下载文档原格式
1.1.2集合间的基本关系一、子集一子集：对于两个集合A、B;如果集合A中任意一个元素．．．．．．都是集合B中的元素;我们就说这两个集合有包含关系;称集合A为集合B的子集;记作A⊆B或B⊇A;读作“A含于B”或“B包含A”数学语言表示形式为：若对任意的x∈A有x∈B;则A⊆B子集关系用文氏图表示为：A⊆B或B⊇A根据子集的定义;我们可以知道A⊆A;也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集φ;我们规定φA．;．即空集是任何集合的子集．．．．．．．．．．..例1：用适当的符号填空0____{0}φ____{0}2____{2}2____N{2}____N变式练习1：已知A＝{x｜x2－3x＋2＝0};B＝{1;2};C＝{x｜x＜8;x∈N};用适当的符号填空A___________BA___________C{2}__________C2_________C例2：写出集合{,,,}a b c d的所有子集..解析集合{,,,}a b c d的所有子集可以分为五类;即：1含有0个元素的子集;即空集φ；2含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d；3含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d；4含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d；5含有四个元素的子集：{,,,}a b c d.结论：如果集合A中有n个元素;则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合A＝{x∈N＋︱－1≤x＜4};则集合A的子集有_________个..解析：8个二、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集A ⊆B;且集合B是集合A 的子集B ⊆A;则集合A 与集合B 相等;记作集合A ＝集合B..即：A ⊆B 且B ⊆A 则A ＝B.. 上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同例3：已知集合A 和集合B 都是含三个元素的集合;且集合A ＝{a;a ＋b;a ＋2b};B ＝{a;ac;ac 2};若A ⊆B 且B ⊆A;求c 的值..解析1若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a 消去b 得：ac 2＋a －2ac ＝0; a ＝0时;集合B 中的三元素均为零;和元素的互异性相矛盾;故a ≠0．∴c 2－2c ＋1＝0;即c ＝1;但c ＝1时;B 中的三元素又相同;此时无解．2若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22消去b 得：2ac 2－ac －a ＝0;∵a ≠0;∴2c 2－c －1＝0;即c －12c ＋1＝0;又c ≠1;故c ＝－21.. 变式练习：已知集合A 和集合B 都含有三个元素;A ＝{x;xy;x －y};B ＝{0;｜x ｜;y};若A ⊆B 且B ⊆A;求2x ＋y 的值..解析：∴由集合的互异性;∴x －y ＝0;则x ＝y;此时A ＝{x;x 2;0};B ＝{0;｜x ｜;x};则x 2＝｜x ｜且x ≠x 2;故x ＝y ＝－1;此时A ＝{－1;1;0};B ＝{0;1;－1};符合题意;综上所述;2x ＋y ＝－3..三、真子集：如果集合A ⊆B;但存在元素x ∈B;且x ∉A;我们称集合A 是集合B 的真子集..记：A B 或B AA 真含于BB 真包含A注意：即如果A ⊆B 且A ≠B;那么集合A 是集合B 的真子集;记作A B 或B A..例如{1;2}N 、{a;b}{a;b;c}等..子集与真子集的区别在于“．A ．⊆B ．”允许．．．A ．＝．B ．或．A ．B ．;．而．A ．B ．是不允许“．．．．．A ．＝．B ．”的．．;．所以如果．．．．A ．B ．成立．．;．则一定有．．．．A ．⊆B ．成立；．．．但如果有．．．．A ．⊆B ．成立．．;．A ．B ．不一定成立．．．．．..．．空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集..例4：分别写出集合{a};{a;b}和{a;b;c}的所有子集和真子集..集合{a}的子集有φ;{a};共有2个子集；()A B真子集有{a};共1个真子集..集合{a;b}的子集有φ;{a};{b};{a;b};共有4个子集；真子集有φ;{a};{b};共3个真子集..集合{a;b;c}的子集有：φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};共有8个即个子集；真子集有φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};共7个真子集.. 结论．．：．如果集合．．．．A ．中有．．n ．个．元素．．;．则集合．．．A ．共有．．2．n ．个子集．．．；．2．n ．－．1．个真子集．．．．..．．例5：有适当的符号填空..1A ＝{2;3;6}B ＝{x ︱x 是12的约数}A_____B2A ＝{0;1}B ＝{x ︱x 2＋y 2＝1;y ∈N}A_____B3A ＝{x ︱－1＜x ＜2}B ＝{x ︱－2＜x ＜2}A_____B4A ＝{x;y ︱x ×y ＜0}B ＝{x;y ︱x ＞0;y ＞0}A_____B5A ＝{x ︱x 2＝1}B ＝{y ︱y 2－2y ＋4＝0}A_____B解析：12345变式练习1：已知集合A ＝{0;1};B ＝{z ︱z ＝x ＋y;x ∈A;y ∈B};则B 的子集有 A ：8个B ：2个C ：4个D ：7个解析：集合B 中有3个元素;子集有8个..A变式练习2：已知集合A ＝{x ∈Z ︱031≤-+x x };B ＝{y ︱y ＝x 2＋1;x ∈A};则集合B 的含有元素1的子集个数为A ：5B ：4C ：3D ：2解析：A ＝{x ∈Z ︱－1≤x ＜3}＝{－1;0;1;2};则B ＝{1;2;5};则集合B 的含有元素1的子集有{1};{1;2};{1;5};{1;2;5}共四个;B变式练习3：已知A ＝{x ︱x ＝a ＋61;a ∈Z};B ＝{x ︱x ＝2b －31;b ∈Z};C ＝{x ︱x ＝2c ＋61;c ∈Z};则集合A 、B 、C 满足的关系是 A ：A ＝B CB ：A B ＝CC ：A B CD ：B C A解析：A ＝{6x ︱6x ＝6a ＋1;a ∈Z};B ＝{6x ︱x ＝3a －2＝3a －1＋1;b ∈Z};C ＝{6x ︱x ＝c 3＋1;c ∈Z}..则A B ＝CB变式练习4：已知A ＝{x ︱y ＝122+-x x };B ＝{y ︱y ＝122+-x x };C ＝{x ︱122+-x x ＝0};D ＝{x ︱122+-x x ＜0};E ＝{x;y ︱y ＝122+-x x };则下列结论正确的是A ：A ⊆B ⊆C ⊆DB ：D C B AC ：B ＝ED ：A ＝B解析：B变式练习5：若集合A 满足{1;2}⊆A ⊆{1;2;3;4};则满足条件的集合A 的个数为_____个..解析：4个二、子集的有关性质1、空集φ：我们把不含有任何元素的集合叫做空集;记为φ;并规定：空集是任何集合的子集;任何非空集合的真子集;即空集．．φ只有一个子集就是它本身．．．．．．．．．．．;．而空．．集没有真子集．．．．．．.. 2、子集与真子集的性质1任何集合是它本身的子集;即A ⊆A ；2对于集合A 、B 、C;如果A ⊆B 且B ⊆C;那么A ⊆C ；3对于集合A 、B 、C;如果A B;且B C;那么A C ；4空集φ是任何集合的子集;是任何非空集合的真子集..例5：下列集合只有一个子集．．．．．．的是 A ：{x ｜x 2≤0}B ：{x ｜x 3≤0}C ：{x ｜x 2＜0}D ：{x ｜x 3＞0}解析：C例6：下列表述正确的是A ：φ＝{0}B ：φ⊆{0}C ：φ⊇{0}D ：φ∈{0}解析：B例7：设A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3};B ＝{x ∈R ｜x 2＋1＝0}问m 为何值时能使得A ＝B..解析1显然B ＝φ;欲使A ＝B;必须且只需A ＝φ即可..由于2m －1≥m ＋3可得m ≥4;此时A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3}＝φ.综上可知;当m ≥4时;A ＝B例8：已知集合A ＝{x ｜x 2＋x －2＝0};B ＝{x ｜x －a ＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析易求A ＝{－2;1};B ＝{1}或{－2}当B ＝{1};a ＝1；B ＝{－2};a ＝－2综上：a ＝1或a ＝－2变式练习1：已知集合A ＝{x ｜x 2－8x ＋15＝0};B ＝{x ｜a x －1＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析：0或31或51例9：设集合A ＝{x ｜)4)(1(-+x x ≤0};B ＝{x ｜x ≤a };若A ⊆B ;则a 的取值范围是__________..解析：a ≥4变式练习1：已知集合A ＝{x ｜－3≤x ≤5};若集合B ＝{x ｜－2m －1≤x ≤m ＋1};若A ⊆B ;则求m 的取值范围..解析－2m －1≤－3＜5≤m ＋1;即⎩⎨⎧-≤--≥+31251m m m ≥4 变式练习2：集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5};B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1};若B ⊆A;则求m 的取值范围..解析：1若B ＝φ;即m ＋1＞2m －1时;即m ＜2；2若B ≠φ;则m 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m 解之得2≤m ≤3;综上所述;m ≤3变式练习2：已知函数fx ＝b ax x ++2a 、b ∈R;且集合A ＝{x ｜x ＝fx};B ＝{x ｜x ＝ffx};1求证：A ⊆B ；2当A ＝{－1;3}时;用列举法表示B..解析：1任取x ∈A;则有x ＝fx;则ffx ＝fx ＝x;故x ∈B;故A ⊆B ；2∵A ＝{－1;3};故⎩⎨⎧++=+-=-b a b a 39311得⎩⎨⎧-=-=31b a ;故fx ＝32--x x ; ∴ffx ＝3)3()3(222------x x x x ;故3)3()3(222------x x x x ＝x0)3(222=---x x x ;∴x ＝3;x ＝－1;x ＝3±;故B ＝{－1;3;3;3-}课后综合练习1、下列关系中正确的个数为 ①0∈{0};②φ{0};③{0;1}⊆{0;1};④{a ;b }＝{b ;a }A ：1B ：2C ：3D ：4解析：B2、下列图形中;表示M ⊆N 的是解析：C 3、设a 、b ∈R;集合{1;a ＋b ;a }＝{0;a b ;b };则b －a ＝ A ：1B ：－1C ：2D ：－2解析：C4、设集合A ＝{x ︱x ＝k 21＋41;k ∈Z};若x ＝29;则下列关系正确的是 A ：x ∉AB ：x ∈AC ．{x}∈AD ．{x}∉A解析：A5、用适当的符号填空：1φ______{x ｜x 2－1＝0}；2{1;2;3}________N ；3{1}_________{x ｜x 2－x ＝0}；40________{x ｜x 2－2x ＝0}解析：∈6、已知集合A ＝{x ｜1≤x ＜4};B ＝{x ｜x ＜a };若A B;求实数a 的取值范围________..解析：a ≥47、已知A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0};B ＝{x ｜a x －2＝0}且B ⊆A;则实数a 组成的集合C 是________..解析：{0;2;1}8、写出集合A ＝{x ｜0≤x ＜3;x ∈N ＋}的真子集..解析：3个9、已知M ＝{x ｜－2≤x ≤5};N ＝{x ｜a ＋1≤x ≤2a －1}..1若M ⊆N;求实数a 的取值范围..2若M ⊇N;求实数a 的取值范围..解析：1φ2a ≤310、若集合A ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋2};B ＝{x ｜x ≤1};若A ⊆B;则a 的取值范围为_____..解析：a ≤－111、已知集合A ＝{x ｜24x y -=};B ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋1};B ⊆A;则a 的取值范围为_____..解析：－1≤a ≤2MN AM N B N M C M N D12、已知集合A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23};B ＝{x ｜1－m ≤x ≤m ＋1};若B ⊆A;则m 的取值范围为_____..解析：A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23}＝0;4m ≤1。
1.1.2集合的基本关系
一、教材
1、教材的地位和作用
本节主要学习内容是集合之间包含与相等的含义，子集、真子集的定义，
以及识别给定集合的子集。
本节课是在学生学习了集合的含义与表示的基础上
来进行的，为以后集合的基本运算做知识准备。
因此本节课在知识结构上起了
承上启下的作用。
2、教学目标
根据《课程标准》的要求以及结合学生的心理特点，我确定了以下目标：（1）知识与技能：理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集、空集的定义，能够识别给定集合的子集。
同时培养学生类比、分析、归纳的能力，能使用Venn图表达集合的关系。
（2）过程与方法: 通过类比元素与集合的从属关系，实数相等与不相等的关系，探究集合之间的包含与相等关系；初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识探索和发现的过程中，激发学生学习数学的兴趣。
3、教学重点、难点及确定依据
根据《课程标准》的规定、上述教材的分析和学生已有知识的储备，本课的重点、难点如下：
重点：集合之间包含与相等的含义，子集、真子集的概念，以及识别给定集合的子集.
难点：识别给定集合的子集,子集和真子集之间的区别和联系。
二、学情
学习的对象是高一学生，他们已具备一定的数学基础，对集合已经有了初
步的认识，逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展。
高中生好奇心强，渴望明
白原理、知道方法，同时他们也希望得到平等的交流研讨，厌烦空洞的说教。
三、教法学法
1、教法
根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突
破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的
指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。
教
学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，
诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法
新课程标准要求教师转换角色，不仅关注教授学生的具体知识，更应关注
教授学生学习的策略。
在教学活动中要以学生为主体，充分发挥学生的在学习活动中的作用。
因此本节课学生学习的主要方式是：自主探究法，观察发现法、归纳总结法。
让学生在老师的引导下进行“观察—归纳—检验—应用”的学习
过程，启发学生学习思维，最终掌握知识。
四、教学过程
从“以生为本”的教学理念出发，考虑到高一年级学生的心理认知特点。
我将本节课设计为五个环节。
我会本着环环相扣、逐层深入的原则循序渐进的
展开。
1、导入（3-5分钟）：
采用类比思想，元素与集合间有“属于”或“不属于”的关系，实数间有“相等”或“不相等”的关系，引导学生发现问题：集合与集合间有什么样的
关系呢？学生观察例子，探究集合A与集合B之间的关系：
A={x|x我们班的女同学}，B={x|x我们班的全体同学}
设计意图：复习旧知，引出新知，通过生活实例，激发学生学习的兴趣和
欲望。
2、讲解（20-25分钟）：
（1）集合的包含关系和子集讲解
通过讨论得出上述集合A与集合B有包含关系，那么你可以概括包含关系
和子集的定义吗？
教师提醒学生从集合元素的角度出发，根据集合元素的特征来进行归纳概括。
包含关系和子集的定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说着两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）。
为了直观的表示集合间的包含关系，我将向学生介绍Venn图，并教授学生用Venn图来表示集合间的包含关系，培养学生数形结合的思想。
这里学习了许多新的符号，对初学者来说容易混淆，是一个易错点，因此我在这里设置了一个填空小练习：
0_____{0}，5 ______{1，2,3,5}，{三角形}_____{等边三角形}
{梯形}______{平行四边形}， {x|-1<x<5}_______{x|2<x<4}
使学生区别包含关系与属于关系，并引导学生类比实数间的“≤”“≥”符号来记忆“⊆”和“⊇”符号。
（2）集合相等与真子集讲解
教师设置问题情境：如果集合A是集合B的子集，那么对于任意的x∈A。
有x∈B;那么对于集合B中任意一个元素，它与集合A之间又可能是什么关系呢？
多媒体展示具体实例：
① A={x|x是两条边相等的三角形 }，B={{x|x是等腰三角形 }
② A＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}
让学生观察具体实例，思考集合A、B间之间的关系，并归纳概括出相等和真子集的定义。
相等：如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B 相等。
记作A=B。
真子集:如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合
B的真子集，记作
A⊊B（或B⊋A）
为了让学生区别子集和真子集的定义，教师总结子集和真子集，通过比较，得出它们之间的区别和联系，进行难点突破。
任何元素的集合叫做空集；并引导学生得出空集的性质：空集是任何集合的子集，在请同学们列举一些空集的例子。
通过上面集合基本关系的学习，教师引导学生得出以下结论：
①任何集合是它本身的子集，即A⊆A
②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。
学生思考课本例3，教师随机挑选学生起来作答，对回答正确的学生及时表扬，对回答不正确提示引导得出正确答案。
设计意图：通过设置问题情境，引起学生的注意，激起学生学习的兴趣，通过例题讲解，加深学生对集合子集、真子集的理解。
3、巩固练习（5-10分钟）
根据夸美纽斯的教学巩固性原则，为了培养学生独立解决问题的能力，分组随机挑选学生上台解答练习题1,2，其余学生在草稿本上完成练习。
检查学生学习情况，对于学生不清楚的问题再次强调补充一下。
设计意图：通过练习，让学生灵活的使用集合中的各种符号，加深学生对新知的理解和运用。
4、归纳总结（2-3分钟）
本节课我们主要学习了集合之间包含与相等的含义，子集、真子集定义，识别给定集合的子集,以及用Venn图表示集合间的关系。
同时培养了学生独立思考，观察归纳的能力。
设计意图：帮助学生对所学知识进行系统整理，使新知有效地纳入学生原有的认知结构，突出本节课的重点。
5、布置作业（1-2分钟）
必做题：
为了复习和巩固今天所学知识，请同学们习题（1）、(2)、（3）。
选做题：
为了强化认知，请同学做习题(4)。
（1）已知A＝{x| 2x-3＜3x}，B＝{x| x≥2}，则有：
-4______B-3______A
{2}______B B________A
(2)已知A＝{x| x＜3}，B＝{x| x＜a}
①若B⊆A ，求a的取值范围。
②若A⊊B，求a的取值范围。
（3）设A={x，x2，xy}，B={1，x，y}，且A=B，求实数x，y的值。
(4)已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤m＋3}且A⊆B，求实数m 的取值范围。
设计意图：面向全体学生，注意个体差异，加强作业的针对性，对学生进行分层训练，使不同的学生各得其所。
五、板书设计
例题：
A={x|x我们班的女同学}，B={x|x我们班的
全体同学}
一、包含关系：
A⊆B（或B⊇A）；A是B的子集
二、相等与真子集：
相等：两个集合A与B，若 A⊆B，且
B⊆A，则A=B。
板书设计是为了体现教学意图，突出教学重点：显示教学思路，有助于集中学生的注意力，直观加深学生印象。
以上是我的说课内容，谢谢各位评委！。
