2018年高考数学江苏专版专题复习训练：14个填空题综合仿真练(七) 含解析

①y ＝－x 2；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝－1x ；④y ＝2x . 2．(2016·黑龙江牡丹江一中期中)函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈－1,2]的值域是____________．3．(2016·宿迁、徐州三模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是____________．4．(2016·南通一模)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意的实数t ，在闭区间t －1，t ＋1]上总存在两个实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．5．(2016·陕西西藏民族学院附中期末)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12ax －2，x ≤1，a x －a ，x ＞1在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．6．函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为______________．7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是____________．9．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________________．10．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则ff (－3)]＝________，f (x )的最小值是________．11．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0.当x ∈－2,2]时不等式f (x ＋a )≥f (2a －x )恒成立，则实数a 的最小值是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x (x ＜0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是____________．13．已知函数f (x )＝bx ＋c ax 2＋1(a ，b ，c ∈R ，a ＞0)是奇函数，若f (x )的最小值为－12，且f (1)＞25，则实数b 的取值范围是______________．14．对于函数f (x )，若存在区间A ＝m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“同域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝cos π2x ；②f (x )＝x 2－1；③f (x )＝|2x －1|；④f (x )＝log 2(x －1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________．答案精析1．③ 2.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729 3.{x |x ＞4}4．8解析 由题意得只需求当x ∈t －1，t ＋1]，f (x )max －f (x )min ≥8时a 的最小值．根据f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)的对称性可知：①当t ＝－10a 时，f (x )max －f (x )min ＝f (－10a ＋1)－f (－10a )＝a ，所以只需a ≥8即可；②当－10a ＜t ＜－10a ＋1时，f (x )max －f (x )min ＝f (t ＋1)－f (－10a )．当a ≥8时，上式≥f (－10a ＋1)－f (－10a )≥8成立；③当t ≥－10a ＋1时，f (x )max －f (x )min ＝f (t ＋1)－f (t －1)＝4at ＋40≥4a (－10a ＋1)＋40＝4a ，则4a ≥8，即a ≥2.综上知a ≥8，即a 的最小值为8.5．(1,2]解析 由f (x )＝x 2＋12ax －2在(0,1]上递增，则有－a 4≤0，即a ≥0，再由f (x )＝a x －a在(1，＋∞)上递增，则a ＞1，再由增函数的定义，得1＋12a －2≤a 1－a ，解得a ≤2，则有1＜a ≤2.6．(－∞，－1)解析 要使函数有意义，则x 2－2x －3＞0，即x ＞3或x ＜－1.设t ＝x 2－2x －3，则当x ＞3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增；当x ＜－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减．∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知：当x ＞3时，函数f (x )单调递增，即函数f (x )的递增区间为(3，＋∞)；当x ＜－1时，函数f (x )单调递减，即函数f (x )的递减区间为(－∞，－1)．7．(－2,1)解析 f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x ＜0， 由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.8．12，1)解析 由题意得⎩⎨⎧e 0－k ≤k ，1－k ＞0， 解得12≤k ＜1.9．(－∞，－1]，0,1]解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，0,1]上是增函数．10．0 22－3解析 ff (－3)]＝f (1)＝0.①当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号；②当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg1＝0.综上，f (x )的最小值为22－3.11．4解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2－4x ＋3，对称轴为直线x ＝2，故在区间内递减，f (x )≥f (0)＝3；当x ＞0时，f (x )＝－x 2－2x ＋3，对称轴为直线x ＝－1，故在区间内递减，f (x )＜f (0)＝3.可知函数f (x )在整个区间内递减．∴当x ∈－2,2]时，不等式f (x ＋a )≥f (2a －x )恒成立，∴x ＋a ≤2a －x ，∴2x ≤a ，∴a ≥4.12．(0，14]解析 由对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立， 知f (x )是减函数．于是⎩⎨⎧ 0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，所以0＜a ≤14.13．(12，2) 解析 显然函数f (x )的定义域为R .又函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，故c ＝0，从而f (x )＝bx ax 2＋1. 由f (1)＝b a ＋1＞25，a ＞0，得b ＞0. 由f (x )＝b ax ＋1x 得，当ax ＝1x ，即x ＝±1a 时，原函数有最值，从而－b 2a＝－12，即a ＝b 2，于是b b 2＋1＞25，化简得2b 2－5b ＋2＜0，解得12＜b ＜2.14．①②③解析 当x ∈0,1]时，cos π2x ∈0,1]，①正确；当x ∈－1,0]时，x 2－1∈－1,0]，②正确；当x ∈0,1]时，|2x －1|∈0,1]，③正确；因为y ＝log 2(x －1)为单调递增函数，所以要为“同域区间”，需满足方程log 2(x －1)＝x 有两个根，由图象可知y ＝x 与y ＝log 2(x －1)没有交点，④错误．。

14个填空题综合仿真练(六)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z}，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z}＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}．答案：{6,7}2．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．解析：由(1－i)z ＝2i ，得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，则z 的模为(－1)2＋12＝ 2.答案： 23．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n ＝900.答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋I I ←I ＋2End WhilePrint S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8； S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8；S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8；S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8；S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17.答案：175．设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x ，则tan 30°＝1a ，即a ＝3，则c ＝2，所以e ＝233. 答案：233 6．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425. 答案：425 7．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：3π38．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1q 2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．解析：由题意可得：S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝1q 2(q 2＋q 3＋q 4)＝1＋q ＋q 2＝2，结合q >0可得q ＝5－12. 答案：5－129．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．解析：f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，且f (e)＝e ，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，因为f (x )为奇函数，所以f (－e)＝－f (e)＝－e ，故结合函数图象得f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．答案：(－∞，－e)10．若点(x ，y )位于曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包含边界)，则2x －y 的最小值为________．解析：作出曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包括边界)如图：设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A 时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，y ＝－2x ＋1，解得A (－1,3)，此时z ＝2×(－1)－3＝－5. 答案：－511．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3和g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx 的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M ，N ，已知O 为原点，则OM ―→·ON ―→＝________.解析：令f (x )－g (x )＝0，化简得2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝0，则πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，x ＝k －16，k ∈Z ， 则M ⎝⎛⎭⎫－16，32，N ⎝⎛⎭⎫56，－32， 故OM ―→·ON ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，32·⎝⎛⎭⎫56，－32＝－89. 答案：－8912．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为__________．解析：设AB 的中点为M ，则|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|⇒2|OM |≥3|2AM |⇒|OM |≥32|OA |＝62，又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以62≤|OM |<2，而|OM |＝21＋b 2，所以62≤21＋b 2<2⇒1<b 2≤53，解得1<b ≤153或－153≤b <－1，即b 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎤1，153. 答案：⎣⎡⎭⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎤1，153 13．设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当1≤m ≤2时，不等式x |x －m |≥m －2显然成立；当2<m <3时，令f (x )＝x |x －m |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (m －x )，1≤x <m ，x (x －m )，m ≤x ≤3，f (x )min ＝f (m )＝0，故不等式x |x －m |≥m －2不恒成立； 当m ≥3时，令f (x )＝x (m －x )，则f (1)＝m －1，f (3)＝3(m －3)，显然m －1>m －2恒成立，令3(m －3)≥m －2，解得m ≥72， 故m 的取值范围为[1,2]∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. 答案：[1,2]∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________． 解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，得cos A sin A ＋cos B sin B ＝4cos C sin C， 即sin (A ＋B )sin A sin B ＝4cos C sin C ， 化简得sin 2C ＝4sin A sin B cos C .由正、余弦定理得c 2＝4ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2(a 2＋b 2－c 2)， 即3c 2＝2(a 2＋b 2)，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13，当且仅当“a ＝b ”时等号成立． 所以cos C 的最小值为13，故sin C 的最大值为223. 答案：223。

14个填空题综合仿真练(四)1、已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________、 解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：5 2、复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________、 解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3、如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________、解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64、在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________、 解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n ＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P ＝1－16＝56.答案：565、双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143.答案：1436、下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________、解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307、若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________、解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88、底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________、 解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________、解析：法一：由题意知，当A 在原点时，PQ 最小，此时，sin ∠PAC＝23，cos ∠PAC ＝73，cos ∠PAQ ＝59， 故cos ∠PCQ ＝－59，∴PQ ＝PC 2＋QC 2－2×PC ×QC ×cos ∠PCQ ＝2＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－59＝2143， 当A 点离原点无限远时，PQ 接近于22， ∴PQ 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2143，22.法二：设CA ＝x ，x ∈[3，＋∞)，则PA ＝x 2－2，sin ∠ACP ＝PACA ＝x 2－2x ＝1－2x2， 所以PQ ＝2CP ·sin ∠ACP ＝22·1－2x 2.因为x ∈[3，＋∞)，所以y ＝1－2x 2在[3，＋∞)上为增函数，所以2143≤PQ <2 2. 答案：⎣⎡⎭⎫2143，2210、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x，x ≤0，ax －ln x ，x >0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________、解析：易知函数f (x )在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax －ln x ＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a ＝ln x x 在(0，＋∞)上恰有一解. 令g (x )＝ln xx ，由g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，g (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝e 处取得极大值也为最大值，作出y ＝g (x )与y ＝a 的图象(图略)，知当正实数a ＝g (x )max 时两函数有一个交点，所以a ＝g (e)＝1e.答案：1e11、设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________、 解析：y ′＝12x 2＋3x (x >0)，令g (x )＝12x 2＋3x ，则g ′(x )＝24x －3x2，令g ′(x )＝0，得x ＝12，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )>0，所以当x ＝12时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫12＝9，故y ′＝12x 2＋3x 的最小值为9，即直线l 的斜率的最小值为9.答案：912、扇形AOB 中，弦AB ＝1，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ―→·BP ―→的最小值是________、解析：设弦AB 的中点为M ，则OP ―→·BP ―→＝(OM ―→＋MP ―→)·BP ―→＝MP ―→·BP ―→， 若MP ―→，BP ―→同向，则OP ―→·BP ―→>0； 若MP ―→，BP ―→反向，则OP ―→·BP ―→<0，故OP ―→·BP ―→的最小值在MP ―→，BP ―→反向时取得，此时|MP ―→|＋|BP ―→|＝12，OP ―→·BP ―→＝－|MP ―→|·|BP ―→|≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MP ―→|＋|BP ―→|22＝－116， 当且仅当|MP ―→|＝|BP ―→|＝14时取等号，即OP ―→·BP ―→的最小值是－116.答案：－11613、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为________、解析：由题意，α，β是方程3cos x －sin x ＋2＝0的两根、 设f (x )＝3cos x －sin x ＋2， 则f ′(x )＝－3sin x －cos x . 令f ′(x )＝0，得tan x 0＝－33， 所以α＋β＝2x 0，所以tan(α＋β)＝－ 3. 答案：－ 314、已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为________、解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x －2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x－2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0， 即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334，又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合、 所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋3338。

14个填空题综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________． 解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：5 2．复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________． 解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________． 解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n ＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P ＝1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143. 答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________． 解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．解析：法一：由题意知，当A 在原点时，PQ 最小，此时，sin ∠PAC＝23，cos ∠PAC ＝73，cos ∠PAQ ＝59， 故cos ∠PCQ ＝－59，∴PQ ＝PC 2＋QC 2－2×PC ×QC ×cos ∠PCQ ＝2＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－59＝2143， 当A 点离原点无限远时，PQ 接近于22，∴PQ 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2143，22.法二：设CA ＝x ，x ∈[3，＋∞)，则PA ＝x 2－2，sin ∠ACP ＝PACA ＝x 2－2x ＝1－2x2， 所以PQ ＝2CP ·sin ∠ACP ＝22·1－2x2.因为x ∈[3，＋∞)，所以y ＝1－2x 2在[3，＋∞)上为增函数，所以2143≤PQ <2 2. 答案：⎣⎡⎭⎫2143，2210．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，x ≤0，ax －ln x ，x >0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．解析：易知函数f (x )在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax －ln x ＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a ＝ln x x 在(0，＋∞)上恰有一解. 令g (x )＝ln xx ，由g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，g (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝e 处取得极大值也为最大值，作出y ＝g (x )与y ＝a 的图象(图略)，知当正实数a ＝g (x )max 时两函数有一个交点，所以a ＝g (e)＝1e.答案：1e11．设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________． 解析：y ′＝12x 2＋3x(x >0)，令g (x )＝12x 2＋3x ，则g ′(x )＝24x －3x2，令g ′(x )＝0，得x ＝12，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )>0，所以当x ＝12时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫12＝9，故y ′＝12x 2＋3x 的最小值为9，即直线l 的斜率的最小值为9.答案：912．扇形AOB 中，弦AB ＝1，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ―→·BP―→的最小值是________．解析：设弦AB 的中点为M ，则OP ―→·BP ―→＝(OM ―→＋MP ―→)·BP ―→＝MP ―→·BP ―→， 若MP ―→，BP ―→同向，则OP ―→·BP ―→>0； 若MP ―→，BP ―→反向，则OP ―→·BP ―→<0，故OP ―→·BP ―→的最小值在MP ―→，BP ―→反向时取得，此时|MP ―→|＋|BP ―→|＝12，OP ―→·BP ―→＝－|MP ―→|·|BP ―→|≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MP ―→|＋|BP ―→|22＝－116， 当且仅当|MP ―→|＝|BP ―→|＝14时取等号，即OP ―→·BP ―→的最小值是－116.答案：－11613．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为________．解析：由题意，α，β是方程3cos x －sin x ＋2＝0的两根．设f (x )＝3cos x －sin x ＋2， 则f ′(x )＝－3sin x －cos x .令f ′(x )＝0，得tan x 0＝－33， 所以α＋β＝2x 0，所以tan(α＋β)＝－ 3. 答案：－ 314．已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x－2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334， 又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋3338。

14个填空题专项强化练(十) 空间几何体A 组——题型分类练题型一 平面及其基本性质1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要2．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①题型二 空间中的平行与垂直1．给出下列条件：①l ∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点．能确定直线l 在平面α外的条件的序号为________．解析：直线l 在平面α外指：l ∥α或直线l 与平面α仅有一个交点．答案：①③2.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AMMB ＝AN ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：因为AM MB ＝AN ND，所以MN ∥BD ， 又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以MN ∥平面BDC .答案：平行3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β③若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β④若m∥n，m∥α，则n∥α解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．答案：③4．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.解析：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，则α∥β.又m⊥α，所以m⊥β，故④正确．答案：①④5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC⇒BC⊥平面PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF⇒PB⊥平面AEF⇒EF ⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④题型三空间几何体的表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________．解析：S底＝6×34×42＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________． 解析：如图，在正四棱锥P -ABCD 中，AB ＝2，PA ＝3，设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO ＝12AC ＝ 2. 在直角三角形POA 中，PO ＝PA 2－AO 2＝1.所以V P -ABCD ＝13·S 四边形ABCD ·PO ＝13×4×1＝43. 答案：433．若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．解析：因为圆锥的底面半径为2，高为5，所以母线长为l ＝4＋5＝3，所以圆锥的侧面积为πrl ＝π×2×3＝6π.答案：6π4.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB 1＝BB 1＝BA ＝BC ＝2，∠B 1BC＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D ，则三棱锥A 1-B 1AD 的体积为________．解析：取AB 的中点O ，连结DO ，B 1O ，因为BB 1＝AB 1，所以OB 1⊥AB ，又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD ，由已知BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1，又O ，D 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝2，所以OD ＝12BC ＝1，所以VA 1-B 1AD ＝VD -B 1AA 1＝13×34×4×1＝33. 答案：335.如图，已知正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：连结BD 交AC 于点O ，连结PO ，则∠APC ＝2∠APO ，∵tan ∠APO ＝AO PO ，∴当PO 最小时，∠APO 最大，即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大．如图，作PE ⊥BD 于点E ，此时PB ＝13BD 1，∴三棱锥P -ABC 的高为点P 到平面ABCD 的距离PE ＝13，∴三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PE ＝13×12×13＝118. 答案：118B 组——高考提速练1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：32．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ；②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α；③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β；④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①b 和c 可能平行或异面，故①错；②可能平行或c ⊂α，故②错；③可能c ⊥β，c ∥β，c ⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．答案：④3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，其侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，则圆柱OO 1的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆柱OO 1的底面半径为R ，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，所以13πr 2·r ＝8π3，所以r ＝2.又圆锥的侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，所以π·r ·2r ＝2πR ·22，所以R ＝1，所以圆柱OO 1的体积为πR 2·22＝22π. 答案：22π4．已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b .若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．解析：由题意可得12·a 2·32·a ＝π⎝⎛⎭⎫b 22·b ，即34a 3＝14πb 3，则a 3b 3＝π3＝3π3. 答案：3π35．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有______个．解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．答案：26.如图，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C＝AC ，所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2. 答案： 27.如图，在圆锥V -O 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．解析：设O 到平面VAB 的距离为h ，由圆锥的几何性质可得VO ⊥平面OAB ，VO ⊥OA ，VO ⊥OB .在Rt △VOA 中，VA ＝VO 2＋AO 2＝2，在Rt △VOB 中，VB ＝VO 2＋BO 2＝2，在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝2，在△VAB中，S △VAB ＝12×2×62＝32.因为V V -AOB ＝13S △AOB ×VO ＝16，V V -AOB ＝13S △VAB ×h ＝16，所以h ＝33. 答案：338．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D -ABC 的体积为________．解析：在平面DAC 内作DO ⊥AC ，垂足为点O ，因为平面DAC ⊥平面BAC ，且平面DAC ∩平面BAC ＝AC ，所以DO ⊥平面BAC ，因为AB ＝4，BC ＝3，所以DO ＝125，S △ABC ＝12×3×4＝6，所以三棱锥D -ABC 的体积为V ＝13×6×125＝245.答案：2459．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③m ∥α⇒l ⊥β；④l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．解析：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β.又因为m ⊂β，所以l ⊥m ，①正确；②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交，②错误；③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β，③错误；④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α，④正确．答案：①④10．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连结PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD ⊥平面ABCD .故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：711．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．解析：设圆锥的底面半径为 r ，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：πr ·2r ＝2πr 2.圆柱的侧面积为：2πr ·r ＝2πr 2. 所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为： 2πr 2∶2πr 2＝22. 答案：22 12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水的体积除以盆口的面积；②一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸． 答案：313．已知三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，PA ⊥PB ，点P 到平面ABC 的距离为23，则三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：法一：因为△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC .设PA ＝PB ＝PC ＝a ，点P 在平面ABC 上的射影为O ，则AB ＝AC ＝BC ＝2a ，AO ＝63a .又点P 到平面ABC 的距离为23，所以PO ＝2 3.在Rt △POA 中，PO 2＋OA 2＝PA 2，即12＋23a 2＝a 2，解得a ＝6，所以三棱锥P -ABC 的体积为13×34×(62)2×23＝36. 法二：设PA ＝PB ＝PC ＝a ，因为△ABC 为等边三角形，所以△PAB≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC ，以PA ，PB ，PC 为棱作正方体，如图所示，则PA 2＋PB 2＋PC 2＝3a 2，故正方体的体对角线长为3a .又点P 到平面ABC 的距离为23×12×3a ＝23，解得a ＝6，所以三棱锥P -ABC 的体积为13×12×6×6×6＝36. 答案：3614.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝AD ＝2，M ，N 均为线段AC 上的点．若∠MBN ＝30°，则三棱锥M -PNB 的体积的最小值为________．解析：易知V M -PNB ＝V P -MNB ＝13PD ·S △MNB ＝13PD ·12MN ·h ，h 为点B 到AC 的距离，又h ＝12BD ＝2，所以V M -PNB ＝13×2×12×MN ×2＝23MN ，显然当△MNB 为等腰三角形时，MN 取得最小值，此时MN ＝22tan 15°＝42－26，从而可得(V M -PNB )min ＝23×(42－26)＝8－433. 答案：8－433。

个填空题综合仿真练(四)．已知集合＝{}，＝{}，则集合∪中的元素的个数为．解析：集合＝{}，＝{}，则∪＝{}，所以∪中元素的个数为.答案：．复数＝(其中是虚数单位)，则复数的共轭复数为．解析：＝＝＝＋，则复数的共轭复数为－.答案：－．如图是一个算法的流程图，则输出的的值为．解析：阅读流程图，当＝时，－＋≤，一直进行循环，当＝时，－＋＞，此时终止循环，输出＝.答案：．在数字中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．解析：在数字中随机选两个，基本事件总数＝，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为＝－＝.答案：．双曲线－＝的右焦点与左准线之间的距离是.解析：由已知得，双曲线的右焦点为()，左准线方程为＝－，所以右焦点与左准线之间的距离是－＝.答案：．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了人，则的值为．解析：由题意，得＝，所以＝.答案：．若实数，满足(\\(＋－≥，－－≤，≤，))则＝＋的最大值为．解析：由约束条件(\\(＋－≥，－－≤，≤，))作出可行域如图，化目标函数＝＋为＝－＋，由图可知，当直线＝－＋过点时，直线在轴上的截距最大，联立(\\(＝，－－＝，))解得(，)，故＝.答案：．底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积为．解析：取点为底面的中心，则⊥平面，取的中点，连结，，则＝＝，在△中，＝＝，在△中，＝＝，从而该正四棱锥的体积＝四边形·＝×××＝.答案：．在平面直角坐标系中，已知圆：＋(－)＝，点是轴上的一个动点，，分别切圆于，两点，则线段长的取值范围为．解析：法一：由题意知，当在原点时，最小，此时，∠＝，∠＝，∠＝，故∠＝－，∴＝＝＝，当点离原点无限远时，接近于，∴的取值范围为.法二：设＝，∈[，＋∞)，则＝，∠＝＝＝，所以＝·∠＝·.因为∈[，＋∞)，所以＝在[，＋∞)上为增函数，所以≤<.答案：．若函数()＝(\\(＋，≤，－，>，))在其定义域上恰有两个零点，则正实数的值为．解析：易知函数()在(－∞，]上有一个零点，所以由题意得方程－＝在(，＋∞)上恰有一解，即＝)在(，＋∞)上恰有一解. 令()＝)，由′()＝)＝，得＝，当∈(，)时，()单调递增，当∈(，＋∞)时，()单调递减，所以()在＝处取得极大值也为最大值，作出＝()与＝的图象(图略)，知当正实数＝()时两函数有一个交点，所以＝()＝.答案：．设直线是曲线＝＋的切线，则直线的斜率的最小值为．解析：′＝＋(>)，令()＝＋，则′()＝－，令′()＝，得＝，故当∈时，′()<，当∈时，′()>，所以当＝时，()取得最小值＝，故′＝＋的最小值为，即直线的斜率的最小值为.。

14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________.解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，所以A ∪B ＝{1,3,4}，因为全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{2}．答案：{2}2．已知复数z ＝1－i 2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________． 解析：z ＝1－i 2i ＝i (1－i )2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12. 答案：－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8. 答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．设x ∈R ，则p ：“log 2x <1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析：由log 2x <1，得0<x <2，由x 2－x －2<0可得－1<x <2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q－5(1＋q )＝0， 化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31. 答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________． 解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：163 10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0，所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6， 由正弦定理得AC sin 2π3＝AO sin π6，故AC ＝23， 又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12. 答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则a b ＋c的最大值为__________． 解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.答案：2－1214．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1的图象为C .如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：因为任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，所以f ′(x )≤1在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．因为f ′(x )＝a －3ax 2，所以3ax 2－a ＋1≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．设g (t )＝3at －a ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫14≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧34a －a ＋1≥0，3a －a ＋1≥0，解得－12≤a ≤4.答案：⎣⎡⎦⎤－12，4。

14个填空题专项强化练(十三) 双曲线和抛物线A 组——题型分类练 题型一 双曲线1、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 26＝1的离心率为________、解析：由已知得，a ＝3，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝3，所以e ＝ca ＝3、答案： 32、已知双曲线x 2a 2－y 220＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的焦距为________、解析：由题意得，25a ＝2，所以a ＝5，所以c ＝5＋20＝5，所以该双曲线的焦距为10、答案：103、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为2、若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________、解析：由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8、故双曲线的方程为x 28－y 28＝1、答案：x 28－y 28＝14、已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________、解析：由题意得E (a,0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，显然△ABE 是等腰三角形，故当△ABE 是锐角三角形时，∠AEB ＜90°，从而b 2a ＜a ＋c ，化简得c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2、答案：(1,2)5、若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则PF ＋PA 的最小值是________、解析：由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知，PF ＋PA ＝4＋PB ＋PA ≥4＋AB ＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号、答案：96、F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点、若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________、解析：如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7、答案：7 题型二 抛物线1、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________、解析：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，设PA ⊥l ，A 为垂足，所以PF ＝PA ＝x P －(－1)＝3， 所以点P 的横坐标是2、 答案：22、若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________、解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y 、答案：x 2＝12y3、一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________、解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°、直线OA 的方程y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6、即得A 的坐标为(6,23)，所以AB ＝43、故正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123、 答案：12 34、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足、若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________、解析：∵抛物线方程为y 2＝6x ，∴焦点F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线l 的方程为x ＝－32、 ∵直线AF 的斜率为－3，∴直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32， 当x ＝－32时，y ＝33，由此可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，33、 ∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫92，33， ∴PF ＝PA ＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6、 答案：65、已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ―→＝4FQ ―→，则QF ＝________、解析：如图，过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ―→＝4FQ ―→，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3、答案：36、如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若AF ＋BF ＝6，则点D 的横坐标为________、解析：由题意知，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，如图，设AB 的中点为H ，A ，B ，H 在准线上的射影分别为A ′，B ′，H ′，连结AA ′，BB ′，HH ′，则HH ′＝12(AA ′＋BB ′)、由抛物线的定义可得，AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，又AF ＋BF ＝6，所以AA ′＋BB ′＝6，HH ′＝12×6＝3，故点H 的横坐标为2、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入抛物线的方程，可得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2＞0，解得k ＜13且k ≠0，又x 1＋x 2＝4－6k k 2＝4，所以k ＝－2或k ＝12(舍去)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋3，AB 的中点为H (2，－1)，AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，故点D 的横坐标为4、 答案：4B 组——高考提速练1、若抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点，则实数a 的值为________、解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点为(a 2＋3，0)，由题意得，a 2＋3＝2，解得a ＝1、答案：12、若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________、解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m1＝3，解得m ＝2、答案：23、已知直线2x －3y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________、解析：由题意得，b a ＝23，可设a ＝3k ，b ＝2k ，则c ＝a 2＋b 2＝7k ，所以离心率e＝c a ＝213、答案：2134、抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得的弦长为2，则p ＝________、 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋1＝(2)2，解得p ＝2、 答案：25、已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 、若M 为FN 的中点，则FN ＝________、解析：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6、答案：66、已知双曲线C ：x 23－y 2＝1与直线l ：x ＋ky ＋4＝0，若直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的右焦点到直线l 的距离是________、解析：由题意得，双曲线C ：x 23－y 2＝1的右焦点F (2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x ，又直线l ：x ＋ky ＋4＝0与双曲线C 的一条渐近线平行，所以k ＝±3，所以直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0，所以双曲线C 的右焦点到直线l 的距离d ＝|2＋4|2＝3、答案：37、如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________、解析：连结AF1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝F 1F 2AF 2－AF 1＝2c3c －c＝3＋1、答案：3＋18、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为______________、解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52、①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9、②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1、答案：x 24－y 25＝19、对于给定的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，称圆心是双曲线的焦点且与双曲线只有一个公共点的圆是双曲线C 的“焦点圆”、若双曲线C 的一个焦点为F 1(5,0)，且经过点⎝⎛⎭⎫13，83，则圆心为F 1的“焦点圆”的方程是________、 解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，13a 2－649b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，故双曲线的方程为x 29－y 216＝1，右顶点为(3,0)，根据新定义可知，所求圆的半径r ＝2，从而所求“焦点圆”的方程为(x －5)2＋y 2＝4、答案：(x －5)2＋y 2＝410、已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若PF 1＋PF 2＝12，则抛物线的准线方程为________、解析：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合， 联立抛物线与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，而由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝12，PF 1－PF 2＝2a⇒PF 2＝6－a ，∴PF 2＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2、 答案：x ＝－211、已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则AB ＋DE 的最小值为________、解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0、 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2、同理得|DE |＝4＋4k 2， ∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16， 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16、 答案：1612、已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________、解析：设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m ，且与x 轴的交点为M (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，∵OA ―→·OB ―→＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2、又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2、 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)、 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12·OM ·|y 1|＋12·OM ·|y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12OF ·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3， 当且仅当y 1＝43时，等号成立、答案：313、如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为________、解析：由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连结QF 2，由对称性可知，QF 2＝QF 1＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形、过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为PF 2＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，PH ＝3c ，HF 2＝c ，则P (2c ，3c )，连结PF 1，则PF 1＝23c 、由双曲线的定义知，2a ＝PF 1－PF 2＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为ca ＝13－1＝3＋12、答案：3＋1214、已知直线l ：y ＝2x ＋3a 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________、解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3a ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y ，得(b 2－4a 2)x 2－12a 3x－9a 4－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝12a 3b 2－4a 2，x 1x 2＝－9a 4＋a 2b 2b 2－4a 2，∵直线AB 与双曲线的左支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1＋x 2＝12a3b 2－4a 2＜0，x 1x 2＝－9a 4＋a 2b2b 2－4a 2＞0，得b 2＜4a 2，即c 2－a 2＜4a 2，∴c 2＜5a 2，∴e 2＜5，故1＜e ＜5、法二：由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，直线l ：y ＝2x ＋3a 过点⎝⎛⎭⎫－32a ，0，且与双曲线的左支交于A ，B 两点，则直线l 要比渐近线更陡，即2＞ba ，b ＜2a ，即b 2＜4a 2，c 2－a 2＜4a 2，∴c 2＜5a 2，∴e 2＜5，故1＜e ＜5、答案：(1，5)。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第43练 不等式的解法练习 理1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是______________．3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．(2016·南京模拟)不等式2x 2－3|x |－2＜0的解集为____________． 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜14，则ab ＝________. 6．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________________________．7．(2017·南宁月考)已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈[1,3]，使得关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________．9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x)＞0的解集为________________．10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f [f (x )]≤3的解集为________．11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．12．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m )－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．13．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是__________． 14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案精析1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.{a |0≤a ≤4} 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．28解析 由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－2＋14，－2a ＝－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.6．(－∞，－32)∪(12，＋∞)解析 由题意知f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a ＜0， 由f (－2x )＜0，得－2x ＞3或－2x ＜－1， ∴x ＜－32或x ＞12.7．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可， 联立方程解得x ＜1或x ＞3.8．(－∞，－1)∪(23，＋∞)解析 当a ∈[1,3]时，a (x 2＋x )－2x －2＞0成立． ①若x 2＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意；②若⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＞0，3x 2＋3x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，解得x ＞23或x ＜－1；③若⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＜0，x 2＋x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，无解，综上所述，x ＞23或x ＜－1.9．{x |x ＜－lg 2}解析 由已知条件得0＜10x＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2.10．(－∞，3]解析 f (x )的图象如图．结合图象，由f [f (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式f [f (x )]≤3的解集为(－∞，3]．11．{10}解析 由2ax＞0，x ＞0，得a ＞0，由不等式(ax －20)lg 2ax≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20a ，x ≥2a或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a＝2a ，a ＝10.12．{m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 13．{m |－13＜m ≤73}解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|＞2×(－1)＋3， 即|3m ＋2|＞1，解得m ＜－1或m ＞－13.①由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3， 即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.②故由①②得实数m 的取值范围是 {m |－13＜m ≤73}．14．[－1,2] 解析 设y ＝2x －1，则y ′＝－2x －2＜0，故y ＝2x －1在[2,6]上单调递减， 即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．。