1.1.2集合之间的基本关系讲义

课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念⊆若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A B （或A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五） 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

第二讲 集合之间的基本关系【知识点】1.子集.对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。

记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B2.维恩图.用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图3.集合相等.集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即A =B4.真子集.如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．表示记作BA (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）． 5.空集.我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集.【知识点透析】1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

【例题精讲】1.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1) {},,,a b c d {},a b ；(2) ∅ {}1,2,3；(3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|06x x <． 2. 写出集合｛a ，b ｝的所有子集，3. 说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．（2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． AB（3）N ，N*．4.求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．5.判断集合A 与B 是否相等？(1) A ={0}，B = ∅；(2) A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A ={x| x =2m-1 ,m ∈Z }，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z }．4.下列各式中，正确的是（ ）Ａ．}4|{32≤⊆x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{⊂≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x5.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________．6.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．7.选用适当的符号“”或“”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}；(2){2}_ _ {x | |x |=2}； (3){1} _∅．8.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集9.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成 的集合Ｍ．10.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．11.下列四个集合中，表示空集的是（ ）A.｛０｝B.},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=C.},,5|||{N x Z x x x ∉∈=D.},0232|{2N x x x x ∈=-+12．已知集合，，那么（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 13．设，，若，则实数的取值范围是（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）【课堂练习】（一）集合与集合关系的理解 1.已知集合X 满足{}{}X X 求所有满足条件的集合,5,4,3,2,12,1⊆⊆.2.已知集合,,312,,61⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x Z z m m x x M ,612{+==p x x P }Z p ∈，则M,N,P 满足的关系是:3.已知集合{}{},,3,2,1A x x B A ⊆==求集合B.（二）空集的理解4.下列集合中：(1){0};(2{}{};)4(;)3(;,0,12φφR n x n x x ∈<+=(){}0,0)5(,是空集的为：（ ）（三）由集合之间的基本关系球参数5.若{}02=-a x x {}31<<-x x ，则a 的取值范围是（ ）6.已知集合{},01=-=ax x A 集合{},0322=--=x x x B 若A B ，求a 的值.（四）证明两集合相等.7.集合{},,12Z n n x x X ∈-=={},,14Z k k y y Y ∈±==试证明：X=Y.（五）集合与函数的综合8.设集合{}{}R x R a a x a x x B R x x x x A ∈∈=-+++=∈=+=,,01)1(2,,04222，若,A B ⊆求实数a的取值范围.9.若集合{}{}01,062=+==-+=mx x B x x x A ，且BA ，求m 的值.（六）提升拓展10.若不等式1<x 成立时，不等式[][]0)4()1(<+-+-a x a x 也成立，求a 的取值范围.【教学反思】。

1.1.2 集合间的基本关系一、子集（一）子集：对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素．．．．．．都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）数学语言表示形式为：若对任意的x ∈A 有x ∈B ，则A ⊆B子集关系用文氏图表示为：A ⊆B （或B ⊇A ） 根据子集的定义，我们可以知道A ⊆A ，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集φ，我们规定φA ．，．即空集是任何集合的子集．．．．．．．．．．。

例1：用适当的符号填空0____{0} φ____{0} 2____{2} 2____N {2}____N变式练习1：已知A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0 }，B ＝{1，2}，C ＝{ x ｜x ＜8，x ∈N }，用适当的符号填空A___________B A___________C {2}__________C 2_________C例2：写出集合{,,,}a b c d 的所有子集。

【解析】集合{,,,}a b c d 的所有子集可以分为五类，即：（1）含有0个元素的子集，即空集φ；（2）含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d ；（3）含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d ；（4）含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d ；（5）含有四个元素的子集：{,,,}a b c d . 结论：如果集合A 中有n 个元素，则集合A 共有2n 个子集变式练习1：已知集合A ＝{x ∈N ＋︱－1≤x ＜4}，则集合A 的子集有_________个。

【解析】：8个（二）、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（B ⊆A ），则集合A 与集合B 相等，记作集合A ＝集合B 。

新教材必修第一册1.2：集合间的基本关系课标解读：1.子集的含义.（理解）2.真子集的含义.（理解）3.集合相等的含义.（理解）4.空集的含义.（理解）5.Veen图.（了解）学习指导：1.准确理解子集的概念，把握子集与真子集之间的关系.2.注意灵活运用集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）分析解决有关问题.3.谨防掉进“空集”陷阱.4.本节难点是对相似概念及符号的理解，例如：区别元素与集合，属于与包含等概念及其符号表示.知识导图：教材全解知识点1：Veen图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Veen图.例1-1：用Veen图表示集合之间的关系：}xxB=，是平行四边形xA=x|{|}{是菱形，xxD=是矩形xC=x}|}.，{|{是正方形答案：知识点2：子集例2-2：给出下列说法：①任意集合必有子集；②若集合BA⊆，则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，集合C是集合D的子集，则集合A是集合D的子集；④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则集合B是集合A的子集，其中正确的是（）A. ②③B.①③④C.①③D.①②④ 答案：B例2-3：设集合}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A ，且A B ⊆，则a 的值为 . 答案：-1或2知识点3：集合的相等一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A=B.也就是说，若B A ⊆且A B ⊆，则A=B.例3-4：集合},12|{Z n n x x X ∈+==，},14|{z k k y y Y ∈±==，试证明Y X =. 答案：（1）设X x ∈0，则,1200+=n x 且.0Z n ∈①若0n 是偶数，可设Z m m n ∈=,20，则Z m m x ∈+=,140，∴Y x ∈0②若0n 是奇数，可设Z m m n ∈-=,120，则Z m m m x ∈-=+-=,141)12(20，∴Y x ∈0 ∴不论0n 是奇数还是偶数，都有Y x ∈0. ∴Y X ⊆. （2）设Y y ∈0，则.,141400000Z k k y k y ∈-=+=，或∵Z k k k y k k y ∈+-⋅=-=+⋅=+=00000001)12(21412214，，或， ,12,200Z k Z k ∈-∈ ∴X y ∈0，则X Y ⊆ 由（1）（2）得，Y X =. 知识点4：真子集例4-5：在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成自愿者队伍，参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者}，集合B={参与防疫工作的男党员}，集合C={参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是（ ） A. B A ⊆ B. C B ⊆ C.A C ⊄ D.B ⫋A 答案：D例4-6：指出下列各组集合之间的关系： （1）)};1,1(),1,1(),1,1(),1,1{(},1,1{----=-=B A （2）}6,3,2{=A ，B=}12|{的约数是x x ；（3）}|{}|{是等腰三角形，是等边三角形x x B x x A ==； （4）},12|{+∈-==N n n x x M ，},12|{+∈+==N n n x x N .答案：（1）A 与B 无包含关系；（2）A ⫋B ；（3）A ⫋B ；（4）N ⫋M .知识点5：空集 1.空集的定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2.空集的性质（1）空集是任何集合的子集；（2）空集的任何非空集合的真子集，即∅⫋A （A 为非空集合）. 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身. 辨析明理：∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系：例5-7：下面四个集合中，表示空集的是（ ）. A. {0} B.},01|{2R x x x ∈=+ C.},01|{2R x x x ∈>- D.},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+ 答案：B例5-8:若集合==+-=}02|{2m x x x A ∅，则实数m 的取值范围是（ ） A.1-<m B.1<m C.1>m D.1≥m 答案：C知识点6：有限集合的子集个数 对于集合A 的子集我们有如下结论： 集合AA的所有子集子集个数 真子集个数 非空真子集个数}{a ∅,}{a 122= 1 0 },{b a ∅,}{a ,}{b ,},{b a 224=3 2 },,{c b a∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a328=76猜想：A=},...,,{21n a a a n 2 12-n 22-n例6-9：已知集合},,01234|),{(++∈∈<-+=N y N x y x y x A ，则集合A 的子集个数为（ ）.A.3B.4C.7D.8 答案：D例6-10：已知集合M 满足}2,1{⫋M }5,4,3,2,1{⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（ ）.A.6B.7C.8D.9 答案：B知识点7：集合的图示法 1.Veen 图（1）用Veen 图表示集合间基本关系，如图所示：（2）用Veen图表示集合之间的关系：A⫋B⫋C可表示为如图：2.数轴法对于由连续实数组成的集合，通常用数轴表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合中元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.集合}3<-xx≤xx与用数轴分别表示如图：{{≥}5|1|例7-11：图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为；B为；C为；D为 .答案：{小说} {文学作品} {叙述散文} {散文}例7-12：已知集合A=}2{<≤-xx，则集合A与B的关系是 .|2{-≥x|x，集合B=}8答案：B⫋A题型与方法例13：指出下列各组集合之间的关系： （1）}.50|{},51|{<<=<<-=x x B x x A （2）}.,4|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==（3）}.,2)1(1|{},0|{2Z n x x B x x x A n∈-+===-= （4）}.0,00,0|),{(},0|),{(<<>>=>=y x y x y x B xy y x A 或 （5）}.,54|),{(},,1|{22++∈+-==∈+==N a a a x y x B N a a x x A答案：（1）B ⫋A ；（2）B ⫋A ；（3）A=B ；（4）A=B ；（5）B A ⊆；（6）A ⫋B.例14：已知集合}|{},3,2,1{A x x Y A ⊆==，则下列结论错误的是（ ） A.Y ⊆}1{ B.Y A ∈ C.∅Y ⊆ D.{∅}⫋Y 答案：A变式训练：已知集合},612|{},312|{},,61|{Z c c x x C Z b b x x B Z a a x x A ∈+==∈-==∈+==，，则A ，B ，C 满足的关系是（ ）A. A=B ⫋CB. A ⫋B=CC. A ⫋B ⫋CD.B ⫋C ⫋A 答案：B题型2：确定集合的子集、真子集例15：设}0)45)(16(|{22=++-=x x x x A ，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集.答案：集合A 的子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}、{-4、-1、4}，集合A 的真子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}.例16：已知集合A={1,3,5},则集合A 的所有非空子集的元素之和为 . 答案：36变式训练：已知集合A=}065|{},033|{22=+-∈==++∈x x R x B x x R x ，A P ⊆⫋B ，求满足条件的集合P. 答案：∅或{2}或{3}例17：已知}012|{},082|{222=-++∈==+-∈=a ax x R x B x x R x A ，若A=B ，则实数a 的取值范围为 . 答案：}44|{>-<a a a 或例18：已知集合}.121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若B ⫋A ，求实数m 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）}.3|{≤m m （2）不存在m 使得B A ⊆.变式训练：已知}|{},31|{a x x B x x A <=<<-=，若B A ⊄，则实数a 的取值范围是（ ）. A.}3|{<a a B.}3|{≤a a C.}1|{->a a D.}1|{-≥a a 答案：A例19：已知集合},|{},,12|{},1,1|{2A x x z z C A x x y y B R a a a x x A ∈==∈-==∈->≤≤-=且，是否存在实数a 使得B C ⊆？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：当1=a 时，B C ⊆易错题型易错1：混淆属于关系和包含关系例20：已知集合A={0,1}，B=}|{A x x ⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ） A.A B ⊆ B.A ⫋B C.B ⫋A D.B A ∈ 答案D易错2：忽略对参数的讨论例21：已知集合},0)1(|{},0|{22=--===x a x x F x x E 判断集合E 和F 的关系. 答案：①当1=a 时，E=F ；②当1≠a 时，E ⫋F.易错3：忽略空集例22：已知集合A={-1,1},B=A B ax x x ⊆+=若},1|{,则实数a 的所有可能取值组成的集合为（ ）.A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 答案：D易错4：利用数轴求参数范围时，忽略端点值是否能取到例23：已知集合},31|{},54|{R a a x a x B x x x A ∈+≤≤+=-<≥=或，若A B ⊆，则a 的取值范围为 .答案：}38|{≥-<a a a 或创新升级例24：已知非空集合21A A ，是集合A 的子集，若同时满足两个条件：（1）若21A a A a ∉∈，则；（2）若12A a A a ∉∈，则，则称),(21A A 是集合A 的“互斥子集”，并规定),(21A A 与),(12A A 为不同的“互斥子集组”，则集合A={1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是 . 答案：50组感知高考考向1：集合间关系判定及应用例25：已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）A.A=BB.A B ∈C.A ⫋BD.B ⫋A答案：D例26：已知集合A=},1{a ，B={1，2，3}，那么（ ）.A.若3=a ，则B A ⊆B.若B A ⊆，则3=aC.若3=a ，则B A ⊄D.若B A ⊆，则2=a 答案：C 考向2 ：子集的个数 例27:已知集合A=},023|{2R x x x x ∈=+-，B=},50|{N x x x ∈<<，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4答案:D基础巩固：1.已知下列四个命题：①；则且若C A C B B A ⊆⊆⊆,②且若B A ⊆B ⫋C ，则A ⫋C ；③若A ⫋B 且B ⊆C ，则A ⫋C ；④若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C.其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.满足M a ⊆}{⫋},,,{d c b a 的集合M 共有（ ）A.6个B. 7个C. 8个D.15个3.已知集合U=R ，则正确表示集合U ，M={-1,0,1},N=}0|{2=+x x x 之间的Veen 图是（）.4.集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则（ ）A.N M =B.N ⫋MC.M ⫋ND.M 与N 没有相同的元素5.设结合A={-1,1}，集合B=},1|{R a ax x ∈=，则使得A B ⊆的a 的所有取值构成的集合是 .6.已知7.已知集合A=}.52|{≤≤-x x（1）若}126{-≤≤-=⊆m x m B B A ，，求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得A=B ，}126{-≤≤-=m x m B ？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.综合提升：8.集合A=},,1{y x ，B=}2,,1{2y x ，若A=B ，则实数x 的取值集合为（ ） A.{21} B.{2121-，} C.{210，} D.{21210-，，}9.下列四个结合中，是空集的是（ ）A.}33|{=+x xB.},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD.},01|{2R x x x x ∈=+-10.集合},54|{2R a a a x x A ∈+-==，},344|{2R b b b y y B ∈++==，则下列关系正确的是（ ）. A. A=B B.B ⫋A C.A B ⊆ D.A B ⊄11.同时满足①}5,4,3,2,1{⊆M ，②M a M a ∈-∈6,且的非空集合M 的个数为（ ）A. 16B.15C. 7D. 612.若一个集合中含有n 个元素，则称该元素集合为“n 元集合”，已知集合}4,3,21,2{-=A ，则其“2元子集”的个数为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1013.设集合A=}023|{2=+-x x x ，集合B=},04|{2为常数a a x x x =+-，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .14.已知集合A=}40|{≤<∈x Z x ，若A M ⊆，且M 中至少有一个偶数，则这样的集合M 的个数为 .15.若规定E=},...,,{1021a a a 的子集},...,,{21ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中1112...2221---+++=ni i i k ，则：（1）},{31a a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集为 .16.已知三个集合}02|{}01|{},023|{222=+-==-+-==+-=bx x x C a ax x x B x x x A ，，同时满足B ⫋A ，C ⊆A 的实数b a ,是否存在？若存在，求出b a ,的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案1. D2. B3. B4. C5. {-1,0,1}6. }41|{≤a a7. （1）}43|{≤≤m m ；（2）不存在.8. A9. D10.B11.C12.A13.}4|{≥a a14. 1215.（1）5；（2）},,,,{87521a a a a a .16.存在2222,23,2<<-===b a b a 或满足要求.。

1．1.2集合间的基本关系1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)[基础·初探]教材整理1子集与真子集阅读教材P6～P7第一段，完成下列问题．1．子集与真子集A B(或B A)用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合的相等(1)条件：A⊆B且B⊆A；(2)表示：A＝B；(3)Venn图：.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)0⊆{x|x<5，x∈N}．()(2)设A是一个集合，则A A.()(3)若集合A中有3个元素，则集合A共有7个真子集．()【解析】(1)×.“⊆”用来表示集合与集合间的关系，所以(1)错误．(2)×.集合A是它本身的子集，但不是真子集，故(2)错误．(3)√.若集合A的元素个数为n，则其真子集的个数为2n－1，(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2空集阅读教材P7第二段和第三段，完成下列问题．1．定义：不含任何元素的集合，叫做空集．2．符号表示为：∅.3．规定：空集是任何集合的子集．下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}【解析】满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.【答案】B教材整理3子集的性质阅读教材P7“思考”以下部分，完成下列问题．子集的性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.对于集合A，B，C，若A⊆B，且B C，那么A与C的关系是________．【解析】由子集的性质可知A C.。

1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。

第一章 集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系【课程标准】1. 理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 能用符号和Venn 图表示集合间的关系；3. 掌握列举有限集的所有子集的方法，掌握规律。

【知识要点归纳】1．子集（1）定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中 所有 元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊇)，读作“ A 包含于B ”(或“ B 包含A ”)。

.A AAA B B C A C ⊆Φ⊆⊆⊆⊆（2）注 ① ② ③若，，则2.集合相等定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作 A=B3.真子集（1）定义：如果A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )．Φ≠Φ⇒（2）注①A 的子集中除A 本身外，都是A 的真子集②A （A ） ③A B ，B C A C4.空集5.venn 图4.子集与真子集个数与元素关系（举例说明）总结例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．跟踪训练：若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( ) A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T用 Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．例2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是[跟踪训练](1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．例12 已知集合A ＝{x |a <x <5}，B ＝{x |x ≥2}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．{}{}+=14,12,(1)(2)A x x B x a x a x N a -<<=+<<∈⊆例3 已知集合若时，用列举法表示出集合A ，并求出A 的真子集的个数若B A ，求实数的取值范围[跟踪训练] 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．例4 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．[跟踪训练] 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a .，b .⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（）A．3B．4C．2D．52．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（）A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）3．下列关系正确的是（）A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1} 4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（）A．3B．7C．15D．31二．填空题（共2小题）5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为．6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是．三．解答题（共1小题）7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（）A．3B．4C．2D．5【分析】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1．【解答】解：设集合M中有n个元素，∵集合M的非空子集的个数是7，∴2n﹣1＝7，解得n＝3，∴集合M中元素的个数是3．故选：A．【点评】本题考查集合元素个数的求法，考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（）A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】根据条件讨论A是否为空集：A＝∅时，a≥3；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），且A⊆B，∴①A＝∅时，a≥3；②A≠∅时，，解得1≤a＜3，∴综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．3．下列关系正确的是（）A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1}【分析】根据集合元素与集合属于关系的定义，可判断A，根据集合元素的无序性及集合相等的定义可判断B，根据集合与集合的关系可判断C，根据空集的定义，可判断D．【解答】解：A，“∈”用于表示集合与元素的关系，故：{0}∈{0，1，2}错误；B，根据集合元素的无序性，可得{0，1}＝{1，0}，故B错误；C，集合{（0，1）}中只有一个元素（0，1），集合{0，1}中有两个元素0，1，故C错误；D，空集是任一集合的子集，故∅⊆{0，1}正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（）A．3B．7C．15D．31【分析】分别找出适合条件的变量y，求出相应的x值，则集合的元素可求，从而求出集合的非空子集．【解答】解：∵M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}，∴y＝1，2，4，8，对应的x＝7，3，1，0，即满足条件的y有4种情况，故M＝{1，2，4，8}．∴M的非空子集个数是：24﹣1＝15，故选：C．【点评】本题考查了子集，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，此题是基础题．二．填空题（共2小题）5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为{0，1，﹣1}．【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．故答案为：{0，1，﹣1}．【点评】本题考查集合的求法，考查子集与真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是（﹣∞，17]．【分析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得B＝{x|﹣10≤x≤10}，若A是B的真子集，分两种情况讨论：当a≤0时，A＝∅，此时A包含于B；当a＞0时，|2x﹣3|＜a⇒＜x＜，若A包含于B，则有⇒a≤17，a的取值范围为（0，17]；故答案为：（﹣∞，17]．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应特别注意不能忽略对空集这一情况的讨论，属于基础题．三．解答题（共1小题）7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．【分析】（1）利用△＜0即可求出m的取值范围；（2）函数f（x）＝x2﹣2mx+1，利用二次函数根的分布列出不等式组，解出m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y≤0的解集为空集，∴△＝（﹣2m）2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，所以m的取值范围为：（﹣1，1）．（2）设函数f（x）＝x2﹣2mx+1，∵A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，∴，解得：，所以m的取值范围为：[，+∞）．【点评】本题主要考查了一元二次不等式，考查了集合间的基本关系，以及二次函数根的分布问题，是中档题．。