图,求出该物体的体积和表面积18.(12分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h 也相等,用a 将h 表示出来参考答案1解析:由棱柱的特点,知侧面均为平行四边形,但底面可为三角形;其所有棱长不一定相等,但侧棱相等,所以A 、D 均错.又知球的表面不能展成平面图形,所以C 错答案:B 2答案:A3解析:由题意设上、下底面半径分别为r 、4r ,截面半径为x ,圆台的高为2h ,则有213=-r r x ,∴r x 25=∴12939)164(31)(312222=++++=r rx x h x rx r h V V ππ下上. 答案:D 4解析:原变原V h r V h r V 212)2(31,3122=⋅⋅=⋅=ππ. 答案:A5解析:水平放置的圆柱的正视图和俯视图都是矩形,侧视图为圆形答案:A6解析:将四面体补形为长方体,此长方体的对角线即为球的直径, ∴(2r )2＝1＋6＋9＝16,则S 球＝4πr 2＝π(2r )2＝16π.答案:A 7答案:B 8答案:B9解析:由俯视图可知,底面为六边形,又由正视图和侧视图知,该几何体为六棱锥. 答案:C10解析:由三视图可得几何体如下图所示,面EBC ⊥面ABCD ,四边形ABCD 为边长是20的正方形,棱锥高为∴)cm (3800020203132=⨯⨯=V . 答案:B11解析:由题意可知l ＝2r∴222221221r r r l r S πππ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=侧S 底＝πr 2∴2222==rr S S ππ底侧. 答案:2 12答案:六棱台13解析:πππ4)2(22ab a b V a =⋅=,πππ4)2(22b a b a V b =⋅=又∵a ＞b ,∴V a ＜V b .答案:＜14解析:设正方体的边长为b ,则R b 23=,2223)23(44b b R S πππ=⋅==球又a 2＝6b 2,∴22a S π=球.答案:22a π 15解:设球的半径为r ,圆台的上、下底面圆的半径分别为r 1、r 2连结OD ,OC ,OG ,则OD ⊥O∴r 2＝DG ·GC ＝DE ·CF ＝r 1·r2S 圆台侧∶S 球＝［π(r 1＋r 2)·DC ］∶4πr 2＝4∶又∵DC ＝r 1＋r2∴(r 1＋r 2)2∶4r 2＝4∶∴(r 12＋r 22＋2r 1·r 2)∶4r 2＝4∶∴22221310r r r =+∴222212132)(31r rr r r r V V ππππ⋅++=球圈台 613231022222222121=+=++=r r r r r r r r . 16分析:由几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆台,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆台的上底面重合,我们可以先画出下部的圆台,再画出上部的圆锥. 画法:(1)画轴.如图(1),画x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy ＝45°,∠xOz ＝90°.(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O ,在z 轴上截取OO′,使OO′等于三视图中的相应高度过O′作Ox 的平行线O′x′,Oy 的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样(3)画圆锥的顶点.在Oz 上截取点P ,使PO′等于三视图中的相应高度(4)成图.连结P A′、PB′、A′A 、B′B ,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图17解:根据三视图可知原立体图形为长方体,由三视图中的数据,还原出原长方体如下图体积V ＝4×5×3＝表面积S ＝2(4×5＋3×4＋3×5)＝94. 18解:32hh V ⋅=π圆锥液,haV ⋅⋅=2)2(π圆柱液由已知得h a h 23)2(3ππ=,∴a h 23=.。