2018届高考数学(理)专题复习：增分练5-1-7 含答案

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组合增分练5 解答题组合练A1。

(2017河北保定二模，理17）已知数列｛a n }是等差数列,且a 1,ａ2(a 1<a 2)分别为方程x ２—6x＋5=0的两根.(１)求数列{a n }的前n 项和S ｎ;(２）在(1)中,设b n ＝,求证:当c ＝—时,数列{ｂn }是等差数列.（1）解 解方程ｘ2—６x+5=0得其两根分别为1和5,∵a 1,a 2（ａ１〈a 2)分别为方程x 2-6x ＋５=0的两根, ∴a 1＝1,a ２＝５,∴等差数列{ａn ｝的公差为4,∴Ｓn =n ·1+×4=２n ２—n 。

（2)证明 当ｃ=—时,b n ==2ｎ,∴ｂn+１—b n =2(n ＋1）－2n=2，∴｛b n ｝是以２为首项，公差为2的等差数列。

2.数列｛a ｎ｝的前n 项和为S ｎ,且ａ１＝1，a n ＋1＝2S n +1，数列{b n }为等差数列,且b 3＝3,b 5=９。

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式;(２)若对任意的n ∈N *,·k ≥b ｎ恒成立,求实数k 的取值范围.解 （1）由a n+1=２Ｓn +1，①可知当n ≥2时，a ｎ=2S n-1+1,②①—②得ａn ＋1—ａn ＝2（S n —S n －１), ∴a n+1＝3a n (n ≥2)。

升级增分训练 导数的综合应用（一）1．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋x －a －1(a ∈R)． (1)当a ＝－12时，求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 解：(1)当a ＝－12时，f (x )＝ln x －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝1x－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x，(x ＞0)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间是⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52；单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，＋∞．(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ＋1＝ln x ＋ax 2－a ， 则g ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x，所以当a ≥0时，g ′(x )＞0在[1，＋∞)上恒成立， 所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，且g (1)＝0， 所以g (x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 2．(2016·海口调研)已知函数f (x )＝mx －m x，g (x )＝3ln x ． (1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1，e](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)， 即y ＝5x －4．(2)由题意知，x ∈(1，e]时，mx －mx－3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e]，∴x 2－1＞0， 则m ＜3x ＋3x ln x x 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m ＜h (x )min ． h ′(x )＝－x 2＋x －6x 2－2＝－x 2＋x ＋6x 2－2，∵x ∈(1，e]， ∴h ′(x )＜0，即h (x )在(1，e]上是减函数． ∴当x ∈(1，e]时，h (x )min ＝h (e)＝9e －．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2．3．(2017·广西质检)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．解：f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx(x ＞0)，又f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝x －x －cx(x ＞0)且c ≠1，b ＋c ＋1＝0．(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0，所以－12＜c ＜0；②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，因为b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解；③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极大值＝－12－c ＜0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0． 4．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x－x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x ＞－1)，g ′(x )＝e x－1， 依题意，f ′(0)＝g ′(0)，即a －1＝0，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0． 故f (x )的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0， 所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x≥x ＋1．设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)， (ⅰ)当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时F (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而F (x )≥F (0)＝0，即g (x )≥kf (x )．(ⅱ)当k ＜1时，因为f (x )≥0，所以f (x )≥kf (x )． 由(ⅰ)知g (x )－f (x )≥0，所以g (x )≥f (x )≥kf (x )， 故g (x )≥kf (x )．(ⅲ)当k ＞1时，令h (x )＝e x＋kx ＋1－(k ＋1)，则h ′(x )＝e x－k x ＋2，显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， 又h ′(0)＝1－k ＜0，h ′(k －1)＝ek －1－1＞0，所以h ′(x )在(0，k －1)上存在唯一零点x 0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而h (x )＜h (0)＝0，即F ′(x )＜0， 所以F (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )＜F (0)＝0， 即g (x )＜kf (x )，不合题意．综上，实数k 的取值范围为(－∞，1]．5．(2016·石家庄质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x－e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f xg x ，gx ，f x ＜g x ，试讨论函数h (x )零点的个数．解：(1)由已知，f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x， 所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1， 由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x－e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，f (－1)＝34－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点， 此时y ＝h (x )有两个零点；②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0， 两根为x 1＝－a3＜0，x 2＝ a3＞0， 则－ a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点， 而f ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－ a 33＋a ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3－14＝－2a3a 3－14＜0； 现在讨论极大值的情况：fa3＝－a 33＋aa 3－14＝2a3a 3－14， 当fa3＜0，即a ＜34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零， 此时y ＝h (x )有两个零点； 当fa3＝0，即a ＝34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝ a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点； 当fa3＞0，即a ＞34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a3， 若f (1)＝－1＋a －14＜0，即a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝－1＋a －14＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝－1＋a －14＞0，即a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a ＜34或a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34＜a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点． 6．已知函数f (x )＝ax ＋b ln x ＋1，此函数在点(1，f (1))处的切线为x 轴． (1)求函数f (x )的单调区间和最大值； (2)当x ＞0时，证明：1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x； (3)已知n ∈N *，n ≥2，求证：12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝0，因为f ′(x )＝a ＋bx，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝－x ＋ln x ＋1． 即f ′(x )＝－1＋1x＝1－xx，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0． 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)， 函数f (x )的最大值为f (1)＝0．(2)证明：由(1)知f (x )＝－x ＋ln x ＋1， 且f (x )≤0(当且仅当x ＝1时取等号)， 所以ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取等号)．当x ＞0时，由x ＋1x ≠1，得ln x ＋1x ＜x ＋1x －1＝1x； 由xx ＋1≠1，得ln x x ＋1＜x x ＋1－1＝－1x ＋1⇒－ln x x ＋1＞1x ＋1⇒ln x ＋1x ＞1x ＋1． 故当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． (3)证明：由(2)可知， 当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． 取x ＝1,2，…，n －1，n ∈N *，n ≥2， 将所得各式相加，得12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＜1＋12＋…＋1n －1， 故12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．。

一 一 .一 1 1 已知 m n € (2 , e),且-2— -2 n m…1 rm> 2+ — n2 1 x 2— 26(2 , e))，贝U f' (x )= 一妒+ x = 丁因为x€ (2 , e),所以f' (x) >0,故函数f (x )在(2 , e)上单调递增.因为f (n ) <f (n),所 以nv m 故选A.2 .已知定义在 R 上的可导函数f (x )的导函数为f ' (x)，满足f ' (x) v f (x )，且f (x+ 2)为 偶函数，f (4) = 1,则不等式f (x ) ve x的解集为.解析：因为f (x+ 2)为偶函数，所以f (x+ 2)的图象关于x = 0对称，所以f (x )的图象关于x............ -------------------------------------------- f x f ， x e x— f x e x=2 对称.所以 f (0) = f (4) = 1.设 g (x ) = ------------------------------ x —(x € R),贝U g (x) =x —2 --------------------- =eex — f x 一， , .... .................... .x .又f (x) v f (x )，所以g ( x) v 0( x e R),所以函数 g (x )在TE 义域上单倜递 exf x f 0x —减.因为 f (x ) v e ? ―一 v 1,而 g (0) =—^— = 1,所以 f (x ) v e? g (x) < g (0)，所以 x > 0.答案：(0 , +8)3. (2017 -广东汕头模拟)已知函数f (x ) = x+ x ln x,若m^ Z,且f (x ) — m (x — 1)>0对任意 的x >i 恒成立，则m 的最大值为…一 一，一 ，, 一， ....................... * 一 x + x In x解析：因为f (x) = x + x In x,且f (x) — mx — 1)>0对任怠的x >1恒成立，等价于 m <一了一:— x — I 在(1 , + 8)上恒成立，等价于m < * + 弋 * min (x >1) .x — 1令 g (x ) = x + xl ： X (x >1) 所以 g z (x ) =x_-_.易知 g' (x ) = 0 必有实根，设为 x 0(x 0 x — 1、， x — 1 -2- In x °= 0),且g (x )在(1 , x °)上单调递减，在(x °, + °°)上单调递增，此时 g (x )min = g(x °) 因此 m <x 0,令 h (x ) = x — 2-In x,可得 h (3)<0 , h (4)>0 ,答案：3x4 .已知函数f (x ) = | x e | ,方程 的取值范围为.重难增分训练(一) 函数与导数的综合问题A.B. nx n解析：选A 由不等式可得.一日< Innv In n,即*+ In nv 』+ In m 设 f (x ) = §+ In x (x m f v |n n ，则(C.的大小关系不确定x 。

小题提速练(五)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“lg x ＞lg y ”是“10x＞10y”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵lg x ＞lg y ，∴x ＞y ＞0，∵10x＞10y，∴x ＞y ，∴lg x ＞lg y 能推出10x＞10y，反之则不能，∴lg x ＞lg y 是“10x＞10y”的充分不必要条件．2．已知集合M ＝{y |y ＝x ＋1x －1，x ∈R ，x ≠1}，集合N ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆∁R N C ．M ⊆∁R MD ．M ∪N ＝R解析：选D.由题意，y ＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1(x ≠1)， 当x ＞1时，y ≥2x －1x －1＋1＝3，当x ＜1时，y ＝x ＋1x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋11－x ＋1≤－1，则函数y ＝x ＋1x －1(x ≠1)的值域为{y |y ≤－1或y ≥3}，集合M 为函数y ＝x ＋1x －1(x ≠1)的值域，则M ＝{y |y ≤－1或y ≥3}，x 2－2x －3≤0⇔－1≤x ≤3，则N ＝{x |－1≤x ≤3}．分析选项可得M ∩N ＝{－1,3}，A 项错误；∁R N ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，有∁R N ⊆M ，B 项错误；M ≠∅，则M ⊆∁R M 不成立，C 项错误；M ∪N ＝R 成立，D 项正确．3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则在复平面内，z 2＋2z对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.因为z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i＝－2i ＋＋＋－＝－2i ＋＋2＝1－i ，所以在复平面内，z 2＋2z对应的点位于第四象限．4．下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.15解析：选B.x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，∴3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.5．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x解析：选A.函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，再向上平移1个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝1＋cos 2x ＝2cos 2x .6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，得这个几何体的表面积是( )A ．4πB ．7πC ．6πD ．5π解析：选D.由三视图知，该几何体是一个简单的组合体，上面是一个半球，半球的直径是2，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，圆柱的高是1，∴几何体的表面积由三部分组成，一个半球面，一个圆和一个圆柱的侧面，∴S ＝12×4π×12＋π×12＋2π×1×1＝5π.7．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B.令f (x )＝x ln|x ||x |，则f (－x )＝－x ln|－x ||－x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，排除A 、C ；当x ＞0时，y ＝x ln xx＝ln x 为增函数，排除D. 8．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，则a 1等于( )A.421B.631C.821D.1231解析：选A.∵{log 2a n }是公差为－1的等差数列， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1，即log 2a n ＋1a n ＝log 212，∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是公比为12的等比数列，又∵S 6＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝38， ∴a 1＝421.9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＜cD ．x 0＞c解析：选D.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13是R 上的减函数，y ＝log 2x 是(0，＋∞)上的增函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－log 2x 是(0，＋∞)上的减函数，又∵f (a )f (b )f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，∴f (a )＜0，f (b )＜0，f (c )＜0或f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，故f (c )＜f (x 0)＝0，故c ＞x 0，故x 0＞c 不可能成立．10．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94C ．1D ．4解析：选B.作出不等式表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点A (8,10)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，则5a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋1b 4a ＋5b 20＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝94.当且仅当5b 4a ＝a 5b 时取等号，则5a ＋1b 的最小值为94.11．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x·g (x )(a ＞0，a ≠1)；②g (x )≠0；③f (x )·g ′(x )＞f ′(x )·g (x )．若f g＋f －g －＝52，则a 等于( ) A.12 B ．2 C.54D ．2或12解析：选A.由f g＋f －g －＝52得a 1＋a －1＝52，所以a ＝2或a ＝12.又由f (x )·g ′(x )＞f ′(x )·g (x )，即f (x )g ′(x )－f ′(x )g (x )＞0，也就是⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝－f x gx －g x f xg 2x ＜0，说明函数f xg x ＝a x是减函数，即0＜a ＜1，故a ＝12.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 解析：选B.∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝2a ，又∵|BF |＝|AF ′|，∴|AF |＋|BF |＝2a ①，O 是Rt△ABF 的斜边中点，∴|AB |＝2c ，又|AF |＝2c sin α②，|BF |＝2c cos α③，把②③代入①得：2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴c a ＝1sin α＋cos α，即e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴π3≤α＋π4≤π2，∴32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，∴22≤e ≤63. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3-12＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝log 33-12＝－12.答案：－1214．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3，所以cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3，根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，因式分解得(c －2)(c ＋1)＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin Bb ＝2×323＝1.答案：115．向量V →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a n 2，a 2n ＋12a n 为直线y ＝x 的方向向量，a 1＝1，则数列{a n }前2018项的和为________．解析：因为V →是直线y ＝x 的方向向量，得a n ＋1－a n 2＝a 2n ＋12a n，化简得a n ＋1＝a n ，根据数列的递推式发现，此数列各项都相等，都等于第一项a 1，而a 1＝1，则数列{a n }的前2018项和为S 2018＝1×2018＝2018.答案：201816．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为________．解析：(x －5)2＋y 2＝16的圆心为(5,0)，半径为4，则圆心到直线的距离为|5＋3|2＝42，点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为22－42＝4.答案：4。

小题提速练(八)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y)|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 中的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.集合的交集问题转化为直线x ＋y ＝0和x －y＝0的交点问题，作出直线x ＋y ＝0和x －y ＝0，观察它们的图象的交点只有一个，故选B.2．已知i 是虚数单位，5－izz ＝1＋i ，则|z|＝( )A ．5 B. 5 C ．2 5D ．10解析：选B.由题知，5－iz ＝(1＋i)z ，(1＋2i)z ＝5， z ＝51＋2i， |z|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪51＋2i ＝5|1＋2i|＝55＝5，故选B. 3．已知命题p ：若a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ＜c ＜b ；命题q ：“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(﹁q)C ．(﹁p)∧qD ．(﹁p)∧(﹁q)解析：选C.因为0＜a ＝0.30.3＜0.30＝1，b ＝1.20.3＞1.20＝1，c ＝log 1.20.3＜log 1.21＝0，所以c ＜a ＜b ，故命题p 为假命题，﹁p 为真命题；由x 2－x －6＞0可得x ＜－2或x ＞3，故“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(﹁p)∧q 为真命题，选C.4．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →²AC →＝－4，则∠A ＝( )A.5π6B.π4C.2π3D.3π4解析：选D.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝22，∴cos A ＝AB →²AC →|AB →||AC →|＝－422³2＝－22，∵0＜A ＜π，∴∠A ＝3π4，故选D.5．已知正项等比数列{a n }的首项a 1＝1，a 2²a 4＝16，则a 8＝( ) A ．32 B ．64 C ．128D ．256解析：选C.因为a 2²a 4＝16＝(a 3)2，所以a 3＝4，因为a 3＝a 1q 2＝4，a 1＝1，所以q 2＝4，即q ＝±2，q ＝－2舍去，所以q ＝2，所以a 8＝a 3q 5＝4³25＝27＝128，故选C.6．定义在[－2,2]的函数f(x)对于任意的x 1＜x 2，x 1，x 2∈[－2,2]，都有f(x 1)＜f(x 2)，且f(a 2－a)＞f(2a －2)，则实数a 的范围是( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,2)解析：选C.∵函数f(x)满足对于任意的x 1，x 2∈[－2,2]都有f(x 1)＜f(x 2)，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎨⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎨⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.7．过球O 的一条半径的中点且与该半径垂直的截面圆的面积是4π，则球O 的表面积是( )A.163π3 B.323π3 C.32π3D.64π3解析：选D.设该球的半径为R ，由条件可得截面圆的半径为2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋4＝R 2，。

小题提速练(三)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0}，N ＝{x |log 2x ＜0}，则M ∩N 等于( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1)D ．(1,3)解析：选C.由题干条件可知，M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{x |0＜x ＜1}，所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}．2．若复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．± 3 C ．±3iD.3i解析：选B.复数z 的实部为1，设z ＝1＋b i ，|z |＝2，可得1＋b 2＝2，解得b ＝±3，复数z 的虚部是± 3.3．若命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下面结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．﹁q 是真命题 C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是真命题解析：选D.当α＝π2时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π2＝cos π2＝0， ∴命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α是真命题，∵∀x ∈R ，x 2＋1≥1＞0，∴命题q 是真命题，∴A 中p 是假命题是错误的；B 中﹁q 是真命题是错误的；C 中p ∧q 是假命题是错误的；D 中p ∨q 是真命题是正确的．4．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018解析：选D.由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x ＝1，解得x ＝0.018.5．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D.由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则f (f (e))＝(其中e 为自然对数的底数)( )A ．0B ．1C ．2D ．(e 2＋1)解析：选C.由题意得，f (e)＝ln e ＝1，所以f (f (e))＝f (1)＝1＋1＝2.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0＜x ＜1时，1－2x1＋2x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D.9．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝(其中O 为坐标原点)( )A ．－32B ．32C ．－72D ．72解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵－2＜x＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.10．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6 C. 3D ．2 3解析：选D.由题意可得双曲线C 1的一个焦点为(3,0)，∴c ＝3，可设双曲线C 1的标准方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，x 2a 2－y 29－a2＝1，解得y ＝±9－a2a，∴2×9－a 2a＝43，解得a ＝3，∴双曲线C 1的实轴长为2a ＝2 3.11．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上非顶点的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B.如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM →|取最小值0.当点P 在椭圆与x 轴交点时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM →|取大值22.∵xy ≠0，∴|OM →|的取值范围是(0,22)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，若函数f (x )的图象在A ，B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－1，＋∞)D ．(－ln 2，＋∞)解析：选C.当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ＋a 的导数为f ′(x )＝2x ＋1；当x ＞0时，f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2，当x 1＜x 2＜0，或0＜x 1＜x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2，当x 1＜0时，函数f (x )在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋x 1＋a )＝(2x 1＋1)(x －x 1)；当x 2＞0时，函数f (x )在点B (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，两直线重合的充要条件是1x 2＝2x 1＋1①，ln x 2－1＝－x 21＋a②，由①及x 1＜0＜x 2得0＜1x 2＜1，由①②得a ＝ln x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12－1，令t ＝1x 2，则0＜t ＜1，且a ＝－ln t ＋14t 2－12t －34，设h (t )＝－ln t ＋14t 2－12t －34(0＜t ＜1)，则h ′(t )＝－1t ＋12t －12＜0，即h (t )在(0,1)为减函数，则h (t )＞h (1)＝－ln 1－1＝－1，则a ＞－1，可得函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，a 的取值范围是(－1，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长， ∴直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1,2)，∴有a ＋2b ＝1，∴ab ＝(1－2b )b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，∴ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为________．解析：由程序框图知：程序第一次运行n ＝10，i ＝2；第二次运行n ＝5，i ＝3；第三次运行n ＝3×5＋1＝16，i ＝4；第四次运行n ＝8，i ＝5；第五次运行n ＝4，i ＝6；第六次运行n ＝2，i＝7；第七次运行n ＝1，i ＝8.满足条件n ＝1.程序运行终止，输出i ＝8.答案：815．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，y ≥2，x －4y ＋k ≥0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－1，则实常数k ＝________.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.答案：916．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入________个直径为1的球．解析：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)．答案：66。

升级增分训练 导数的综合应用（二）1．已知函数f (x )＝(ax 2－x ＋a )e x，g (x )＝b ln x －x (b ＞0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝12时，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)＋g (x 2)≥0成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝(x ＋1)(ax ＋a －1)e x．当a ＝0时，f ′(x )＝－(x ＋1)e x，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，－1)上单调递增；当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝－1＋1a，当a ＞0时，因为－1＋1a＞－1，所以f (x )在(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1a，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1a 上单调递减；当a ＜0时，因为－1＋1a＜－1，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋1a 和(－1，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1a，－1上单调递增．(2)由(1)知当a ＝12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，因此f (x )在(0,2)上的最小值为f (1)＝0． 由题意知，对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]， 使g (x 2)≥－f (x 1)成立， 因为[－f (x 1)]max ＝0， 所以b ln x 2－x 2≥0，即b ≥x 2ln x 2． 令h (x )＝xln x ，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝ln x －1ln x2＜0， 因此h (x )min ＝h (2)＝2ln 2，所以b ≥2ln 2， 即实数b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2ln 2，＋∞．2．(2017·南昌模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－a ＋2(a ∈R ，a 为常数)(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若存在x 0∈(0,1]，使得对任意的a ∈(－2,0]，不等式m e a＋f (x 0)＞0(其中e 为自然对数的底数)都成立，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2x，当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，由f ′(x )≥0且x ＞0， 解得0＜x ≤12a， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12a 上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ∈(－2,0]时，函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以x ∈(0,1]时，函数f (x )的最大值是f (1)＝2－2a ， 对任意的a ∈(－2,0]，都存在x 0∈(0,1]，不等式m e a＋f (x 0)＞0都成立，等价于对任意的a ∈(－2,0]，不等式m e a＋2－2a ＞0都成立，不等式m e a＋2－2a ＞0可化为m ＞2a －2ea ，记g (a )＝2a －2e a (a ∈(－2,0])，则g ′(a )＝2e a－a －ae2a＝4－2aea ＞0， 所以g (a )的最大值是g (0)＝－2， 所以实数m 的取值范围是(－2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝a ＋ln xx在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数a 的值及f (x )的极值；(2)是否存在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t ＋23(t ＞0)使函数f (x )在此区间上存在极值点和零点？若存在，求出实数t 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝1x ·x －a ＋ln x x 2＝1－a －ln xx2(x ＞0)． ∵f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(1)＝1－a －ln 1＝0．解得a ＝1．∴f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故f (x )在x ＝1处取得极大值1，无极小值． (2)∵x ＞1时，f (x )＝1＋ln x x＞0，当x →0时，f (x )→－∞， 由(1)得f (x )在(0,1)上单调递增，由零点存在性定理，知f (x )在区间(0,1)上存在唯一零点．函数f (x )的图象如图所示．∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫t ，t ＋23(t ＞0)上存在极值点和零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜t ＜1，t ＋23＞1，f t ＝f(1＋ln t t＜0，)即⎩⎪⎨⎪⎧0＜t ＜1，t ＋23＞1，t ＜1e ，解得13＜t ＜1e． ∴存在符合条件的区间，实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1e ． 4．(2017·沈阳质监)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ＋b (a ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为3x －y －3＝0，求实数a ，b 的值； (2)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值；(3)若－2≤a ＜0，对任意x 1，x 2∈(0,2]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2恒成立，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝12x 2－a ln x ＋b ，所以f ′(x )＝x －a x，因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为3x －y －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3，f 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝3，12＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.(2)因为x ＝1是函数f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1－a ＝0，所以a ＝1．当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x ＋b ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以a ＝1．(3)因为－2≤a ＜0,0＜x ≤2，所以f ′(x )＝x －ax＞0， 故函数f (x )在(0,2]上单调递增， 不妨设0＜x 1≤x 2≤2，则|f (x 1)－f (x 2)|≤m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2可化为f (x 2)＋m x 2≤f (x 1)＋m x 1，设h (x )＝f (x )＋m x ＝12x 2－a ln x ＋b ＋mx，则h (x 1)≥h (x 2)．所以h (x )为(0,2]上的减函数，即h ′(x )＝x －a x －m x2≤0在(0,2]上恒成立， 等价于x 3－ax －m ≤0在(0,2]上恒成立， 即m ≥x 3－ax 在(0,2]上恒成立，又－2≤a ＜0，所以ax ≥－2x ，所以x 3－ax ≤x 3＋2x ， 而函数y ＝x 3＋2x 在(0,2]上是增函数，所以x 3＋2x ≤12(当且仅当a ＝－2，x ＝2时等号成立)． 所以m ≥12， 即m 的最小值为12．。

小题提速练(九)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |2－x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选D.∵A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x ＞2}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(∁R B )＝{0,1,2}，故选D.2．在复平面内，复数z ＝－1＋i2－i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选C.∵z ＝－1＋i2－i ＝－1＋＋－＋＝－3＋i 5＝－35＋i 5，∴z ＝－35－i 5，故z 对应的点在第三象限．3．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg解析：选D.因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝2 017，则输出的i ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.执行框图得a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016≠2 017，∴i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11＋12 016＝2 0162 017≠2 017， ∴i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝2 017＝x ，∴输出的i ＝3.5．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A.依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1，故选A.6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为()A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1 024，则该展开式中的常数项是( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.⎝ ⎛⎭⎪⎫3x－3xn 的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 5－r·(－3x )r ＝C r 5·35－r·(－1)r·xr －52＋r3，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D.A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．故选D.10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B.根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：图1可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2所示：图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞时，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C.如图，设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan∠AOB ＝－tan 2α＝AB OA，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列， ∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ， ∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝AB OA ＝m 34m ＝43， 解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝ 4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C.a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒1tan C ＋1tan B＝2⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tanB tanC (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B ·tan C，即tan A ＋tan B ＋tanC ＝tan A ·tan B ·tan C )⇒tan A ＋2tan B tan C ＝tan A tan B tan C ⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，由△ABC 为锐角三角形知m2m －2＞0，∴m －2＞0令m －2＝t (t ＞0)⇒t ＋2t＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0平分，且与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，则l 的方程为________．解析：依题意可知，直线l 过圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1且斜率k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝014．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )等于________．解析：小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P (A |B )＝24108＝29.答案：2915．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前9项和为________．解析：由S n ≤S 5得⎩⎪⎨⎪⎧a 5≥0a 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥0a 1＋5d ≤0，得－94≤d ≤－95，又a 2为整数，∴d ＝－2，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝11－2n ， 1a n ·a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，∴T 9＝－12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤19－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝－19.答案：－1916．在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设AD⊥BC，∵DC⊥BC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设，则（）A．0B．C．D．2．已知集合，则（）A．B．C．D．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5B．6C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3C．D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。