2020中考数学 和圆相关的计算专题练习(含答案)

中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

2020年中考数学复习专题练：《圆的综合》1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．2．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB 与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．3．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．4．△ABC内接于⊙O，D为的中点，连接OD，交BC边于点E，且OE＝DE．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，作AF⊥BC于点F，BG⊥AC于点G，AF、BG交于点H，求证：AH＝OD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OH，若AC＝4OH，EF＝3，求线段GH的长．5．如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是；点C到直线EF的最大距离是．（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．6．已知，AB、AC为圆O的弦，连接CO并延长，交AB于点D，且∠ADC＝2∠C；（1）如图1，求证：AD＝CO；（2）如图2，取弧BC上一点E，连接EB、EC、ED，且∠EDA＝∠ECA，延长EB至点F，连接FD，若∠EDF﹣∠F＝60°，求∠BDF的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若CD＝10，EF＝6，求AC的长度．7．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．8．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠B＝30°，OA＝2，求阴影部分的面积．（结果保留π）9．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作⊙O的切线交AC于点E．（1）证明：DE⊥AC．（2）若BC＝8，AD＝6，求AE的长．10．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与端点重合），过点P作PE ⊥AB于点E，延长EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②当的长为多少时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形？11．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．12．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．13．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．15．如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．16．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．（1）如图1，AB是⊙O的直径；（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．17．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于的密切点已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．（1）在点D（2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为．（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM．（1）当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明；（2）当MO∥AB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长；（3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围．19．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E 是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：△DAF≌△DCE．（2）求证：DE是⊙O的切线．（3）若BF＝2，DH＝，求四边形ABCD的面积．20．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD 于G，连接BG，求BG的最小值．参考答案1．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．2．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．3．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．4．解：（1）连接OB，OC，如图所示：∵OE＝DE，∴OB＝2OE，∴，∴∠OBC＝30°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，（2）证明：连接OA，过O做OM⊥AB，垂足为M，连接AD，如图所示：∵∠BAC＝60°．∠AGB＝90°，∴∠ABG＝30°，∴，∵OM⊥AB，∴，∴AM＝AG，∵D为弧中点，∴∠BAD＝∠CAD，∴OD⊥BC，∴OD∥AF，∴∠ODA＝∠OAD＝∠FAD，∴∠OAM＝∠HAG，∴△OAM≌△HAG（AAS），∴AH＝AO＝OD．∴AH＝OD；（3）连接DA，DB，DC，DH，延长AC至N，使AN＝AB，连接DN．如图所示：由（2）可知，DO＝DH，∴△ABD≌△AND（SAS），∴DN＝DB＝DC＝DO＝DH．∴△OBD为等边三角形，∴∠OBD＝∠ODB＝60°，设∠HBF＝α，则∠CAF＝α，∠DAF＝30°﹣α，∴∠ODH＝60°﹣2α，∵四边形ABDC内接于⊙O，∠DCN＝DBA＝∠N＝60°+α，∴∠CDN＝60°﹣2α＝∠ODH，∴△DOH≌△DCN（SAS），∴OH＝CN，∴AC+OH＝AB．设OH＝2a，∵AC＝4OH，∴AC＝8a，AB＝10a，∵∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，∴AG＝5a，CG＝3a，∴BG＝＝5a，∴BC＝＝2a，∴，∵△OBD为等边三角形，∴，由勾股定理得：GH＝＝a，∴，∵cos∠HBF＝cos∠HAG，∴＝，∴BF＝×BH＝×4a＝a，又∵EF＝3，∴，解得，∴GH＝×＝．∴线段GH的长为．5．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC垂直平分AB，∴AG＝AB＝1，∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，∴OC＝2﹣；如图2，延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，∵OE＝OF，CO⊥EF，∴CO平分∠EOF，∵∠EOF＝120°，∴∠EOH＝∠EOF＝60°，在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，∴cos60°＝＝，∴OH＝，∴CH＝CO+OH＝，∴点C到直线EF的最大距离是．故答案为：2﹣；．（2）如图3，当点B在直线OE上时，由OA＝OB，CA＝CB可知，点O，C都在线段AB的垂直平分线上，过点C作AB的垂线，垂足为G，则G为AB中点，直线CG过点O．∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO∴△OCM∽△OBG，∴＝，∴＝，∴CM＝，∴点C到OE的距离为．（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，∵∠EOF＝120°，∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，∴sin60°＝＝，∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，∵BC∥OE，∴∠CON＝∠GCB＝30°，∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，∴sin30°＝＝，∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．6．解：（1）如图1，连接AO，则∠DCA＝∠OAC，∵∠DOA＝∠DCA+∠OAC＝2∠C，而∠ADC＝2∠C，∴∠ADC＝∠DOA，∴AD＝AO＝CO；（2）设∠F＝x，则∠EDF＝60°+x，∴∠FED＝180°﹣x﹣（60°+x）＝120°﹣2x，∵∠EDA＝∠ECA，∴∠EBD＝∠EDB＝（180°﹣120+2x）＝30°+x，∴∠BDF＝∠EDF﹣∠EDB＝60°+x﹣30°﹣x＝30°；（3）延长ED交圆于点G，连接OG、OA、AG、BG，作AM⊥OD于点M，作ON⊥BG于点N，∵∠BEG＝∠BAG＝120°﹣2x，∠ADG＝∠EDB＝∠EBD＝∠AGD＝30°+x，∴AG＝AD＝OG＝OA，∴△OGA为等边三角形，则∠ABG＝AOG＝30°＝∠BDF，∵EB＝ED，∠FED＝∠GEB，∴△FED≌△GEB（AAS），∴EG＝EF＝6，∴NG＝NE＝3，∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG＝60°﹣（120°﹣2x）＝2x﹣60°，AD＝AO，∴∠ADO＝∠AOD＝120°﹣x，∴∠NDO＝180°﹣∠ADO﹣∠ADG＝180°﹣（120°﹣x）﹣（30°﹣x）＝30°，∴ON＝OD＝DM＝OM＝a，∴OC＝OG＝10﹣2a，在Rt△NOG中，由勾股定理得：（10﹣2a）2+a2+（3）2，解得：a＝1或（舍去，此时OC＝10﹣2a＜0），∴CM＝10﹣1＝9，AM＝3，则AC＝＝12．7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝4．8．（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，∵OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝．9．解：（1）如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AC＝BC，∴∠OBD＝∠A，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠DEC＝90°，即DE⊥AC．（2）连接CD，∵BC为直径，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∴∠DEA＝∠CDA＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，即＝，∴AE＝．10．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，而∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝，PB＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴CD＝PC＝4；②当F是弧BC的中点，即弧FB所对的圆周角为60°时，此时的长：＝2π，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形；理由如下：如图2，连接OF，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CBA＝30°，∴∠A＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴∠BOC＝120°，当F是弧BC的中点时，∠BOF＝∠COF＝60°，∴△BOF与△COF均为等边三角形，∴OB＝OC＝CF＝BF，∴四边形OCFB为菱形，则当的长为2π时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形．11．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：OC⊥AE，CD⊥AB，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．12．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°，∴∠DAB＝∠CBD，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，∵∠EAC＝∠ACB，∴∠EAC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（2∠EAC﹣90°）＝2（90°﹣∠EAC）＝2（90°﹣∠ACB）＝2∠CAB＝2∠CBD．∴∠ABE＝2∠CBD；（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，∵∠DOB＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CAB，∴∠DOB＝∠ABE，∴DG∥BE，∴∠AGO＝∠AEB＝90°，∴AG＝EG＝AE＝3，∠AOG＝∠DOF，OA＝OD，∴△AOG≌△DOF（AAS）∴DF＝AG＝3，又OF＝OB﹣BF＝OD﹣，在Rt△DOF中，根据勾股定理，得OD2＝DF2+OF2，即OD2＝32+（OD﹣）2，解得OD＝．答：⊙O的半径长为．13．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC为⊙O的切线，又∵AH是⊙O的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案为：．14．解：（1）如图1，∵A（0，8），B（6，0），C（0，3），∴OA＝8，OB＝6，OC＝3，∴AC＝5，∵△ACD∽△AOB，∴，∴∴CD的＝，∴⊙P的半径为；（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6，∴＝＝10，如图2，当⊙P与AB相切时，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，即，∴AD＝4，CD＝3，∵CD为⊙P的直径，∴CP＝，过点P作PE⊥AO于点E，∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD，∴△CPE∽△CAD，∴，即，∴，∴，∴△POB的面积＝＝；（3）①如图3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P与AB相切，由（2）可知PD⊥AB，PD＝，∴△PAB的面积＝．②如图4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF，可得∠CFD＝90°，由（2）可得CF＝3，过点P作PG⊥AB于点G，则DG＝，则PG为△DCF的中位线，PG＝，∴△PAB的面积＝＝．综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为．15．（1）证明：先作⊙O的直径AE，连接PE，∵AE是直径，∴∠APE＝90°．∴∠E+∠PAE＝90°．又∵∠DAP＝∠PBA，∠E＝∠PBA，∴∠DAP＝E，∴∠DAP+∠PAE＝90°，即AD⊥AE，∴AD是⊙O的切线；（2）PA+PB＝PC，证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，∵PF＝PB，∠BPC＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA＝FC，AB＝CB，∴PA+PB＝PF+FC＝PC；（3）过点D作DH⊥AB于H，由已知可得，∠DAB＝∠ACB＝60°．在Rt△ADH中，可求得AH＝1，DH＝．在Rt△BDH中，由BD＝4，DH＝，可求得BH＝，所以AC＝AB＝AH+BH＝1+．16．解（1）如图1，连接BD．∵＝，∴∠BDC＝∠ADC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴AB是圆O的直径．（2）如图2，连接OG、OD、BD．则OA＝OD＝OB，∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∵∠FGC＝2∠BAD，∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，∴B、G、O、D四点共圆，∴∠ODE＝∠OBG，∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°＝∠EDB，∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，∴BA平分∠FBE．（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．∵AC＝BC，∴AC＝BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，∵2∠MAD+∠FBA＝135°，∴∠MOD+∠FBA＝135°，∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，∴2∠MOD+∠DOK＝270°，∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，∴∠AOM＝∠DOM，∴AM＝DM，连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，∵∠ADC＝45°，∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，∴∠BRH＝∠ARH＝45°∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACR＝∠CBE，∴△ACR≌△CBE（AAS），∴CR＝BE＝ED，作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，连接OE，则OE垂直平分BD，∴OE∥AD∥MN，∴四边形OEQM是矩形，∴OM＝EQ，OE＝MQ，延长DB交MN于点P，∵∠PBN＝∠EBD＝45°，∴∠BNP＝45°，∴△EQN是等腰直角三角形，∴EQ＝QN＝EN＝13，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，∴BC＝OC＝26，∵MN＝AB＝20，∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，∴△OER是等腰直角三角形，∴RE＝OE＝14，设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．17．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，∵，∴＝，设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴＝，∴|2+x|＝3|2﹣x|，∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，∴x＝1，或x＝4，∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．故答案为：E．（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），∵k＝﹣∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得：0＝﹣×4+b，∴b＝，∴y＝﹣x+．如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，设M（x，﹣x+），由OM＝2得：x2+＝4，∴5x2﹣4x﹣10＝0，则M，N两点的横坐标x M，x N是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，解得x M＝，x N＝，∴AB＝，PA＝，PB＝，∵，∴＝，＝，∴＝，∴HA＝，∴OH＝OA﹣HA＝﹣＝1，∴Q（1，1）．②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．18．解：（1）结论；AM与优弧相切．理由如下：∵AO＝6，OM＝2，AM＝，∴OM2+AM2＝OA2，∴∠AMO＝90°，∴AM与优弧相切．（2）在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，∴tan∠OAB＝，∴∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，当MO∥AB时，M点位置有两种情况：Ⅰ．如解图1，过M点作MF⊥AO，交AO于F，∴∠FOM＝60°，∵OM＝2，∴OF＝OM•cos60°＝2×＝1，MF＝OM•sin60°＝＝，∴AF＝OA﹣OF＝5，∴AM＝＝＝．的弧长＝，Ⅱ．如解图2，过M点作MF⊥AO，交AO延长线于F，同理可得：∠MOF＝60°，OF＝1，MF＝，AM＝7，∴AM＝＝＝．∴.的弧长＝，综上所述：当MO∥AB时，点M在优弧上移动的路线长为时，线段AM的长＝；点M在优弧上移动的路线长为时，线段AM的长＝；（3）由（2）可知∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，AB＝12．如解图3，Ⅰ．由图可知，△ABM的AB边最小高为M在D时，∵OD＝2，AO＝6，∴AD＝4＝AD•sin∠OAB＝，∴DH1∴△ABM的面积为S的最小值为＝＝．Ⅱ．M在过O垂直于AB的直线上，△ABM的AB边的高最大，OH2＝OA•sin∠OAB＝，∴△ABM的AB边的高最大值为OM+OH2＝2+3，∴△ABM的面积为S的最大值为＝＝＝12+18．∴△ABM的面积为S取值范围为：．19．（1）证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS）；（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA ＝90°，∴∠DEC ＝90° ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠DEC ＝90°， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，连接AH ， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AHD ＝∠DFA ＝90°， ∴∠DFB ＝90°， ∵AD ＝AB ，DH ＝， ∴DB ＝2DH ＝2，在Rt △ADF 和Rt △BDF 中， ∵DF 2＝AD 2﹣AF 2，DF 2＝BD 2﹣BF 2， ∴AD 2﹣AF 2＝DB 2﹣BF 2， ∴AD 2﹣（AD ﹣BF ）2＝DB 2﹣BF 2， ∴AD 2﹣（AD ﹣2）2＝（2）2﹣22，∴AD ＝5． ∴AH ＝＝＝2∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2וAH ＝BD •AH ＝2×2＝20．即四边形ABCD 的面积是20．20．（1）证明：如图，连接OD ，BD ，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan∠A＝，∴tan∠CBD＝tan∠A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．。

2020年中考数学二轮复习专题：圆的综合（求阴影部分面积）1．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．2．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．5．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．6．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．7．如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E 在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF＝∠DAC．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．15．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE．（1）求证：DA＝DE；（2）若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP 的长．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC 于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．19．如图，△P AB内接于⊙O，▱ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C＝∠APB，连接BD．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求与弦AP围成的阴影部分的面积．20．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．参考答案一．解答题（共20小题）1．解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝12﹣＝12﹣4π．2．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝，在Rt△OCD中，CD＝OC，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．3．（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴，∴∠BOC＝∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）解：连接OD，OC，∵，∴∠COD＝×180°＝60°，∵CD∥AB，∴S△ACD＝S△COD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝．4．（1）证明：连接OF，AO，∵AB＝AF＝EF，∴＝＝，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切线；（2）解：∵＝＝，∴∠AOF＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，∵FG＝2，∴AF＝4，∴AO＝4，∵AF∥BE，∴S△ABF＝S△AOF，∴图中阴影部分的面积＝＝．5．（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．6．（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．7．（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．8．解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．9．解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．10．解：（1）连接OD．、∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵＝，∴OE⊥AD，∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴S阴＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣×22＝﹣．11．解：（1）①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD2＝CE•CA；（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠F AD，∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠F AD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OF A是等边三角形，则DF∥AC，故S阴影＝S扇形DFO，∴∠C＝30°，∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，∴CE＝OE＝R＝3，S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．12．解：（1）证明：①如图1，连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE＝＝＝3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×﹣＝．13．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∵∠FDC＝15°，∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝，∵OA＝OE，OM⊥AC，∴AE＝2AM＝3，∴∠BAC＝∠AEO＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC＝∠EBC，∵∠EBC＝∠DAC，∴∠FDC＝∠DAC，∵A、B、D、E四点共圆，∴∠DEF＝∠ABC，∵∠ABC＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠EDF＝∠FDC，∴∠EDF＝∠DAC．14．解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝∠BCD+∠OCB＝90°∴∠OCD＝90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60°∴r+2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2易求S△AOC＝×2×1＝S扇形OAC＝＝∴阴影部分面积为﹣15．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∵∠DBC+∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝BC＝2，∴⊙O的半径为，∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝．16．解：（1）证明：连接OE．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，DF＝AB＝6，∴DC＝BC+AD＝4．∵FC＝＝2，∴BC﹣AD＝2，∴BC＝3．在直角△OBC中，tan∠BOC＝＝，∴∠BOC＝60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE＝2∠BOC＝120°．∴S阴影部分＝S四边形BCEO﹣S扇形OBE＝2×BC•OB﹣＝9﹣3π．17．（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝6，而OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OE＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，∵PF＝PF′，∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′，而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°，∴∠F′＝∠EAF′，∴EF′＝EA＝3，即PE+PF最小值为3，在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，∴BP＝2﹣＝，即当PE+PF取最小值时，BP的长为．18．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD＝∠DBO，∴∠EBD＝∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3，∵BE＝3，∴BD＝＝6，∵sin∠DBF＝＝，∴∠DBA＝30°，∴∠DOF＝60°，∴sin60°＝＝＝，∴DO＝2，则FO＝，故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．19．解：（1）连结OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵OA＝OD，∴OB⊥AD，∴∠AOB＝90°，∵AD∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝90°，∴OB⊥BC，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线．（2）连结OP，作OE⊥AP于E，∵∠P AD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，∴P A＝OA＝OP，∠AOP＝60°，在▱ABCD中，AD＝BC＝2，∴AP＝OA＝1，在Rt△OAE中，OE＝OA•sin60°＝，与弦AP围成的阴影部分的面积为：﹣×1×＝﹣．20．解：（1）如图，连接CD、OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，又∵△ABC是等边三角形，∴AD＝BD，∵BO＝CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，∴∠OGF＝∠DFG＝∠ODF＝90°，∴四边形OGFD是矩形，∴FG＝OD＝4，∵OC＝OE＝OD＝OB，且∠COE＝∠B＝60°，∴△OBD和△OCE均为等边三角形，∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4，∴EG＝CE＝2、DF＝OG＝OC sin60°＝2，∠DOE＝60°，∴EF＝FG﹣EG＝2，则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE＝×（2+4）×2﹣＝6﹣．。

隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。

2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的 长是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则 度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于 ． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1） 连结AC ，如图。

备考2020年中考数学复习专题《圆》综合练习题一．选择题1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A．4 B．5 C．6 D．102．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）A．3cm B．C．4cm D．3．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（）A．2dm B．dm C．dm D．dm4．下列判断中不正确的是（）A．半圆是弧，但弧不一定是半圆B．平分弦的直径垂直于弦C．在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等5．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，若∠ACD＝20°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大7．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）A．2米B．3米C．4米D．5米8．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或外9．给定下列条件可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上三点10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OE⊥AB，垂足为点F，连结弦AE，已知OE ＝1，则下面的结论：①AE2+BC2＝4 ②sin∠ACB＝③cos∠B＝，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②11．若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离是5m，则直线和圆的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．无法确定12．如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若＝80°，＝60°，则∠ADC的度数为（）A．80°B．85°C．90°D．95°二．填空题13．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的半径为2cm，则此时M、N两点间的距离是cm．14．如图，⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足是D，OA＝5，AD：OD＝1：4，则BC的长为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小．用锯去锯这木材，锯口深1寸（即CD＝1寸），锯道长1尺（即AB＝1尺），问这圆形木材直径是多少？（注：1尺＝10寸）由此，可求出这圆形木材直径为为寸．16．′如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，点A在x轴正半轴上且OA＝2，带你C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在扇形OAB内（不含边界），则点E的横坐标x取值范围为．17．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB ＝4，则阴影部分的面积是．18．在一个圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝100°，则∠C的度数为．三．解答题19．如图AB＝3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm 的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．20．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．21．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝10m，水面宽AB＝12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．22．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．23．如图，CD为⊙O的弦，P为⊙O上一点，OP∥CD，∠PCD＝15°（1）求∠POC的度数；（2）若＝，AB⊥CD，点A在CD的上方，直接写出∠BPA的度数．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．25．已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．参考答案一．选择题1．解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．故选：C．2．解：如图所示，由题意知OC＝3，且OC⊥AB，∵AB＝6，∴AC＝AB＝3，则OA＝＝＝3，故选：B．3．解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，∴BD＝AD＝1dm，在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，即（4﹣r）2+12＝r2，解得：r＝dm，故选：C．4．解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；B、平分弦的直径垂直于弦，不正确．需要添加条件：此弦非直径；C、在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，故选：B．5．解：连接OD，∴∠AOD＝2∠ACD，∵D是的中点，∴∠AOB＝2∠AOD＝4∠ACD＝80°，故选：C．6．【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α的大小无关；B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝菱形的面积＝2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．7．解：根据题意得：A、B、C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上．∴OA•OC＝OB•OD，即6×2＝3×OD．解得OD＝4．故选：C．8．解：∵点P的坐标为（3，4），∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离＝＝5，∴点P在⊙O上，故选B．9．解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故符合题意；故选：D．10．解：连接AO，延长AO交⊙O于M，连接BM、CM、EM．∵AM是直径，∴∠AEM＝90°，∴AE2+EM2＝AM2，∴AE2+EM2＝4，显然无法判定BC＝EM，故①错误，∵∠ACB＝∠AMB，∴sin∠ACB＝sin∠AMB＝＝，故②正确，∵∠ABC＝∠AMC，∴cos∠ABC＝cos∠AMC＝＝，显然无法判断CM＝AE，故③错误，故选：D．11．解：根据圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切．故选：C．12．解：设圆心为O，连接OA、OC，∵＝80°，＝60°，∴∠AOC＝140°，∠ACB＝40°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝20°，∵直线l与圆相切于点A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠CAD＝70°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝20°，∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝90°，故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：根据题意得：EF＝BC，MN＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段BC形成一半径为2cm的圆，线段BC是圆的周长，BC＝EF＝2π×2＝4π，∴的长＝EF＝＝，∴n＝120°，即∠MON＝120°，∵OM＝ON，∴∠M＝30°，过O作OG⊥MN于G，∵OM＝2，∴OG＝1，MG＝，∴MN＝2MG＝2，故答案为：2．14．解：连接OB，∵OA＝5，AD：OD＝1：4，∴AD＝1，OD＝4，OB＝5，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，52＝42+BD2，解得：BD＝3，∵OD⊥BC，OD过O，∴BC＝2BD＝6，故答案为：6．15．解：延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，则AD＝BD＝AB＝5（寸），设圆形木材半径为r，则OD＝r﹣1，OA＝r，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣1）2+52，解得r＝13，所以⊙O的直径为26寸，故答案为：26．16．解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝O C•cos30°＝2×＝，∴AD＝OA﹣OD＝2﹣，∵DE＝DA，∴OE＝OD﹣OE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，即点E的坐标为（2﹣2，0）；当点E落在半径OB上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴满足条件的点E的横坐标x取值范围为﹣1＜x＜2﹣2．故答案为﹣1＜x＜2﹣2．17．解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD＝∠EOB＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE＝∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD＝DE＝CE＝2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴＝S△CDE＝×22＝，故答案为．18．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°三．解答题（共7小题）19．解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：20．解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．21．解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝12m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝8m．∵水管水面上升了2m，∴OF＝8﹣2＝6m，∴CF＝＝8m，∴CD＝16m．22．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD．23．解：（1）∵OP∥CD，∴∠OPC＝∠PCD＝15°，∵OP＝OC，∴∠OPC＝∠OCP＝15°，∴∠OCD＝30°．（2）①如图1中，当AB在点O的左侧时，连接PA，PB，OD，OA，OB．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝30°，∴∠COD＝120°，∵＝，∴∠AOB＝∠COD＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝60°．②如图2中，当AB在点O的右侧时，同法可得∠ACB＝60°，∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠APB＝120°，综上所述，∠APB＝60°或120°．24．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵OA＝OC，且AC＝4，∴OA＝OC＝AC＝2，即⊙O的半径长为2．25．解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2 ∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．。

图 F10-4 方法技巧专题： 隐圆问题训练巴Q 有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系 .解题时，需要我们 通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆，再利用和圆有关的一些知识进行求解 .常见的隐圆模型有：定弦对 定角；动点到定点的距离为定长；四点共圆等.1 .[2019徐州一模]在矩形ABCD 中，已知AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为2 cm 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即 两个端点始终落在矩形的边上，按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为A.6 cm 2C.(2+ 兀)crm 2 .如图 F10-1，已知 AB=AC=AD ，/CBD= 2/BDC, / BAC= 44〉贝U/CAD 的度数为图 F10-13 .如图 F10-2 所示，四边形 ABCD 中,DC//AB,BC=1,AB=AC=AD= 2,则 BD 的长为4 .如图F10-3，在矩形ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是AB 边的中点，F 是线段CB 边上的动点，将△ EBF 沿EF 所在直线折叠彳#到^ EB'F,连ZB'D,则B'D 的最小值是 .图 F10-35 .如图F10-4，矩形ABCD 中,AB=2,AD=3,点E,F 分别为AD,DC 边上的点，且EF=2,点G 为EF 的中点，点P 为BC 边上一动点，则PA+PG 的最小值为 .B .3 cm 2D.(6-% )crm 图 F10-2图 F10-78.如图F10-7，点A 与点B 的坐标分别是(1,0),(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点 ⑴使/APB=30°的点P 有 个；(2)若点P 在y 轴上，且/ APB= 30 °,求满足条件的点 P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，/APB 是否有最大值？请说明理由.9.[2018 广州]如图 F10-8,在四边形 ABCD 中,/ B= 60 , / D= 30 ,AB=BC.(1)求/ A+/C 的度数； (2)连结BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由；⑶若AB=1,点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE 2=BE 2+CE 2,求点E 运动路径的长度. 图 F10-86 .如图F10-5,正方形ABCD 中,AB=2,动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E,F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF,BE 相交于点 为. P,则线段DP 的最小值7 .如图F10-6，在边长为v3的等边三角形 ABC 中，动点D,E 分别在BC,AC 边上,且保持AE=CD ,连结BE,AD,相交于点P,则CP 的最小值为 图 F10-5图 F10-6 一10.如图F10-9，已知抛物线y=ax2+bx+c(aw即x轴交于A(1,0),B(4,0)两点，与y轴交于C(0,2)，连结AC,BC.(1)求抛物线解析式；(2)线段BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点，求直线DE的解析式;.(3)若点P在抛物线的对称轴上，且/ CPB= / CAB,求出所有满足条件的P点坐标图F10-9【参考答案】1.D ［解析］如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出P到B点距离始终为1 cm, 则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A,B,C,D为圆心，1 cm为半径的弧.故所围成的图形的面积为：矩形面积-4个扇形面积=6-4X丝需=(6-兀)(cm).2.88° ［解析］如图，•「AB=AC=AD，，点B,C,D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上，・ ./ BAC=2/BDC.•••/ CBD= 2/ BDC,. .Z BAC= /CBD,/ CAD= 2/BAC,而/ BAC= 44°,，/ CAD= 88°.3.vl5 ［解析］以A为圆心，AB长为半彳5作圆，延长BA交。

2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）类型一 与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ， 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ， 又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°， 同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长． 解：(1)A 是PB 的中点， 理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ；(2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ， 又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ， 在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ， 在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°， 又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2， 在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二 与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由． 解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ， 在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2， 在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°， 又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．第6题图 (1)证明：如解图，连接OB,第6题解图∵OB ＝OC ，∠ACB ＝30°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠D ＝60°，∵CB ＝BD ，∴BE ＝BD ，∴△BDE 为等边三角形，∴∠DBE ＝60°，∴∠EBO ＝180°－∠DBE －∠OBC ＝180°－60°－30°＝90°，即OB ⊥BE ，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD ＝BE ＝3，∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ·tan30°＝ 3，AC ＝ 2AB ＝23，∴OA ＝12AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝ 12×3×3＝332， ∴S 阴影＝ S 半圆－S △ABC ＝ 12π×(3)2－332＝3π－332. 7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝ 8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠EBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥CO ，∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2，即82＋62＝DO 2，∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，即CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，BD 是⊙O 的弦，点E 是BC 的中点，连接DE .第8题图(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ∶AD ＝1∶3，BC ＝2，求线段BD 的长． （1）证明：如解图，连接OD .第8题解图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，∵点E 是BC 的中点，∴DE 是Rt △CDB 斜边BC 上的中线，∴ED ＝12BC ，EB ＝12BC ， ∴ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △CDB 和在Rt △CBA ，∵∠C=∠C ，∠CDB=∠ABC=90°，∴Rt △CDB ≌Rt △CBA.∴CD ：BC= BC ：AC ，∵CD ：AD=1：3，∴设CD 为x ,则AD =3x ，AC=4x ，∴x ：2=2：4x ，解得x 1=1， x 2=-1（舍），∴CD =1，∴BD=222221 3.BC CD -=-=9. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点且∠P ＋12∠AOC ＝90°. (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)cos B ＝45，P A ＝8，求⊙O 的半径．第9题图(1)证明：∵∠B 与∠AOC 所对的弧都为弧AC ，∴∠B ＝12∠AOC ， 又∵∠P ＋12∠AOC ＝90°， ∴∠P ＋∠B ＝90°.在△ABP 中，∠BAP ＝180°－90°＝90°，∴P A ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ABP 中，∵cos B ＝45，P A ＝8，∴AB PB ＝45. ∴设AB ＝4x ，则PB ＝5x ，根据勾股定理得P A 2＋AB 2＝PB 2，∴82＋(4x )2＝(5x )2，化简得：9x 2＝64，解得x ＝83. ∴AB ＝4×83＝323， ∴AO ＝12AB ＝12×323＝163. ∴⊙O 的半径为163.10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝ DC .(1)若∠CDB ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.第10题图(1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝ 39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝ 39°，∠CAD ＝ ∠CBD ＝ 39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝ 39°＋39°＝ 78°；(2)证明：∵BC ＝ EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝ ∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝ ∠2.。

圆的压轴综合题1．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧上任一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F．（1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°；（2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，．①求∠APC的度数；②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．2．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：∠APO＝∠CPO；（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长．3．如图所示AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC 于点D，MC＝MD,求证：MC为⊙O的切线．4．如图1，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如图2，连接BF，若AF＝FM，求的值；（3）如图3．若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．5．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若BC是⊙O的切线，求证：∠B+∠FED＝90°；（2）若FC＝6，DE＝3，FD＝2．求⊙O的直径．6．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E 三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．（1）求证：AE＝DH；（2）连结DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；（3）连结HK，KE，在点E的运动过程中，①当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等，求所有满足条件的AE的长．②当DA＝AE时，连结OA，记△AOF的面积为S1，△EFK的面积为S2，求的值．（请直接写出答案）7．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若BC＝2OC，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．8．如图，AB是半⊙O的直径，点C，D在半圆上，CD＝BD，过点D作EF⊥AC于E，交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）当BF＝4，sin F＝时，求AE的长．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，直线DC，DA分别切⊙O于点C，点A，连结BC，OD．（1）求证：BC∥OD．（2）若∠ODC＝36°，AB＝6，求出的长．10．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．11．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2＝P A•PE；（3）若AE﹣AP＝PC＝4，求圆O的半径．12．如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，在过点D垂直于OC的直线上取点F．使∠DFE＝2∠CBE．（1）请说明EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是6，点D是OC的中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．15．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△P AC≌△PDF；（2）若AB＝5，＝，求PD的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DE＝，BE 平分∠ABD，BE与AD交于点F．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若tan∠DBE＝，求EF的长；（3）延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求⊙O的半径．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的OO与BC相交于点D，与AC相交于点E，DF⊥AC，垂足为F，连接DE，过点A作AG⊥DE，垂足为G，AG与⊙O交于点H．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若∠CAG＝25°，求弧AH的长；（3）若tan∠CDF＝，求AE的长；18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC外接圆的圆心，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．（1）求证：点D在⊙O上；（2）在直径AB的延长线上取一点E，使DE2＝BE•AE．①求证：直线DE为⊙O的切线；②过点O作OF∥BD交AD于点H，交ED的延长线于点F．若⊙O的半径为5，cos∠DBA＝，求FH的长．参考答案1．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠+∠＝90°，即：180°﹣α+β＝90°，∴α＝β+90°；（2）如图1，连接OD，①OE＝BE，OB⊥BE，设圆的半径为r，∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°，即：△BOD为等边三角形，∴BC＝r，∴∠CDB＝30°，∴∠APC＝90°﹣30°＝60°；②连接BC，过点M组MH⊥BC于点H，则∠MCB＝∠F AB，∴∠CMH＝∠F，在△CBM中，设BC＝r，∠CBA＝60°，∴MH＝BM sin∠CBA＝MB，BH＝MB，CH＝MH tan∠CMH＝MH•x，CH+HB＝BC，即，，而AM+BM＝2r，即：，∴1x＝1+y，即：y＝x．2．（1）证明：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠CPO；（2）解：∵P A是⊙O的切线，∴∠P AC＝90°，∴AP＝＝3，在Rt△CAP中，∠C＝30°，∴PC＝2AP＝3．3．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OM⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠B，∵∠ADO＝∠CDM，∴∠CDM＝∠B，∵MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，∴∠MCD＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠MCD+∠ACO＝90°，∴∠MCO＝90°，∴MC为⊙O的切线．4．解：（1）如图1，AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB＝∠EMC，点E为弧CF的中点，则∠EBC＝∠ECM，∵BC为直径，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∴∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠ABM+∠MBC＝90°，∴AB是⊙O的切线；（2）如图2，∵AF＝FM，∠BFC＝90°，∴∠ABF＝∠MBF＝α＝∠MCE，而∠ABF＝∠ACB＝α，∴∠ABF+∠MBF+∠EBC＝∠ABC＝90°＝3α，∴α＝30°，则BF＝BC＝r，同理BE＝r，而BC＝2r，∴求＝＝；（3）如图3，tan∠ACB＝＝设：AB＝5m，BC＝12m，则AC＝13m，CM＝AC﹣AM＝8m，∵∠EBC＝∠ECM，∴Rt△CEM∽Rt△BEC，∴，即：，解得：EC＝12．5．（1）证明：∵∠A+∠DEC＝180°，∠FED+∠DEC＝180°，∴∠FED＝∠A，∵BC是⊙O的切线，∴∠BCA＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B+∠FED＝90°；（2）解：∵∠CF A＝∠DFE，∠FED＝∠A，∴△FED∽△F AC，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，即⊙O的直径为9．6．（1）证明：连接HE，如图1所示：∵矩形ABCD，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，∴DE为⊙O直径，∴∠DHE＝90°，∴四边形ADHE是矩形，∴DH＝AE；（2）解：如图2所示：∵四边形ABD是矩形，∴∠B＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴AC＝＝5，∵DE平分∠ADK，∴∠DAE＝∠EDK，，∵DE为⊙O直径，∴DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CAB，∴cos∠ADE＝cos∠CAB＝，即＝，∴DE＝；（3）解：①若HK＝KE时，过K作MN⊥CD，交CD于M，交AB于N，如图3所示：则，MN＝BC＝3，∴∠EDK＝∠MDK＝∠CAB＝∠DCA，∵∠ADC＝90°，∴DK＝AK＝CK，∵AB∥CD，∴KM＝KN＝，AN＝CM＝DM＝2，∵DE为⊙O直径，∴∠DKE＝90°，∴tan∠EKN＝tan∠MDK＝，∴NE＝，∴AE＝AN﹣NE＝2﹣＝；若DH＝KE时，∴，∴tan∠ADE＝tan∠CAB＝，即＝，∴AE＝；若DH＝HK时，∵∠ADC＝90°，∴∠AKH＝90°，设：DH＝HK＝3x，∵sin∠ACD＝＝，∴CH＝5x，∵DH+CH＝CD，∴5x+3x＝4，∴x＝∴DH＝AE＝；②如图4所示：当DA＝AE＝3时，△ADE是等腰直角三角形，∴OA⊥DE，DE＝AD＝3，∴OA＝OD＝OE＝DE＝，∵AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴＝＝＝，∴DF＝×3＝，EF＝DE＝，AF＝AC＝，∴OF＝DF﹣OD＝﹣＝，∴△AOF的面积为S1＝OF×O A＝××＝，∵∠ADF＝∠EKF，∠AFD＝∠EFK，∴△ADF∽△EKF，∴＝（）2＝，∴S2＝S△EFK＝＝＝，∴＝＝．7．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC+∠ODA＝90°，∵OA⊥OB，∴∠ACO+∠OAC＝90°，∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴OA＝OB，∴∠ODA＝∠OAC，∴∠EDC＝∠ACO，∵∠ECD＝∠ACO，∴∠ECD＝∠EDC；（2）解：∵BC＝2OC，OB＝OA＝6，∴OC＝2，设DE＝x，∵∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝DE ＝x ，∴OE ＝2+x ，∵∠ODE ＝90°，∴OD 2+DE 2＝OE 2，即：62+x 2＝（2+x ）2，解得：x ＝8，∴DE ＝8；（3）解：过点D 作DF ⊥AO 交AO 的延长线于F ，如图2所示： 当∠A ＝15°时，∠DOF ＝30°，∴DF ＝OD ＝OA ＝3，∠DOA ＝150°，S 弓形ABD ＝S 扇形ODA ﹣S △AOD ＝﹣OA •DF ＝15π﹣×6×3＝15π﹣9， 当∠A ＝30°时，∠DOF ＝60°，∴DF ＝OD ＝OA ＝3，∠DOA ＝120°，S 弓形ABD ＝S 扇形ODA ﹣S △AOD ＝﹣OA •DF ＝12π﹣×6×3＝12π﹣9，∴当∠A 从15°增大到30°的过程中，AD 在圆内扫过的面积＝（15π﹣9）﹣（12π﹣9）＝3π+9﹣9．8．（1）证明：连接AD ，OD ，∵CD ＝BD ， ∴＝，∴∠1＝∠2，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE∥OD，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，sin F＝，∴＝，∴r＝6，∵AE∥OD，∴，∴＝，∴AE＝．9．解：（1）连接OC，∵直线DC，DA分别切⊙O于点C，∴CD＝AD，在△ADO与△CDO中，，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠AOD＝∠COD，∴∠AOD＝AOC，∵∠B＝AOC，∴∠B＝∠AOD，∴BC∥OD；（2）∵∠ODC＝36°，直线DC，DA分别切⊙O于点C，点A，∴∠ADC＝2∠CDO＝72°，∴∠AOC＝180°﹣∠ADC＝108°，∴∠BOC＝72°，∵AB＝6，∴OB＝3，∴的长＝＝．10．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴＝＝，∵FC＝1，∴EC＝2，∵OD＝AC＝2，∴A C＝4，∴AE＝EC＝2，∴AB＝BC，∵AB＝AC＝4，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∴的长：＝．11．解：（1）∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD∥AP，∴∠OCA＝∠P AC，∴∠OAC＝∠P AC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠DCA+∠D＝90°，∵CD∥P A，∴∠DCA＝∠P AC，又∠P AC+∠PCA＝90°，∴∠P AC＝∠D＝∠E，∴△P AC∽△PCE，∴，∴PC2＝P A•PE；（3）AE＝AP+PC＝AP+4，由（2）得16＝P A（P A+P A+4），P A2+2P A﹣8＝0，解得，P A＝2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA＝∠CBA，Rt△P AC∽Rt△CAB，，而PC2＝AC2﹣P A2，AC2＝AB2﹣BC2，其中P A＝2，解得：AB＝10，则圆O的半径为5．12．（1）证明：连接OE交DF于点H，∵DF⊥OC，∴∠FDO＝90°，∵∠COE＝2∠CBE，∠DFE＝2∠CBE．∴∠F＝∠DOE，∵∠EHF＝∠OHD，∴∠FEH＝∠ODH＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠CBE＝15°，∴∠F＝∠COE＝2∠CBE＝30°．∵⊙O的半径是6，点D是OC中点，∴OD＝3，在Rt△ODH中，cos∠DOH＝，∴OH＝2．∴HE＝6﹣2．在Rt△FEH中，tan F＝＝6﹣2＝．∴EF＝6﹣6．13．解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的半径＝．14．（1）证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC．∵D E⊥AC，OD是半径，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE．∴AH＝AF＝8，设AE＝x．∵DE+AE＝8，∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，解得：x＝2，∴OA＝8+2＝10．∴⊙O的半径为10．15．（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴＝，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠F AC＝∠CAF，∴△P AC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝AB＝，∵＝，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝，∴＝＝，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴＝，∴＝＝，∴GE＝，OG＝，∴PG＝＝，GD＝＝，∴PD＝PG+GD＝．16．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵∠BED＝∠DAB，∠PBD＝∠BED，∴∠DAB＝∠PBD，∴∠PBD+∠ABD＝90°，∴AB⊥PB，∴BP是⊙O的切线；（2）解：连接AE，∴∠AEB＝90°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，∴＝，∴AE＝DE＝，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAE，∴tan∠DBE＝tan∠ABE＝tan∠DAE＝＝，∴＝，∴EF＝；（3）解：连接OE，∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠OEB，∵∠ABE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠OEB，∴△CEO∽△CDB，∴，∵CA＝AO，设CA＝AO＝BO＝R，∴＝，即＝2，∴CE＝2，∴DC＝3，∵∠ADC＝∠ABE，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEB，∴＝，∴＝，∴R＝，∴⊙O的半径为．17．（1）证明：连接OD、AD，AB是⊙O的半径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∵点D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，DF是⊙O的切线；（2）解：连接OH，∵AG⊥DG，∴∠G＝90°，∵∠CAG＝25°，∴∠AEG＝65°，∴∠B＝∠AEG＝65°，∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠OAH＝75°，∴∠AOH＝30°，∴l＝＝；弧AH（3）解：∵∠CAD+∠C＝90°，∠CDF+∠C＝90°，∴∠CAD＝∠CDF，∴tan∠CAD＝tan∠CDF＝，∴AD＝2CD，∴DC2+（2CD）2＝102，∴CD＝2，∵△CDF∽△CAD，∴DC2＝CF•AC，∴CF＝2，∴CD＝DE，∵OF⊥AC，∴EF＝CF＝2，∴AE＝10﹣2﹣2＝6．18．（1）证明：连接OD，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴AB为直径，由翻折可知△ADB≌△ACB，∴∠ADB＝90°，∵O为AB中点，∴OD＝AB，∴D在⊙O上；（2）①证明：∵DE2＝BE•AE，∴，∠E＝∠E，∴△EBD∽△EDA，∴∠EDB＝∠DAE，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE为⊙O切线；②解：在Rt△ADB中，∵cos∠DBA＝，AB＝10，∴BD＝6，∴AD＝＝＝8，∵∠ADB＝90°，OF∥BD，∴∠FHD＝∠ADB＝90°，∵OH⊥AD，∴HD＝AD＝4，又∵OA＝OB，∴OH＝BD＝3，∵∠HOD＝∠ODB＝∠ABD，∴cos∠HOD＝，即，∴FO＝，∴FH＝FO﹣HO＝﹣3＝．。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合》1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D．（1）若AB＝8，∠ABC＝30°，求⊙O的半径；（2）若点E是边BC的中点，连结DE，求证：直线DE是⊙O的切线；（3）在（1）的条件下，保持Rt△ACB不动，将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，当⊙O′与直线AB相切时，m＝．2．如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为；（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO ≥BO ．以OF 为半径的⊙O 与直线AB 交于点M ，N ． （1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在⊙O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在⊙O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在⊙O 上，求证：DO ⊥FO ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ． （1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．5．定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA 上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．其中真命题有．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O 上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为．6．问题发现：（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝；问题探究：（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值；解决问题：（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M 是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．8．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．9．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．10．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM．（1）求证：AM平分∠CAB；（2）若AB＝4，∠APE＝30°，求的长．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F，交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．12．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DPA．（1）求证：PO＝PD；（2）若AC＝，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝．14．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N 为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）15．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．16．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC 边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）△ABC中，BC＝9，tan B＝，tan C＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AC＝AB sin∠ABC＝8sin30°＝4，∴⊙O的半径为2；（2）证明：连接OD，CD，∵AC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝CB，∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（3）连接OO′交AB于F，设⊙O′与AB相切于G，连接O′G，则∠O′GF＝90°，∵将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，∴OO′∥BC，AO＝O′G，∴∠AOF＝∠ACB＝90°，∵∠AFO＝∠O′FG，∴△AOF≌△O′GF（AAS），∴O′F＝AF，∵在Rt△AOF中，∵∠A＝60°，AO＝2，∴AF＝4，OF＝2，∴O′F＝AF＝4，∴OO′＝4+2，∴m＝4+2．故答案为：4+2．2．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD∥AB，CD＝AB＝13，∴∠EAB＝∠DEA，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝，∴tan∠DEA＝＝＝．故答案为：．（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，又CE＝DE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA＝∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝13﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（36+x2）+[（13﹣x）2+36]＝132，整理得x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，∴DE＝4或9，当DE＝4时，CE＝9，BE＝＝＝3，当DE＝9时，CE＝4，BE＝＝＝2，∴BE能与⊙O相切，此时BE＝2或3．3．解：（1）如图1，连接OC，∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°，∵点O为AB中点，∴OB＝AB＝，设BE＝EF＝x，则OE＝x+，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2＝OF2，∴，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2＝OC2，∴＝OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴，解得：x＝，∴正方形BEFG的边长为；（2）证明：如图2，连接OC，设OB＝y，BE＝EF＝x，同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴x2+（x+y）2＝y2+12，∴2x2+2xy＝1，∴x2+xy＝，即x（x+y）＝，∴EF×OE＝，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．（3）证明：连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，∵∠DAO＝∠OEF＝90°，∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2，∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2，∵OD＝OF，∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，∴（b+1）（a﹣b）＝0，∵b+1≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴OA＝EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，，∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），∴∠FOE＝∠ODA，∵∠DAO＝90°，∴∠ODA+∠AOD＝90°，∴∠FOE+∠AOD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴DO⊥FO．4．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2， ∴EA 2+CF 2＝EF 2，∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，即S △ABC ＝S 矩形BGKH ， ∴S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM 平分∠GBH ，∴BG ：BH ＝9：8，设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝3， ∴CF ＝（k +3），EF ＝（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2， ∴+＝，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣（舍去），k 2＝1．∴AB ＝12，∴AO ＝AB ＝6，∴⊙O的半径为6．5．解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB 不一定是锐角三角形；②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；故答案为：B．（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，∵点B在射线OA上的射影值为，∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，∴＝，又∵∠BOH＝∠COB，∴△BOH∽△COB，∴∠BHO＝∠CBO＝90°，∴BC⊥OB，∴直线BC是⊙O的切线；②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，当∠DOB＜90°时，设DM＝h，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DN＝OC×DM，∴DN＝2h，∵在Rt△DON和Rt△DOM中，OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，∴4h2+y2＝h2+x2，∴3h2＝x2﹣y2①，∵BD2＝CD2，∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，①②消去h得：y＝2x﹣．如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DO＝OC×DM，∵CA＝OA＝OB＝1，∴OD＝2DM，∴sin∠DOM＝，∴∠DOM＝30°，设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h，∴h2+＝1+4h2，∴h＝，∴OM＝，当点B在OC上时，OD＝，综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．6．解：（1）如图1，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰三角形，∵OH⊥AB，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，∴AH＝OA sin∠AOH＝4×＝2，则AB＝2AH＝4；故答案为4；（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，∵四边形ABCD的面积S＝AC×DE AC×BF＝AC×（DE+BF），∴当D、E、F、B四点共线且为直径时，四边形ABCD的面积S最大；∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠AOC＝120°，在△AOC中，由（1）知，AC＝2×OA sin60°＝2×6×＝6，∴四边形ABCD的面积S的最大值为：×AC×BD＝6×12＝36，故四边形ABCD的面积的最大值为36；（3）如图3，过点D作DK⊥AB于点K，连接CD，在△ADM中，DK＝AD•sin A＝1×＝，同理AK＝，则KM＝AM﹣AK＝2﹣＝，则tan∠DMK＝＝∴∠DMK＝30°，故△ADM为直角三角形，同理△CMB为直角三角形，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∴∠DMC＝180°﹣∠DMA﹣∠CMB＝60°∵AD＝BM，AM＝BC，∠A＝∠B＝60°，∴Rt△ADM≌Rt△BMC（SAS），∴DM＝CM，∴△CDM为等边三角形；设所在的圆的圆心为R，连接DR、CR、MR，∵DM＝CM，RM＝RM，DR＝CR，∴△DRM≌△CRM（SSS），∴∠DMR＝∠CMR＝∠DMC＝30°，在△DMR中，DR＝1，∠DMR＝30°，DM＝＝CM，过点R作RH⊥DM于点H，则RM＝＝＝1＝RD，故D、P、C、M四点共圆，∴∠DPC＝120°，如图4，连接MP，在PM上取PP′＝PC，∵△CDM为等边三角形，∴∠CDM＝60°＝∠CPM，∴△P′PC为等边三角形，则PP′＝P′C＝PC，∵∠PMC＝∠PDC，∠CP′M＝180°﹣∠PP′C＝120°＝∠DPC，CD＝CM，∴△PDC≌△P′MC（AAS），∴PD＝P′M，∴PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；∵四边形DMCP的周长＝DM+CM+PC+PD＝2+PD+PC，而PD+PC最大值为2；故四边形DMCP的周长的最大值为：2+2，即四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大为2+2．7．（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．8．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．9．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵OB＝BD，∴BC＝OD＝OB＝BD，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠A＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，∴∠FAC＝∠EAB＝18°，答：∠FAC的大小为18°．10．解：（1）连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB；（2）∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为＝．11．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，∴，解得AC＝8，∴＝10，∵OC•AF＝OA•AC，∴．∴＝＝．12．（1）证明：∵PA与⊙O相切于点P，∴BP⊥AP∴∠OPD+∠DPA＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°∵∠OAP＝∠DPA．∴∠OPD＝∠AOP∴OD＝PD∵PO＝OD∴PO＝PD．（2）连接PC，∵PB为⊙O的直径∴∠BCP＝90°∵PO＝PD＝OD∴∠AOP＝60°设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°∴PA＝x∴AB＝＝x∵∠BPA＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B∴△BAP∽△BPC∴＝∵AC＝∴＝∴7x﹣＝4x∴x＝∴⊙O的半径为．13．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．14．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF ＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．15．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．16．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．17．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，则BE＝3x，CE＝6x，∴BC＝9x＝9，∴x＝1，∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，①如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，解得，a＝﹣2（舍去），2∴．②如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，＝2，（舍去）解得a1∴BD＝3+a＝3+2＝5．∴或5．（5）①∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH∴△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝CH•DH，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．②．理由如下：如答图4，连接AD，BD，∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．∵点O是线段AD的中点，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．∴＝＝，即．18．解：（1）如图，连接AN，∵AC为直径，∴AN⊥BC，∵AB＝AC，∴AN平分∠BAC，∵PC是圆的切线，∴∠ACP＝90°，∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°，∴∠NAC＝∠BCP，即∠BAC＝2∠BCP；（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP，故sin∠NAC＝sin∠BCP＝，则tan∠NAC＝，在Rt△NAC中，AC＝5，NC＝AC•sin∠NAC＝5×＝，同理AN＝2，则BC＝2NC＝2；S＝×BC•AN＝2×2＝10，△ABC设△ABC内切圆的半径为r，则S＝（AB+AC+BC）•r＝×（5+5+2）＝10，△ABC解得：r＝；故△ABC内切圆的半径为；（3）在△ABC中，设AC边长的高为h，则S＝AC•h＝×5×h＝10，解得：h＝4，△ABCsin∠BAC＝＝，在Rt△ACP中，∵sin∠BAC＝＝，设PC＝4m，则AP＝5m，则AC＝3m＝5，解得m＝，△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．19．（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°．∵＝，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠FAD＝∠ABD，∴∠FAD＝∠DCA，∴∠FAD+∠DCA＝90°，∴CA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接OD，∵＝，∴∠ABD＝∠AOD，∵＝，∴∠DBC＝∠DOC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DOA＝∠DOC，∴DA＝DC．（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∵DA＝DC，∴DO⊥AC，∴∠FAC＝∠DOC＝90°，∴AF∥OM，∵AO＝OC，∴OM＝AF．∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．∴∠ODE＝∠OCM．∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，∴∴△ODE≌△OCM，∴OE＝OM，设OM＝m，∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，∴∠AEN＝∠ADE，∵∠EAN＝∠DPE，∴△EAN∽△DPE，∴＝，∴＝，∴m＝，∴AN＝，AE＝，∴勾股定理得NE＝．20．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．。

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用专训1圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．有关角度的计算1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为()A．76°B．68°C．52°D．38°(第1题)(第2题) 2．如图，有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则AD ︵所对圆心角的度数为( )A ．23°B ．28°C ．30°D ．37°3．(中考·娄底)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．(第3题)半径、弦长的计算4．(中考·南京)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．(第4题)(第5题)5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.6．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm .求直径AB 的长．(第6题)面积的计算7．(2015·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第7题)专训2圆中常用的作辅助线的方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．(第1题)连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H，求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2(第5题)(第6题)6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧作直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC 于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA 切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积9．(中考·自贡)如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 的延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB ＝∠OBD ＝30°，DB ＝6 3 cm .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由弦CD ，BD 与BC ︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)专训3圆的实际应用名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的．利用垂径定理解决台风问题1．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．(第1题)利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)2．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第2题)利用直线与圆的位置关系解决范围问题3．已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第3题)利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题4．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为40 2 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？(第4题)专训4与圆有关的动态问题名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用．利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题1．如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，若AB长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.(1)求弦BC的长；(2)经过几秒△BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)(第1题)2．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P 是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)利用圆探究运动中的特殊位置关系问题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12 cm，AD ＝8 cm，BC＝22 cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发．当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．当t为何值时，PQ与⊙O相切？(第3题)利用圆探究运动中的面积问题4．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.(1)求∠AOC的度数；(2)如图，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．(第4题)专训5几种常见的热门考点名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识作为载体，与函数、方程等知识综合考查．垂径定理及其推论的应用1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()A.95B.245C.185D.52(第1题)(第2题)2．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分．如果水面AB 的宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为() A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm圆心角与圆周角3．如图所示，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，∠BOC＝70°，则∠ABD ＝()A．20°B．46°C．55°D．70°(第3题)(第4题)4．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°5．如图所示，C 为半圆上一点，AC ︵＝CE ︵，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 交PC 于点D ，交CB 于点F.求证：AD ＝CD.(第5题)点、直线与圆的位置关系6．已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP＝7 cm时，点A 与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r 为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为()A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm8．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－22x＋m－1＝0有实数根，则直线l与⊙O()A．相离或相切B．相切或相交C．相离或相交D．无法确定切线的判定与性质(第9题)9．(中考·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于点E.(1)若BC＝3，CD＝1，求⊙O的半径；(2)取BE的中点F，连结DF，求证DF是⊙O的切线．(第10题)与圆有关的计算11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()(第11题) A．25π－6B.252π－6C.256π－6D.258π－612．(2015·兰州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°，①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)(第12题)圆与其他知识的综合类型1：圆与三角形的综合13．(2015·成都)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF ＝BC.⊙O 是△BEF 的外接圆，连结BD.(1)求证：△ABC ≌△EBF ；(2)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(第13题)类型2：圆与四边形的综合14．(2015·天津)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图①，求∠ADC 的大小；(2)如图②，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连结AF，求∠FAB的大小．(第14题) 类型3：圆与函数的综合15．如图，直线y＝－34x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.(1)如图①，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；(2)如图②，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；(3)在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形？(只回答“能”或“不能”)(第15题)专训6圆与二次函数的综合名师点金：圆与二次函数的综合，一般会涉及勾股定理、相似三角形的判定、求二次函数的表达式、求直线对应的函数表达式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，有的问题的解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．二次函数中利用全等证明圆与直线的位置关系1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(第1题)利用直线与圆的位置关系求直线对应的函数表达式2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)以AB为直径作⊙M，一直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线对应的函数表达式．(第2题)利用圆的有关性质求抛物线对应的函数表达式3．(2015·烟台节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.(1)求点D的坐标及该抛物线对应的函数表达式；(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标.(第3题)二次函数中利用勾股定理的逆定理证明直线与圆的位置关系4．如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．(第4题)答案专训1 1．A2．B 点拨：∵有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D 点，∴AB ︵所对的圆心角的度数＝2∠C ＝2×46°＝92°，ADC ︵所对的圆心角的度数＝2∠B ＝2×74°＝148°＝AD ︵所对的圆心角的度数＋DC ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋BAD ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋AB ︵所对的圆心角的度数＋AD ︵所对的圆心角的度数，∴AD ︵所对的圆心角的度数＝12(148°－92°)＝28°.故选B .3．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°. 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中， ⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL )．(2)解：∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°. ∵∠DBE ＝37°，∴∠ABD ＝53°.∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ＝90°－53°＝37°， 即∠ADC 的度数为37°.4．2 cm 点拨：连接OB ，∵∠BCD ＝22°30′，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝45°.∵AB ⊥CD ，∴BE ＝AE ＝12AB ＝12×22＝2(cm )，△BOE 为等腰直角三角形，∴OB ＝2BE ＝2 cm ，故答案为2 cm .5．2 36．解：连接OC.∵∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°.∴∠D ＝30°.∵OD ＝30 cm ，∴OC ＝12OD ＝15 cm . ∴AB ＝2OC ＝30 cm .(第7题) 7．(1)证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)解：如图，连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°.∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE ＝4π，S△AOE＝8.∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.专训2(第1题)1．解：连接OA ，OF ，如图．设OA ＝OF ＝r cm ，AB ＝a cm .在Rt △OAB 中，r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2，在Rt △OEF 中，r 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 22，∴a 24＋a 2＝16＋16＋4a ＋a24，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)．∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＋82＝80，∴r 1＝45，r 2＝－45(舍去)，即该半圆的半径为4 5 cm .点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：连接AD ，BD.∵∠DAC ，∠DBC 是DC ︵所对的圆周角． ∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH. 在△ADP 和△BDH 中， ⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH ，∴△ADP ≌△BDH ，∴AP ＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC ＝∠DBC ，为证两三角形全等创造了条件．3．(1)证明：过点D 作⊙O 的直径DE ，连接AE ，EC ，AC. ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠ECD ＝∠EAD ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴EC ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠ACE. ∴BC ︵＝AE ︵.∴BC ＝AE.在Rt △AED 中，AD 2＋AE 2＝DE 2， ∴AD 2＋BC 2＝4R 2.(2)解：过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2，∴R＝26 2.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝12AE＝12BC＝12，即点O到AD的距离为12.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．(第4题)(第7题) 5．C 6.60°7．(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC 的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．(2)解：连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.8．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)解：连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线，又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.∴∠OPA＝30°. 在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，即AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.(第8题)(第9题) 9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3 cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝12OB.∵EB＝3 3 cm，∴由勾股定理可求得OB＝6 cm. 又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE，∴S△CDE ＝S△OBE，∴S阴影＝S扇形OCB＝60360π·62＝6π(cm2)．专训31．解：(1)如图，过B作BH⊥PQ于H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°.∴BH＝12BP＝160 km<200 km.∴台风会影响B市．(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.在Rt△BHP1中，BP1＝200 km，BH＝160 km，∴P1H＝2002－1602＝120(km)．∴P1P2＝2P1H＝240 km.∴台风影响B市的时间为24030＝8(h)．点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．(第1题)(第2题) 2．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示．∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．3．解：修建的这条水渠不会穿过公园．理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°，CD＝BD.设CD＝x km，则BD＝x km.易知∠CAB＝30°，∴AC＝2x km，AD＝（2x）2－x2＝3x km.∴3x＋x＝1，解得x＝3－1 2，即CD＝3－12km≈0.366 km＝366 m＞350 m，也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离．即修建的这条水渠不会穿过公园．4．解：∵圆锥形漏斗的底面半径为20 cm，高为40 2 cm，∴圆锥的母线长为202＋（402）2＝60(cm)．设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有nπ×60180＝2π×20，解得n＝120.方案一：如图①，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为60 3 cm.此时矩形的面积为60×603＝3 6003(cm2)．方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为30＋60＝90(cm)，此时矩形的面积为90×60＝5 400(cm2)．∵3 6003>5 400，∴方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．(第4题)专训41．解：(1)作OD⊥BC于D.由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD＝12BC，∵OB＝12AB＝5 cm，OD＝4 cm，由勾股定理得，BD＝OB2－OD2＝3 cm，∴BC＝2BD＝6 cm.(2)设经过t s，△BPC是等腰三角形．①当PC为底边时，有BP＝BC，即10－t＝6，解得t＝4；②当BC为底边时，有PC＝PB，此时P点与O点重合，t＝5.∴经过4 s或5 s△BPC是等腰三角形．2．解：(1)线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP.∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB.取AB的中点C，则AB＝2OC，当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4.(2)存在．假设存在符合条件的点Q.如图①，设四边形APOQ为平行四边形，∵∠APO＝90°，∴四边形APOQ为矩形．又∵OP＝OQ，∴四边形APOQ为正方形，∴OQ＝QA.∴∠QOA＝45°，在Rt△OQA中，根据OQ＝2，∠AOQ＝45°，得Q点的坐标为(2，－2)．(第2题)如图②，设四边形APQO为平行四边形，连接OP，∵OQ∥PA，∠APO＝90°，∴∠POQ＝90°.又∵OP＝OQ，∴∠PQO＝45°，∵PQ∥OA，∴PQ⊥y轴．设PQ交y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据OQ＝2，∠HQO＝45°，得Q点的坐标为(－2，2)．∴符合条件的点Q的坐标为(2，－2)或(－2，2)．3．解：如图，设PQ与⊙O相切于点H，过点P作PE⊥BC，垂足为E.(第3题)∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴PE＝AB.由题意可知：AP＝BE＝t cm，CQ＝2t cm，∴BQ＝BC－CQ＝(22－2t) cm，EQ＝BQ－BE＝22－2t－t＝(22－3t) cm.∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC ＝∠DAB ＝90°， ∴AD ，BC 为⊙O 的切线．∴AP ＝PH ，HQ ＝BQ. ∴PQ ＝PH ＋HQ ＝AP ＋BQ ＝t ＋22－2t ＝(22－t) cm . 在Rt △PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2， ∴122＋(22－3t)2＝(22－t)2，即 t 2－11t ＋18＝0，解得t 1＝2，t 2＝9.∵P 在AD 边运动的时间为AD 1＝81＝8(s )，而t ＝9>8，∴t ＝9(舍去)． ∴当t ＝2 s 时，PQ 与⊙O 相切．4．解：(1)∵在△ACO 中，∠OAC ＝60°，OC ＝OA ， ∴△ACO 是等边三角形． ∴∠AOC ＝60°. (2)如图，(第4题)①作点C 关于直径AB 的对称点M 1，连接AM 1，OM 1. 易得S △M 1AO ＝S △CAO ，∠AOM 1＝60°，∴AM 1︵＝4π180×60＝43π.∴当点M 运动到M 1时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为43π.②过点M 1作M 1M 2∥AB 交⊙O 于点M 2，连接AM 2，OM 2，易得S △M 2AO ＝S △CAO ，∴∠OM 1M 2＝∠AOM 1＝60°.又∵OM 1＝OM 2，∴∠M 1OM 2＝60°，∴∠AOM 2＝120°.∴AM 2︵＝4π180×120＝83π.∴当点M 运动到M 2时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为83π. ③过点C 作CM 3∥AB 交⊙O 于点M 3，连接AM 3，OM 3，易得S △M 3AO＝S △CAO ，∠AOM 3＝120°.∴AM 2M 3︵＝4π180×240＝163π.∴当点M 运动到M 3时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为163π. ④当点M 运动到C 时，M 与C 重合，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为4π180×300＝203π.综上所述，当S △MAO ＝S △CAO 时，动点M 所经过的弧长为43π或83π或163π或203π.专训51．C 2.C 3.C 4.D(第5题)5．证明：如图，连结AC. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°. ∵CP ⊥AB 于点P ， ∴∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B.又∵AC ︵＝CE ︵，∴∠B ＝∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD. 6．A 7.B 8.B 9.B(第10题)10．(1)解：设⊙O 的半径为r ，∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥BC ，在Rt △OBC 中，∵OC 2＝OB 2＋CB 2， ∴(r ＋1)2＝r 2＋(3)2，解得r ＝1，∴⊙O 的半径为1. (2)证明：连结OF ， ∵OA ＝OB ，BF ＝EF ， ∴OF 是△BAE 的中位线， ∴OF ∥AE ，∴∠A ＝∠2，∠1＝∠ADO ， 又∵∠ADO ＝∠A ，∴∠1＝∠2，在△OBF 和△ODF 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠2＝∠1，OF ＝OF ，∴△OBF ≌△ODF ， ∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°，即OD ⊥DF ，又OD 是⊙O 的半径， ∴FD 是⊙O 的切线． 11．D(第12题)12．解：(1)相切，理由如下： 如图，连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OD ∥AC. 又∠C ＝90°，∴OD ⊥BC ， ∴BC 与⊙O 相切． (2)①设⊙O 的半径为r. ∵AC ＝3，∠B ＝30°，∴AB ＝6. 又OA ＝OD ＝r ，∴OB ＝2r.∴2r ＋r ＝6，解得r ＝2，即⊙O 的半径是2.②由①得OD ＝2，则OB ＝4，BD ＝23，S 阴影＝S △OBD －S 扇形ODE ＝12×23×2－60π×22360＝23－2π3.13．(1)证明：在Rt △CED 中，∠C ＋∠CED ＝90°，在Rt △BFE 中，∠EFB ＋∠BEF ＝90°.∵∠CED ＝∠BEF ，∴∠C ＝∠EFB.在Rt △ABC 和Rt △EBF 中， ⎩⎨⎧∠C ＝∠EFB ，BC ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ，∴△ABC ≌△EBF.(2)解：BD 与⊙O 相切，理由如下： 连结BO ，∵OB ＝OF ， ∴∠OBF ＝∠OFB.∵FD 垂直平分AC ，∴D 为AC 的中点，又∵△ABC 为直角三角形． ∴BD ＝CD ，∴∠DCB ＝∠DBC.由(1)知∠ACB ＝∠EFB ， ∴∠DBC ＝∠DFB ＝∠OBF.∵∠CBF ＝∠CBO ＋∠OBF ＝90°， ∴∠DBO ＝∠CBO ＋∠DBC ＝90°， ∴BD 为⊙O 的切线．14．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴OC ⊥CD ，即∠OCD ＝90°. ∵四边形OABC 是平行四边形，(第14题)∴AB ∥OC ，即AD ∥OC. ∴∠ADC ＋∠OCD ＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠OCD ＝90°.(2)如图，连结OB ，则OB ＝OA ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB ， ∴OA ＝OB ＝AB.即△AOB 是等边三角形． 于是，∠AOB ＝60°.由OF ∥CD ，又∠ADC ＝90°，得∠AEO ＝∠ADC ＝90°.∴OF ⊥AB ，有BF ︵＝AF ︵.∴∠FOB ＝∠FOA ＝12∠AOB ＝30°.∴∠FAB ＝12∠FOB ＝15°.15．解：(1)∵直线y ＝－34x ＋3与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝32＋42＝5.连结CF ，∵四边形OBCE 是矩形，∴CE ＝OB ＝3.设OE ＝x ，则由切线长定理知AF ＝AE ＝x ＋4，∴BF ＝x ＋4－5＝x －1.在Rt △CBF 中，∵BC ＝OE ＝x ，CF ＝CE ＝3，BF ＝x －1，BC 2＝CF 2＋BF 2，∴x 2＝32＋(x －1)2，解得x ＝5，即OE ＝5，∴点C 的坐标为(－5，3)．(2)连结CE ，CD ，易知四边形CEOD 是正方形，∴OE ＝OD ＝r.由切线长定理知BF ＝BD ＝3－r ，AE ＝AF ，又∵AE ＝AO ＋OE ＝4＋r ，AF ＝AB ＋BF ＝5＋3－r ＝8－r ，∴4＋r ＝8－r ，∴r ＝2.(3)不能．专训61．(1)解：设过点B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx＋c ，则⎩⎨⎧4＝c ，0＝4a －2b ＋c ，0＝64a －8b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝52，c ＝4.∴经过B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4. (2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－94. 设直线CE 对应的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝34，n ＝32，∴直线CE 对应的函数表达式为y ＝34x ＋32. 在y ＝34x ＋32中，当x ＝0时，y ＝32，∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.如图，连结AB 、AC 、AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52，∴BG ＝CG.又∵AB ＝AC ，AG ＝AG ， ∴△ABG ≌△ACG ， ∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)， ∴∠ABG ＝90°，。

题型四与圆有关的证明与计算类型一与切线判定有关的证明与计算1.如图，D是⊙O上的一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BD C.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长.第1题图2.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝A C.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若AB＝3，BC＝2，求⊙O的半径.第2题图3.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.第3题图4.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC ︵的中点，E 为OD 延长线上一点，且∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)若DH ＝9，tan C ＝ 34 ，求直径AB 的长.第4题图类型二与切线性质有关的证明与计算1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，连接AD，C D.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝5，BC＝3，求AE的长.第1题图2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.(1)求证：BC＝BH；(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的长.第2题图3.如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接BD并延长至点C，使CD＝BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若BD＝2，且AB＝3BD，求DE的长.第3题图4.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.(1)求证：∠CAE＝∠CBA；(2)求证：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值.第4题图类型三特殊四边形的动态探究题1.如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F.(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明；(2)若AB＝12，BC＝13，P从E出发沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位.填空：①当运动时间为秒时，四边形EPCQ是矩形；②当运动时间为秒时，四边形EPCQ是菱形.第1题图2.如图，已知BC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E.(1)求证：△ACD∽△BCA；(2)若A是⊙O上一动点，则①当∠B＝时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；②当∠B＝时，以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形.第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：EB＝EC；(2)填空：①当∠BAC＝时，△CDE为等边三角形；②连接OD，当∠BAC＝时，四边形OBED是菱形.第3题图4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线，交EC于点F.(1)求证：EF＝FC；(2)填空：①当∠ACD的度数为时，四边形ODFC为正方形；②若AD＝4，DC＝2，则四边形ABCD的最大面积是.第4题图5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)填空：①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；②若⊙O的半径为5，AC＝3CE，则BC的长为.第5题图6.如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点P，过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接P A，PB，PO.(1)求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP＝时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当弧AP＝时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形.第6题图7.如图，在⊙O中，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝AB，P A，PB交⊙O于D，E两点，∠P AB 为锐角，连接DE ，OD ，OE .(1)求证：∠EDO ＝∠EBO ； (2)填空：若AB ＝8，①△AOD 的最大面积为 ；②当DE ＝ 时，四边形OBED 为菱形.第7题图8. 如图，点A ，C ，B 是⊙O 上三点，且C 是劣弧AB ︵的中点，点E ，F 是弦AB 上两点，且AF ＝BE . (1)求证：OE ＝OF ；(2)填空：若⊙O 的半径为2，①当∠AOB ＝ 时，四边形AOBC 是菱形； ②当∠AOB ＝90°时，四边形AOBC 的面积是 .第8题图9. 如图，在▱ABCD 中，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是劣弧BC ︵上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，连接P A ，PB ，P C.(1)求证：CA＝CB；(2)当AP＝AC时，试判断△APC与△CBA是否全等，请说明理由；(3)填空：当∠D＝时，四边形ABCD是菱形.第9题图10.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①当∠B＝时，四边形BDEO是菱形；②当∠B＝时，△AOE是直角三角形.第10题图11.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，连接BD，C D.(1)求证：△BDE≌△CDE；(2)填空：①连接CF，当∠BAC＝时，四边形BDCF是菱形；②当∠FBD＝时，四边形ABDC是正方形.第11题图12.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝O C.(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：①当∠B＝时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由.第12题图参考答案类型一与切线判定有关的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴在Rt△NDM中，由勾股定理得，MN＝DM2＋DN2＝2 2.2.(1)证明：如解图，连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACO＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，∵OA为⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线；第2题解图(2)解：如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E . 在Rt △BCE 中，∠B ＝60°，BC ＝2， ∴BE ＝BC ·cos B ＝1，CE ＝3， ∵AB ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝2，∴在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝7， ∴AP ＝AC ＝7.∴在Rt △P AO 中，OA ＝tan30°·7＝33×7＝213， ∴⊙O 的半径为213. 3. (1)证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°， ∵∠BCD ＝∠A ，∴∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴OC ⊥BC .又∵OC 为⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E . 在Rt △BCD 中，∵BC ＝5，BD ＝3， ∴CD ＝4.∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∠BCD ＝∠A ， ∴Rt △BDC ∽Rt △CDA . ∴CD AD ＝BD CD ＝34， ∴AD ＝163.∵OE ⊥CD ， ∴E 为CD 的中点． 又∵点O 是AC 的中点，∴OE ＝12AD ＝83.∴点O 到CD 的距离为83.第3题解图4. (1)证明：∵D 是AC ︵的中点， ∴OD ⊥AC ，即∠AFO ＝90°， ∴∠CAB ＋∠AOF ＝90°.又∵∠CAE ＝2∠C ＝2∠B ＝∠AOF ，∴∠CAE ＋∠CAB ＝∠AOF ＋∠CAB ＝90°＝∠EAO ， ∴EA ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AE 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接AD ，∵∠C ＝∠B ＝∠HDF ，D 是AC ︵的中点， ∴∠C ＝∠DAH ＝∠B ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴Rt △ADH ∽Rt △BDA ， ∵tan C ＝34，∴AD BD ＝DH DA ＝34， ∵DH ＝9，∴AD ＝12，BD ＝16，在Rt △DAB 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝20.第4题解图类型二 与切线性质有关的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接OC ， ∵直线MN 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥MN . ∵BD ∥MN ， ∴OC ⊥BD . ∴BC ︵＝CD ︵. ∴∠BAE ＝∠CAD . 在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACD AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAD， ∴△ABE ≌△ACD (ASA)；第1题解图(2)解：由(1)知∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD ， ∴△BCE ∽△ACB . ∴BC AC ＝CECB. ∵AC ＝AB ＝5，BC ＝3， ∴CE ＝95.∴AE ＝AC －CE ＝165.2. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC . ∵∠C ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴OE ∥BC . ∴∠CBE ＝∠OEB . ∵OE ＝OB ，∴∠EBO ＝∠OEB . ∴∠CBE ＝∠EBO ， ∵CE ⊥BC ，EH ⊥AB ， ∴CE ＝EH .在Rt △EBC 和Rt △EBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝HE ，BE ＝BE ， ∴Rt △EBC ≌Rt △EBH (HL)． ∴BC ＝BH ；第2题解图(2)解：∵AB ＝5，AC ＝4，∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得BC ＝AB 2－AC 2＝3. ∵BC ＝BH ， ∴BH ＝3.∴AH ＝AB －BH ＝5－3＝2. 设CE ＝EH ＝x ，则AE ＝4－x ，在Rt △AEH 中，根据勾股定理可得AH 2＋EH 2＝AE 2， 即22＋x 2＝(4－x )2， 解得x ＝32，∴CE ＝32.3. (1)证明：如解图，连接OD . ∵DE 是半圆O 的切线，切点为D ， ∴OD ⊥DE ，∵BD ＝CD ，OA ＝OB ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC . ∴DE ⊥AC ；第3题解图(2)解：如解图，连接AD ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ， 又∵DC ＝BD ＝2，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD . 又∵DE ⊥AC ， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ABD ∽△DCE . ∴DE AD ＝DCAB ，即DE ＝AD ·DC AB， 在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝3BD ＝6， ∴AD ＝62－22＝42， ∴DE ＝42×26＝423.4. (1)证明：∵BM 是⊙O 的切线， ∴∠ABM ＝90°. ∵BC 平分∠ABM ， ∴∠ABC ＝12∠ABM ＝45°.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝45°， ∴∠CAE ＝∠CBA ；(2)证明：如解图，连接OC 和OD . ∵OC ＝DO ，DE ＝OE ， ∴∠OCD ＝∠ODC ＝∠DOE . ∴△OCD ∽△EDO ， ∴DO OE ＝DCOD，即DO 2＝OE ·DC .又∵OA ＝DO ， ∴OA 2＝OE ·DC ；第4题解图(3)解：由(1)知，△ACB 为等腰直角三角形， ∴C 为AB ︵的中点，CO ⊥AB ， 如解图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ， 设圆的半径为r ，∠DCO ＝θ，则有∠EOD ＝∠CDO ＝θ，∠CEO ＝∠EOD ＋∠CDO ＝2θ，由θ＋2θ＝90°，得θ＝30°， 在Rt △COE 中，OE ＝33r ，则AE ＝r －33r ＝3－33r ，AC ＝2r . 在Rt △AEF 中，AF ＝EF ＝22×3－33r ＝32－66r ， ∴CF ＝AC －AF ＝2r －32－66r ＝32＋66r ，∴tan ∠ACD ＝EFCF ＝32－66r 32＋66r ＝2－ 3.类型三 特殊四边形的动态探究题1. 解：(1)BF ＝AE . 证明如下：由题意可知∠A ＝∠BFC ＝90°，BC ＝BE . ∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠FBC ， 在△ABE 与△FCB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BFC ∠AEB ＝∠FBC BE ＝CB， ∴△ABE ≌△FCB (AAS)．∴AE ＝BF ； (2)①8；【解法提示】设运动时间为t 秒，∵四边形EPCQ 是矩形，∴∠APC ＝90°，∴四边形ABCP 是矩形，∴AP＝BC.由勾股定理知AE＝5，∴EP＝13－5＝8，∴t＝8.②13.【解法提示】∵四边形EPCQ是菱形，∴QE＝QC，∴点Q与点B重合，∴CQ＝CB＝13，∴t＝13.2.(1)证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD，∵CD∥OA，∴∠ADC＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ADC，又∵CD∥OA，∴∠ACD＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACD＝∠ACO，∴△ACD∽△BCA；(2)解：① 45°；【解法提示】∵四边形AOCD为正方形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∵∠BAC＝90°，OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝90°－45°＝45°.②60°.【解法提示】如解图，连接AE，∵AD为切线，∴∠DAE＝∠ECA，∠OAD＝90°.∵四边形AOCE为菱形，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠DAE＝∠ECA＝∠OAC＝30°，∴∠ACO＝30°，∴∠AOB＝∠ACO＋∠OAC＝30°＋30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝60°.第2题解图3. (1)证明：如解图，连接OD，BD，∵∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．∵DE是⊙O的切线，∴BE＝DE.∴∠EBD＝∠EDB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠EBD＋∠C＝90°，∠EDB＋∠CDE＝90°.∴∠C＝∠EDC.∴DE＝CE.∴EB＝EC；第3题解图(2)解：① 30°；【解法提示】当△CDE为等边三角形时，则∠CDE＝∠C＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.②45°.【解法提示】当四边形OBED是菱形时，BO＝DE，DE∥OB，BE＝OD，BE∥OD，∵∠ABC＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OD＝OA，∴∠BAC＝45°.4. (1)证明：∵AC是⊙O的直径，CE⊥AC，∴CE是⊙O的切线．又∵DF是⊙O的切线，且交CE于点F，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠E＝90°，∠CDF＋∠EDF＝90°，∴∠E＝∠EDF，∴DF＝EF，∴EF＝FC；(2)解：① 45°；【解法提示】如解图，连接OD，∵四边形ODFC是正方形，∴∠DOC＝90°，又∵OD＝OC，∴∠OCD ＝∠ODC＝45°，∴∠ACD＝∠OCD＝45°.第4题解图②9.【解法提示】∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∵AD ＝4，DC ＝2，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝25，∴要使四边形ABCD 的面积最大，则△ABC 的面积最大，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，△ABC 的面积最大，∴四边形ABCD 的最大面积＝12×4×2＋12×25×5＝9.5. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE ＝∠DAO ， ∴∠DAE ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 为⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；第5题解图(2)解：① 60°；【解法提示】如解图，连接CD ，当四边形ACDO 为菱形时，AO ∥CD ，AC ∥OD ，已知AD 为∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠ODA ＝∠ADC ＝∠CAD ，又∵∠CDA ＝∠CBA ，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝30°，∠BAC ＝60°.②8.【解法提示】如解图，设OD 与BC 交于点G ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AC ，∴四边形CEDG 是矩形，∴DG ＝CE ，∵AC ＝3CE ，∴OG ＝12AC ＝32CE ，∴OD ＝52CE ＝5，∴CE ＝2，∴AC ＝6，∵AB ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.6. (1)证明：如解图，∵PC 与⊙O 相切于点P ， ∴OP ⊥PC . ∵AC ⊥PC ， ∴AC ∥OP . ∴∠1＝∠3. ∵OP ＝OA ， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP 平分∠CAB ；第6题解图(2)解：① 22；【解法提示】∵AOPC 为正方形，∴OP ＝OA ＝2，∠POA ＝90°，∴AP ＝OP 2＋OA 2＝2 2.② 23π或43π. 【解法提示】当AD ＝AP ＝OP ＝OD 时，∵四边形ADOP 为菱形，∴△AOP 和△AOD 为等边三角形，则∠AOP ＝60°，lAP ︵＝60×2π180＝23π；当AD ＝DP ＝PO ＝OA 时，∵四边形ADPO 为菱形，∴△AOD 和△DOP 为等边三角形，则∠AOP ＝120°，lAP ︵＝120×2π180＝43π.综上所述，当弧AP 为23π或43π时，以A ，D ，O ，P 为顶点的四边形是菱形．7. (1)证明：如解图，连接AE ,第7题解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵P A ＝AB ，∴E 为PB 的中点，∵AO ＝OB ，∴OE ∥P A ，∴∠ADO ＝∠DOE ，∠A ＝∠EOB ，∵OD ＝OA ，∴∠A ＝∠ADO ，∴∠EOB ＝∠DOE ，∵OD ＝OE ＝OB ，∴∠EDO ＝∠EBO ；(2)解：① 8；【解法提示】∵AB ＝8，∴OA ＝4，当OA 边上的高最大时，△AOD 的面积最大，此时点D 是AB ︵的中点，∴OD ⊥AB ，∴S △AOD ＝12×4×4＝8. ② 4.【解法提示】当四边形OBED 为菱形时，OD ＝OB ＝BE ＝DE ＝12AB ，∴DE ＝4. 8. (1)证明：∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵AF ＝BE ，∴AE ＝BF ，在△OAE 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠OAB ＝∠OBA AE ＝BF，∴△OAE ≌△OBF (SAS)，∴OE ＝OF ；(2)解：①120°；② 2.【解法提示】①如解图，连接OC ，∵四边形AOBC 是菱形，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∵OA ＝OC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ＝OC ，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOB ＝∠AOC＋∠BOC ＝60°＋60°＝120°；②如解图，设OC 与AB 交于点D ，∵点C 是劣弧AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴AD ＝BD ，∠AOC ＝∠BOC ＝45°，∴OD ＝BD ，∵OB ＝2，∴BD ＝OD ＝1，∴AB ＝2，∴S 四边形AOBC ＝S △AOB ＋S △ACB ＝12AB ·OD ＋12AB ·CD ＝12AB ·OC ＝12×2×2＝ 2.第8题解图9. (1)证明：如解图，连接CO 并延长交AB 于点E ，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴CE ⊥CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴CA ＝CB ；第9题解图(2)解：当AC ＝AP 时，△APC ≌△CBA .理由如下：∵CA ＝CB ，AC ＝AP ，∴∠ABC ＝∠BAC ，∠APC ＝∠ACP ，∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠BAC ＝∠ACP ，在△APC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠CBA ∠ACP ＝∠CAB AC ＝CA，∴△APC ≌△CBA (AAS)；(3)解：60°.【解法提示】∵ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，由(1)可知，CA ＝CB ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.10. (1)证明：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA ＝90°.∵D 为BC 的中点，∴BD ＝DC ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①当∠B ＝60°时，四边形BDEO 是菱形．如解图，连接OD ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，△OBD 是等边三角形，∴△AOE 是等边三角形，△DOE 是等边三角形，∴OB ＝BD ＝DE ＝EO , ∴四边形BDEO 是菱形；②若△AOE 是直角三角形， 只有一种情况，即∠AOE ＝90°，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠AEO ＝45°，由(1)知 △ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝180°－45°2＝67.5°.第10题解图11. (1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC AD ＝AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，在△BDE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠ADB ＝∠ADC DE ＝DE，∴△BDE ≌△CDE (SAS)；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①∵四边形BDCF 是菱形，∴∠FBC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝∠DBC ，又∵∠ABD ＝90°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°；②∵四边形ABDC 是正方形，∴∠ABC ＝∠DBC ＝45°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝22.5°，∴∠FBD ＝∠FBC ＋∠DBC ＝22.5°＋45°＝67.5°.12. (1)证明：∵OA ＝OC ，AD ＝OC ，∴OA ＝AD ，∠OAC ＝∠OCA ，∴∠AOD ＝∠ADO ，∵OD ∥AC ，∴∠OAC ＝∠AOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠AOD ＝∠ADO ，∴∠AOC ＝∠OAD ，∴OC ∥AD ，∵OC ＝AD ，∴四边形OCAD 是平行四边形；(2)解：①30°；【解法提示】∵四边形OCAD 是菱形，∴OC ＝AC ，又∵OC ＝OA ，∴OC ＝OA ＝AC ，∴∠AOC ＝60°，∴∠B ＝12∠AOC ＝30°. ②当∠B ＝45°时，AD 与⊙O 相切．理由如下：∵AD 与⊙O 相切，∴∠OAD ＝90°，∵AD ∥OC ，∴∠AOC ＝90°，1∴∠B＝2∠AOC＝45°.。

圆50题一、选择题：1.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BCD=70°，则∠BAD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°3.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．64.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120°D．140°5.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=（）A.100°B.72°C.64°D.36°6.如图,⊙O是△ABC的外接圆,弦AC的长为3,sinB=0.75,则⊙O的半径为( )A.4B.3C.2D.7.如图，圆锥的底面半径OB=6cm,高OC=8cm.则这个圆锥的侧面积是（）A.30cm2B.30πcm2C.60πcm2D.120cm28.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是弧BE的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE9.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,分别连接AC、BC、CD、OD．∠DOB=140°，则∠ACD=（）A.20°B.30°C.40°D.70°10.如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙C半径为（）A.2.6B.2.5C.2.4D.2.311.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A ．勾股定理B ．勾股定理是逆定理C ．直径所对的圆周角是直角D ．90°的圆周角所对的弦是直径12.如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ， 若30A ∠=︒，70APD ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒13.如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ） A ．45° B ．30° C ．75° D ．60°14.如图,阴影部分是两个半径为1的扇形,若α=120°,β=60°,则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A. B. C. D.15.以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是钝角三角形第11题 CAD PO16.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是（）A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣17.已知圆锥底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥母线与高夹角为θ，如图,则sinθ值为（）A. B. C. D.18.如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC 于点E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为（）.A. B. C. 1.5 D.19.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是（）A. 6B.C. 9D.20.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为（）A.1.5B.2C.D.二、填空题：21.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是22.如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为2.5,CD=4,则弦AC的长为 .23.如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°则∠ADC的度数为 .24.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为．25.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．26.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DAB=130°,连接OC,点P是半径OC上任意一点,连接DP,BP,则∠BPD可能为度（写出一个即可）．27.如图，AC是⊙O的直径，∠1=46°，∠2=28°，则∠BCD=______．28.如图,小亮将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为正六边形为EFMNPQ（忽略铁丝的粗细），则所得正六边形的面积为．29.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于．30.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．31.将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．32.如图,已知⊙O半径为2,从⊙O外点C作⊙O的切线CA和CB,切点分别为点A和点D,∠ACB=90°，BC=2，则图中阴影部分的面积是．33.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.34.如图,AB是⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M，N分别是AB，BC的中点,则MN长的最大值是．35.AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．36.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．37.如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米.38.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)，B(1﹣a,0)，C(1+a,0)(a＞0),点P在以D（4,4）为圆心，1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则a的最大值是．39.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣4k+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．40.如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，D为平面内一动点，连接DA、DC，且∠ADC 度数始终等于30°，连接BD，则BD的最大值为 .三、解答题：41.如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．42.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．43.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．44.如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．45.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．46.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．47.已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（Ⅰ）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．48.如图1，在直角坐标系xoy中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，16/3）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求证：y轴是⊙G的切线；（2）请求⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？49.如图,⊙O的半径r=25,四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H,P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH,求BD的长；（3）在（2）的条件下,求四边形ABCD的面积．50.如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．参考答案1.B2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.B9.A10.D11.C12.C13.D14.B15.C16.A17.B18.B19.C20.解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．21.答案为：65°；22.答案为：223.答案为：110°24.答案为：3π．25.答案为：48．26.答案为：80．27.答案为：72°28.答案为：6．29.答案为：130°．30.答案为：431.答案为：4．32.答案为：3．33.答案：534.答案为：3．35.答案为：．36.答案为：π．37.答案：5.38.答案为6．39.答案为：24．40.答案为：；(提示：以AC为半径作⊙O，连接BO并延长，交⊙O于D点，则BD最长)41.答案为：8.42.（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD==，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴，∴OA=3，∴⊙O半径=3．43.【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=0.5BC=0.5AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．44.【解答】（1）①证明：连接OC．∵OA=OB，AC=CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．②证明：∵OA=OB，AC=CB，∴∠AOC=∠BOC，∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，∴∠BOC=∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF=∠OCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC=∠CDF．（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN=NF=3，在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON==4，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD===4．45.答案为：∠APB=60°AP=346.【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．47.【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切，∴∠OAC=90°．∵∠OCA=60°，∴∠AOC=30°．∵OC⊥OB，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=AD，∠DAC=60°∴AD=CD=AC．∵OA=1，∴OD=AC=OA•tan∠AOC=．（2）∵OC⊥OB，∴∠OBE=∠OEB=45°．∵BE∥OA，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．∵∠DAC=90°﹣∠OAB=67.5°=∠ADC，∴AC=CD．∵OC==，∴OD=OC﹣CD=﹣1．48.49.解：（1）PD与圆O相切．理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，∵DE是直径，∴∠DAE=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，∵∠PDA=∠ABD=∠AED，∴∠PDA+∠ADE=90°，即PD⊥DO，∴PD与圆O相切于点D；（2）∵tan∠ADB=∴可设AH=3k，则DH=4k，∵PA=AH，∴PA=（4﹣3）k，∴PH=4k，∴在Rt△PDH中，tan∠P==，∴∠P=30°，∠PDH=60°，∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，∴BD=DE•cos30°=；（3）由（2）知，BH=﹣4k，∴HC=（﹣4k），又∵PD2=PA×PC，∴（8k）2=（4﹣3）k×[4k+（25﹣4k）]，解得：k=4﹣3，∴AC=3k+（25﹣4k）=24+7，∴S四边形ABCD=BD•AC=×25×（24+7）=900+．50.（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=0.5∠AOF=30°（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=0.5BE=5又Rt△ADE∽Rt△CGE∴sin∠ECG=sin∠A=，∴CE==13∴CG==12，又CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得=∴AD=•CG=4.8∴⊙O的半径为2AD=9.6．。

2020年中考数学题型08 与圆有关的证明与计算题一、单选题1．如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的AB O OC AB ⊥O C D O 30ADC ∠=︒BOC ∠度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC =∠OCA =∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC =∠AOC =60°即可．【详解】解：如图，∵，30ADC ∠=︒∴．260AOC ADC ∠=∠=︒∵是的弦，交于点，AB O OC AB ⊥O C ∴．AC BC =∴．60AOC BOC ∠=∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明.AC BC =2．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点AB O A AO BO 、BO O C BO O ，连接，若，则的度数为( )D AD 36ABO ∠=oADC ∠A ．B ．C ．D ．54o36o32o27o【答案】D【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得AOB ∠OAD ODA ∠=∠出ADC∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=o903654AOB ∴∠=-=o o oOD OA=Q OAD ODA∠=∠∴AOB OAD ODA∠=∠+∠Q 27ADC ADO ∴∠=∠=o故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3．如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为ABC ∆O 119A ∠=︒C BO P P ∠（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°【答案】A【分析】根据题意连接OC ，为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可COP ∆计算的的度，再根据直角三角形可得的度数.COP ∠P ∠【详解】根据题意连接OC .因为119A ∠=︒所以可得BC 所对的大圆心角为 2119238BOC ︒︒∠=⨯=因为BD 为直径，所以可得 23818058COD ︒︒︒∠=-=由于为直角三角形COP ∆所以可得 905832P ︒︒︒∠=-=故选A .【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中O 40AB m =CAB 点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）10CD m =A ．B ．C ．D ．25m 24m 30m 60m【答案】A【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．【详解】解：，OC AB ⊥ ，20AD DB m ∴==在中，，Rt AOD ∆222OA OD AD =+设半径为得：，r ()2221020r r =-+解得：，25r m =这段弯路的半径为∴25m故选：A ．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用r 表示出OD 、OB 的长度．5．如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，C OAB OB OAC ∆AC OAB D 且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长:1:3BD AD ''=BD 'BD OAB 的比为（ ）A ．B ．C ．D ．1:31:π1:42:9【答案】D【分析】连接OD ，求出∠AOB ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接交AC 于．OD M由折叠的知识可得：，，12OM OA=90OMA ∠=︒，30OAM ∴∠=︒，60AOM ∴∠=︒且， :1:3BDAD ''=80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为，母线长为，r l ，802180lr ππ=．:2:9r l ∴=故选：．D 【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.6．如图，边长为的内切圆的半径为( )ABC ∆A ．1BC ．2D．【答案】A【分析】连接AO 、CO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，利用内心的性质得CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，再根据等边三角形的性质得∠CAB =60°，CH ⊥AB ，则∠OAH =30°，AH =BH = AB =3，然后利用正切的定义12计算出OH 即可．【详解】设的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，ABC ∆∵为等边三角形，ABC ∆∴CH 平分，AO 平分，∵为等边三角形，BCA ∠BAC ∠ABC ∆∴，，60CAB ︒∠=CH AB ⊥∴，30OAH ︒∠=12AH BH AB ===在中，∵，Rt AOH ∆OHtan tan 30AHOAH ︒∠==∴，1OH ==即内切圆的半径为1．ABC ∆故选A ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =，BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )ABC ．D ．2π2π+π-2π-【答案】A【分析】连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD =2AH ，∠AHO =90°，在Rt △ABC 中，利用∠A 的正切值求出∠A =30°，继而可求得OH 、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD 进行计算即可.【详解】连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD =2AH ，∠AHO =90°，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =，BC =2，tan ∠A=，BC AB ==∴∠A =30°，∴OH =OA，AH =AO •cos∠A ，∠BOC=2∠A =60°，1232=∴AD =2AH =，3∴S 阴影=S△ABC -S △AOD -S扇形BOD =，112322⨯-⨯2π-故选A .【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF )的面积是( )A ．4B ．6.25C ．7.5D ．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC =90°，继而证明四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，利用面积法求出r 的值即可求得答案.【详解】∵AB =5，BC =13，CA =12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC =90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO =∠AEO =90°，且AE =AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE =OF =r ，∴S 四边形AEOF =r ²，连接AO ，BO ，CO，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴，11()22AB AC BC r AB AC++=⋅∴r =2，∴S 四边形AEOF =r ²=4，故选A .【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交AB O C D O BC ABD ∠AD BC OC 于点，，则下列结论不一定成立的是（ ）E FA ．B ．C ．D ．OC BD AD OC ⊥CEF BED ∆≅∆AF FD=【答案】C【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出90ADB ∠=︒OBC DBC ∠=∠，得出，证出，选项A 成立；由平行线的性质得出OCB OBC ∠=∠DBC OCB ∠=∠OC BD ，选项B 成立；由垂径定理得出，选项D 成立；和中，没有相等的边，AD OC ⊥AF FD =CEF ∆BED ∆与不全等，选项C 不成立，即可得出答案．CEF ∆BED ∆【详解】∵是的直径，平分，AB O BC ABD ∠∴，，90ADB ∠=︒OBC DBC ∠=∠∴，AD BD ⊥∵，OB OC =∴，OCB OBC ∠=∠∴，DBC OCB ∠=∠∴，选项A 成立；OC BD ∴，选项B 成立；AD OC ⊥∴，选项D 成立；AF FD =∵和中，没有相等的边，CEF ∆BED ∆∴与不全等，选项C 不成立，CEF ∆BED ∆故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．10．如图，在中，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，Rt ABC ∆90304ACB A BC ∠=︒∠=︒=，，，则图中阴影部分的面积为（）A ．B．C．D．43π23π13π-13π-【答案】A【分析】根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据扇60B ∠︒∥12090COD CDB ∠︒∠︒＝，＝形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵在中，，Rt ABC ∆9030ACB A ∠︒∠︒＝，＝，60B ∴∠︒＝，120COD ∴∠︒＝，BC 为半圆O 的直径，4BC ＝，90CDB ∴∠︒＝，2OC OD ∴＝＝，CD ∴==图中阴影部分的面积2120214136023CODCOD S S ππ∆⋅⨯-⨯=扇形＝﹣＝，故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。

《圆：切线长定理》知识梳理：（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．综合练习：一．选择题1．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为（）A．2 B．3 C．3.5 D．42．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形3．如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P＝56°，则∠MON＝（）A．56°B．60°C．62°D．不可求4．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．107．如图△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）A．B．C．D．8．PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（）A．36°B．63°C．126°D．46°9．如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°10．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O 于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④二．填空题11．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，PA＝6，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是．12．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝．13．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE＝．14．如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．则⊙O的半径．15．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为．16．如图，PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝10cm，则△PEF的周长是cm，若∠P＝35°，则∠AOB＝（度），∠EOF＝（度）．17．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝，△PMN的面积是．三．解答题18．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．19．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB ＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．（1）求△PDE的周长；（2）若DE＝cm，求图中阴影部分的面积．20．已知：AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．①求BC的长；②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．参考答案一．选择题1．解：由切割线定理，得DE2＝EA•EB，∵AB＝3，ED＝2，∴4＝AE（AE+3），解得AE＝1或﹣4（舍去），∵CB切⊙O于B，∴∠B＝90°，∴根据勾股定理得，BC2+42＝（BC+2）2，∴BC＝3．故选：B．2．解：A、矩形只有外接圆，没有内切圆，故本选项不符合题意；B、菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意；C、正方形既有外接圆，也有内切圆，故本选项符合题意；D、矩形只有外接圆，没有内切圆，菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意；故选：C．3．解：∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠P＝124°，∠AMN+∠BNM＝360°﹣124°＝236°，∵MA、MC是⊙O的切线，∴∠AMO＝∠CMO，∵NB、NC是⊙O的切线，∴∠BNO＝∠CNO，∴∠CMO+∠CNO＝（∠AMN+∠BNM）＝118°，∴∠MON＝180°﹣118°＝62°，故选：C．4．解：连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH＝OF＝OE，∵S△AOB＝•OB•AH＝•AB•OE，∴OB＝AB，同理可证：CD＝CO，∴AB+CD＝BC，故选：B．5．解：由8CF＝DF，得CF＝15×＝，则CH2＝CF×DC，故CH＝5，设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG，故AG＝20﹣x，又∵5AE＝4DE，∴DE＝x，AE＝x，则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2＝x2，解得：x＝12，故BH＝BC﹣CH＝7．故选：C．6．解：连接OA，∵PA切⊙O于A，∴∠OAP＝90°，∴在Rt△OAP中，OP＝10，OA＝6，由勾股定理得：PA＝8，∵PA，PB分别切⊙O于点A和点B，DE切⊙O于C，∴PA＝PB＝8，DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16，故选：A．7．解：连接OA，OB．则OA⊥AP，OB⊥PB，∴在四边形APBO中，∠P+∠AOB＝180°，又∵∠AOB＝2∠ACB，∠ABC＝2∠P，设∠ACB＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣4∠P，∴∠AOB＝360°﹣8∠P，∴∠P+∠AOB＝∠P+（360°﹣8∠P）＝180°，∴∠P＝，∴∠ACB＝180﹣4×＝，∴∠ACB的弧度数为．故选：A．8．解：如图，连接OA，OB，OE，∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∴∠AOC＝∠EOC，同理∠BOD＝∠DOE，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝126°，∴∠COD＝63°．故选：B．9．解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．故选：D．10．解：连接OD，DE，EB，CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，∵OC＝OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO，∴∠COD＝∠COB，∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，∴AD∥OC，故①正确；∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，又∵BE⊥GF，∴FB＝GB，由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，∴∠BCE＝∠GBA，而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），∴∠AGB＝∠CFE，∴△ABG∽△CEF，∴CE•GB＝AB•CF，又∵FB＝GB，∴CE•FB＝AB•CF故④正确．因此正确的结论有：①②④．故选：D．二．填空题（共7小题）11．解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB，同理，DA＝DC，EB＝EC．∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝2×6＝12．故答案是：12．12．解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD＝CE，∵∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴AD＝CE，∵AD＝2，∴CE＝2．故答案为：2．13．解：设正方形ABCD的边长为4a，EC＝x，∵AF为半圆O的切线，∴AF＝AB＝4a，EC＝EF＝x，在Rt△ADE中，DE＝4a﹣x，AE＝4a+x，∴AE2＝AD2+DE2，即（4a+x）2＝（4a）2+（4a﹣x）2，解得x＝a，∴AE＝5a，DE＝3a，在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．故答案为．14．解：连接OP，OB，∵AP为⊙O切线，PB为⊙O切线，∴PA＝PB，∵∠APO＝∠BPO，PG＝PG，∴△APG≌△BPG，∴∠PGA＝90°，∵△APO为直角三角形，∠APG＝∠APG，∴△PGA∽△PAO，根据垂径定理，得到AG＝GB，在R t△PAG中，PG＝＝4，∵△PGA∽△AGO，∴＝，∴＝，∴AO＝．故答案为：．15．解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAC＝35°，∴∠AOB＝110°，∵PA，PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠AOB+∠PAO+∠PBO＝360°，∴∠P＝70°．故答案为：70°．16．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴PA＝PB＝10cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝20（cm）；∵PA、PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣35°＝145°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝72.5°，∠EOF＝72.5°．故答案为20；145；72.5．17．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB；∵CD＝CB，∴CM＝CD＝4．设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x；在Rt△CDE中，由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1；故AE＝1．（2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3；则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP，∴PM＝PN；故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME•cos∠DEC＝，MR＝ME•sin∠DEC＝；过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM＝；易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，∴＝（）2＝；∵S△REM＝MR•RE＝××＝，∴S△PMG＝×＝，故S△PMN＝2S△PMG＝．三．解答题（共3小题）18．解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，∴DE＝DA+EB，∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，即△PDE的周长为12；（2）连接OF，∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，∵∠APB＝52°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．19．解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD＝PE+BE+AD+PD＝PA+PB＝3cm+3cm＝6cm；（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，∵PA、PB、OC是⊙O的切线，∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，∴∠OBP＝∠OPA＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠BOA＝120°，∵BE＝CE，DC＝DA，∴S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，∴S五边AOBED＝2S△ODE＝2×××＝4，∴图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB＝4﹣＝（4﹣π）cm2．20．解：①过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，∵DE与⊙O相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC，设BC＝x，则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，解得：x＝，即BC＝；②∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC+CG＝5，∴AE：EG＝4：5，在Rt△ABG中，AG＝＝3，∴EG＝AG＝．。

题型四与圆有关的证明与计算类型一与切线判定有关的证明与计算1.如图，D是⊙O上的一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BD C.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长.第1题图2.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝A C.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若AB＝3，BC＝2，求⊙O的半径.第2题图3.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BC ＝5，BD ＝3，求点O 到CD 的距离.第3题图4.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC ︵的中点，E 为OD 延长线上一点，且∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)若DH ＝9，tan C ＝ 34 ，求直径AB 的长.第4题图类型二与切线性质有关的证明与计算1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，连接AD，C D.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝5，BC＝3，求AE的长.第1题图2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.(1)求证：BC＝BH；(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的长.第2题图3.如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接BD并延长至点C，使CD＝BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若BD＝2，且AB＝3BD，求DE的长.第3题图4.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.(1)求证：∠CAE＝∠CBA；(2)求证：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值.第4题图类型三特殊四边形的动态探究题1.如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F.(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明；(2)若AB＝12，BC＝13，P从E出发沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位.填空：①当运动时间为秒时，四边形EPCQ是矩形；②当运动时间为秒时，四边形EPCQ是菱形.第1题图2.如图，已知BC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E.(1)求证：△ACD∽△BCA；(2)若A是⊙O上一动点，则①当∠B＝时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；②当∠B＝时，以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形.第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：EB＝EC；(2)填空：①当∠BAC＝时，△CDE为等边三角形；②连接OD，当∠BAC＝时，四边形OBED是菱形.第3题图4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线，交EC于点F.(1)求证：EF＝FC；(2)填空：①当∠ACD的度数为时，四边形ODFC为正方形；②若AD＝4，DC＝2，则四边形ABCD的最大面积是.第4题图5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)填空：①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；②若⊙O的半径为5，AC＝3CE，则BC的长为.第5题图6.如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点P，过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接P A，PB，PO.(1)求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP＝时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当弧AP＝时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形.第6题图7. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，点P 为⊙O 外一点，且P A ＝AB ，P A ，PB 交⊙O 于D ，E 两点，∠P AB 为锐角，连接DE ，OD ，OE .(1)求证：∠EDO ＝∠EBO ； (2)填空：若AB ＝8，①△AOD 的最大面积为 ；②当DE ＝ 时，四边形OBED 为菱形.第7题图8. 如图，点A ，C ，B 是⊙O 上三点，且C 是劣弧AB ︵的中点，点E ，F 是弦AB 上两点，且AF ＝BE . (1)求证：OE ＝OF ；(2)填空：若⊙O 的半径为2，①当∠AOB ＝ 时，四边形AOBC 是菱形； ②当∠AOB ＝90°时，四边形AOBC 的面积是 .第8题图9. 如图，在▱ABCD 中，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是劣弧BC ︵上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，连接P A ，PB ，P C.(1)求证：CA ＝CB ；(2)当AP ＝AC 时，试判断△APC 与△CBA 是否全等，请说明理由； (3)填空：当∠D ＝ 时，四边形ABCD 是菱形.第9题图10. 如图，以△ABC 一边AB 为直径作⊙O ，与另外两边分别交于点D 、E ，且点D 为BC 的中点，连接DE .(1)证明：△ABC 是等腰三角形； (2)填空：①当∠B ＝ 时，四边形BDEO 是菱形； ②当∠B ＝ 时，△AOE 是直角三角形.第10题图11.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，连接BD，C D.(1)求证：△BDE≌△CDE；(2)填空：①连接CF，当∠BAC＝时，四边形BDCF是菱形；②当∠FBD＝时，四边形ABDC是正方形.第11题图12.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝O C.(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：①当∠B＝时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由.第12题图参考答案类型一与切线判定有关的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴在Rt△NDM中，由勾股定理得，MN＝DM2＋DN2＝2 2.2.(1)证明：如解图，连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACO＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，∵OA为⊙O的半径，∴P A 是⊙O 的切线；第2题解图(2)解：如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E . 在Rt △BCE 中，∠B ＝60°，BC ＝2， ∴BE ＝BC ·cos B ＝1，CE ＝3， ∵AB ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝2，∴在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝7， ∴AP ＝AC ＝7.∴在Rt △P AO 中，OA ＝tan30°·7＝33×7＝213， ∴⊙O 的半径为213. 3. (1)证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°， ∵∠BCD ＝∠A ，∴∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴OC ⊥BC .又∵OC 为⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E . 在Rt △BCD 中，∵BC ＝5，BD ＝3， ∴CD ＝4.∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∠BCD ＝∠A ， ∴Rt △BDC ∽Rt △CDA . ∴CD AD ＝BD CD ＝34， ∴AD ＝163.∵OE ⊥CD ， ∴E 为CD 的中点．又∵点O 是AC 的中点， ∴OE ＝12AD ＝83.∴点O 到CD 的距离为83.第3题解图4. (1)证明：∵D 是AC ︵的中点， ∴OD ⊥AC ，即∠AFO ＝90°， ∴∠CAB ＋∠AOF ＝90°.又∵∠CAE ＝2∠C ＝2∠B ＝∠AOF ，∴∠CAE ＋∠CAB ＝∠AOF ＋∠CAB ＝90°＝∠EAO ， ∴EA ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AE 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接AD ，∵∠C ＝∠B ＝∠HDF ，D 是AC ︵的中点， ∴∠C ＝∠DAH ＝∠B ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴Rt △ADH ∽Rt △BDA ， ∵tan C ＝34，∴AD BD ＝DH DA ＝34， ∵DH ＝9，∴AD ＝12，BD ＝16，在Rt △DAB 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝20.第4题解图类型二 与切线性质有关的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接OC ， ∵直线MN 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥MN . ∵BD ∥MN ， ∴OC ⊥BD . ∴BC ︵＝CD ︵. ∴∠BAE ＝∠CAD . 在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACD AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAD， ∴△ABE ≌△ACD (ASA)；第1题解图(2)解：由(1)知∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD ， ∴△BCE ∽△ACB . ∴BC AC ＝CECB. ∵AC ＝AB ＝5，BC ＝3， ∴CE ＝95.∴AE ＝AC －CE ＝165.2. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC . ∵∠C ＝90°， ∴BC ⊥AC .∴∠CBE ＝∠OEB . ∵OE ＝OB ， ∴∠EBO ＝∠OEB . ∴∠CBE ＝∠EBO ， ∵CE ⊥BC ，EH ⊥AB ， ∴CE ＝EH .在Rt △EBC 和Rt △EBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝HE ，BE ＝BE ，∴Rt △EBC ≌Rt △EBH (HL)． ∴BC ＝BH ；第2题解图(2)解：∵AB ＝5，AC ＝4，∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得BC ＝AB 2－AC 2＝3. ∵BC ＝BH ， ∴BH ＝3.∴AH ＝AB －BH ＝5－3＝2. 设CE ＝EH ＝x ，则AE ＝4－x ，在Rt △AEH 中，根据勾股定理可得AH 2＋EH 2＝AE 2， 即22＋x 2＝(4－x )2， 解得x ＝32，∴CE ＝32.3. (1)证明：如解图，连接OD . ∵DE 是半圆O 的切线，切点为D ， ∴OD ⊥DE ，∵BD ＝CD ，OA ＝OB ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC .第3题解图(2)解：如解图，连接AD ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ， 又∵DC ＝BD ＝2，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD . 又∵DE ⊥AC ， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ABD ∽△DCE . ∴DE AD ＝DCAB ，即DE ＝AD ·DC AB， 在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝3BD ＝6， ∴AD ＝62－22＝42， ∴DE ＝42×26＝423.4. (1)证明：∵BM 是⊙O 的切线， ∴∠ABM ＝90°. ∵BC 平分∠ABM ， ∴∠ABC ＝12∠ABM ＝45°.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝45°， ∴∠CAE ＝∠CBA ；(2)证明：如解图，连接OC 和OD . ∵OC ＝DO ，DE ＝OE ， ∴∠OCD ＝∠ODC ＝∠DOE . ∴△OCD ∽△EDO ，∴DO OE ＝DCOD，即DO 2＝OE ·DC . 又∵OA ＝DO ， ∴OA 2＝OE ·DC ；第4题解图(3)解：由(1)知，△ACB 为等腰直角三角形， ∴C 为AB ︵的中点，CO ⊥AB ， 如解图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ， 设圆的半径为r ，∠DCO ＝θ，则有∠EOD ＝∠CDO ＝θ，∠CEO ＝∠EOD ＋∠CDO ＝2θ，由θ＋2θ＝90°，得θ＝30°， 在Rt △COE 中，OE ＝33r ，则AE ＝r －33r ＝3－33r ，AC ＝2r . 在Rt △AEF 中，AF ＝EF ＝22×3－33r ＝32－66r ， ∴CF ＝AC －AF ＝2r －32－66r ＝32＋66r ，∴tan ∠ACD ＝EFCF ＝32－66r 32＋66r ＝2－ 3.类型三 特殊四边形的动态探究题1. 解：(1)BF ＝AE . 证明如下：由题意可知∠A ＝∠BFC ＝90°，BC ＝BE . ∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠FBC ， 在△ABE 与△FCB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BFC ∠AEB ＝∠FBC BE ＝CB， ∴△ABE ≌△FCB (AAS)． ∴AE ＝BF ；(2)①8；【解法提示】设运动时间为t秒，∵四边形EPCQ是矩形，∴∠APC＝90°，∴四边形ABCP是矩形，∴AP＝BC.由勾股定理知AE＝5，∴EP＝13－5＝8，∴t＝8.②13.【解法提示】∵四边形EPCQ是菱形，∴QE＝QC，∴点Q与点B重合，∴CQ＝CB＝13，∴t＝13.2.(1)证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD，∵CD∥OA，∴∠ADC＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ADC，又∵CD∥OA，∴∠ACD＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACD＝∠ACO，∴△ACD∽△BCA；(2)解：① 45°；【解法提示】∵四边形AOCD为正方形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∵∠BAC＝90°，OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝90°－45°＝45°.②60°.【解法提示】如解图，连接AE，∵AD为切线，∴∠DAE＝∠ECA，∠OAD＝90°.∵四边形AOCE为菱形，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠DAE＝∠ECA＝∠OAC＝30°，∴∠ACO＝30°，∴∠AOB＝∠ACO＋∠OAC＝30°＋30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝60°.第2题解图3. (1)证明：如解图，连接OD，BD，∵∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．∵DE是⊙O的切线，∴BE＝DE.∴∠EBD＝∠EDB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠EBD＋∠C＝90°，∠EDB＋∠CDE＝90°.∴∠C＝∠EDC.∴DE＝CE.∴EB＝EC；第3题解图(2)解：① 30°；【解法提示】当△CDE为等边三角形时，则∠CDE＝∠C＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.②45°.【解法提示】当四边形OBED是菱形时，BO＝DE，DE∥OB，BE＝OD，BE∥OD，∵∠ABC＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OD＝OA，∴∠BAC＝45°.4. (1)证明：∵AC是⊙O的直径，CE⊥AC，∴CE是⊙O的切线．又∵DF是⊙O的切线，且交CE于点F，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠E＝90°，∠CDF＋∠EDF＝90°，∴∠E＝∠EDF，∴DF＝EF，∴EF＝FC；(2)解：① 45°；【解法提示】如解图，连接OD，∵四边形ODFC是正方形，∴∠DOC＝90°，又∵OD＝OC，∴∠OCD ＝∠ODC＝45°，∴∠ACD＝∠OCD＝45°.第4题解图② 9.【解法提示】∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∵AD ＝4，DC ＝2，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝25，∴要使四边形ABCD 的面积最大，则△ABC 的面积最大，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，△ABC 的面积最大，∴四边形ABCD 的最大面积＝12×4×2＋12×25×5＝9.5. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE ＝∠DAO ， ∴∠DAE ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 为⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；第5题解图(2)解：① 60°；【解法提示】如解图，连接CD ，当四边形ACDO 为菱形时，AO ∥CD ，AC ∥OD ，已知AD 为∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠ODA ＝∠ADC ＝∠CAD ，又∵∠CDA ＝∠CBA ，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝30°，∠BAC ＝60°.②8.【解法提示】如解图，设OD 与BC 交于点G ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AC ，∴四边形CEDG 是矩形，∴DG ＝CE ，∵AC ＝3CE ，∴OG ＝12AC ＝32CE ，∴OD ＝52CE ＝5，∴CE ＝2，∴AC ＝6，∵AB ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.6. (1)证明：如解图，∵PC 与⊙O 相切于点P ， ∴OP ⊥PC . ∵AC ⊥PC ， ∴AC ∥OP .∴∠1＝∠3.∵OP ＝OA ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP 平分∠CAB ；第6题解图(2)解：① 22；【解法提示】∵AOPC 为正方形，∴OP ＝OA ＝2，∠POA ＝90°，∴AP ＝OP 2＋OA 2＝2 2.② 23π或43π. 【解法提示】当AD ＝AP ＝OP ＝OD 时，∵四边形ADOP 为菱形，∴△AOP 和△AOD 为等边三角形，则∠AOP ＝60°，lAP ︵＝60×2π180＝23π；当AD ＝DP ＝PO ＝OA 时，∵四边形ADPO 为菱形，∴△AOD 和△DOP 为等边三角形，则∠AOP ＝120°，lAP ︵＝120×2π180＝43π.综上所述，当弧AP 为23π或43π时，以A ，D ，O ，P 为顶点的四边形是菱形．7. (1)证明：如解图，连接AE ,第7题解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵P A ＝AB ，∴E 为PB 的中点，∵AO ＝OB ，∴OE ∥P A ，∴∠ADO ＝∠DOE ，∠A ＝∠EOB ，∵OD ＝OA ，∴∠A ＝∠ADO ，∴∠EOB ＝∠DOE ，∵OD ＝OE ＝OB ，∴∠EDO ＝∠EBO ；(2)解：① 8；【解法提示】∵AB ＝8，∴OA ＝4，当OA 边上的高最大时，△AOD 的面积最大，此时点D 是AB ︵的中点，∴OD ⊥AB ，∴S △AOD ＝12×4×4＝8. ② 4.【解法提示】当四边形OBED 为菱形时，OD ＝OB ＝BE ＝DE ＝12AB ，∴DE ＝4. 8. (1)证明：∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵AF ＝BE ，∴AE ＝BF ，在△OAE 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠OAB ＝∠OBA AE ＝BF，∴△OAE ≌△OBF (SAS)，∴OE ＝OF ；(2)解：①120°；② 2.【解法提示】①如解图，连接OC ，∵四边形AOBC 是菱形，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∵OA ＝OC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ＝OC ，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOB ＝∠AOC＋∠BOC ＝60°＋60°＝120°；②如解图，设OC 与AB 交于点D ，∵点C 是劣弧AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴AD ＝BD ，∠AOC ＝∠BOC ＝45°，∴OD ＝BD ，∵OB ＝2，∴BD ＝OD ＝1，∴AB ＝2，∴S 四边形AOBC ＝S △AOB ＋S △ACB ＝12AB ·OD ＋12AB ·CD ＝12AB ·OC ＝12×2×2＝ 2.第8题解图9. (1)证明：如解图，连接CO 并延长交AB 于点E ，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴CE ⊥CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴CA ＝CB ；第9题解图(2)解：当AC ＝AP 时，△APC ≌△CBA .理由如下：∵CA ＝CB ，AC ＝AP ，∴∠ABC ＝∠BAC ，∠APC ＝∠ACP ，∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠BAC ＝∠ACP ，在△APC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠CBA ∠ACP ＝∠CAB AC ＝CA，∴△APC ≌△CBA (AAS)；(3)解：60°.【解法提示】∵ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，由(1)可知，CA ＝CB ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.10. (1)证明：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA ＝90°.∵D 为BC 的中点，∴BD ＝DC ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①当∠B ＝60°时，四边形BDEO 是菱形．如解图，连接OD ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，△OBD 是等边三角形，∴△AOE 是等边三角形，△DOE 是等边三角形，∴OB ＝BD ＝DE ＝EO , ∴四边形BDEO 是菱形；②若△AOE 是直角三角形， 只有一种情况，即∠AOE ＝90°，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠AEO ＝45°，由(1)知 △ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝180°－45°2＝67.5°.第10题解图11. (1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC AD ＝AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，在△BDE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠ADB ＝∠ADC DE ＝DE，∴△BDE ≌△CDE (SAS)；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①∵四边形BDCF 是菱形，∴∠FBC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝∠DBC ，又∵∠ABD ＝90°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°；②∵四边形ABDC 是正方形，∴∠ABC ＝∠DBC ＝45°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝22.5°，∴∠FBD ＝∠FBC ＋∠DBC ＝22.5°＋45°＝67.5°.12. (1)证明：∵OA ＝OC ，AD ＝OC ，∴OA ＝AD ，∠OAC ＝∠OCA ，∴∠AOD ＝∠ADO ，∵OD ∥AC ，∴∠OAC ＝∠AOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠AOD ＝∠ADO ，∴∠AOC ＝∠OAD ，∴OC ∥AD ，∵OC ＝AD ，∴四边形OCAD 是平行四边形；(2)解：①30°；【解法提示】∵四边形OCAD 是菱形，∴OC ＝AC ，又∵OC ＝OA ，∴OC ＝OA ＝AC ，∴∠AOC ＝60°，∴∠B ＝12∠AOC ＝30°. ②当∠B ＝45°时，AD 与⊙O 相切． 理由如下：∵AD 与⊙O 相切， ∴∠OAD ＝90°，∵AD ∥OC ，∴∠AOC ＝90°，∴∠B ＝12∠AOC ＝45°.。

江西省2020届中考数学单元专题练之圆的证明与计算综合大题类型一 与圆基本性质有关的证明与计算1. (8分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)连接CD ，若CD ＝3，BD ＝4，求⊙O 的半径和线段DE 的长．第1题图2. (8分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D . (1)求证：AO 平分∠BAC ；(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，求AC 和CD 的长．第2题图 备用图3. (10分)如图，△ABC内接于⊙O，∠B>∠C，D是BC上一点(点D不与点B、C重合)，将∠B沿AD翻折，点B正好落在⊙O上的点E处，折痕AD交⊙O 于K.(1)求证：AK是⊙O的直径；(2)设∠CAE＝α，试用α的代数式表示∠CDE，并说明理由；(3)若∠B＝β，∠C＝γ，探究α，β，γ之间的等量关系，并加以证明．第3题图4. (10分)已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，交BD于点P.(1)求证：AD＝DE；(2)若CE＝2，求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求△DPE的面积．第3题图类型二与切线有关的证明与计算5. (8分)如图，⊙O的直径AB＝8，点E在圆外，AE交⊙O于点F，C是圆上一点，CD⊥AE于点D，AF＝2CD＝4 2.(1)求BF的长；(2)求证：CD是⊙O的切线．第5题图6. (8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.(1)求证：DE⊥AC；(2)若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．第6题图7. (8分)如图，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点(不与点A、D重合)，以BP为直径作半圆，圆心为点O，半圆O与边BC交于点K，线段OF∥AD，且与CD相交于点F，与半圆O相交于点E，设AP＝x.(1)当x为何值时，四边形OBKE为菱形；(2)当半圆O 与CD 相切时，试求x 的值．第7题图8. (8分)如图，⊙P 过平面直角坐标系的原点O ，与x 轴交于点A (8，0)，与y 轴交于点B (0，－6)，⊙P 的切线DC 垂直于y 轴，垂足为D ，连接OC .(1)求⊙P 的半径；(2)求证：OC 平分∠POD ；(3)求以点B 为切点⊙P 的切线和切线CD 的交点坐标．第8题图9. (12分)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝8，以C 为圆心，4为半径作⊙C .(1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD ＝2，试证明△FCD ∽△ACF ；(3)点E 是AB 边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF ＋12F A 的最小值．第9题图10. (12分)如图①，OA 、OB 是⊙O 的半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连接AD 交OC 于点E .(1)求证：CD ＝CE ； (2)如图②，若将图①中的半径OB 所在直线向上平移，交OA 于点F ，交⊙O 于点B ′，其他条件不变，求证：∠C ＝2∠A ；(3)在(2)的条件下，若CD ＝13，sin A ＝513，求DE 的长．第10题图11. (12分)如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为点N ，连接AC 、点E 在AB 上，且AE ＝CE .(1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)过点B 作⊙O 的切线交EC 的延长线于点P ，试判断PB 与PE 是否相等，并说明理由；(3)设⊙O 半径为4，点N 为OC 中点，点Q 在⊙O 上，求线段PQ 的最小值．第11题图江西省2020届中考数学单元专题练之圆的证明与计算综合大题答案全解全析1. (1) 证明：∵BD 平分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA ， 又∵∠DAC ＝∠CBD ， ∴∠DAC ＝∠DBA ； (2) 解：如解图，第1题解图∵∠CBD ＝∠DBA ， ∴CD ︵＝AD ︵，∴CD ＝AD ， ∵CD ＝3， ∴AD ＝3， ∵∠ADB ＝90°，BD ＝4， ∴AB ＝5，故⊙O 的半径为52，S △ABD ＝12AD ·BD ＝12AB ·DE ， ∴5DE ＝3×4，∴DE ＝125，即线段DE 的长为125.2. (1)证明：如解图，延长AO ，交BC 于点G ，交⊙O 于点E ，连接BE 、CE ，第2题解图∵AB ＝AC ，∴∠AEB ＝∠AEC ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠ACE ＝90°，又∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△ACE，∴∠BAE＝∠CAE，∴AO平分∠BAC；(2)解：∵OA＝OC，AO平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝∠ACO，∵∠COG＝∠CAG＋∠ACO，∴∠COG＝∠BAC，∵sin∠BAC＝3 5，∴sin∠COG＝3 5，∵AB＝AC，AG平分∠BAC，BC＝6，∴CG＝3，∠OGC＝90°，∴OA＝OC＝CGsin∠COG＝5，OG＝OC2－CG2＝4，∴AC＝AG2＋CG2＝310；∵∠ACD＝∠OAD，∠ADC＝∠ODA，∴△ADO∽△CDA，∴ODAD＝ADCD＝OAAC＝5310，∴OD＝5AD310，CD＝310AD5，∴ODCD＝518，即CD－5CD＝518,∴CD＝90 13.3. (1)证明：证法一：如解图，连接BE，∵点B沿折痕AD翻折后与点E重合，第3题解图∴点B与点E关于折痕AD对称，∴AD垂直平分线段BE，∵B、E同在⊙O上，∴AD过圆心O(垂径定理的推论)，∵AD 交⊙O 于点K ， ∴AK 是⊙O 直径；证法二：如解图，连接BE 交AD 于点F , ∵点B 沿折痕AD 翻折后与点E 重合， ∴AB ＝AE ，∠BAF ＝∠EAF , 又∵AF ＝AF ，∴△BAF ≌△EAF (SAS )，∴BF ＝EF ，∠AFB ＝∠AFE ， ∵∠BFE ＝180°，∴∠AFB ＝∠AFE ＝90°， ∴AD 垂直平分线段BE ， ∵B 、E 在⊙O 上， ∴AD 过圆心O (4论)， ∵AD 交⊙O 于点K ， ∴AK 是⊙O 直径； (2)解：∠CDE ＝2α； 理由如下：∵CE ︵＝CE ︵， ∴∠CBE ＝∠CAE ＝α， 由题可知BD ＝DE ， ∴∠DEB ＝∠CBE ＝α， ∴∠CDE ＝2α； (3)解：β＝α＋γ；证明：∵CE ︵＝CE ︵，∴∠CBE ＝∠CAE ＝α，同理，∠C ＝∠AEB ，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝∠C ＝γ， 又∵∠ABC ＝β， ∴β＝α＋γ.4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 又∵AB ＝BC ，∴AD ＝CD ，∠C ＝∠DAB ， 又∵∠DAB ＋∠BED ＝180°，∠BED ＋∠DEC ＝180°， ∴∠DAB ＝∠DEC ， ∴∠C ＝∠DEC ， ∴CD ＝DE ， ∴AD ＝DE ；(2)解：如解图①，连接AE ，第4题解图①∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵AB ＝BC ＝10，CE ＝2， ∴BE ＝BC －CE ＝8，∴在Rt △AEB 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－82＝6， ∴在Rt △AEC 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝62＋22＝210， ∴CD ＝12AC ＝12×210＝10；【一题多解】∵∠DEC ＝∠BAC ，∠C ＝∠C ， ∴△DEC ∽△BAC ， ∴CE CA ＝CD CB ，即2CA ＝CD 10， 又∵AC ＝2CD ，∴22CD ＝CD 10，解得CD ＝10或CD ＝－10(舍去)， 即线段CD 的长为10.(3)解：如解图②，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，第4题解图②∴EH ∥CD ， ∴EH CD ＝BE BC ，即EH 10＝810，解得EH ＝4105，∴在Rt △DEH 中，DH ＝DE 2－EH 2＝（10）2－（4105）2＝3105.∵∠ABD ＋∠BPF ＝90°， ∠ABD ＋∠BAD ＝90°， ∴∠BPF ＝∠BAD ， 又∵∠EPH ＝∠BPF ， ∴∠EPH ＝∠BAD ， ∵∠EHP ＝∠ADB ＝90°， ∴△EPH ∽△BAD ，∴EH BD ＝PH AD ， 又∵在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2－CD 2＝102－（10）2＝310， ∴4105310＝PH 10，解得PH ＝41015， ∴S △DPE ＝12(DH ＋HP )·EH ＝12×(3105＋41015)×4105＝5215. 【一题多解】如解图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ， 由(2)知，AD ＝CD ＝10，∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝ 102－（10）2＝310， 又∵S △ADB ＝12AD ·BD ＝12AB ·DM ， ∴DM ＝AD ·BD AB ＝10×31010＝3，∴在Rt △BDM 中，BM ＝BD 2－DM 2＝（310）2－32＝9， ∵S △AEB ＝12AE ·BE ＝12AB ·EF ， ∴EF ＝AE ·BE AB ＝6×810＝245，∴在Rt △BEF 中，BF ＝BE 2－EF 2＝82－（245）2＝325，∴MF ＝BM －BF ＝9－325＝135.∵∠ABD ＝∠PBF ，∠ADB ＝∠PFB ＝90°， ∴△ADB ∽△PFB ， ∴BD BF ＝AD PF ，即310325＝10PF ，解得PF ＝3215，∴PE ＝EF －PF ＝245－3215＝83，∴S △DPE ＝12PE ·MF ＝12×83×135＝5215.5. (1)解：∵AB 是⊙O 直径， ∴∠AFB ＝90°，∴BF ＝AB 2－AF 2＝82－（42）2＝42，即BF 的长为42； (2)证明：如解图，连接OC ，作OG ⊥AE 于点G ，第5题解图∵OG 垂直平分AF ， OA ＝OB ，∴OG ＝12BF ， ∴BF ＝2OG ，∴BF ＝AF ＝2CD ＝42， ∴OG ＝CD ，∵OG ⊥AE ，CD ⊥AE ， ∴OG ∥CD ，∴四边形OGDC 是矩形， ∴OC ⊥DC ，∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线．6. (1)证明：如解图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD ， ∵OB ＝OA ， ∴OD ∥AC ，∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE ， ∴DE ⊥AC .第6题解图(2)解：如解图，连接BF . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BF ⊥AF ， ∵DE ⊥CF ， ∴DE ∥BF ，∵点D 是BC 的中点， ∴EF ＝EC ，BF ＝2DE . ∵AC ＝AB ＝20， ∴EC ＝20－AE ，∴AF ＝EF －AE ＝EC －AE ＝20－2AE ， ∵AE ＋DE ＝8， ∴DE ＝8－AE ， ∴BF ＝16－2AE ，在Rt △ABF 中，BF 2＋AF 2＝AB 2， 即(16－2AE )2＋(20－2AE )2＝202， 解得AE ＝2或AE ＝16(舍)， ∴AF ＝20－2AE ＝20－4＝16. 7. 解：(1)如解图①，连接PK ，第7题解图①∵BP 是⊙O 的直径， ∴∠BKP ＝90°， 在正方形ABCD 中， ∵∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形ABKP 是矩形， ∴BK ＝AP ＝x ， 又AB ＝4，∴BP ＝BK 2＋PK 2＝16＋x 2，∵OF ∥BC ，OE ＝OB ，∴当OE ＝BK 时，四边形OBKE 为菱形，此时1216＋x 2＝x ，∵x >0，∴x ＝433；∴当x ＝433时，四边形OBKE 为菱形；(2)如解图②，当半圆O 与CD 相切时，延长EO 与AB 相交于点M ，第7题解图②∵OF ∥AD ， ∴OF ⊥CD ，∴此时点E 与点F 重合，∵OF ∥AD ，且O 为BP 的中点，∴BM ＝2，OM ＝x2，∴OE ＝OF ＝4－x2， 在Rt △OBM 中，4＋(x 2)2＝(4－x 2)2， 解得x ＝3，即x 为3时，半圆O 与CD 相切． 8. (1)解：如解图，连接AB ， ∵∠AOB ＝90°， ∴AB 是⊙P 的直径， ∴A (8，0)，B (0，－6)， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝10， ∴⊙P 的半径r ＝12AB ＝5；第8题解图(2)证明：如解图，连接PC ， ∵PO ＝CP ，∴∠POC ＝∠PCO ， ∵DC 切⊙P 于点C ， ∴∠DCO ＋∠PCO ＝90°， 又∵CD ⊥y 轴，∴∠DOC ＋∠DCO ＝90°， ∴∠DOC ＝∠POC ， 即OC 平分∠POD ；(3)解：如解图，过点B 作OP 的切线，与CD 的延长线交于点M ，由题意可设交点M 的坐标为(x ，2)，∵C (4，2)，B (0，－6)， ∴OD ＝2，BD ＝8， ∵MC ＝MB ， ∴MC 2＝MB 2， ∴(x －4)2＝x 2＋82， 解得：x ＝－6， ∴M (－6，2)．9. (1)解：⊙C 与AB 相切．第9题解图①理由：如解图①，作CM ⊥AB 于点M . 在Rt △ACM 中，∵∠AMC ＝90°，∠CAM ＝30°，AC ＝8，∴CM ＝12AC ＝4， ∵⊙C 的半径为4， ∴CM ＝r ，∴AB 是⊙C 的切线；(2)证明：∵CF ＝4，CD ＝2，CA ＝8， ∴CF 2＝CD ·CA ， ∴CF CD ＝CA CF ，∵∠FCD ＝∠ACF ， ∴△FCD ∽△ACF .(3)解：如解图②，作DE ′⊥AB 于E ′，交⊙C 于F ′.第9题解图②∵△FCD ∽△ACF ， ∴DF AF ＝CF CA ＝12，∴DF ＝12AF ，∴EF ＋12AF ＝EF ＋DF ，∴欲求EF ＋12AF 的最小值，就是要求EF ＋DF 的最小值，当E 与E ′，F 与F ′重合时，EF ＋DF 的值最小，最小值＝DE ′＝12AD ＝3. 10. (1)证明：连接OD ，如解图①所示：第10题解图①∵OA ⊥OB ，∴∠AOE ＝90°， ∴∠A ＋∠AEO ＝90°， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠ODC ＝90°，即∠CDE ＋∠ODE ＝90°， 又∵OA ＝OD ， ∴∠A ＝∠ODE ， ∴∠AEO ＝∠CDE ， ∵∠CED ＝∠AEO ， ∴∠CDE ＝∠CED ， ∴CD ＝CE ；(2)证明：连接OD ，作CM ⊥AD 于点M ，如解图②所示： 同(1)可证：CD ＝CE ，则∠ECM ＝∠DCM ＝12∠DCE ，DE ＝2DM ，∠CME ＝90°， ∴∠ECM ＋∠CEM ＝90°， ∵∠A ＋∠AEF ＝90°， ∠AEF ＝∠CEM ， ∴∠A ＝∠ECM ，∴∠A ＝12∠DCE ，即∠C ＝2∠A ；第11题解图②(3)解：连接OD ，作CM ⊥AD 于M ，如解图②所示： 由(1)(2)可知：CD ＝CE ，∠DCE ＝2∠A ，∴DM ＝CD ·sinA ＝13×513＝5， ∴DE ＝2DM ＝10.4. (1)证明：如解图①，连接BC .第11题解图①∵CD ⊥AB ， ∴AC ︵＝BC ︵ . ∴∠ CAB ＝∠ABC ， 在△ACE 和△ABC 中⎩⎨⎧∠CAE ＝∠BAC ∠ACE ＝∠ABC， ∴△ACE ∽△ABC ，则AE AC ＝ACAB ， ∴AC 2＝AE ·AB ；(2)解：相等，理由如下： 如解图②连接BC ，OB .第11题解图②∵CD ⊥AB ， ∴AC ＝BC .∴∠CAB ＝∠ABC ，∠ACN ＝∠BCN . ∵∠ANC ＝90°，∴∠BAC ＋∠ACN ＝90°， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠OBC ＋∠PBC ＝90°. ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠PBC ＝∠CAB ＝∠ABC ，∴∠PBE ＝∠PBC ＋∠ABC ＝2∠ABC .由(1)知∵∠ACE ＝∠CAE ，∠CEB ＝∠CAE ＋∠ACE ， ∴∠PEB ＝2∠CAE ， ∴∠PEB ＝∠PBE ， ∴PB ＝PE ；(3)解：如解图③，连接PO 交⊙O 于点Q ，此时的点Q 即是所求的点．第4题解图③∵由⊙O 的半径为4，点N 为OC 中点，在Rt △OBN 中，BN ＝OB 2－ON 2＝42－22＝23， ∴AB ＝43，又∵CN ＝2，在Rt △ACN 中，由勾股定理可得AC ＝4，由(1)AC 2＝AE ·AB ，知AE ＝433，∴CE ＝433，又∵BE ＝AB －AE ＝43－433＝833，BC ＝AC ＝4，在△BCE 中，BC 2＋CE 2＝42＋(433)2＝643 ，BE 2＝(833)2＝643， ∴BC 2＋CE 2＝BE 2， ∴∠ECB ＝90°，∵sin ∠BEC ＝BC BE ＝32， ∴∠BEC ＝60°， 由(2)知PB ＝PE ，∴△PBE 为等边三角形，∴PB ＝BE ＝833，在Rt △PBO 中，BO ＝4，PB ＝833，∴PO ＝PB 2＋BO 2＝4213，∴PQ min ＝PO －OQ ＝4213－4.。