北京市门头沟区2013-2014学年八年级下期末考试数学试卷及答案

门头沟区2013—2014学年度第二学期期末考试八年级数学试卷考生须知1．本试卷共8页，四道大题，27道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名、考场号和座位号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．点A的坐标是（2，8），则点A在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：点的坐标．.分析：根据各象限内点的坐标特征解答．解答：解：点A（2，8）在第一象限．故选A．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．一元二次方程4x2+x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，0，1 B．4，1，1 C．4，1，－1 D．4，1，0考点：一元二次方程的一般形式．.专题：计算题．分析：方程常数项移到左边整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解答：解：方程整理得：4x2+x﹣1=0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，1，﹣1．故选C．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．内角和等于外角和的多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形考点：多边形内角与外角．.专题：应用题．分析：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据外角和等于内角和列方程求解．解答：解：设所求n边形边数为n，则360°=（n﹣2）•180°，解得n=4．∴外角和等于内角和的多边形是四边形．故选B．点评：本题主要考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，比较简单．4．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+4)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x+4)2=－3 D．(x+2)2=－5考点：解一元二次方程-配方法．.专题：配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．解答：解：∵x2+4x+2=0，∴x2+4x=﹣2，∴x2+4x+4=﹣2+4，∴（x+2）2=2．故选A．点评：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．角B．等边三角形C．平行四边形D．矩形考点：中心对称图形；轴对称图形．.分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．若关于x的方程(m－2)x2－2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义．.专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．解答：解：根据题意得m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．已知点（－5，y1），（2，y2）都在直线y=－2x上，那么y1与y2大小关系是（）A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2考点：一次函数图象上点的坐标特征．.分析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣5＜2即可得出结论．解答：解：∵正比例函数y=﹣x中，k=﹣＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣5＜2，∴y1＞y2．故选D．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．8．直线y=－x－2不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．.分析：直接根据一次函数的性质进行判断即可．解答：解：∵直线y=﹣x﹣2中，k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，∴此函数的图象在二、三、四象限．故选A．点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键．9．在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC=60°，AC=4，那么该菱形的面积是（）A．163B．16 C．83D．8考点：菱形的性质．.分析：先判断出△ABC是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出AO、BO，然后根据菱形的对角线互相平分求出AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．解答：解：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AO=AC=×4=2，BO=×4=2，∴BD=2BO=4，∴菱形的面积=AC•BD=×4×4=8．故选：C．点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分和面积的求解方法是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P，Q．连接PQ，过点A作AH⊥PQ于点H．如果点P的横坐标为x，AH的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A B C D考点：动点问题的函数图象．.分析：解法一：应用特殊元素法和排除法求解．解法二：设Q（0，q）．通过证明△ABQ∽△ACP得到：=．把相关线段的长度代入得到x、q的数量关系．然后由S△APQ=S梯形ABOP﹣S△AB Q﹣S △ACP=PQ•AH推知y==．所以由二次函数的性质来推知答案．解答：解：①当点P与点O重合时，x=0，y=2．故可排除C选项；②当点Q与点O重合时，y=3．故可排除A选项；③当x=2，即AP∥x轴时，∵AH⊥PQ，∴AH＜AQ=2，即y＜2．故可排除B选项．故选：D．解法二：常规解法设Q（0，q）．∵∠BAQ+∠QAC=∠CAP+∠QAC=90°，∴∠BAQ=∠CAP．又∠ABQ=∠ACP，∴△ABQ∽△ACP．∴=．①若x＞2．则=，化简可得，q=．∵S△APQ=（2+x）×3﹣（3﹣q）×2﹣x×qS △APQ=××y，则（2+x）×3﹣（3﹣q）×2﹣x×q=××y，整理，得y=（3﹣q）x+2q，则y=，所以y=2（x2﹣4x+13），y==所以当x=2时，y有最小值．②若0＜x＜2，则=，化简可得，q=．同理，y==则在0＜x＜2范围内，y随x的增大而减小．综上所述，只有D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了动点问题的函数图象．对于此类题目，不需要求得函数解析式，只要判断出函数图象上几个特殊的点的坐标即可，注意排除法的运用．二、填空题：（本题共32分，每小题4分）11．点P （－2，3）关于x 轴对称的点的坐标是 .考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．.分析：两点关于x 轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．解答：解：点P （﹣2，3）关于x 轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．点评：本题考查关于x 轴对称的点的坐标的特点，可记住要点或画图得到．12．在函数32y x =-中，自变量x 的取值范围是 .考点：函数自变量的取值范围．.分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x ﹣2≠0，解可得自变量x 的取值范围．解答：解：根据题意，有x ﹣2≠0，解可得x≠2；故自变量x 的取值范围是x≠2．故答案为x≠2．点评：本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．13．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出它们的中点M 和N ．如果测得MN =15m ，则A ，B 两点间的距离为 m ．考点：三角形中位线定理．.专题：应用题．分析：由M 、N 分别是AC 、BC 的中点可知，MN 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线定理解答即可．解答：解：∵M，N分别为AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∵MN=15m，∴AB=2MN=2×15=30m．故答案为：30．点评：本题考查三角形中位线定理，三角形中位线定理：三角形的中位线长等于第三边的一半．熟记性质是应用性质解决实际问题的关键．14．如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，如果∠A=125°，那么∠BCE= °．第13题图第14题图第15题图第16题图考点：平行四边形的性质．.分析：根据平行四边形性质及直角三角形的角的关系，即可求解．解答：解：∵四边形平ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B=180°﹣∠A=55°，又∵CE⊥AB，∴∠BCE=35°．故答案为：35．点评：本题考查了平行四边形的性质，用的知识点有：平行四边形的对边互相平行、平行线的性质以及直角三角形的两个锐角互余．15．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，如果通常新手的成绩都不太稳定，那么根据图中所给的信息，估计小林和小明两人中新手是（填“小林”或“小明”）．考点：方差；折线统计图．.专题：应用题；压轴题．分析：观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定；根据题意，一般新手的成绩不太稳定，故新手是小林．解答：解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林．故填小林．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE∥BC交AC于E．如果AC=6，BC=8，那么DE= ，CD= ．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．.分析：首先利用勾股定理求得AB的长，易证DE是△ABC的中位线，然后依据三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．解答：解：在直角△ABC中，AB===10，∵D是AB的中点，DE∥BC交AC于E，∴DE是△ABC的中位线，D是AB的中点．∴DE=BC=4，CD=AB=5．故答案是：4，5．点评：本题考查了勾股定理、三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，正确证明DE是中位线是关键．17．如图，在甲、乙两同学进行的400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间函数关系的图象分别为折线OAB和线段OC，根据图象提供的信息回答以下问题：（1）在第秒时，其中的一位同学追上了另一位同学；（2）优胜者在比赛中所跑路程s（米）与时间t（秒）之间函数关系式是．第17题图考点：一次函数的应用．.分析：（1）根据追上时两人的路程S相等解答；（2）根据所用的时间少者为优胜，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．解答：解：（1）由图可知，在第40秒时，乙同学追上了甲同学；（2）∵甲用55秒到达终点，乙用50秒到达终点，∴乙为优胜者，设s与r的关系式为s=kt，∵函数图象经过点（50，400），∴50k=400，解得k=8，所以s=8t（0≤t≤50）．故答案为：40，s=8t（0≤t≤50）．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图并获取信息是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和直线y=ax交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n（n为正整数）时，对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，…，S n，那么S1= ；S1+S2+S3+…+S n= ．xO y考点：两条直线相交或平行问题．.专题：规律型． 分析：分别计算出a 取1，2，3，…，n （n 为正整数）时对应的A 点坐标，再根据三角形面积公式计算出S 1=2，S 2=4，S 3=6，S n =2n ，然后计算S 1+S 2+S 3+…+S n ．解答：解：当a=1时，解方程组得，则A 点坐标为（2，2），S 1=×2×2=2；当a=2时，解方程组得，则A 点坐标为（2，4），S 2=×2×4=4； 当a=3时，解方程组得，则A 点坐标为（2，6），S 3=×2×6=6； 当a=n 时，解方程组得，则A 点坐标为（2，2n ），S n =×2×2n， 所以S 1+S 2+S 3+...+S n =2+4+6+ (2)=2（1+2+3+…n）=2•=n 2+n ．故答案为2，n 2+n ．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2平行，则k 1=k 2；若直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．三、解答题：（本题共36分，每题6分）19．解方程：22830.x x -+=考点：解一元二次方程-配方法．.专题：配方法．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：∵2x2﹣8x+3=0∴2x2﹣8x=﹣3∴x2﹣4x+4=﹣+4∴（x﹣2）2=，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20．已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．（1）求证：△BEC≌△DFC；（2）如果BC+DF=9，CF=3，求正方形ABCD的面积．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．.分析：（1）正方形的四个边相等，四个角都是直角，因此可得到BC=DC，∠ECD=∠FCD，从而可证明三角形全等．（2）设BC=x，则CD=x，DF=9﹣x，CF=4，可用勾股定理求出x，因此可求出正方形ABCD的面积．解答：（1）证明：在△BCE和△DCF中，，∴△BEC≌△DFC（SAS）；（2）解：设BC=x，则CD=x，DF=9﹣x，在Rt△DCF中，CF=3，∴CF2+CD2=DF2，32+x2=（9﹣x）2，解得x=4，正方形的面积为：4×4=16．点评：本题考查正方形的性质，正方形的四个角都是直角，四个边相等，以及全等三角形的判定定理和性质，以及勾股定理．21．某校数学兴趣小组的成员小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布表中a= ，b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是．考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式．.专题：图表型．分析：（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得到总人数，再计算故a的值；根据频率=频数÷数据总数计算b的值；（2）据（1）补全直方图；（3）不低于90分的学生中共4人，小华是其中一个，故小华被选上的概率是：．解答：解：（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，且知总人数为50人，故a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=8，根据频数与频率的关系可得：b==0.08；（2）如图：（3）小华得了93分，不低于90分的学生中共4人，故小华被选上的概率是：．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．已知：如图，在△ABC中，90ACB⊥，CE∥AD．如∠=︒，D是BC的中点，DE BC 果AC=2，CE=4．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求四边形ACEB的周长；（3）直接写出CE和AD之间的距离．考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理．.分析：（1）首先证明AC∥DE，再加上CE∥AD可根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证明四边形ACED是平行四边形；（2）首先根据平行四边形的性质可得DE=AC=2，再根据勾股定理计算出CD长，然后可得CB长，再利用勾股定理计算出AB长，进而可得四边形ACEB的周长；（3）过D作DF⊥CE，根据三角形的面积公式可得CD•DE=CE•DF，再代入相应数据可得答案．解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．（2）解：∵四边形ACED的是平行四边形，∴DE=AC=2．在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，由勾股定理．∵D是BC的中点，∴BC=2CD=．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，由勾股定理．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB=EC=4．∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+．（3）解：过D作DF⊥CE，∵CD•DE=CE•DF，∴2×2=4×DF，DF=，∴CE和AD之间的距离是．点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行且相等．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点坐标为A（m，2）．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；（3）直接写出使函数y=kx－k的值大于函数y=x的值的自变量x的取值范围．考点：两条直线相交或平行问题．.专题：计算题．分析：（1）先把A（m，2）代入正比例函数解析式可计算出m=2，然后把A（2，2）代入y=kx﹣k计算出k的值，从而得到一次函数解析式为y=2x ﹣2；（2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；（3）观察函数图象得到当x＞2时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x的值．解答：解：（1）把A（m，2）代入y=x得m=2，则点A的坐标为（2，2），把A（2，2）代入y=kx﹣k得2k﹣k=2，解得k=2，所以一次函数解析式为y=2x﹣2；（2）把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2，则B点坐标为（0，﹣2），所以S△AOB=×2×2=2；（3）自变量x的取值范围是x＞2．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．24．列方程（组）解应用题：据媒体报道，2011年某市市民到郊区旅游总人数约500万人，2013年到郊区旅游总人数增长到约720万人．（1）求这两年该市市民到郊区旅游总人数的年平均增长率．（2）若该市到郊区旅游的总人数年平均增长率不变，请你预计2014年有多少市民到郊区旅游．考点：一元二次方程的应用．.专题：增长率问题．分析：（1）设这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x．则2011年郊区旅游人数为500（1+x）人，2012年郊区旅游人数为500（1+x）（1+x）人等于2012年市民到郊区旅游总人数增长到约720万人建立方程求出其解即可．（2）2014年的市民数是：2013年的总人数×（1+增长率）．解答：解：（1）设这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x．由题意，得500（1+x）2=720．解得x1=0.2，x2=﹣2.2∵增长率不能为负，∴只取x=0.2=20%．答：这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为20%；（2）∵720×1.2=864．∴预计2014年约有864万人市民到郊区旅游．点评：本题考查列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时要验根是否使实际问题有意义是解答容易忽略的过程．四、解答题：（本题共22分，第25、26题，每小题7分，第27题8分）25．已知：关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx2+(3m+1)x+3，如果当x1=a与x2=a+n （n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．.专题：计算题．分析：（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为x+3=0，解得x=﹣3；当m≠0时，计算判别式得△=（3m﹣1）2，由于（3m﹣1）2≥0，则不论m 为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；（2）先解方程mx2+（3m+1）x+3=0得到x1=﹣3，x2=，由于方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，易得m=1；（3）当m=1时得到y=x2+4x+3，当x1=a时，y1=a2+4a+3，当x2=a+n 时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，则a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，变形得n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=﹣n﹣4，然后变形4a2+12an+5n2+16n+8得到（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法计算．解答：（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=﹣3；当m≠0时，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．∵（3m﹣1）2≥0，∴不论m为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；（2）解：当m≠0时，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得x1=﹣3，x2=，∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，∴y=x2+4x+3，又∵当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，∴当x1=a时，y1=a2+4a+3，当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，化简得2an+n2+4n=0，即n（2a+n+4）=0，又∵n≠0，∴2a=﹣n﹣4，∴4a2+12an+5n2+16n+8=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．26．阅读下列材料：问题：如图1，在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.求证：EG =AG+BG.小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.图1 图2 考点：四边形综合题．.分析：（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE，先根据ASA 定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等边三角形，故可得出结论；（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根据∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG=HG，由此可得出结论．解答：解：（1）证明：如图1，作∠GAH=∠E AB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，∴∠ABG=∠AEH．∵又∵AB=AE，∴∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG；（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG=AG﹣BG．理由如下：如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．又∵AB=AE，∴，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG，∴EG=AG﹣BG．点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，难度适中．27．如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△AOB的斜边OB在x 上，顶点A的坐标为（3，3）.（1）求直线OA的解析式；（2）如图2，如果点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PC∥y 轴，交直线OA于点C，设点P的坐标为（m，0），以A、C、P、B为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式；（3）如图3，如果点D（2，a）在直线AB上. 过点O、D作直线OD，，请交直线PC于点E，在CE的右侧作矩形CGFE，其中CG=32你直接写出矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.图 1 图 2 图3考点：一次函数综合题．.分析：（1）设直线OM的解析式为y=kx，k≠0，根据A（3，3）在直线OA上，得到y=x．（2）过点A作AM⊥x轴于点M．已知A点的坐标，即可求出M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m），欲求以A、C、P、B为顶点的四边形的面积，需要分成两种情况考虑：①0＜m＜3时，②3＜m＜6时，③m ＞6时，根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；（4）根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质，即可求出m的范围．解答：解：（1）设直线OA的解析式为y=kx．∵直线OA经过点A（3，3），∴3=3k，解得k=1．∴直线OA的解析式为y=x．（2）过点A作AM⊥x轴于点M．∴M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m）．当0＜m＜3时，如图①．S=S△AOB﹣S△COP=AM•OB﹣OP•PC==．当3＜m＜6时，如图②．S=S△COB﹣S△AOP=PC•OB﹣OP•AM==．当m＞6时，如图③．S=S△COP﹣S△AOB=PC•OP﹣OB•AM==．（3）当C在直线OA上，G在直线AB上时，矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形，此时m=，当m=3时C点和A点重合，则矩形CGFE与△AOB无重叠部分所以m的取值范围时≤m＜3．点评：本题主要考查对矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，用待定系数法求正比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能利用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正整数是（）A. -2.5B. -1/3C. 0D. 22. 若a > b，则下列不等式中错误的是（）A. a + 3 > b + 3B. a - 3 < b - 3C. 2a > 2bD. a - 2b > b - 2a3. 下列函数中，自变量x的取值范围是（）A. y = √(x - 1)B. y = x^2 - 4C. y = log2(x + 1)D. y = 1/x4. 下列各式中，分母有理数且分子为无理数的是（）A. 2/√3B. √2/3C. √3/2D. 2/√55. 下列图形中，是平行四边形的是（）A. 等腰梯形B. 等腰三角形C. 正方形D. 长方形6. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°7. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点（1，3）和（-1，1），则该函数的解析式是（）A. y = 2x + 1B. y = -2x + 1C. y = 2x - 1D. y = -2x - 18. 若a、b、c是△ABC的三边，且满足a + b > c，则下列结论正确的是（）A. a > b + cB. b > c - aC. c > a + bD. c > b + a9. 下列函数中，图象为双曲线的是（）A. y = x^2B. y = -1/xC. y = x^3D. y = x^2 + 110. 若sinα = 1/2，则cosα的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题3分，共30分）11. 若|a| = 3，则a的值为________。

12. 若∠A + ∠B + ∠C = 180°，则∠A、∠B、∠C分别为________。

门头沟区2013-2014学年度第一学期期末调研试卷八年级数学1.本试卷共8页，共七道大题，29道小题。

2.本试卷满分120分，考试时间120分钟。

3.在试卷密封线内准确填写学校名称、班级和姓名。

4.在试卷上，除作图题可以用铅笔外，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共40分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.6.“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）7.下列命题的逆命题是真命题的是（）A.如果两个角是直角，那么它们相等B.全等三角形对应角相等C.两直线平行，同位角相等D.对顶角相等8.如果等腰三角形的两边长分别为7 cm和3 cm，那么它的第三边的长是（）9 .如图，点A，D，C，F在同一条直线上，且Z B = Z E=90 °，添加下列所给的条件A. ±3B.-3C．3D．812.在下列实数中，无理数是（）A. 73B.必C．0D．93.如果分式呈—在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（)x _ 2A. x U2B. x>2C．x32 D. x<24.下列各式中，是最简二次根式的是（)A.应B. J25狀C． D.A/31. 9的平方根是（）下列图形中,是轴对称图形的是（5.)DA B C10.后，仍不能判定A ABC与A DEF全等的是（A. AB=DE，BC=EFB. AC=DF, Z BCA=Z FB EAC. AC=DF，BC=EFD. Z A=Z EDF，Z BCA=Z F如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm .DCF现将直角边AC沿考生须知A.必然事件B.不可能事件C.确定事件D.随机事件A. 3 cmB. 4 cmC. 7 cmD. 3 cm 或7 cm11.12.13.14.15.16.17.18.三、19.直线AD折叠,则CD等于（A. 2cmC. 4cm使它落在斜边AB上，且与AE重合, ）B.3cmD. 5 cm填空题（本题共24分, 每小题3分）右的相反数是.8的立方根是.如果分式旦的值为0,那么x= .x + 2一个箱子里装有10个除颜色外都相同的球，其中有1个红球，3个黑球，6个绿球. 随机地从这个箱子里摸岀一个球，摸岀绿球的可能性是.如果实数a, b满足J a-4 +(b—5)2= 0 ,那么a+b=如果实数。

八年级数学第1 页共6 页2013-2014学年度（下）八年级期末质量检测数学(满分：150分；考试时间：120分钟) 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置．一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1、下列计算正确的是（）A ．234265+=B ．842=C ．2733¸=D ．2(3)3-=-2、顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A ．矩形B ．直角梯形C ．菱形D ．正方形3、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为0.56s =2甲，0.60s =2乙，20.50s =丙，20.45s =丁，则成绩最稳定的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4、一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（）A ．7，7 B ．7，6.5 C ．5.5，7 D ．6.5，7 5、若直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则k,b 的取值范围是（）(A) k>0, b>0 (B) k>0,b<0 (C) k<0,b>0 (D) k<0,b<0 6、如图，把直线L 沿x 轴正方向向右平移2个单位得到直线L ′，则直线L /的解析式为（）A.12+=x yB. 42-=x yC. 22y x =- D. 22+-=x y 7、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（）（A ）4 cm （B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm A第7题BCDEEDCBA（第8题A B C D E F 8、如图，ABC D 和DCE D 都是边长为4的等边三角形，的等边三角形，点点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（的长为（ ）（A ）3（B ）23（C ）33（D ）43二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．分． 9、计算123-的结果是的结果是 ． 10、实数p 在数轴上的位置如图所示，化简22(1)(2)_______p p -+-=。

2013-2014学年度下期期末学业质量监测八年级数学试题注意事项：1、全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟。

2、考生必须在答题卷上作答，答在试卷上、草稿纸上无效。

3、试卷中横线上及方框内注有“▲”的地方，是需要考生在答题卷上作答的内容或问题。

请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

A 卷（100分）一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项前的字母填在答题卷上对应的表格内。

1. 已知关于x 的一元二次方程02=+-k x x 的一个根是2，则k 的值是（ ▲ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-12. 在平行四边形、等腰三角形、矩形、菱形、正方形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ▲ ）A ．12B ．16C ．20D ．16或20 4. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ▲ ）A ．12++x xB ．122-+x xC ．12-xD ．962+-x x 5. 若分式9392+-x x 的值为0，则x 的值是（ ▲ ） A ．9 B ．±3 C ．-3 D ．36. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ▲ ） A.51 B. 41 C. 31 D. 1036题图 7题图 8题图7. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知∠ODA=90°，AC=10cm ，BD=6cm ，则AD 的长为（ ▲ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm8. 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（ ▲ ）A ．8B ．5C ．3D ．29. 若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ▲ ）A ．k>-1B ．k<1且k≠0C ．k≥-1且k≠0D ．k>-1且k≠010. 炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装60台空调，乙安装队为B 小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ▲ ） A.25060-=x x B. x x 50260=- C. 25060+=x x D. xx 50260=+ 二、填空题（每小题4分，共16分）11. 分解因式：x x 43-= ▲ 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ▲ ．13. 若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 ▲ 12题图14. 已知关于x 的分式方程121=+-x a 有增根，则a= ▲ 三、解答题（每小题5分，共20分）15.解方程（1）12422=-+-x x x（2）0142=+-x x16.（1）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边且满足022=-+-bc ac b a ，请判断△ABC 的形状．（2）先化简2211112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ，然后从1、2、-1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值．四、解答题（17题9分，18题7分，共16分）17. 如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-2，3）、B （-6，0）、C （-1，0）．（1）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90度，得到△A ′B ′C ′，画出图形，直接写出点B 的对应点B ′的坐标；（2）将△ABC 向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到△A ″B ″C ″，画出图形．直接写出点C 的对应点C ″的坐标．（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．18. 已知：如图，四边形ABCD 是周长为52cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积．五、解答题（19题8分，20题10分，共18分）19. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数．20. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90º，BC ＝2，D 是线段BC 上一点，以AD 为边，在AD 的右侧作正方形ADEF ．直线AE 与直线BC 交于点G ，连接CF ．（1）猜想线段CF 与线段BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）连接FG ，当△CFG 是等腰三角形，且BD ＜1时，求BD 的长．B 卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）21. 已知x 1、x 2为方程0132=++x x 的两实根，则208231++x x = ▲ 22. 若11=+c b ，11=+a c ，则bab 1+= ▲ 23. 如图，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若AB=3，若△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1的长为 ▲24. 如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是 ▲ ．23题图 24题图 25题图25. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 。

密云县2013—2014学年度第二学期期末考试初二数学参考答案一、选择题（32分，每题4分）二、填空题（本题共28分，每小题4分）9.-2,1（）. 10..4. 11.32x ≥ 12.4 13.14m >- 14. 15(7,8) ,(21,2)n n - 三、计算题解答题(共38分，16题共8分，17~22题每题5分)16..(1)224(3)41-425b ac ∆=-=--⨯⨯=（） ……………………………..2分 352x ±∴=…………………………………………………………………3分 124, 1.x x ∴==-……………………………………………………………4分(2)解：原方程可化为：221x x -=2212x x -+=…………………………………………………………………...1分2(1)2x -=……………………………………………………………………….2分1x -=3分1211x x ∴==………………………………………………………4分17..设剪去的小正方形的边长为.xcm …………………………………………1分 根据题意列出方程为：(102).(62)12x x --= ………………………………………………………..2分解得：2,x = 或6x =………………………………………………………….3分 经检验：6x =不合题意，2,x =合题意。

……………………………………4分 答：每个小正方形边长为2 cm ………………………………………………….5分(1)解：由已知可得201k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：12k b =-⎧⎨=⎩ ……………………………2分（2）1132MA ⨯⨯= 6MA ∴= ………………………………………..3分 (8,0)M ∴或(4,0)M ∴-………………………………………………………5分19. 证明：DF BE =+DE EF BF EF ∴=+即DF BE = ………………………………………………………………….1分 //AE CFAEF CFE ∴∠=∠DEA CFB ∴∠=∠…………………………………………………………….2 分 又AE CF =DEA BFC ∴∆≅∆（SAS ）………………………………………………….3 分 ,AD BC ADE CBF ∴=∠=∠………………………………………………4分//AD BC ∴∴四边形ABCD 是平行四边形……………………………………………….5分20.解：BD CD ⊥ 90BDC ∴∠=︒ 60DCB ∠=︒ 30DBC ∴∠=︒ 6BC =3,CD BD ∴==……………………………………………………….2分过A 作AE BD ⊥ ，垂足为E. 可求30ADB ∠=︒ 2AD =1,AE DE ∴==………………………………………………………..3分BE BD DE ∴=-=………………………………………………….4分AB ∴= ……………………………………………..5分（1）40 ……………………………………………………………………….1分 （2）（画图，标数各占1分）,20……………………………………………4分 （3）128………………………………………………………………………5分22.（1）证明：2[2(3)]412m m ∆=-+-⨯⨯=242436m m -+=24(3)0m -≥ ............................................................................................2分 ∴ 对任意不为零的实数m,方程总有两个实根。

2013~2014学年度八年级下学期期末考试试题数学答案一、选择题1. A2.B3. B4. C5. C6. B7.A8. C9. D 10. D二、填空题11. 83.510-⨯ 12. 1 或9 13. 24 14. (3,0)15. 5 16. 10ab 17 1-三、18．（本题6011)()2-解：原式11=-------------------4分=分19.解：原式21()11a a a a a=-⨯---------------------------2分 211a a a a-=⨯- 11a a a=⨯----------------------------------3分 11a =---------------------------------------4分当a =12+时，原式==2=--------------------------6分 四、20.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA OC =,CD ∕∕AB ---------2分∴OAF OCE ∠=∠------------4分在OAF OCE ∆∆与中，AOF COE ∠=∠,OA OC =,OAF OCE ∠=∠-----5分 ∴ OAF ∆≌OCE ∆--------------------------------------------------------------7分 ∴ OF OE =-----------------------------------------------------------------------8分21.解：（1）当0≤x ≤2时，设y kx b =+由图像可知，它的图像经过（0,400）与（2,600）{4006002bk b ==+----------------------------2分解之，得：100400k b ==，--------3分∴100400y x =+----------------------4分当15000 1.5x ==元万元时，100 1.5400550y =⨯+=--------5分答：当某员工的销售额为15000元时，他的工资应是550元--------6分（2）当x ≥2时，设y mx n =+由图像可知，它的图像经过（2,600）与（3,800）{60028003m nm n =+=+------------------------8分解之，得：200,200m n ==-----------------9分∴200200y x =+------------------------------10分当1200y =时，2002001200x +=，解之，得：5x =------11分答：当员工小张五月份共领工资1200元时，他这个月的销售额是5万元.------12分 五、22.解：（1）设捐款5元的学生有2x 人.由题意，得：8628x x +=----------2分解之，得：2x =-----------------3分∴他们一共调查的人数为：24586x x x x x ++++2242528262=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯48101612=++++50=-----------------------5分（2）这组数据的众数、中位数都是20元.------------7分（3）由上可知，调查的50学生捐款的平均数为 1(2254210521582206225)50x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1(2080150320300)50=++++----------------------9分 187050=⨯ 17.4=--------------------------------------------------10分∴200017.434800⨯=------------------------------------11分答：若该校共有2000名学生，估计全校学生大约捐款34800元.----12分 六、23.（1）证明：∵MN 交BCA ∠的平分线于点E∴12∠=∠----------1分∵ MN ∥BC∴ 13∠=∠∴ 23∠=∠∴ OE OC =----------2分同理OC OF =-------------3分∴ OE OF =----------4分(2) ∵MN 交BCA ∠的平分线于点E ,交∆ABC 的外角∠ACD 的角平分线于点F ∴ 112,422ACB ACD ∠=∠∠=∠-----------------------------5分 ∵0180ACB ACD ∠+∠=∴001124()1809022ECF ACB ACD ∠=∠+∠=∠+=⨯=-----------6分∴10EF ===---------------------------7分 由上可知，OC 是Rt CEF ∆的斜边EF 上的中线∴1110522OC EF ==⨯=--------------------------------------8分 （3）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形。

2014-2015 学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内． 1．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）25 的算术平方根是（ ） A ． 5B ． ±5C ． ±D ．2．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列实数中，是无理数的是（） A ．B ．﹣0.3 C ．D ．3．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列计算中正确的是（ ）A ．÷3=3B ． 2+3=5C ． 2×3=6D ．（）2=﹣44．（3 分）（2010•保山）下列图形是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）方程 x 2﹣4x ﹣6=0 的根的情况是（ ）A ． 有两个相等实根B ． 有两个不等实根C ． 没有实根D ． 以上答案都有可能6．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A ． 2，2，3B ． 2，3，4C ． 3，4，5D ． 5，8，137．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列根式中，最简二次根式是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列各式中，正确的是（ ）A ．=x 3B ．=C ．=﹣D ． + =9．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，在△A BC 中，A B=A C=4，∠A BC 和∠A CB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 分别交AB、AC 于M、N，则△AMN 的周长为（）A．12 B．4 C．8D．不确定10．（3 分）（2014•无锡）已知△A BC 的三条边长分别为3，4，6，在△A BC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7 条C．8条D．9条二、填空题（本题共20 分，每小题 2 分）11．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如果分式的值为0，那么x= ．12．（2 分）（2013•滨湖区校级模拟）使有意义的x 的取值范围是．13．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，点D、E 分别在线段AB、AC上，A B=A C，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．14．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0 化成（x﹣3）2=b 的形式，则b= ．15．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）一个三角形两边长分别为3 和8，第三边长为奇数，则第三边长为．16．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）当1＜x＜2 时，化简+= ．17．（2 分）（2008•成都）已知x=1 是关于x 的一元二次方程2x2+kx﹣1=0 的一个根，则实数k 的值是．18．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，在Rt△A BC 中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E．若∠BAE=40°，则∠C= °．19．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）= + 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2 表示R，则R= ．20．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，已知点P在锐角∠AO B 内部，∠AO B=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+D C 最小，此时∠PD C= ．三、计算（本题共10 分，每小题 5 分）21．（5 分）（2014 秋•门头沟区期末）．22．（5 分）（2014 秋•门头沟区期末）计算：4÷（﹣）×．四、解方程（本题共15 分，每小题15 分）23．（15 分）（2014 秋•门头沟区期末）（1）3x2﹣6x﹣2=0（2）3x（x+2）=2x+4（3）+=1．五、解答题（本题共17 分，其中26-27 每小题 5 分，28 题7 分）26．（5 分）（2011•北京）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．27．（5 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，△ A BC 中，AD ⊥BC 于点 D ，AD =B D ，∠C=65°，求∠BAC 的度数．28．（7 分）（2014 秋•门头沟区期末）已知：在 Rt △ A BC 中，∠C=90°．（1）请在线段 BC 上作一点 D ，使点 D 到边 AC 、AB 的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若 AC=6，BC=8，请求出 CD 的长度．六、解答题（本题共 18 分，每小题 6 分） 29．（6 分）（2010•北京）已知关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+m ﹣1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根．30．（6 分）（2014 秋•门头沟区期末）先化简，再求值：x 2﹣3x ﹣4=0． ），其中31．（6 分）（2014 秋•门头沟区期末）列方程解应用题为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015 年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距 1280 千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了 11 小时， 大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的 3.2 倍，求高铁的行驶速度．七、解答题（本题 10 分） 32．（10 分）（2014 秋•门头沟区期末）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：﹣（÷已知：C 是线段AB 所在平面内任意一点，分别以AC、BC 为边，在AB 同侧作等边三角形ACE 和BCD，联结AD、BE 交于点P．（1）如图1，当点C 在线段AB 上移动时，线段AD 与BE 的数量关系是：．（2）如图2，当点C 在直线AB 外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE 是否随着∠ACB 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE 的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB 为边在AB 另一侧作等边三角形△ ABF，联结AD、BE 和CF 交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．2014-2015 学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．1．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）25 的算术平方根是（）A．5B．±5 C．±D．考点：算术平方根．分析：根据算术平方根的定义即可解决问题．解答：解：∵52=25，∴25 的算术平方根是5，故选A．点评：本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．2．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列实数中，是无理数的是（）B．﹣0.3 C．D．A．考点：无理数．分析：根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π 的数，找出无理数的选项．解答：解：﹣0.3，，=﹣2，都是有理数，只有是无理数．故选A．点评：本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π 的数．3．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列计算中正确的是（）A．÷3 =3 B．2+3 =5 C．2×3 =6 D．（）2=﹣4考点：二次根式的乘除法；二次根式的加减法．分析：根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．解答：解：A、÷3 = ，原式计算错误，故本选项错误；B、2和3不是同类项，不能合并，故本选项错误；C 、2×3=6，计算正确，故本选项正确；D 、（）2=4，计算错误，故本选项错误． 故选 C．点评：本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法 则．4．（3 分）（2010•保山）下列图形是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断． 解答： 解：A 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误； B 、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．故选 B ． 点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）方程 x 2﹣4x ﹣6=0 的根的情况是（ ）A ． 有两个相等实根B ． 有两个不等实根C ． 没有实根D ． 以上答案都有可能考点6．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，8，13考点：三角形三边关系．分析：判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解答：解：A、22+22≠32，故不能组成直角三角形，故此选项错误；B、22+32≠42，故不能组成直角三角形，故此选项错误；C、32+42=52，故能组成直角三角形，故此选项正确；D、52+82≠132，故不能组成直角三角形，故此选项错误．故选C．点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．7．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：A、= ，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、=2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、，符合最简二次根式的定义，故选D．点评：本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）下列各式中，正确的是（）A．=x3B=C．=﹣D．+ =考点：分式的混合运算．分析：根据同底数幂的除法、分式的通分进行计算即可．解答：解：A、=x4；故A 错误；B、不能化简，故B 错误；C、=﹣，故C 错误；D、+=+= ，故D 正确，故选D．点评：本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．9．（3 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，在△A BC 中，A B=A C=4，∠A BC 和∠A CB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 分别交AB、AC 于M、N，则△AMN 的周长为（）A．12 B．4 C．8D．不确定考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△ AMN 的周长=AB+AC．解答：解：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，∴BM=ME，CN=NE，∴△AMN 的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，∵AB=AC=4，∴△AMN 的周长=4+4=8．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．10．（3 分）（2014•无锡）已知△A BC 的三条边长分别为3，4，6，在△A BC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7 条C．8条D．9条考点：作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．专题：压轴题．分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC 为底以及为腰得出符合题意的图形即可．解答：解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7 时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．二、填空题（本题共20 分，每小题 2 分）11．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如果分式的值为0，那么x= ．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．解答：解：由分式的值为零的条件得2x﹣1=0，由2x﹣1=0，得x=，故答案为．点评：本题考查了分式值为0 的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．（2 分）（2013•滨湖区校级模拟）使有意义的x 的取值范围是 x≥2 ．考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：二次根式的被开方数是非负数，所以2x﹣4≥0，通过解该不等式即可求得x 的取值范围．解答：解：根据题意，得2x﹣4≥0，解得，x≥2；故答案是：x≥2．点评：本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，点 D 、E 分别在线段 AB 、AC 上，A B=A C ，不添加新的线段和字母，要使△ ABE ≌△ACD ，需添加的一个条件是 AD=AE （只写一个条件即可）．： 14．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）将一元二次方程 x 2﹣6x ﹣5=0 化成（x ﹣3）2=b 的形式，则 b= 14 ．考点： 解一元二次方程-配方法．分析： 移项，配方，再变形，即可得出答案．解答： 解：x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5， x2﹣6x+9=5+9，（x ﹣3）2=14，故答案为：14．点评： 本题考查了解一元二方程的应用，解此题的关键是能正确配方．15．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）一个三角形两边长分别为 3 和 8，第三边长为奇数，则第三边长为 7 或 9 ．考点： 三角形三边关系．分析： 能够根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是奇数，进行求解．解答： 解：根据三角形的三边关系，得第三边应＞5，而＜11．考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 添加条件：AD=AE ，再由已知条件 AB=AC 和公共角∠A 可利用 SAS 定理证明 △ ABE ≌△ACD ． 解答： 解：添加条件：AD=AE ， 在△ AEB 和△ ADC 中， ， ∴△A BE ≌△A C D （SAS ），故答案为：AD=AE ． 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有 SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．又第三边是奇数，则第三边应是7 或9．点评：此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．16．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）当1＜x＜2 时，化简+= 1 ．考点：二次根式的性质与化简．分析：利用完全平方公式的定义，结合二次根式的性质化简求出即可．解答：解：∵1＜x＜2，∴+=+=2﹣x+x﹣1=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简是解题关键．17．（2 分）（2008•成都）已知x=1 是关于x 的一元二次方程2x2+kx﹣1=0 的一个根，则实数k 的值是﹣1 ．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：已知x=1 是关于x 的一元二次方程2x2+kx﹣1=0 的一个根，把x=1 代入方程，即可得到一个关于k 的方程，解方程即可求出k 值．解答：解：把x=1 代入方程得：2+k﹣1=0，解方程得k=﹣1．故答案为：1点评：本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．18．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，在Rt△A BC 中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E．若∠BAE=40°，则∠C= 25 °．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AE=EC，推出∠C=∠EAC，根据三角形内角和定理求出即可．解答：解：∵ED 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠B=90°，∠BAE=40°，∴2∠C=90°﹣40°=50°，∴∠C=25°，故答案为：25．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．19．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）= + 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2 表示R，则R= ．考点：分式的加减法．分析：先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R 即可．解答：解：方程两边同乘RR1R2，R1R2，=RR2+RR1，R1R2，=R（R2+R1），R=，故答案为．点评：本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．20．（2 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，已知点P在锐角∠AO B 内部，∠AO B=α，在OB 边上存在一点D，在OA 边上存在一点C，能使PD+DC 最小，此时∠PDC= 2α．考点：轴对称-最短路线问题．分析：过P 的作关于OB 的对称点P'，作P′C⊥OA 于C，交OB 于D，此时PD+DC=P'C 最短，即可求得∠PDC 的度数．解答：解：过P 的作关于OB 的对称点P'，作P′C⊥OA 于C，交OB 于D，此时PD=PD′，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P′C 最短，∵∠PDB=∠P ′DB ，∠CDO=∠P ′DB ，∴∠CDO=∠PDB ，∵P ′C ⊥OA ，∠AOB=α，∴∠CDO=90°﹣α，∴∠PDC=180°﹣2（90°﹣α）=2α． 故答案为：2α．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定 D 、C的位置．三、计算（本题共 10 分，每小题 5 分）21．（5 分）（2014 秋•门头沟区期末）．考 点：分式的加减法．专 题：计算题．分 析：原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．解 答： 解：原式=+===．点 评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（5 分）（2014 秋•门头沟区期末）计算：4÷（﹣）× ．考点： 二次根式的乘除法．分析： 根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．解答 ： 解：原式=﹣2÷×=﹣×=﹣． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．四、解方程（本题共 15 分，每小题 15 分）23．（15 分）（2014 秋•门头沟区期末）（1）3x 2﹣6x ﹣2=0（2）3x （x+2）=2x+4（3） +=1．考点： 分析：解答：点评：．五、解答题（本题共 17 分，其中 26-27 每小题 5 分，28 题 7 分）26．（5 分）（2011•北京）如图，点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F ， AB=FD ．求证：AE=FC ．解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法；解分式方程．（1） 求出 b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可；（2） 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）把分式方程转化整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 解：（1）3x 2﹣6x ﹣2=0，∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）=60， ∴x=， x 1= ，x 2= ； （2）3x （x+2）=2x+4， 3x （x+2）﹣2（x ﹣2）=0， （x ﹣2）（3x ﹣2）=0， x ﹣2=0，3x ﹣2=0， x 1=2，x 2= ； （3）方程两边都乘以（x+2）（x ﹣2）得：x （x+2）+6（x ﹣2）=（x+2）（x ﹣2），解得：x=1， 检验：当 x=1 时，（x+2）（x ﹣2）≠0，所以 x=1 是原方程的解，即原方程的解为 x=1．本题考查了解一元二次方程和解分式方程的应用，解一元二次方程的关键是能把一元二次方程准化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA 求证△ ABC 和△ FDC 全等即可．解答：证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，在△ ABE 和△ FDC 中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F∴△A BE≌△FD C（ASA），∴AE=FC．点评：此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ ABC 和△ FDC 全等．27．（5 分）（2014 秋•门头沟区期末）如图，△A BC 中，AD⊥BC 于点D，AD=B D，∠C=65°，求∠BAC 的度数．考点：等腰直角三角形．分析：先根据△ ABC 中，AD⊥BC 于点D，AD=BD 求出∠BAD 的度数，再由∠C=65°求出∠CAD 的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC 中，AD⊥BC 于点D，AD=BD，∴∠BAD=45°，∵∠C=65°，∴∠CAD=90°﹣65°=25°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°．点评：本题考查的是等腰直角三角形，熟知两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形是解答此题的关键．28．（7 分）（2014 秋•门头沟区期末）已知：在Rt△A BC 中，∠C=90°．（1）请在线段BC 上作一点D，使点D 到边AC、AB 的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD 的长度．考点：角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图．分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A 的平分线即可；（2）设CD 的长为x，然后用x 表示出DB、DE、BF 利用勾股定理得到有关x 的方程，解之即可．解答：解：（1）如图所示：所以点D为所求；（2）过点D 做DE⊥AB 于E，设DC=x，则BD=8﹣x∵Rt△ ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8∴由勾股定理得AB= =10…（3 分）∵点D 到边AC、AB 的距离相等∴AD 是∠BAC 的平分线又∵∠C=90°，DE⊥AB∴DE=DC=x，在Rt△ ACD 和Rt△ AED 中，，∴Rt△A C D≌Rt△A E D（HL），∴AE=AC=6，∴BE=4，Rt△ DEB 中，∠DEB=90°，∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2，即x2+42=（8﹣x）2，解得x=3．答：CD 的长度为3．点评：本题考查了勾股定理的应用，通过本题使同学们明白勾股定理不但可以在直角三角形中求线段的长，而且可以根据其列出等量关系．六、解答题（本题共18 分，每小题 6 分）29．（6 分）（2010•北京）已知关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．考点：根的判别式．分析：首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m 的值，即可确定原一元二次方程进而可求出方程的根．解答：解：由题意可知△ =0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5 时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系：（1）△ ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△ =0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△ ＜0⇔方程没有实数根．﹣（÷），其中30．（6 分）（2014 秋•门头沟区期末）先化简，再求值：x2﹣3x﹣4=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣[•]=﹣==﹣，∵x2﹣3x﹣4=0，∴x2﹣3x=4，即x（x﹣3）=4，∴原式=﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．31．（6 分）（2014 秋•门头沟区期末）列方程解应用题为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015 年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280 千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11 小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的 3.2 倍，求高铁的行驶速度．考点：分式方程的应用．分析：根据题意，设原来火车的速度是x 千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11 小时，得出等式求出即可．解答：解：设原来火车的速度是x 千米/时，根据题意得：﹣=11，解得：x=80，经检验，是原方程的根且符合题意．故80×3.2=256（km/h）．答：高铁的行驶速度是256km/h．点评：此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．七、解答题（本题10 分）32．（10 分）（2014 秋•门头沟区期末）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C 是线段AB 所在平面内任意一点，分别以AC、BC 为边，在AB 同侧作等边三角形ACE 和BCD，联结AD、BE 交于点P．（1）如图1，当点C 在线段AB 上移动时，线段AD 与BE 的数量关系是：AD=BE ．（2）如图2，当点C 在直线AB 外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE 是否随着∠ACB 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE 的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB 为边在AB 另一侧作等边三角形△ ABF，联结AD、BE 和CF 交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．分析：（1）直接写出答案即可．（2）证明△ ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．（3）如图，作辅助线，证明△ CPA≌△CHE，即可解决问题．解答：解：（1）∵△A CE、△CB D均为等边三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；在△ ACD 与△ ECB 中，，∴△A C D≌△ECB（SAS），∴AD=BE，故答案为AD=BE．（2）AD=BE 成立，∠APE 不随着∠ACB 的大小发生变化，始终是60°．证明：∵△ACE 和△ BCD 是等边三角形∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB ，即∠ECB=∠ACD ；在△ ECB 和△ ACD 中，∴△ECB ≌△A C D （SAS ），∴∠CEB=∠CAD ；设 BE 与 AC 交于 Q ，又∵∠AQP=∠EQC ，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180° ∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在 PE 上截取 PH=PC ，连接 HC ， 则△ PCH 为等边三角形，∴HC=PC ，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°；又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE ；在△ CPA 和△ CHE 中，，∴△C PA ≌△C H E （AAS ），∴AP=EH ，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE ．点评：． 该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性 质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求。