下载文档原格式
基本不等式一、对课标要求和教材特点的分析基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。
基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。
1．课标对本节课的要求：①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。
2. 对教材中本节课的内容安排特点的理解●课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。
●教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系。
●课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣。
●教科书更加注重学生数学思维的培养，十分注重借助几何直观（即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高。
3.学情分析：学生在初中学习了完全平方公式、圆，初步认识了不等式。
同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式（组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。
但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。
（根据以上情况，我制定了如下几点教学目标）二、教学重点、难点、目标1.重点：●应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
依据：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力。
●均值不等式成立的条件及应用。
依据：均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解。
突出重点的方法：我将采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导。
2.难点●基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；●利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
3.4.2基本不等式4ab<^-的应用（一）2 从容说课通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在木大节屮是起承上启下作用.在本节课的研究屮，将由基本不等式推导岀许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美•从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程.根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究, 对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式J亦5凹.以数学知识2为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题.教学重点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式陌5凹；22.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.教学难点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式后S出；22.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1•利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式V^<—；22.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.二、过程与方法L采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1•通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2•学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同吋去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2^b2>2ab(a.”WR),然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式陌5 凹.本节课，我们将利用2基本不等式V^<—来尝试证明一些简单的不等式.2(此时，老师用投影仪给出下列问题)推进新课问题1.已知兀、y都是正数，求证：⑴』+兰汀% J(2)Cx+y) (?+/) (?+/) >8.师前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质來证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？(思考两分钟)生不可以证明.师是否可以用基本不等式证明呢？生可以.(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)解:・・* y都是正数,A->0, 2>o..\^+2i>2J-e2=2,即- + ->2.y x y x \ y y x师这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？(齐声：完成)［合作探究］师请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？(引导同学们积极思考)生可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.师这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生Vx, y 都是正数，.*.JV2>0, y2>0» x3>0,A0. Ax+y>2yfxy >0, x -|->,2>2x2y2>0,可得(x+y) (x 2+/) (?+/) >2vy2yjx2y2 -2^x2y2= 8,即(x +y) (? + y2) (x3+/) > 8 x V. 师这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.(在表达过程中，对条件兀，y都是正数往往忽视)师在运用定理：3必》J亦时，注意条件G、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.(此时，老师用投影仪给出下列问题)、r # 4、十/d + b、2 . ci~ h~问题3.求证：( ---- )-< ------- .2 2(此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题,把探究的思维空间切实留给学生) 师利用完全平方公式，结合重要不等式：a2+b2>2ab，恰当变形，是证明本题的关键.(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)解：*：a2+b2>2ab, ：.2 (/+/) >a2+b2+2ab= (a+b) 2.A2 (a2+Z>2) > (a+b) 2.不等式两边同除以4,得尤也2(旦)2,即<«!+£.师下面同学都是用这种思路解答的吗？生也可由结论到条件去证明，即用作差法.师这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.［课堂练习］1.已知d、b、c 都是正数，求证：(d+b) (b+c) (c+d) > 8 a he.分析：对于此类题目，选择定理：凹 n仏a>o, b>o)灵活变形，可求得结果.2Ta、b、c都是正数，'•a+h>2-fab >0,b+c>2^/bc >0,c+«>2yfac >0./. (c+b) (b+c) (c+d) >2 -24bc -2 = 8 abc,即(o+b) (b+c) (c+d) > 8 abc.［合作探究］x— v a — b2•己知(a+b) (x+y) >2 (oy+bx),求证：---------- —H ------- > 2.・a-b x-y(老师先分析，再让学生完成)师本题结论中，注意兰二上与£二2互为倒数，它们的积为1,可利用公式a+b>2ab ,但a-b x-y要注意条件G、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明丄二丄与上二◎为正数a-bx-y开始证题.(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)生 *.* (d+b) (x+y) >2 (ay+bx),ax+ay+bx+by > lay+2bx.ax—ay+by—bx>0.・：(ax—bx) — Cay—by) >0.(Q—b)(兀一y) >0,即a~b与x~y同号.x— y — a_b ,, M十妆—与均为正数.a-b x-y ・・・q与口>2」二旦=2 （当且仅当q=口时取■，，）.a-b x- y \ a-b x- y a-b x- y・・・4 +口》2.a-b x-y师生共析我们在运用重要不等式a2+b2>2ab H^,只要求°、b为实数就可以了.而运用定理: “号泅时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断兰二上与土二2是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.a-b x-y课堂小结师本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师本节课我们用到重要不等式a2+b2>lab；两正数°、b的算术平均数（出），几何平2均数（必）及它们的关系C凹nJ亦）证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求G、b都是实数，而后者要求d、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形來2 w 2 1解决问题：ab<a+ , ab <（^t£）2.2 2师同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.布置作业课本第116页，B组第1题.板书设计基本不等式陌5 凹的应用（一）2复习引入例1方法归纳基本不等式例2血a + b2方法引导小结实例剖析（知识方法应用）示范解题备课资料备用习题1 •已知a、b W R •,求证：a3+b3>a2b+ab2. 证明：・九、bWR：(a3+b3)-(a2b+ab2) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b~) =(a+b)(a・b)2o, /.6Z34-/?3>«2Z?+«/22.2.已知A+B+C=7i,求证：P+.y'+z'NZxycosC+ZxzcosB+ZwcosA.分析:“取差问号”的比较法，关键在于取差(左式一右式)后，怎么判断符号.这里可把差式看作关于兀(关于y或关于z也可以)的二次三项式.证明:左式一右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2y,zcoSi47 2 2=x -2(ycosC・zcosB)x+)厂+z~-2yzcosA=[x-(jcosC+zcosB) ] 2+y2+z2-2yzcoSi4-(jcosC+zcosB)2.又y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2 =y2+z2-2}?zcos/4-y2cos2C-z2cos2Z?-2},zcosBcosC=>,2sin2C+z2sin2^-2yz(cosA+cosBcosC),由于A+3+C=TT,故cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC.•:左式■右式=[x・(ycosC+zcosB) ] 24-y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=[兀・©cosC+zcosB)]2+(j?sinC-zsinB)2>0.・・・左式2右式.点评:二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正，证明它的判别式AS0来进行.3.4.3基本不等式J亦5 旦的应用(二)2从容说课在本节课的教学过程屮，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理•从这个角度來说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究, 对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1•构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱. 教学难点1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；2.基本不等式应用吋等号成立条件的考查；3•通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生対数学这门学科的热爱. 教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1•通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程小，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用•通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是。
《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节 一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。
2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。
）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。
五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。
基本不等式目的要求： 复习与掌握基本不等式及其运用。
重点难点： 利用基本不等式的运用技巧。
教学设计： 一、引入：我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab ，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1 如果a, b ∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b 时等号成立。
让学生自己给出证明.探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
几何意义：如图把实数a ，b 作为线段长度，以a ≥b 为例，在正方形ABCD 中，AB=a ；在正方形CEFG 中，EF=b.则 S 正方形ABCD+S 正方形CEFG=a ²+b ².2ab S S CEFG BCGH =+矩形矩形，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。
即a ²+b ²≥2ab.当且仅当a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a ²+b ²=2ab 。
三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立.证明：因为 ()()ab b a b a b a 2222=≥+=+所以ab ba ≥+2， 上式当且仅当b a =，即a=b 时，等号成立。
其中2ba +为a,b 的算术平均，ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
几何意义为:如图在直角三角形中，CO 、CD 分C别是斜边上的中线和高，设AD=a ，DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。
四、.教学例题例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
3.4基本不等式2b a ab +≤ 一、三维目标：1、知识与技能：理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题2、过程与方法：能够理解并建立不等式的知识链3、情感、态度与价值观：通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识4、本节重点：应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程5、本节难点：应用基本不等式求最值二、课程引入：第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：四个以a ，b 为直角边的直角△ABC ，组成正方形ABCD则22b a DA CD BC AB +====22b a S ABCD += ab S ABE 21=∆ 如图可知：ABE ABCD S S ∆≥4 即ab b a 222≥+当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号，即b a b a ==-,0时取得等号三、新课讲授：（一）基本不等式的推证：1、重要不等式与基本不等式由引入中提到的重要不等式ab b a 222≥+，将其中的b a ,用b a ,代换，得到基本不等式2b a ab +≤，当且仅当b a =时，即b a =时取得等号。
特别注意，重要不等式ab b a 222≥+的适用范围是全体实数，而基本不等式2b a ab +≤的使用需要0,0>>b a 2、基本不等式的几种表述方式平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长3、分析法推证基本不等式要证2b a ab +≤，只需证明ab b a 2≥+（2）。
要证明（2）只需证明02≥-+ab b a （3）。
要证明（3）只需证明0)(2≥-b a （4）。
（4）式显然成立，故得证。
（二）基本不等式的应用与提高：1、你是设计师！（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
高二数学 教·学案
【学习目标】
12
a b
+≤
；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，2
a b
+≤
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【学习重点2
a b
+≤
，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
【学习难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【授课类型】 新授课 【学习方法】 诱思探究。
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
3.4 基本不等式2b a ab +≤[教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。
2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。
3. 能利用基本不等式进行简单的应用。
4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。
5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。
[重 点]：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2ba ab +≤。
[难 点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。
[教学方法]：启发、引导、讲解。
[教学准备]：Z+Z 课件 [教学过程]：一、 导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。
）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。
（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。
）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。
为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。
答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。
问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。
答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。
[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。
问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？ 答：ab b a 2≥+ 二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2ba ab +≤，当且仅当b a =时取等号。
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
