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利用函数图像解一元二次方程一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（华师版）九年级下册第二十六章，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重数形结合。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。
2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
26.2.3求二次函数表达式教学内容：讲义P21~23教学目标一、会用待定系数法求二次函数的表达式；二、能够利用实际问题中的数量关系求二次函数表达式；教学重难点：重点：会用待定系数法求二次函数的表达式；难点：能够利用实际问题中的数量关系求二次函数表达式；教学预备：课件教学方式：讲练法一、温习写出二次函数的一样形式和极点形式；二、学习（一）学习问题2问题二、某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线AOB）的薄壳屋顶。
它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板。
如何画出模板的轮廓呢？分析：为了画出符合要求的模板，通常要先成立适当的平面直角坐标系，再写出函数表达式，然后依照那个函数表达式画出图形。
解：以点O为原点，以AB的垂直平分线为y轴，以1m为单位长度，成立平面直角坐标系。
设那个二次函数的表达式为y=ax2.把B（2，-0.8）代入，得-0.8=ax2.a=-0.2因此，函数表达式是y=-0.2x2.（二）学习例6例六、一个二次函数的图象通过点（0，1），它的极点坐标为（8，9），求那个二次函数的表达式。
分析：因为那个二次函数的图象的极点坐标为（8，9），因此，能够设函数的表达式为极点式。
解：设那个二次函数的表达式为y=a(x-8)2+9.把点(0,1)代入，得1=a(0-8)2+9a＝1 8 -因此，那个二次函数的表达式为y=1 8 -(x-8)2+9.学生练习：讲义P23练习第1题的（1）和（2）（三）学习例7例7、一个二次函数的图象通过（0，1），（2，4），（3，10），三点，求那个二次函数的表达式。
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,那么14249310ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得13232cab⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩因此，所求二次函数解析式为233122y x x=-+学生练习：讲义P23第1题（3）讲义P23页第2题。
（四）指导学生学习“读一读”总结：待定系数法的步骤第一步：设定函数的表达式；第二步：成立方程或方程组，并求解；第三步：写出函数表达式。
利用函数的图象解一元二次方程一、明确学习目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验与方法.3、理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.4、进一步发展学生的估算能力，体验数形结合思想. 二、自主预习预习教材，自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，并尝试完成自主预习区。
三、合作探究活动1 小组交流讨论，归纳，填表，在此基础上教师小结。
要求①二次函数与一元二次方程之间的关系要求②：抛物线与x 轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系活动2 反馈练习①观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程022=-+x x 的根是____________；方程0962=+-x x 的根是___________； 方程012=+-x x 的根是____________； ②如图所示，你能直观看出哪些方程的根？教师点拨：此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数322++-=x x y 中，y 为某一确定值m （如4、3、0）时，相应x 值是方程)034(322、、m m x x ==++-的根. ③已知抛物线c bx ax y ++=2如图所示，则关于x 的方程032=-++c bx ax 的根是_______________.教师点拨：此题解法较多，但是根据图象来解是最简单的方法. 活动3 新知应用例1 已知二次函数12)14(222-++-=k x k x y 的图象与x 轴交于两点，求k 的取值范围.教师点拨：根据交点的个数来确定ac b 42-的正、负是解题的关键，并熟悉它们之间的对应关系.活动4 自学教材，例题总结，用图象法求相应一元二次方程的近似根. 四、当堂检测 （1）基础练习 （2）提升练习1、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的公共点是（－1，0）、（3，0），求抛物线的对称轴.2、画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答： ①方程0322=--x x 的解是什么？②x 取什么值时，函数值大于0；x 取什么值时，函数值小于0？3、用函数的图象求下列方程的解： ①0232=+-x x ②0962=---x x ③022=++x x④0212=--x x4、已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0）)(21x x <，顶点M 的纵坐标为－4，若x 1，x 2是方程07)1(222=-+--m x m x 的两个根，且.102221=+x x①求A 、B 两点的坐标；②求抛物线的关系式及点C 的坐标；③在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 的面积等于四边形ACMB 面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.五、拓展提升如图，已知抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过A （3，0）、B （4，4）两点. （1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标.六、课后作业一、选择题1、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） A 、0>aB 、0<cC 、042>-ac bD 、0>++c b a第1题图第3题图第5题图2、已知二次函数22)(2c b ax x y ++-=，其中a 、b 、c 是△ABC 的边长，则函数与x 轴交点情况是（ ）A 、无交点B 、有一个交点C 、有两个交点D 、交点个数无法确定3、二次函数bx ax y +=2的图象如图，若一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为（ ）A 、－3B 、3C 、－6D 、94、已知二次函数)(32为常数m m x x y +-=的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两实数根是（ ）A 、x 1=1, x 2=－1B 、x 1=1, x 2=2C 、x 1=1, x 2=0D 、x 1=1, x 2=3二、填空题5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则A （ac b 42-，ab-）在第_______象限. 6、二次函数c bx ax y ++=2中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：（1）二次函数图象的开口方向是__________，它的顶点坐标是________.（2）一元二次方程),,,0(02是常数c b a a c bx ax ≠=++的两个根x 1, x 2的取值范围是______(填序号).①223,02121<<<<-x x ；②252,21121<<-<<-x x ； ③252,02121<<<<-x x ；④223,21121<<-<<-x x .三、解答题 7、已知函数)(162是常数m x mx y +-=.（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值。
第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质使学生理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系．会确定函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．重点确定函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系,理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质．难点正确理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系以及函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质．一、创设情境,引入新课由前面的知识,我们知道,函数y ＝2x 2的图象,向上平移2个单位,可以得到函数y ＝2x 2＋2的图象；函数y ＝2x 2的图象,向右平移3个单位,可以得到函数y ＝2(x －3)2的图象,那么函数y ＝2x 2的图象,如何平移,才能得到函数y ＝2(x －3)2＋2的图象呢？二、探究问题,形成概念1．在同一直角坐标系中,画出下列函数y ＝12x 2,y ＝12(x －2)2,y ＝12(x －2)2＋1的图象． 2．观察它们的图象,回答：它们的开口方向都向________,对称轴分别为____________、____________、____________,顶点坐标分别为________、________、________.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系． 归纳结论：函数y ＝12(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝12(x －2)2的图象向上平移1个单位得到的,也可以看成是将函数y ＝12x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的． 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数y ＝a(x －h)2＋k 中k 的值；左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外,图象的平移与平移的顺序无关．你能说出函数y ＝a(x －h)2＋k(a,h,k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？【归纳总结】对于二次函数y ＝a(x －h)2＋k.(1)开口方向由a 决定；(2)对称轴是直线x ＝h,当h<0时,在y 轴左侧,当h>0时,在y 轴右侧；(3)顶点坐标为(h,k)；(4)最值：当a>0时,x＝h时,y最小值＝k；当a<0时,x＝h时,y最大值＝k.形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的二次函数关系式称为顶点式,顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标．三、练习巩固1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是,当x时,函数值y随x的增大而增大．2．若抛物线的对称轴为直线x＝－1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),则这条抛物线与x轴的另一个交点是________．3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3),且经过坐标原点,则这个二次函数的关系式是________________________________________________________________________．4．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线y＝－12(x＋1)2＋3.(1)试确定a,h,k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向,对称轴和顶点坐标．5．将抛物线y＝2(x－1)2＋3作下列移动,求得到的新抛物线的关系式．(1)向左平移2个单位,再向下平移3个单位；(2)顶点不动,将原抛物线开口方向反向．四、小结与作业小结1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质．2．平移的方法．作业1．布置作业：教材P16“练习”中第1,3 题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课主要是通过让学生自主学习,动手操作获取经验,并从中获得知识,本节课教师主要处于引导地位,让学生充当学习的主人,较好地体现了学生学习的主动性．。
26．2.3求二次函数的表达式知识与技能通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法．过程与方法能灵活地根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．情感、态度与价值观从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．重点会用待定系数法求二次函数的表达式．难点会选用适当方法求二次函数的表达式．一、创设情境，导入新课师提问：1．二次函数关系式有哪几种表达方式？2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？学生回忆旧知，回答问题．二次函数解析式有三种表达形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c；其中a≠0，a、b、c 为常数．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k；其中a≠0，a、h、k 为常数，(h，k)为顶点坐标．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)；其中a≠0，a、 x1、x2为常数，x1、x2是抛物线与横轴两交点的横坐标．每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：(1)根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y＝a(x －h)2＋k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x轴的两个交点(或与x轴的一个交点及对称轴)，用y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(简称两点式)．(2)解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数．(3)若题目给定二次函数解析式的某种形式，如y＝ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)，那么最后的结果必须写成此种形式．二、合作交流，探究新知如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系，这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝ax 2(a ＜0)． (1)因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2＝2(cm )，又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入(1)，得－0.8＝a×22，所以a ＝－0.2，因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2.请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线．三、运用新知，深化理解例题分析：(1)一般式法例1 已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数是y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点．得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝1.∴ 函数解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值．(2)顶点坐标法例2 某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)，求此抛物线的解析式．解：(方法一)设二次函解析式为：y ＝a(x －h)2＋k ，其顶点是(h, k)．∵顶点是(－2，3)，∴ y ＝a(x ＋2)2＋3.又∵过(－1，5)点，∴ 5＝a(－1＋2)2＋3.∴ a ＝2，∴ y ＝2(x ＋2)2＋3, ∴ y ＝2x 2＋8x ＋11.∴ 函数解析式为：y ＝2x 2＋8x ＋11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式．(方法二)设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其顶点坐标(－b 2a ，4ac －b 24a )， ∵ 顶点坐标是(－2，3)，∴－b 2a ＝－2，4ac －b 24a ＝3.又∵过(－1，5)点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝5，－b 2a ＝－2，4ac －b 24a ＝3.得a ＝2, b ＝8, c ＝11.∴ 所求二次函数解析式为 y ＝2x 2＋8x ＋11.但(方法二)所列出的三个方程组成的方程组运算较繁琐，所以应采用(方法一)，用“顶点式”求解．(3)(与x 轴)交点法(已知二次函数图象与x 轴的两交点的坐标(x 1，0)，(x 2，0)时，通常可设函数解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)求解)例3 已知：抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点(1，－92)，求函数解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，因为二次函数图象交x 轴于(－2，0)，(4，0)两点，且过点(1，－92)， 设 y ＝a(x ＋2)(x －4)，∴－92＝a(1＋2)(1－4), ∴a ＝12. ∴ 所求函数解析式为：y ＝12(x ＋2)(x －4), y ＝12x 2－x －4. 例4 抛物线y ＝ax 2＋ bx ＋c 与x 轴交于点A(－3，0)，对称轴x ＝－1，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线的解析式． 解法1：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，－b 2a＝－1，4ac －b 24a ＝±2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，c ＝－32；或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－1，c ＝32.∴y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32即为所求． 解法2: ∵抛物线对称轴x ＝－1，顶点到x 轴的距离为2，∴顶点(－1，±2)．设 y ＝a(x ＋1)2±2，又抛物线过(－3，0)，∴ 0＝a(－3＋1)2±2.解得 a ＝－12或a ＝12. ∴－12(x ＋1)2＋2＝－12x 2－x ＋32， 或y ＝12(x ＋1)2－2＝12x 2＋x －32. 解法3：∵抛物线对称轴x ＝－1, 过(－3，0)．∴由对称性知抛物线必过(1，0)．设y ＝a(x ＋3)(x －1)，又抛物线过(－1，±2)．∴±2＝a×2×(－2)，解得： a ＝±12. ∴y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32. 说明：此例给出3种解法，显然解法2，解法3较简便，因为它们只需一个待定系数a, 只要构造一个关于a 的方程即可．所以，对于求解二次函数解析式，要注意选择形式．四、课堂练习，巩固提高1．教材P 23练习．2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》随堂演练内容．五、反思小结，梳理新知你学到哪些二次函数表达式的求法？师生共同总结：1．已知图象上三点的坐标或给定x 与y 的三对对应值，通常选择一般式．2．已知图象的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式．六、布置作业1．学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”．2．教材P 24习题26.2第4，5题．。
