河北省高一下学期数学第二次月考试卷

2016-2017学年第二学期高一承智班第2次月考数学试卷一、选择题1. 若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（）A. 3倍B. 27倍C. 3倍D. 倍【答案】C【解析】设原球的半径，∵球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则半径扩大倍，∴体积扩大倍故选C．2. 对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（）A. 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B. 梯形的直观图可能不是梯形C. 正方形的直观图为平行四边形D. 正三角形的直观图一定为等腰三角形【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据斜二测画法中，平行性标准不变，所以正方形的直观图的对边仍是平行的，所以正方形的直观图为平行四边形是正确的，故选C.考点：斜二测画法.3. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A. B. C. D.【答案】C4. 如图，设正方体的棱长为，是底面上的动点，是线段上的动点，且四面体的体积为，则的轨迹为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】如图，当点在线段上运动时，到的距离即为两平行线与的距离，∵正方体的棱长为1，∴与的距离为设到的距离为，则，．再设到平面的距离为，∴的轨迹为平面内与平面平行，且距离为的一条线段．故选：A．【点睛】本题考查了轨迹方程，棱锥的体积公式，其中“等积法”的应用是解题的关键.5. 正方体的棱长为1,分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积,,则有最小值；③若四棱锥的体积，，则为常函数；④若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题．．．为（）A. ① ③B. ②C. ③④D. ④【答案】D【解析】试题分析：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；②MENF的面积s=f（x）=（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x=时，MN最短，此时面积最小．故正确；③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V为常数函数，故正确．④多面体ABCD-MENF的体积V=h（x）=V ABCD-A′B′C′D′=为常数函数，故错误考点：命题的真假判断与应用；正方体的几何特征，函数的最值，函数的单调性6. 设是两条直线，是两个平面，则下列4组条件中：①∥，；②；③，∥；④，∥，∥。

高一下学期第二次月考数学试题一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的）1．（5分）（2013•青岛一模）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．2．（5分）（2012•江西模拟）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（）A．B．3C．D．43．（5分）（2012•信阳模拟）已知，则等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•眉山二模）等比数列{a n}的公比q＞1，，，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．64 B．31 C．32 D．635．（5分）已知tan（α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（）A．B．C．D．6．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使，则（）A．E F∥GH B．E F，GH是异面直线C．E F∩GH=M，且M在直线BD上D．E F∩GH=M，且M在直线AC上7．（5分）（2012•浙江模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．99．（5分）已知曲线y=2sin（x+）cos（）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于（）A．πB．2πC．3πD．4π10．（5分）半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（）A．B．1C．D．211．（5分）设函数f（x）=2x﹣cos4x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=11π，则=（）A．0B．C．D．12．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，D为AB边上一点，且CD⊥AB，CD=AB，则的最大值为（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2012•佛山一模）已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则+的最小值为_________ ．14．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，l和平面α，β的四个命题①m⊂α，l∩α=A，a∉m，则l，m是异面直线②m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β③m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β④若α∩β=m，l∥m且l⊄α，l⊄β，则l∥a且l∥β其中正确命题是_________ （填序号）15．（5分）（2012•吉安县模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________ ．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+（﹣1）n+1a n+1=2n﹣1，则{a n}的前40项和S40= _________ ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知α为锐角且，（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求AM与A1C所成角的余弦值．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且（1）求B（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．20．（12分）已知数列{a n}中，（1）求数列{a n}的通项a n；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=（x+2）|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）＞3x；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）在数列{a n}中，（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求证：a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）＜3．高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的） 1．（5分）（2013•青岛一模）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ． a 2＞b 2B ．C ． l g （a ﹣b ）＞0D ．考点： 不等关系与不等式． 专题： 探究型．分析： 由题意a 、b 是任意实数，且a ＞b ，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A ，B ，C 可通过特例排除，D 可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论．点评： 本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法2．（5分）（2012•江西模拟）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ） A ． B ． 3 C ． D ． 4考点： 简单空间图形的三视图 专题： 计算题．分析： 由题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，侧视图是矩形，然后求出面积．解答： 解：由三视图和题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，底面边长为2，侧棱长2，侧视图是矩形，长为2，宽为， 所以侧视图的面积为：2， 故选A ．点评： 本题考查由三视图求侧视图的面积，正确判断侧视图的形状是解题的关键．3．（5分）（2012•信阳模拟）已知，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 同角三角函数基本关系的运用． 分析：先将sin （）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案．解答：解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选D．点评：本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆．4．（5分）（2013•眉山二模）等比数列{a n}的公比q＞1，，，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．64 B．31 C．32 D．63考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等比数列的定义和性质求出 a3=1，公比 q=2，再利用等比数列的前n项和公式求出a3+a4+a5+a6+a7+a8 的值．解答：解：∵等比数列{an}的公比q＞1，，，∴a2•a3=a1•a4=则==3=2（a2+a3），∴a2+a3=．解得 a2=，a3=1，故公比 q=2．∴a3+a4+a5+a6+a7+a8 ==63，故选D．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．5．（5分）已知tan（α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：利用两角和公式进行化简求解即可．解答：∵tan（α﹣β）==且tanβ=即tanα=∵α，β∈（0，π）且tan=1，tan=﹣1∴α∈（0，），β∈（，π）即2α﹣β∈（﹣π，﹣）∴tan（2α﹣β）==1即2α﹣β=﹣故答案选：C点评：考查了两角和公式的应用，属于中档题．6．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使，则（）A．E F∥GH B．E F，GH是异面直线C．E F∩GH=M，且M在直线BD上D．E F∩GH=M，且M在直线AC上考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用使，可得EF∥BD，FG∥BD，利用平行的传递性可证明EH∥FG．解答：解：连结BD，因为，所以EF∥BD，FG∥BD，即EH∥FG．故选A．点评：本题主要考查直线平行的判定以及直线平行的应用，比较基础．7．（5分）（2012•浙江模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由，可得，a5＞0，a6＜0结合等差数列的通项可得，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…即可得，，则可得解答：解：∵，∴a5＞0，a5+a6＜0，a6＜0∴等差数列{a n}中，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…∴则故选B点评：本题主要考查了利用等差数列前n项和公式来判断数列项的取值范围，灵活利用等差数列的性质（若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q）是解决本题的关键．8．（5分）（2013•房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选A．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．9．（5分）已知曲线y=2sin（x+）cos （）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于（）A．πB．2πC．3πD．4π考点：向量的模．专题：计算题．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为y=1+sin2x，由1+sin2x=，解得2x=2kπ﹣，或2x=2kπ，k∈z，可分别求点的坐标，可得长度．解答：解：曲线y=2sin（x+）•cos（﹣x）=2（sinx+cosx）（cosx+sinx ）=cos2x+sin2x+2sinxcosx=1+sin2x．由1+sin2x=，解得2x=2kπ﹣，或2x=2kπ，k∈z，即x=kπ﹣，或x=kπ﹣，k∈z．故P1、P2、…、P5的横坐标分别为：，，，，．故||==2π故选B点评：本题考查三角函数的恒等变换，直线与曲线的相交的性质，关键是要求出交点的坐标，属基础题．（5分）半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（）10．A．B．1C．D．2考点：球的体积和表面积．分析：设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的比值．点评：本题考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．是基础题，11．（5分）设函数f（x）=2x﹣cos4x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=11π，则=（）A．0B．C．D．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：先设数列{a n}的首项为a1，则根据条件可得，2（a1+a2+…+a8）=11π，利用等差数列的求和公式可求得首项a1从而得出a2，a5，最后即可求出的值．解答：解：设数列{a n}的首项为a1，则根据f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=11π，得2a1﹣cos4a1+2a2﹣cos4a2+…+2a8﹣cos4a8=11π∴2a1+2a2+…+2a8=11π，即2（8a1+×）=11π，∴a1=，∴a2=，a5=+4×=，则=[2×﹣cos（4×）]2﹣×=．故选C．点评：利用方程思想解决等差数列的问题，正确的列方程或列方程组是解决问题的关键，方程思想是高中数学比较重要的四大思想之一．12．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，D为AB边上一点，且CD⊥AB，CD=AB，则的最大值为（）A．2B．C．D．3考点：余弦定理；正弦定理的应用．专题：三角函数的求值．分析：三角形的面积公式可得，可得c2=absinC．由正弦定理可得==，又由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC．于是==sinC+2cosC=sin（C+φ），再利用正弦函数的单调性即可得出．．解答：解：由三角形的面积公式可得，∴c2=absinC．由正弦定理可得==，又由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC．∴==sinC+2cosC=sin（C+φ）≤．故的最大值是．故选B．点评：熟练掌握三角形的面积公式、正弦定理、由余弦定理、正弦函数的单调性等是解题的关键．二、填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2012•佛山一模）已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则+的最小值为．考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=4，可得 x+2y=4，则+=+=++，利用基本不等式求出它的最小值．解答：解：∵向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则 x+2y=4，则+=+=++≥+2=，当且仅当=时，等号成立，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于基础题．14．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，l和平面α，β的四个命题①m⊂α，l∩α=A，a∉m，则l，m是异面直线②m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β③m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β④若α∩β=m，l∥m且l⊄α，l⊄β，则l∥a且l∥β其中正确命题是①④（填序号）考点：平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．专题：计算题；规律型．分析：根据空间中异面直线的判定定理，线面垂直的判定方法，线线关系的判定方法，及面面平行的判定定理，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于①：m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m异面，故①正确；对于②：m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β，α与β可能相交，所以②不正确；对于③：m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β，当l与m平行时，α与β可能相交，只有它们相交时，③才正确，所以③不正确；对于④：α∩β=m，l∥m且l⊄α，l⊄β，则l∥a且l∥β；满足直线与平面平行的判定定理，所以正确；故答案为：①④．点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中线面之间位置关系的定义、判定方法和性质定理，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．15．（5分）（2012•吉安县模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+（﹣1）n+1a n+1=2n﹣1，则{a n}的前40项和S40= 780 ．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在递推式中分别取n=1，2，3，…，得到系列的和式与差式，从而得到规律2个相邻奇数项的和都等于﹣2，取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．然后利用分组求和得到答案．解答：解：∵a n+（﹣1）n+1a n+1=2n﹣1，∴a1+a2=1，a2﹣a3=3，a3+a4=5，a4﹣a5=7，a5+a6=9，a6﹣a7=11，…a39+a40=77．得a3+a1=﹣2，a4+a2=8，a7+a5=﹣2，a8+a6=24，a9+a7=﹣2，a12+a10=40，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于﹣2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为．故答案为780．点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，解答的关键是代值找规律，是中档题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知α为锐角且，（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和的正切公式，结合题意解关于tanα的方程，即可得tanα的值；（2）根据二倍角的三角函数公式，将原式化简可得原式等于cosα+sinα．再由同角三角函数的关系，结合（1）的结论加以计算，即可算出原式的值．解答：解：（1）∵∴，即，解之得tanα=；（2）====cosα+sinα∵知α为锐角且tanα=∴sinα=，cosα=，可得cosα+sinα=．点评：本题已知，求tanα并求三角函数式的值，着重考查了同角三角函数基本关系和二倍角的正弦、余弦公式等知识，属于中档题．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求AM与A1C所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间角．分析：（1）由图形直接求出三棱锥的底面积和高，代入体积公式求解；（2）利用侧面展开分析可得当A1M+MC取得最小值时，M为DD1的中点，然后以A为坐标原点，建系后利用空间向量求AM与A1C所成角的余弦值．解答：解：（1）如图，点M到直线CC1的距离等于CD=1，则三角形MCC1面积S=．点A到平面MCC1的距离为AD=1，则三棱锥A﹣MCC1的体积．（2）当A1M+MC取得最小值时，M为DD1的中点．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），M（0，1，1），A1（0，0，1），C（1，1，0）．所以，．所以=．所以，则AM与A1C所成角的余弦值为0．点评：本题考查了锥体的体积，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，关键是建立正确的右手系，是中档题．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且（1）求B（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）已知等式左边第一项利用平方差公式及完全平方公式变形，再利用余弦定理化简，整理后利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的方程，再由已知的面积，利用面积公式列出关于a 与c的方程，联立即可求出a与c的值．解答：解：（1）已知等式变形得：b2﹣a2﹣c2﹣2ac+2absinC=0，由余弦定理得：cosB=，即a2+c2﹣b2=2accosB，代入得：﹣2accosB﹣2ac+2absinC=0，即﹣2ccosB﹣2c+2bsinC=0，利用正弦定理化简得：﹣2sinCcosB﹣2sinC+2sinBsinC=0，∵sinC≠0，∴﹣2cosB﹣2+2sinB=0，即2sinB﹣2cosB=4sin（B﹣）=2，∴sin（B﹣）=，∴B﹣=或，解得：B=或B=π（舍去），则B=；（2）∵S△ABC=acsinB=ac=，∵b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，将ac=4代入得：（a+c）2=16，即a+c=4，解得：a=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（12分）已知数列{a n}中，（1）求数列{a n}的通项a n；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）﹣，移向整理得出an﹣a n﹣1=，利用累加法求通项（2）b n=na n=，利用分组法，再分别利用公式法和错位相消法求和．解答：解：（1）﹣，移向整理得出a n﹣a n﹣1=，当n≥2时，an=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a1==1+=，n=1时也适合所以a n=，（2）b n=na n=，T n=﹣（）令T n′=，两边同乘以得T n′=两式相减得出T n′===T n′=所以T n=﹣（）=点评：本题考查数列的递推公式，通项公式、数列求和．考查累加法，公式法、错位相消法的求和方法．考查计算能力．21．已知函数f（x）=（x+2）|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）＞3x；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用零点分段法，将绝对值符合化去，解所得不等式即可；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜3．即（x+2）|x﹣a|＜3，即2﹣＜a＜2+，令gg（x）=2﹣，hh（x）=2+，则有g（x）max＜a＜h（x）min，故可得出答案．解答：解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞3x可化为（x+2）|x﹣2|＞3x当x≥2时，原不等式可化为（x+2）（x﹣2）＞3x，即x2﹣3x﹣4＞0解得：x＜﹣1，或x＞4∴x＞4当x＜2时，原不等式可化为（x+2）（﹣x+2）＞3x，即x2+3x﹣4＜0解得：﹣4＜x＜1∴﹣4＜x＜1综上所述不等式f（x）＞3x的解集为（﹣4，1）∪（4，+∞）（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜3恒成立，即当x∈[﹣1，1]时，（x+2）|x﹣a|＜3恒成立，即当x∈[﹣1，1]时，|x﹣a|＜恒成立，即当x∈[﹣1，1]时，2﹣＜a＜2+令gg（x）=2﹣，hh（x）=2+，x∈[﹣1，1]则有g（x）max＜a＜h（x）min．由gg（x）=2﹣在[﹣1，1]上单调递增，可得g（x）max=g（1）=1又hh（x）=2+在[﹣1，1]上单调递减，故h（x）min=h（﹣1）=5所以1＜a＜5即实数a的取值范围为（1，5）点评：本题以函数为载体，考查解不等式，考查了函数恒成立问题，有一定的难度22．（12分）在数列{a n}中，（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求证：a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）＜3．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对两边取倒数，进一步构造出等比数列，通过等比数列的通项求出数列{a n}的通项a n；（2）a n（a n﹣1）=，对n≥2时放缩：a n（a n﹣1）=＜==﹣，各项相加后容易证明．解答：解：（1）对两边取倒数，得出，两边减去1，化简并整理得出，所以数列是等比数列，公比为，首项为，=﹣，a n=，（2）证明：a n（a n﹣1）=n≥2时，a n（a n﹣1）=＜==﹣所以a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）＜+（）+（）+…+（﹣）=2+1﹣=3﹣＜3所以原不等式成立．点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．。

下学期第二次月考 高一年级理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1.不等式012≤+-x x 的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，，D ．(12]-，2.在实数范围内，下列命题正确的是（ ） A ．若,a b >则1ba< B ．若,a b c d ><，则a c b d +>+ C ．若a b >，则lg()0a b -> D ．若0,ab a b >>，则11a b<3.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1的最小值为( )． A ．201 B ．51C ．21 D ．24.下列结论正确的是 （ ）A ．当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x xB ．当0>x 时，21≥+x xC ．当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D ．当20≤<x 时，xx 1-无最大值 5.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A ．34 B ．4 C ．14 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．45C ．40D ．357.在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a ba ab +≥+22，其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38.不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x R ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. (2,2)-B. (]2,2-C. (,2)(2,)-∞-+∞ D. [)(,2)2,-∞-+∞9. 设函数)1ln()(2n n n f -+=，)1ln()(2--=n n n g ，则)()(n g n f 与的大小关系是（ ）A ．)()(n g n f >B ．)()(n g n f <C ．)()(n g n f ≥D ．)()(n g n f ≤ 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A ． 锐角三角形 B ． 直角三角形 C ．钝角三角形 D ． 由增加的长度决定 11.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，若41S =，则8S =（ ） A ．17 B ．117C ．5D ．1512.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ax by =+（0,0a b >>）的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A ．256B ．83C ．113D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.在数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且n n S a n +=，则n a = ．14.若方程0)2lg(222=-+-a a x x 有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是__________________． 15．若角βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-2的取值范围是 .16.已知数列}{n a 满足n a a a n n 2,3611=-=+，则na n的最小值是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，2sin b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆2c =，求a 和b 的值．18.（本小题满分12分）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或 （Ⅰ）求a b 、；（Ⅱ）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++<．19. （本小题满分12分）设数列{}n a 满足01=a 且212121=---+nn a a 。

河北省石家庄市第一中学2025届高三下学期第二次月考-数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，182．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 3．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3105．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=9．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,110．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+11．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105 C ．155D ．6312．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一下学期第二次月考数学试题一、选择题（每小题5分共60分） 1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}2. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 43. 过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D. 210x y +-=4. 直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，则a 为（ ）A 、-1B 、1C 、1±D 、23- 5．过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是( )A.052=-+y xB.042=--y xC.073=-+y xD.053=-+y x6.等差数列{}n a 前n 项和n S 满足4020S S =，则下列结论成立的是（ ）A 、30S 是n S 中的最大值B 、30S 是n S 中的最小值C 、030=SD 、060=S7.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793l o g ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.158．在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为( )A ．3B ．9C ．27D ．819. 设变量,x y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 710. 在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C = (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．已知三角形ABC 的面积2224a b c S +-=，则C ∠的大小是（ ）A. 045B.030C.090D.013512. 已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10200二、填空题（每小题5分共20分）13．过点（2,3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为14. 已知不等式22(45)4(1)30m m x m x +-+-+>恒成立.则m 取值范围是102051015.{},5,_______.n n S Sa n S S S ==等比数列中的前项和为若则 16. 已知0,0x y >>，且9x y xy +=，则x y +的最小值 三、解答题17．（本小题满分10分）求经过两直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点P ，且与直线3:3450l x y -+=垂直的直线l 的方程。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级 数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（ ）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（ ）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（ ）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（ ）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（ ）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（ ）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（ ）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（ ）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（ ）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析 （2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。

高一数学 第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、0150tan 的值为（ A ） A.33- B ．33 C ．3- D. 3 2、终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（B ）A 、{}0022545，B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k ，ππαα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k 2，ππαα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k 4k ，ππαα 3、若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos （ B ） A 、54 B 、53- C 、43 D 、43- 4、角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，1tan =γ，090+=αβ，则βsin =（A ） A.22 B ．22- C ．21 D. 21- 5、已知3)tan(=+απ，则)cos()sin()cos()sin(απαπααπ+-+-+-的值为（B ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 6、已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(,则B 中所含元素的个数为( D ) A.3 B.6 C.8 D.107、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足)()4(x f x f =+，当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则=)7(f （ A ） A.-2 B.2 C.-98 D.988、函数)23(log 21-=x y 的定义域是 ( D )A 、[)+∞,1B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛1,329、函数)1(log )1(log 22-++=x x y 在定义域上是（ C ）A 、偶函数B 、奇函数C 、增函数D 、减函数10、已知函数)91(,log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（C ） A.6 B.13 C.22 D.3311、设函数)0(,ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ D ） A.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点 B. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点 C. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点 D. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点 12、若方程0)5()2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是（A ）A 、(]4,5--B 、(]4,-∞-C 、()2,-∞-D 、()()4,55,---∞-二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设扇形的周长为8cm,面积为42cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 2 。

2023-2024学年河北省高一下册第二次月考数学质量检测试题一、单选题1．若复数z 满足()()1i i 2z --=，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据复数的乘、除法运算可得复数12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足()1i (i)2z --=，可得()()()21i 2i i 12i 1i 1i 1i z +=+=+=+--+，可得复数z 在复平面内对应的点为(1,2)位于第一象限.故选：A.2．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A ．8B ．C ．16D ．【正确答案】C【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=，所以6AB ==，所以原图形的周长为2(26)16⨯+=．故选：C.3．下列说法正确的是（）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内存在直线与a 平行【正确答案】B【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A ；根据分别乘法计数原理即可判断B ；根据异面直线的概念即可判断C ；根据线面关系即可判断D.【详解】A ：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A 错误；B ：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7321⨯=个部分，故B 正确；C ：空间中直线a 、b 、c ，若a 与直线b 异面，b 与c 异面，则a 与c 可能异面，也可能共面，故C 错误；D ：由直线a 在平面α外可知，//a α或a 与α相交.若//a α，则α内存在一条直线与直线a 平行；若a 与α相交，则α内不存在直线与直线a 平行，故D 错误.故选：B.4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a π4B =，b =，则A =（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．π6或5π6【正确答案】A【分析】由正弦定理求得sin A ，然后由三角形的性质求得A ．【详解】由正弦定理，得1,sin sin sin 2sin4a b A A B ==，因为a b <，所以A B <，π6A =故选：A.5．已知i 是虚数单位，复数i z a b =+，a ∈R ，b ∈R ，且i 2i -=+-z z ，则3-+z 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【正确答案】B【分析】根据复数的模长公式可求得1a =-，再利用复数的模长公式可求得3-+z 的最小值.【详解】因为()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b -=+-，()()2i 21i z a b +-=++-，由i 2i -=+-z z ，解得1a =-，则1i z b =-+，所以，(34i z b -+=-++，因此，34z -+=，当且仅当b =故3-z 的最小值为4.故选：B.6．三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式S =和海伦公式S =，其中2a b cp ++=，是等价的，都用于求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出了四边形的面积公式：若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，其中2a b c dp +++=，θ为一组对角的和的一半.已知四边形四条边长分别为2，4，6，8，则四边形最大面积为（）A ．B ．C ．20D ．28【正确答案】B【分析】首先求出p ，依题意可得0πθ<<，sin 0θ>，根据所给公式得到in S θ=，再结合正弦函数的性质计算即可.【详解】不妨设2a =，4b =，6c =，8d =，则2468102p +++==，又易知0πθ<<，sin 0θ>，则S =i n θ==，当sin 1θ=，即π2θ=时，有最大值为故选：B ．7．已知2a = ，b = t ∃∈R ，a tb a b +<+ ，那么向量a 、b的夹角不能是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6【正确答案】C【分析】设向量a 、b的夹角为θ，则0πθ≤≤，根据a tb a b +<+ 可得出关于t 的二次不等式，根据0∆>求出cos θ的取值范围，结合0πθ≤≤即可得解.【详解】设向量a 、b的夹角为θ，则0πθ≤≤，由a tb a b +<+ 可得()()22a tba b +<+ ，整理可得222220t b ta b a b b +⋅-⋅-< ，即2222cos 2cos 0t b t a b a b b θθ+⋅-⋅-< ，即2cos 10t θθ+--<，因为t ∃∈R ，使得2cos 10t θθ+--<成立，则())228cos 41410θθθ∆=++=+>，解得cos 2θ≠-，因为0πθ≤≤，则3π4θ≠.故选：C.8．如图，圆锥的母线长为6，底面圆的半径为1，PAB 是圆锥的轴截面，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点D ，当蚂蚁的爬行距离最短时，DP 在AB上的投影向量为（）A ．15ABB ．14ABC ．13ABD ．12AB【正确答案】B【分析】将圆锥沿着母线PA 展开为扇形1APA ，设1APA θ∠=，求出θ的值，可知当D 为AP 的中点时，蚂蚁的爬行距离最短，再利用投影向量的定义可求得DP 在AB上的投影向量.【详解】将圆锥沿着母线PA 展开为扇形1APA ，设1APA θ∠=，如下图所示：由题意可得62πθ=，可得π3θ=，又因为1PA PA =，故1APA △为等边三角形，当1A D PA ⊥时，即当D 为AP 的中点时，蚂蚁的爬行距离最短，在PAB 中，取线段AB 的中点O ，连接PO ，因为PA PB =，则PO AB ⊥，所以，AP 在AB上的投影向量为12AO AB =u u u r u u u r ，因为12DP AP = ，故DP 在AB上的投影向量为1124AO AB = .故选：B.二、多选题9．下面关于空间几何体的表述，正确的是（）A ．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥B ．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形C ．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台D ．从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥的体积一定是三棱柱体积的13【正确答案】BD【分析】根据旋转体的概念即可判断A ；根据圆锥的结构特征，即可判断B ；根据棱台的概念即可判断C ；根据同底等高的三棱锥与三棱柱的联系，即可判断D.【详解】A ：当直角三角形以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故A 错误；B ：圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形，故B 正确；C ：用平行于底面的一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，故C 错误；D ：从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥与三棱柱同底等高，所以三棱锥的体积为三棱柱体积的的13，故D 正确.故选：BD.10．以下命题中正确的是（）A ．任意两个复数1z ，2z 满足1212z z z z -≤+B ．任意复数z 满足22||z z =C ．若复数1z ，2z 满足120z z ->，则1z ，2z 互为共轭复数D ．任意两个复数1z ，2z 满足1212z z z z =【正确答案】AD【分析】由复数的几何意义可判断A 正确，再设1i z a b =+，2i,(,,,R)z c d a b c d =+∈，依照选项分别进行复数运算即可判断B 、C 、D.【详解】设两个复数1z ，2z 对应的向量为12,OZ OZ，由向量减法的几何意义，可知1212OZ OZ OZ OZ -≤+ ，A 正确；设i(,R)z a b a b =+∈，则222z a b =+，2222i z a b ab =-+，所以22||z z ≠，故B 错误；设1i z a b =+，2i(,,,R)z c d a b c d =+∈，若12()()i>0z z a c b d -=-+-，则12z z -是实数，所以,b d a c =>，故1z ，2z 不是共轭复数，C 错误；12z z ==12z z ==，D 正确.故选：AD11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B ．若π3A =，a =ABC 的外接圆的面积等于πC ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰直角三角形【正确答案】BC【分析】根据余弦定理即可判断A ；根据正弦定理，即可判断B ；由题意可得ππ022A B >>->，即可判断C ；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.【详解】A ：由余弦定理，得222cos 02a c b B ac+-=>，得B 为锐角，不能判断ABC 为锐角，故A 错误；B ：设ABC 的外接圆的半径为R，由正弦定理得22sin a R A ==，得1R =，所以其外接圆的面积为2ππR =，故B 正确；C ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B +=，且ππ022A B >>->，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或2π2A B =-，即A B =或π2A B +=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：BC.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则（）A ．1AC EF∥B ．平面1B EF截此正方体所得截面的周长为2C ．三棱锥1D B EF -的表面积为D ．三棱锥1D B EF -的体积为1【正确答案】BD【分析】根据线线平行的判定定理即可判断A ；如图梯形1EB HF 即为平面1B EF 截此正方体所得的截面，即可判断B ；利用余弦定理和三角形面积公式计算即可判断C ；利用等体积法计算，即可判断D.【详解】A ：如图，连接AC ，1AC ，取AC 的中点O ，连接OF ，因为F 为1CC 的中点，所以1//OF AC ，又EF OF F = ，所以1//EF AC 不成立，故A 错误；B ：如图，记DC 的中点为G ，连接1GC ，则11//EB GC ，取CG 的中点H ，连接FH ，则1//FH GC ，所以1//FH EB ，得四边形1EB HF 为梯形，即为平面1B EF 截此正方体所得的截面，易知11,22EB FB FH EH ====，所以梯形1EB HF B 正确；C ：如图，连接CE ，DB ，由题意知，11EB FB FD ED ===，1DB ==，EF ==在1 B DE中，11EB ED DB ==由余弦定理，得222111155121cos 2105ED EB DB DEB ED EB +-+-∠==-⋅，所以1sin 5DEB ∠=，所以1111sin 2B DE S ED EB DEB =⋅∠同理可得11B EF B DF DEF S S S =，所以三棱锥1D B EF -的表面积为，故C错误；D ：记1BB 的中点为P ，连接AP ，在//AP DF ，取BP 的中点Q ，连接EQ ，FQ ，则//EQ AP ，所以//EQ DF ，所以四边形DFQE 为梯形，由13B QBQ=，得13B DEF B DEF V V --=，所以1111333(12)1132D B EF B DEF B DEF F DEB V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：BD.三、填空题13．已知24a b ==，a b += ，则⋅= a b ______【正确答案】72【分析】根据题意可得2b =，对等式a b += .【详解】由24a b == ，得2b =，由222227a b a a b b +=+⋅+= ，解得72a b ⋅= .故答案为.7214．用一个圆心角为π，半径为4的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是___________.【正确答案】【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求得半径，进一步根据勾股定理求得高.【详解】扇形的弧长为4πl =，设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2π4πr =，解得2r =.=故答案为.15．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线1AA 与直线1BB 的交点为P ，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为___________.【正确答案】3【分析】先确定四棱锥P ABCD -为正四棱锥，则其外接球的球心O 在直线1PO 上，由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解.【详解】设AC 与BD 相交于点1O ，因为四棱台1111ABCD A B C D -为正四棱台，直线1AA 与直线1BB 的交点为P ，所以P ABCD -四棱锥为正四棱锥，得1PO ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在直线1PO 上，连接BO ，设该外接球的半径为R ，由11122AB A B ==，11//AB A B ，所以1112,PB BB BO PO ====22211OB O O O B =+，即222(2)(2)R R =+-，解得2R =，则四棱锥P ABCD -外接球的体积为3482ππ33R =.故答案为.82π316．祖暅（gèng ）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R 的半球与底面半径和高都为R 的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面α的距离为23R ，则平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积等于___________.【正确答案】38π81R 【分析】根据题意中给的原理，结合圆柱、圆锥的体积运算，即可求解.【详解】由题意知，2311ππ33V R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆柱，2233111228ππ,ππ3333381V R R R V R R R ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小圆锥大圆锥，所以3331819ππ38181V V V R R R π=-=-=小圆锥圆台大圆锥，所以该平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积为：3331198πππ38181V V V R R R =-=-=圆柱圆台.故答案为.38π81R 四、解答题17．已知平面向量()3,4AB =- ，(),BC x y = ，()4,3CD =- .(1)若//BC AD ，求x 与y 之间的关系式；(2)在（1）的条件下，若AC BD ⊥，求x ，y 的值.【正确答案】(1)y x=(2)3x y ==或4x y ==-【分析】(1)应用向量平行坐标运算即得.(2)应用向量垂直坐标运算即得.【详解】（1）因为(3,4)AB =- ，(,)BC x y = ，(4,3)CD =- ，所以(1,1)AD AB BC CD x y =++=++ ,//BC AD,∴(1)(1)y x x y +=+，即y x =.（2）(3,4)AC x y =-+ ，(4,3)BD x y =+- ，AC BD ⊥ ,∴(3)(4)(4)(3)0x x y y -+++-=,y x =,∴3x y ==或4x y ==-.18．在英语中，实数是Real Quantity ，一般取Real 的前两个字母“Re ”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity ，一般取Imaginary 的前两个字母“Im ”表示一个复数的虚部.如：()Re 23i 2+=，()Im 23i 3+=；()Re 3i 0-=，()Im 3i 3-=-.已知复数z 是方程2220x x ++=的解.(1)若()Im 0z >，且2i a b z=-（a ，R b ∈，i 是虚数单位），求i a b +；(2)若()Im 0z <，复数20231i 3it z z +=+，R t ∈，且()1Re 0z <，()1Im 0z >，求t 的取值范围.【正确答案】(1)(2)122t -<<【分析】（1）根据方程和题意可得1i z =-+，利用复数的乘法运算可得220a b b =-+⎧⎨+=⎩，结合复数的几何意义即可求解；（2）根据题意可得1i z =--，由复数的乘方和除法运算可得()1212i 5t t z --+-=，即可求解.【详解】（1）因为z 是方程2220x x ++=的根，解得1i z =-±，Im （z ）0>，∴1i z =-+，∴2i 1ia ab z ==--+，()()()2i 1i 22i a b b b =--+=-+++，∴220a b b =-+⎧⎨+=⎩，解得4,2a b ==-，∴i a b +=；（2） Im （z ）0<，复数20231i 3it z z +=+，R t ∈，且Re （1z ）0<，Im （1z ）0>∴1i z =--，又20233i i i ==-，∴()20231212i i i 12i 12i 5t t t t z --+-+-===-+-+， Re （1z ）0<，Im （1z ）0>∴2051205t t --⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得122t -<<.所以t 的取值范围为122t -<<.19．记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos235cos B B +=.(1)求B ；(2)若3a c =-，1b c =-，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3B =(2)【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得出cos B 的方程，解出cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得a 、c 的值，利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.【详解】（1）解：由cos 235cos B B +=，得22cos 5cos 20B B -+=，解得1cos 2B =或cos 2B =（舍），因为0πB <<，所以π3B =.（2）解：由（1）及余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又3a c =-，1b c =-，所以()()()222133c c c c c -=-+--，解得8c =，5a =，所以ABC 的面积11sin 58222ABC S ac B ==⨯⨯⨯= .20．无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A 处出发，沿北偏东70°的方向航行)1km -后到达B 处，然后从B 出发，沿北偏东10°的方向航行2km 到达C 处.(1)求A 与C 的距离；(2)如果下次航行直接从A 出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？【正确答案】(2)应沿北偏东25 的方向航方向航行【分析】（1）根据题意求出ABC ∠、AB 、BC ，结合余弦定理计算即可求解；（2）根据正弦定理可得sin CAB ∠=.【详解】（1）由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=-+= ，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2）根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即22sin2s in BC A B BC CA AC∠==∠又,0180BC AC CAB <≤∠≤ ，所以45CAB ∠= ．所以应沿北偏东25 的方向航方向航行即可到达C 处.21．如图，PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面圆的直径，点C 是圆柱的底面圆周上异于A ，B 的点，1AC =，BC =，PB =(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值.【正确答案】(1)侧面积4π侧=S ，体积2π=V .【分析】（1）利用圆柱的侧面积和体积公式即可.（2）将平面ACE 展开到和平面AED 重合，转化为同一平面内线段和的最小值，三点共线时，线段和最小，即可求解.【详解】（1）由已知，2224AB AC BC =+=，2AB =2224PA PB AB =-=，2PA =∴圆柱底面圆的半径12AB r ==，∵母线长2PA =，∴圆柱的高2h PA ==，∴圆柱的侧面积2π2π124πS rh ==⨯⨯=侧，圆柱的体积22ππ122πV r h ==⨯⨯=.（2）如图，延长线段BA 至C '，使得1AC AC '==，连接C E '，易证EAC EAC '≅ ，∴C E CE '=，∴CE ED +=C E ED '+，连接C D '，则当C '，E ，D 三点共线时，C E ED '+最小，即CE ED C E ED C D''+=+≥取AB 中点O ，则O 为底面圆心，连接OD ，∵D 为PB 中点，则OD PA ∥，112OD PA ==，易知PA AB ⊥，∴OD AB ⊥，∴在直角DOC ' 中，()()()()222222125C D OD OC OD OA AC '''=+++=+=∴CE ED +522．如图，半球底面圆的圆心为O （即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆1O ，以圆面1O 为底面向下挖去一个圆柱1OO （圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x ，体积为V .(1)求出体积V 关于x 的函数解析式，并指出定义域；(2)当x 为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？附：0a >，0b >，0c >222a b ab +≥，a b ab +≥a b =时取等）3333a b c abc +≥+，a b c ++≥（当且仅当a b c ==时取等）【正确答案】(1)V x=，定义域为{0x x <<(2)当x =【分析】(1)先设正四棱柱的高为h ,再根据柱体体积公式求解即可；(2)应用基本不等式求正四棱柱体积最大即得.【详解】（1）设正四棱柱的高为h ，则222216()22x h x h =+=+，h08<<，2V x h x ==定义域为{0x x <<，（2）2V x h x ===≤=当22216442x x x ==-，x =时取等，∴当x =。

2020-2021学年河北省邢台市高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列说法正确的是()A. 四棱台的侧棱长一定相等B. 有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱C. 圆柱的任意两条母线所在直线互相平行D. 三棱锥的四个面不可能全是直角三角形2.已知复数z=4−3i3−i，则复数z在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列几何体中，棱的条数最多的是()A. 四棱柱B. 五棱柱C. 五棱锥D. 六棱锥4.已知向量a⃗=(−5,1)，b⃗ =(1,2m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −110B. −52C. 110D. 525.已知△ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“c=acosB”是“△ABC为直角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m//α，n//β，α//β，则m//nB. 若m//α，m//β，α∩β=n，则m//nC. 若n//α，n//β，则α//βD. 若m//n，n⊂α，则m//α7.道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一体的观光胜地．道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积为3200(√2+1)平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积是()A. 460平方米B. 1840平方米C. 2760平方米D. 3680平方米8. 已知复数z =a 2−2a −2+(a 2−1)i(a ∈Z)，且|z −1|=3√2，则z =( )A. 4+3iB. 4−3iC. −2+3iD. −2−3i二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是线段AC ，PD 的中点，则( )A. EF//平面PABB. EF//平面PBCC. CF//平面PABD. CF//平面PBC10. 已知复数z =4+3i ，则( )A. |z|=5B. z ×z −=7C. z 2=25+24iD. z2−i =1+2i 11. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案(如图一).正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成(如图二).如图三所示的正六角星的中心为O ，A ，B ，C 是该正六角星的顶点，则( )A. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值是−12B. 若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =3C. 若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6D. 若非零向量a ⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则|a||x|取最小值时，y =2x 12. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则( )A. EF//平面PMNB. 直线PM与EF所成的角是π3C. 存在过点E，F的平面α与平面PMN平行，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3D. 点E到平面PMN的距离是2√33三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.写出一个值域为(−∞,4]的偶函数f(x)=______．14.若一个圆锥的侧面积展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的轴截面面积为______．15.已知复数z=a+bi(a,b∈R且a>−1)，且|z|=1，则z+1z −(1−z1+z)2的最小值是______；此时，复数z=______．16.已知函数f(x)=2cos(ωx+π3)−√3在[0,π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①AD=6；②四边形ABCD的面积为24；③四边形ABCD的周长为20这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，AB=4，且_____．(1)求该圆柱的体积；(2)若用一细绳从点A绕圆柱一周后到达D处(如图)，求细绳的最短长度．18.已知复数z=(1+i)m2+(5−2i)m−14(m∈R)．(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内对应点在直线x+y+5=0上，求m的值．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=CC1，点E，F分别在BC，CC1上(不包含端点)，且CE=CF.证明：(1)A，D1，E，F四点共面；(2)直线AE，D1F，DC交于一点．20.如图，平面四边形ABCD是某公园的一块草地，为方便市民通行，该公园管理处计划在草地中间修一条石路BD(不考虑石路的宽度)，∠ABC=2∠ADC=2π，BC=3 2AB=2AD=4．(1)求该草地的面积；(2)求石路BD的长度．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，直线PA垂直于平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90°，且CD=PA=4，AB=√3AD=2√3．(1)求四棱锥P−ABCD的体积；(2)在线段PB上是否存在点F，使得AF//平面PCD？的值；若不存在，说明理由．若存在，求出PFPB22.已知函数f(x)=2msin x2cos x2+2√3mcos2x2(m≠0)．(1)当m=−2时，求f(x)的单调递减区间；(2)设g(x)=x2−2x+2，若对于任意的x1∈[0,π2],x2∈[0,2]都有f(x1)≠g(x2)，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由棱台的定义可知四棱台的侧棱长不一定相等，则A错误；直四棱柱需要所有的侧棱都垂直于底面，即所有侧面都要垂直于底面，所以有两个侧面垂直于底面的四棱柱不一定是直四棱柱，则B错误；根据圆柱母线的定义可知圆柱的任意两条母线平行，所以它们所在直线互相平行，则C 正确；三棱锥的四个面可能都是直角三角形，如图：三棱锥A−BCD，其中AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形，则D错误．故选：C．利用棱台，棱柱，圆柱和棱锥的性质即可判断A、B、D的错误，利用圆柱的定义和结构特征知C正确，即可得解．此题考查了平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=(4−3i)(3+i)(3−i)(3+i)=15−5i10=32−12i，∴复数z在复平面内对应的点Z(32,−12)在第四象限．故选：D．先进行复数的四则运算化简复数，从而得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的四则运算及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：四棱柱有12条棱，五棱柱有15条棱，五棱锥有10条棱，六棱锥有12条棱，因此棱数最多的是五棱柱．故选：B．由棱柱和棱锥的定义，计算各个几何体的棱数，可得结论．本题考查棱柱、棱锥的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−5+2m=0，解得m=5．2故选：D．根据a⃗⊥b⃗ 可得出a⃗⋅b⃗ =0，然后进行数量积的坐标运算即可求出m的值．本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为c=acosB由正弦定理可得，sinC=sinAcosB即sin(A+B)=sinAcosB所以sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB所以sinBcosA=0因为0<A<π，0<B<π所以sinB≠0，cosA=0，△ABC为直角三角形则A=π2但△ABC为直角三角形时不一定是A=π2所以c=acosB是△ABC为直角三角形充分不必要条件故选：A．由已知结合正弦定理可得sinC=sinAcosB，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得A为直角，几何充分条件及必要条件进行判断即可．本题主要考查了正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式的简单运用，还考查了充分条件、必要条件的判断．6.【答案】B【解析】解：若m//α，n//β，α//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；若m//α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l//m，则l//β，从而l//n，故m//n，故B正确；若n//α，n//β，则α//β或α与β相交，故C错误；若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故D错误．故选：B．由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；直接证明B正确；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C；由直线与直线平行分析直线与平面的关系判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：如图，由题意可知，底面ABCDEFGH是正八边形，∠AOB=2π8=π4，由余弦定理可得，AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcos∠AOB=(2−√2)OA2，则OA2=2+√22AB2，因为底面ABCDEFGH的面积为3200(√2+1)平方米，所以8×12×√22×2+√22AB2=3200(√2+1)，解得AB=40，则该八棱柱的侧面积为320×11.5=3680平方米．故选：D．利用余弦定理可以得到AB与OA的关系，利用底面正八边形的面积，列式求出AB的值，然后由棱柱的侧面积公式求解即可．本题考查了空间几何体的几何性质的应用，余弦定理的应用，棱柱侧面积公式的运用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：∵复数z=a2−2a−2+(a2−1)i(a∈Z)，且|z−1|=3√2，∴√(a2−2a−3)2+(a2−1)2=3√2，∴(a+1)2(a−3)2+(a+1)2(a−1)2=18，即(a+1)2(2a2−8a+10)=18，∴(a+1)2[(a−2)2+1]=9，∵a∈Z，∴(a+1)2∈Z，(a−2)2+1∈Z，且(a−2)2+1≥1，∵9=1×32=9×12，∴解得a=2，则z=−2+3i．故选：C．根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】AB【解析】解：如图，连接BD．因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AC的中点，所以E是BD的中点，所以EF//PB，则EF//平面PAB，EF//平面PBC，故A，B正确；因为AD//BC，所以AD//平面PBC.假设AF//平面PBC，又AF∩AD=A，则平面PAD//平面PBC．因为平面PAD与平面PBC相交，则假设不成立，即AF//平面PBC不成立，故D错误；同理可得C错误．故选：AB．连接BD，推导出EF//PB，从而EF//平面PAB，EF//平面PBC；由AD//BC，得AD//平面PBC.假设AF//平面PBC，则平面PAD//平面PBC，假设不成立，从而AF//平面PBC不成立；同理可得CF//平面PBC ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】AD【解析】解：由题意可得|z|=√42+32=5,z −=4−3i ， 则z ⋅z −=16−9i 2=25，则故A 选项正确，B 选项错误， z 2=16+24i +9i 2=7+24i ，故C 选项错误， z2−i=(4+3i)(2+i)5=8−3+10i5=1+2i ，故D 选项正确，故选：AD ．根据复数模公式，即可判断A 选项，根据复数的乘法运算，以及共轭复数的概念，即可求解B ，C ，D 选项．本题主要考查了复数模公式，以及复数的乘法运算和共轭复数的概念，属于基础题．11.【答案】AC【解析】 【分析】 求得∠AOB =2π3，计算可判断A ；由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算可判断B ；由向量数量积的定义，计算可判断C ；由向量的模和向量数量积的性质，计算可判断D ． 本题考查向量在几何中的运用，以及向量基本定理和数量积的定义和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 【解答】解：由题意可知∠AOB =2π3，则cos∠AOB =−12.故A 正确； 由题意可知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则x +y =−3，故B 错误：因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，所以|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×4−2×2×(−12)=−6，故C 正确： 因为a ⃗ =x OA⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|a⃗ ||x|=√(x 2−xy+y 2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2|x|=√(y x )2−yx +1⋅|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，当yx =12时，|a⃗ ||x|取最小值，此时x=2y，故D错误．故选：AC．12.【答案】ACD【解析】解：如图，取BC的中点G，连接EG，FG，可证EG//MN，FG//PM，则平面EFG//平面PMN，因为EF⊂平面EFG，所以EF//平面PMN，故A正确；因为FG//PM，所以∠EFG是直线PM与EF所成的角．因为AB=2，所以EG=FG=√2，EF=√6，所以cos∠EFG=6+2−22√6×√2=√32，则∠EFG=π6，故B错误；分别取C1D1，A1D1，AA1的中点H，K，I，连接HF，HK，KI、EI，可证平面EGFHKI//平面PMN，则存在过点E，F的平面α与平面PMN平行，六边形EGFHKT是平面α截该正方体得到的截面，截面的面积是6×√34×(√2)2=3√3，故C正确；连接ME，NE，PE，则三棱锥P一MNE的体积是13×12×2×1×1=13，△PMN的面积是√34×2=√32，设点E到平面PMN的距离是d，则13×√32d=13，解得d=2√33，故D正确．故选：ACD．取BC的中点G，连接EG，FG，证明平面EFG//平面PMN，可得EF//平面PMN判断A；由FG//PM，得∠EFG是直线PM与EF所成的角，求解三角形可得∠EFG的大小判断B；分别取C1D1，A1D1，AA1的中点H，K，I，连接HF，HK，KI、EI，证得平面EGFHKI//平面PMN，求出六边形EGFHKT的面积判断C；利用等体积法求点E到平面PMN的距离判断D．本题考查空间中点、线、面间的位置关系，考查空间角与距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−x2+4(答案不唯一)【解析】解：根据题意，要求函数是偶函数且其值域为(−∞,4]，可以考虑二次函数，开口向下且最大值为4；则f(x)=−x2+4，故答案为：−x2+4(答案不唯一)．结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断和应用，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．14.【答案】√3【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，∴12πl2=2π，解得l=2，∵侧面展开图是半圆，∴2πr=πl=2π，∴r=1，∴圆锥的高ℎ=√l2−r2=√3，∴圆锥的轴截面面积为S=12×2r×ℎ=√3．故答案为：√3．根据侧面积计算母线长，得出底面半径，从而可求得圆锥的高，故而可计算出轴截面的面积．本题考查了圆锥的结构特征，属于基础题．15.【答案】1 i或−i【解析】解：∵|z|=1，∴a2+b2=1，∴1z =a−bia2+b2=a−bi,z+1z=2a，∵1−z1+z =−1+21+z=−1+2(1+a−bi)(1+a)2+b2=−1+1+a−bia+1=−bia+1，∴(1−z1+z )2=−b2(a+1)2=−1−a2(a+1)2=−1−aa+1=1−2a+1，则z+1z−(1−z1+z)2=2a+2a+1−1，∵2a+2a+1=2(a+1)+2a+1−2≥4−2=2，∴z+1z −(1−z1+z)2≥1，当且仅当a=0时，等号成立，故此时a=0，b=±1，则z=i或z=−i．故答案为：1，i或−i．根据已知条件，结合复数模公式，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，以及基本不等式的公式，属于中档题．16.【答案】[72,236)∪(−52,−136]【解析】解：当ω>0时，因为x∈[0,π]，所以ωx+π3∈[π3,ωπ+π3]，因为f(x)=2cos(ωx+π3)−√3在[0,π]上恰有3个零点，所以23π6≤ωπ+π3<25π6，解得72≤ω<236．当ω<0时，因为x∈[0,π]，所以ωx+π3∈[ωπ+π3,π3]，因为f(x)在[0,π]上恰有3个零点，所以−13π6<ωπ+π3≤−11π6，解得−52<ω≤−136．综上，ω的取值范围是[72,236)∪(−52,−136]，故答案为：[72,236)∪(−52,−136]．x∈[0,π]⇒ωx+π3∈[π3,ωπ+π3]，f(x)=2cos(ωx+π3)−√3在[0,π]上恰有3个零点，分ω>0与ω<0两类讨论，分别得到关于ωx+π3的不等式，解之取并即可．本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)选择①，由题意可得圆柱的底面圆的半径r=12AB=2，高为ℎ=AD=6， (2))则该圆柱的体积为V=Sℎ=π×22×6=24π.…………………………(5分)选择②，由题意可得圆柱的底面圆的半径r=12AB=2，高为ℎ=AD=244=6，……………………(2分)则该圆柱的体积为V=Sℎ=π×22×6=24π.………………(5分)选择③，由题意可得圆柱的底面圆的半径r=12AB=2，高为ℎ=AD=202−4=6，………………(2分)则该圆柱的体积为V=Sℎ=π×22×6=24π.…………………………(5分)(2)将圆柱沿AD侧面展开，如图所示，AD=6，AA′=4π，……………………(7分)则AD′=√(4π)2+62=2√4π2+9.………………(9分)故细绳的最短长度为2√4π2+9.……………………(10分)【解析】(1)选择①，求出圆柱的底面圆的半径，高，则然后求解该圆柱的体积．选择②，求出圆柱的底面圆的半径，高，则然后求解该圆柱的体积．选择③，求出圆柱的底面圆的半径，高，则然后求解该圆柱的体积．(2)将圆柱沿AD侧面展开，利用勾股定理求解细绳的最短长度即可．本题考查圆柱的体积的求法，旋转体表面距离的求法，是中档题．18.【答案】解：∵z=(1+i)m2+(5−2i)m−14=(m2+5m−14)+(m2−2m)i，∴z的实部为m2+5m−14，虚部为m2−2m，(1)因为z是纯虚数，所以{m2+5m−14=0m2−2m≠0，解得m=−7．(2)由题意可得(m2+5m−14)+(m2−2m)+5=0，∴2m2+3m−9=0，解得m=32或m=−3．【解析】把复数整理为复数的代数形式．(1)由实部为0且虚部不为0列式求解m值．(2)把点(m2+5m−14,m2−2m)代入直线可求解m值．本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．19.【答案】证明：(1)如图，，连接AD 1，EF ，BC 1．因为BC =CC 1，CE =CF ，所以CE CB =CFCC 1，所以EF//BC 1，由长方体的性质可知AD 1//BC 1，所以AD 1//EF ， 故A ，D 1，E ，F 四点共面．(2)由(1)可得AD 1//EF ，AD 1≠EF ，则四边形AEFD 1是梯形， 故直线AE 与直线D 1F 必相交，记AE ∩D 1F =P ． 因为P ∈AE ，且AE ⊂平面ABCD ，所以P ∈平面ABCD ， 因为P ∈D 1F ，且D 1F ⊂平面CDD 1C 1，所以P ∈平面CDD 1C 1， 又因为平面ABCD ∩平面CDD 1C 1=CD ，所以P ∈CD ． 即直线AE ，D 1F ，DC 交于一点．【解析】(1)直接利用平行线分线段成比例定理的应用求出结果； (2)利用共面问题的应用得到三线共点．本题考查的知识要点：平面的性质，平行线与线段的比例关系，主要考查学生的推理能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)如图，连接AC ，在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC ，即AC 2=4+16−2×2×4×(−12)=28，则AC =2√7，△ACD 中，由余弦定理可得AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CDcos∠ADC ，则4+CD2−2CD=28，解得CD=6或CD=−4(舍去)，△ABC的面积S1=12AB⋅BCsin∠ABC=12×2×4×√32=2√3，△ACD的面积S2=12AD⋅CDsin∠ADC=12×2×6×√32=3√3，故该草地的面积S=S1+S2=2√3+3√3=5√3．(2)因为∠ABC=2∠ADC=2π3，所以∠BAD+∠BCD=π，所以cos∠BAD=−cos∠BCD，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcos∠BAD=CD2+BC2−2CD⋅BCcos∠BCD，即4+4−8cos∠BAD=36+16−48cos∠BCD=BD2，解得cos∠BAD=−1114,BD2=1007，故BD=10√77，即石路BD的长度为10√77．【解析】(1)连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC的值，△ACD中，由余弦定理可得CD的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．(2)由题意可求cos∠BAD=−cos∠BCD，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcos∠BAD=CD2+BC2−2CD⋅BCcos∠BCD，进而解得BD的值，即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和方程思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)如图，过点D作DM//AB，交BC于点M，则∠DMC=∠ABC=90°．因为AD//BC，DM//AB，所以四边形ABMD是平行四边形，所以BM=AD=2，DM=AB=2√3．因为CD=4，所以CM=√16−12=2，所以BC=4．则四边形ABCD的面积为(2+4)×2√32=6√3．由题意可知PA是四棱锥P一ABCD的高，则该四棱锥的体积为13×6√3×4=8√3．(2)分别取PC，PB的中点E，F，连接AF，EF，DE．因为E，F分别是PC，PB的中点，所以EF//BC，EF=12BC．由(1)可知AD//BC，AD=12BC，所以AD//EF，AD=EF，所以四边形ADEF是平行四边形，所以AF//DE．因为DE⊂平面PCD，AF⊄平面PCD，所以AF//平面PCD．所以存在点F，使得AF//平面PCD，此时PFPB =12．【解析】(1)过点D作DM//AB，交BC于点M，证明四边形ABMD是平行四边形，求得BM、CM的值，求出四边形ABCD的面积，再计算四棱锥P一ABCD的体积．(2)分别取PC，PB的中点E，F，连接AF，EF，DE，证明EF//BC，AD//EF，得出四边形ADEF是平行四边形，AF//DE，从而得出AF//平面PCD，以及对应PFPB的值．本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=msinx+√3mcosx+√3m=2msin(x+π3)+√3m．当m=−2时，f(x)=−4sin(x+π3)−2√3．令2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得2kπ−5π6≤x≤2kπ+π6(k∈Z)．故f(x)的单调递减区间为[2kπ−5π6,2kπ+π6](k∈Z)．(2)当x∈[0,2]时，g(x)∈[1,2]．当x∈[0,π2]时，x+π3∈[π3,5π6]，所以sin(x+π3)∈[12,1]．当m>0时，f(x)∈[m+√3m,2m+√3m]．因为f(x1)≠g(x2)，所以m+√3m>2或2m+√3m<1，解得m>√3−1或0<m<2−√3．当m<0时，f(x)∈[2m+√3m,m+√3m]，所以f(x)<0．因为g(x)>0，所以f(x1)≠g(x2)恒成立，所以m<0符合题意．综上，m的取值范围是(−∞,0)∪(0,2−√3)∪(√3−1,+∞)．【解析】(1)利用三角恒等变换化简解析式，不等式2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)的解为f(x)的单调递减区间．(2)设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B，则条件等价于A∩B=⌀，分m>0，m<0两种情况讨论．本题考查三角函数的图象与性质，函数的值域应用，属于中档题．。

河北省石家庄市正定县正定高一下学期第二次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知函数()f x =M ，()()ln 1g x x =+的定义域为N ，则M N ⋂= A .{}1x x >- B .{}1x x < C .{}11x x -<< D .∅2．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A ．2 2B ．22C ．2－1D ．2＋24. 等差数列{}n a 中，()()35710133224a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和等于A .26B . 13C . 52D .1565. 在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a = A ．116B ．18 C ．14 D ．126．已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=，3,5a b ==，则BAC ∠= A. 30B ．150-C ．0150 D ． 30或01507．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a b c >>，如果222a b c <+，则A 的取值范围是A . 90180A <<B . 4590A <<C . 6090A <<D .090A <<8. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设)log (log 2185.045.0a a P +=， 2log 1025.0a a Q +=，则P 与Q 的大小关系是A ． Q P ≥B ．Q P <C ．Q P ≤D ．Q P >9. 已知0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于 A ．1x a <-或1x b>B.1x b <-或1x a> C ．10x a -<<或10x b <<D ．10x b -<<或10x a<< 10. 向量211(,)22n n n na a v a a ++=-，(3,3)μ=且//v μ，15a =，则数列{}n a 的前10项和为A ．50B ．100C ．150D ．20011. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．328π-B ．38π- C ．π28- D. π-812. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．BC．2D．2二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如果121,32,43,54,,a a a a a a a a a ----是首项为1，公比为2的等比数列，则5a 等于 。

河北省廊坊市高一下学期数学第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题 (共12题；共60分)1. （5分） (2017高一下·鞍山期末) 直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 135°2. （5分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A . 恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B . 恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C . 恒过点（2，0）且不垂直x轴D . 恒过点（2，0）且不垂直y轴3. （5分）直线l的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线l的方程是（）A . 3x-y-5=0B . 3x+y-5=0C . 3x-y+1=0D . 3x+y-1=04. （5分） (2016高二上·平罗期中) 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A . 6B . 3C . 12D . 65. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积为时，tanθ的值为（）A . 2B .C .D .6. （5分）(2012·浙江理) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （5分）当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是（）A . (2，3)B . (－2，3)C .D . (－2，0)8. （5分）如图是日常生活中常用到的螺母，它可以看成一个组合体，其结构特征是（）A . 一个棱柱中挖去一个棱柱B . 一个棱柱中挖去一个圆柱C . 一个圆柱中挖去一个棱锥D . 一个棱台中挖去一个圆柱9. （5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AD，A1D1的中点，长为2的线段MN 的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P在二面角A—A1 D1—B1内运动所形成的轨迹（曲面）的面积为（）A .B .C .D .10. （5分）(2018·湖北模拟) 已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A .B .C .D .11. （5分）已知直线a，b和平面M，N，且a⊥M，则下列说法正确的是（）A . b∥M⇒b⊥aB . b⊥a⇒b∥MC . N⊥M⇒a∥ND . a⊄N⇒M∩N≠∅12. （5分）已知两点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率为（）A . 2B .C .D . -2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） (共4题；共20分)13. （5分）在直角坐标系中，直线y+1=0的倾斜角α的大小是________ 弧度．14. （5分） (2019高一上·昌吉月考) 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值；（2）求的值。