2018年内蒙古中考数学重点题型专项训练：圆的相关证明与计算

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

热点小专题(六)圆与几何图形的综合类型一圆与三角形的综合16年21题15年22题14年20题13年24题︵1．如图R6－1，A B是⊙O的直径，点E是A D上的一点，∠D B C＝∠BE D．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知A D＝3，C D＝2，求B C的长．图R6－12．已知⊙O为△A B C的外接圆，B C为直径，点E在A B上，过点E作EF⊥B C于点F，点G在FE的延长线上，且G A＝G E.(1)求证：A G与⊙O相切；(2)若AC＝6，A B＝8，BE＝3，求线段OE的长．图R6－2︵3．2015·巴彦淖尔如图R6－3，AB是⊙O的直径，点C是A B的中点，⊙O的切线B D交A C的延长线于点D，E是O B的中点，CE的延长线交切线B D于点F，AF交⊙O于点H，连接B H.(1)求证：A C＝CD；(2)若OC＝5，求B H的长．图R6－34．2017·安顺如图R6－4，A B是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥B C于点D，过点C作⊙O的切线，交O D 的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝23，求阴影部分的面积．图R6－4类型二圆与四边形的综合17年22题︵5．如图R6－5，A B是⊙O的切线，B为切点，圆心在A C上，∠A＝30°，D为B C的中点．(1)求证：A B＝BC；(2)求证：四边形B O C D是菱形．图R6－56．如图R6－6，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线D A，C是A D的中点，AE交⊙O 于B点，四边形B C O E是平行四边形．(1)求A D的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．图R6－67．已知菱形A B C D，A B＝4，∠B＝60°，以点D为圆心作⊙D与直线A B相切于点G，连接D G.(1)求证：⊙D与B C所在的直线也相切；(2)若⊙D与C D相交于点E，过E作EF⊥A D于H，交⊙D于F，求EF的长．图R6－78．2017·泰州如图R6－8，⊙O的直径A B＝12cm，C为A B延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦B D∥CP，连接PD．︵(1)求证：点P为B D的中点；(2)若∠C＝∠D，求四边形B CP D的面积．图R6－8参考答案1．解：(1)证明：∵A B是⊙O的直径，∴∠A D B＝90°，又∵∠B A D＝∠BE D，∠BE D＝∠D B C，∴∠B A D＝∠D B C，∴∠B A D＋∠A B D＝∠D B C＋A B D＝90°，∴∠A B C＝90°，∴BC是⊙O的切线．(2)∵∠B A D＝∠D B C，∠C＝∠C，∴△A B C∽△B D C，A CB C∴＝B C C D，即B C2＝A C·CD＝(A D＋C D)·CD＝10，∴BC＝10.2．解：(1)证明：连接O A，如图①.∵O A＝O B，∴∠B＝∠B A O，又∵EF⊥B C，∴∠BFE＝90°，∴∠B＋∠BEF＝90°，∵A G＝G E，∴∠G A E＝∠GEA，∵∠GE A＝∠BEF，∴∠B A O＋∠G A E＝90°，∴G A⊥A O，又O A为⊙O的半径，∴A G与⊙O相切．(2)如图②，连接O A，过点O作OH⊥A B，垂足为H，1 21 2由垂径定理得，BH＝A H＝A B＝×8＝4.∵BC是直径，∴∠B A C＝90°，又∵A B＝8，A C＝6，∴BC＝82＋62＝10，∴O A＝5，O H＝3.又∵B H ＝4，BE ＝3，∴E H ＝1， ∴OE ＝ 32＋12＝ 10.︵3．解：(1)证明：∵C 是A B 的中点，A B 是⊙O 的直径， ∴C O ⊥A B ，∵B D 是⊙O 的切线，∴B D ⊥A B ，∴O C ∥B D ， 又∵O A ＝O B ，∴A C ＝C D.(2)∵E 是 O B 的中点，∴OE ＝BE ，∠CE O ＝∠FEB ，O E ＝BE ， 在△C O E 和△FBE 中，∠C O E ＝∠FBE ，∴△C O E ≌△FBE ，∴BF ＝C O ， ∵O C ＝ 5，∴BF ＝ 5，又 A B ＝2O C ＝2 5， ∴AF ＝ A B 2＋BF 2＝5， ∵A B 是直径，∴B H ⊥AF ， 又∠A BF ＝90°， ∴△A BF ∽△B H F ， A B AF ∴ ＝ ， B H BFA B · BF 2 5× 5∴B H ＝ ＝ ＝2. A F 54．解：(1)证明：连接 O C ，如图，∵CE 为切线，∴O C ⊥CE ，∴∠O C E ＝90°，∵O D ⊥B C ，∴CD ＝B D ，即 O D 垂直平分 B C ， ∴EC ＝EB ，O C ＝O B ，O E ＝O E ，在△O C E 和△O B E 中，E C ＝EB ，∴△O C E ≌△O B E ，∴∠O B E ＝∠O C E ＝90°， ∴O B ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切．(2)设⊙O 的半径为 r ，则 O D ＝r －1， 12 在 Rt △O B D 中，B D ＝C D ＝ B C ＝ 3，∴(r －1)2＋( 3)2＝r 2 解得 r ＝2，，∵tan∠B O D＝O B D D＝3，∴∠BO D＝60°，∴∠B O C＝2∠BO D＝120°，在Rt△O BE中，B E＝3O B＝23，12120·π·2243∴阴影部分的面积＝S O B E C－S B O C＝2S△O BE－SB O C扇形＝2××2×23－＝43－π.360四边形扇形5．证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∠A＝30°，∴∠O B A＝90°，∠A O B＝90°－30°＝60°.∵O B＝O C，∴∠O B C＝∠O C B.∵∠A O B＝∠O B C＋∠O C B，∴∠O C B＝30°＝∠A，∴A B＝BC.(2)连接O D交B C于点M.︵∵D是B C的中点，∴O D垂直平分BC.在Rt△O M C中，∵∠O C M＝30°，∴O C＝2O M＝O D，∴O M＝D M，∴四边形B O C D是菱形．6．解：(1)连接BD，则∠D B E＝90°.∵四边形B C O E是平行四边形，∴BC∥OE，B C＝OE＝1.在Rt△A B D中，C为A D的中点，1∴BC＝A D＝1.∴A D＝2.2(2)BC是⊙O的切线．证明如下：连接O B，由四边形BC O E是平行四边形，OE＝O D，得BC∥O D，且BC＝O D.∴四边形B C D O是平行四边形．又∵A D是⊙O的切线，∴O D⊥A D.∴四边形B C D O是矩形．∴O B⊥B C，∴BC是⊙O的切线．7．解：(1)方法1：证明：连接B D，过D作D K⊥B C于K.∵菱形A B C D，∴B D平分∠A B C.∵⊙D与直线A B相切于点G，∴D G⊥A B.∵D K⊥B C，∴D K＝D G.又D G为⊙D的半径，∴D K为⊙D的半径，∴⊙D与B C所在的直线相切．方法2：证明：过D作DK⊥B C于K.∵菱形A B C D，∴A D＝C D，A D∥BC，D C∥A B，∴∠G A D＝∠A B C＝∠D C K.∵⊙D切A B于点G，∴D G⊥A B.∵D K⊥B C，∴∠A G D＝∠C K D.在△A G D和△CK D中，∠A G D＝∠C K D，∠G A D＝∠D C K，A D＝C D，∴△A G D≌△C K D，∴D K＝D G，∵D G为⊙D的半径，∴D K为⊙D的半径，∴⊙D与B C所在的直线相切．(2)∵菱形A B C D，∴C D＝A B＝4，C D∥A B，∴∠D C K＝∠A B C＝60°.又∠D K C＝90°，3∴D K＝C D＝23，2∴DE＝D K＝23.又∠A D C＝∠A B C＝60°，EF⊥A D于H，3∴E H＝DE＝3，2∴EF＝2E H＝6.8．解：(1)证明：连接OP，∵CP与⊙O相切于点P，∴OP⊥CP，∵B D∥CP，∴OP⊥B D，︵∴点P为B D的中点．(2)设OP与B D相交于点E，连接A D，∵A B是直径，∴∠A D B＝90°＝∠OP C.∵B D∥CP，∴∠C＝∠D B A，∵∠C＝∠P D B，∴∠D B A＝∠P D B，∴DP∥B C，∴四边形B CP D 是平行四边形，∴D B＝PC.∴△CO P≌△B A D(AS A)．∴C O＝A B＝12 cm，∴CB＝O A＝6 cm，∵OP＝6 cm，∴CP＝O C2－O P2＝6 3cm.∵B D∥CP，C B＝O B，∴PE＝O E＝3 cm.∴四边形B CP D 的面积是6 3×3＝183(cm2)．。

1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径. （1） 求证：OD ⊥CE ；（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．2、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，D 是⊙O 的切线CN 上一点，BD 交AC 于点E ，且BA= BD ．（1）求证：∠ACD=45°；（2）若OB=2，求DC 的长．3、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是OB 中点，过点D 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ．过点C 作⊙O 的切线交FD 于点E ． （1）求证：CE EF =；（2）如果3sin 5F =，25=EF ，求AB 的长．4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线EF ，交AB 和AC 的延长线于E 、F ．（1）求证：FE ⊥AB ；（2）当AE =6，sin ∠CFD =35时，求EB 的长．5、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ． （1）求证：AF ⊥EF ； （2）若1tan 2CAD ∠=，AB =5，求线段BE 的长．6、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC ，交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF .（1）求证：AF 是⊙O 的切线； （2）已知⊙O 的半径为4，AF=3，求线段AC 的长E A O FP E CA B7、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC于点E ．（1）求证：∠CDE ＝90°；（2）若AB ＝13，sin ∠C ＝135，求CE 的长．8、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ,点D 在AB 边上且DE ⊥BE. (1)判断直线AC 与△DBE 外接圆的位置关系,并说明理由; (2)若,求BC 的长.9、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的☉O 与AB 边交于点D ,过点D 作☉O 的切线,交BC 于E.(1)求证:点E 是边BC 的中点; (2)求证:BC 2=BD ·BA ;10、如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ．（1）求证：CT 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，3CT ，求AD 的长E CBOAD1、（1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB ．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在⊙O 上，∴∠EFC =90°． CE ⊥AB ，∴∠BEC =90°．∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EF FC=．又DF =1，BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴22EF =．………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得2223BE BF EF =+=．……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==． ∴3AE =．……………………………………………………5分2、证明：∵C 是弧AB 的中点，∴弧AC=弧BC,∴AC=BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°,∴∠BAC=∠CBA =45°, 连接OC, ∵OC=OA, ∴∠AC0=45°. ∵CN 是⊙O 切线，∴∠OCD=90°,∴∠ACD=45°. ………………………………2分.(2) 解：作BH ⊥DC 于H 点，…………………………3分. ∵∠ACD=45°,∴∠DCB=135°, ∴∠BCH=45°, ∵OB=2，∴BA= BD=4,AC= BC=22．A EDCFO54123GEC FDA OB∵BC=22,∴BH= CH=2， 设DC=x,在Rt △DBH 中，利用勾股定理：2222)24x ++=（，………4分. 解得：x=223-±（舍负的），∴x=223-+， ∴DC 的长为：223-+……………………………5分. 3、（1）证明：连结OC ．∵CE 为切线，∴OC ⊥CE . ∴2390∠+∠=°.∵FD AB ⊥，∴190F ∠+∠=°．又∵OC =OA ，∴12∠=∠.∴3F ∠=∠.∴CE EF =.………………………………………..2分 （2）∵FD AB ⊥，3sin 5F =， 设3AD k =，5AF k =，可得4FD k =． ∵D 为OB 中点，∴DB k =．连结CB 交FD 于点G ．∵AB 为⊙O 直径，∴90ACB FCB ∠=∠=°． ∴F B ∠=∠．∵DB k =， ∴34GD k =，可得134FG k =．………………...3分 ∵90FCB ∠=°，∴534F ∠+∠=∠+∠． ∵3F ∠=∠，∴45∠=∠．∴CE EF EG ==． …… ……..……………………………. …..4分∵25=EF ，∴5=FG ．∴5413=K ，1320=k ．∴1380=AB ．……………………. …….5分 4、（1）证明：连接OD . （如图） ∵ OC =OD ，∴ ∠OCD =∠ODC . ∵ AB =AC ， ∴∠ACB =∠B . ∴ ∠ODC =∠B .∴ O D ∥A B . ………………………………………………………………1分 ∴ ∠ODF =∠AEF . ∵ EF 与⊙O 相切.∴ OD ⊥EF ，∴ ∠ODF =90°. ∴∠AEF =∠ODF =90°.HOABCDE∴ E F ⊥A B . ……………………………………………………………2分（2）解：由（1）知：OD ∥AB ，OD ⊥EF .在Rt △AEF 中，sin ∠CFD =AE AF = 35，AE =6. ∴ A F =10. …………………………………………………………………3分 ∵ OD ∥AB ，∴ △ODF ∽△AEF . ∴ AEODAF OF =. ∴10106r r-= . 解得r =154. ………………………………………………………………4分 ∴ AB = AC =2r =152. ∴ E B =A B －A E =152 －6= 32. ……………………………………………5分 5、（1）证明：连结OD ．∵直线EF 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥EF ．∵OA = OD ，∴∠1=∠3．………………………….. 1分 ∵点D 为BC 的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD ∥AF ，∴AF ⊥EF ． ………………..………… 2分 （2）解：连结BD ． ∵1tan 2CAD ∠=， ∴1tan 12∠=，……………….………………..…… 3分 在Rt △ADB 中，AB =5， ∴BDAD=在Rt △AFD 中，可得DF =2，AF =4，∵OD ∥AF ，∴△EDO ∽△EF A ，….……………… 4分 ∴OD OEAF AE =， 又∵OD =2.5，设BE=x ， ∴2.5 2.545xx+=+，321OCBADFEEF DABCO123∴53x =，即BE =53．…………………….….……. 5分 6、（1）证明：连接 O C ， …………………..(1分)∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA =90°∵OF ∥BC ∴∠AEO =90°， ∴OF ⊥AC ，∵OC =OA ，∴∠COF =∠AOF ，∴△OCF ≌△OAF ∴∠OAF =∠OCF∵PC 是切线∴∠OCF =90°， ……………………..(2分) ∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线 ……………………..(3分)（2）∵⊙O 的半径为4，AF =3，FA ⊥OA ，∴OF =22OF OA =2234=5∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，∴AF ·OA = OF ·EA ， ………………………..(4分) ∴3×4= 5×EA ，解得AE =125， AC =2AE =245………………………..(5分)7、（1）证明：如图，连接OD ，∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，∴∠E DO ＝90°． ………………………1分∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 8、（2）如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，∴BD CE ＝ABCD， ∴ABCDBD CE ⋅＝． ………………………4分∵AB ＝AC ＝13，AD ⊥BC ， ∴sin ∠ABC ＝AB AD ＝sin ∠C ＝135，9、(1)直线AC 与△DBE 外接圆相切.∵ DE ⊥BE ,∴ BD 为△DBE 外接圆的直径.取BD 的中点O (即△DBE 外接圆的圆心),连接OE.∴ OE=OB.E C OAD E C BOAD∴∠OEB=∠OBE.∵BE平分∠ABC,∴∠OBE=∠CBE.∴∠OEB=∠CBE.∵∠CBE+∠CEB=90°,∴∠OEB+∠CEB=90°,即OE⊥AC.∴直线AC与△DBE外接圆相切.。

题库:圆的证明与计算题1.如图，AB是⊙O的直径，点D是»AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．第1题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO，第1题解图∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠EBD＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，∴OD∥BE，∴PDPE＝POPB，∵P A＝AO，∴P A＝AO＝OB，∴POPB＝23，∴PDPE＝23，∴PDPD＋DE＝23，∵DE＝2，∴PD＝4.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cos A＝25，求DF的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD，第2题解图∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∵OD是⊙O的半径，G∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25，∴OA ＝5，∴OG ＝OA 2－AG 2＝21，∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，∴四边形OGFD 为矩形，∴DF ＝OG ＝21.3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BAM ＝∠BCD ，∴∠BAM ＝∠BAD ，在△ANE 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)，∴AN ＝AD ； (2)解：∵AB＝42，AE ⊥CD ,∴AE ＝12AB ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第3题解图 ∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1，∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，∴AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；(2)解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝25，∴AB＝2AE＝4 5.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE 的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求∠P及∠AEB的度数.第5题图（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵CB ⊥AE ，∴AD ⊥AE ，∴∠DAO ＝90°，又∵直线DP 和⊙O 相切于点C ，∴DC ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，⎩⎨⎧DO ＝DO AO ＝CO， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)，∴DA ＝DC ；(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径，∴CF ＝FB ＝12BC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ，∴△PCF ∽△PDA ，∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD .由(1)知DA ＝DC ，∴DA＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°.∵DP ∥AB ，∴∠F AB ＝∠P ＝30°，又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°.6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：∠ABD ＝∠ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ODB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ;(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD .∵O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵OD ⊥DE ，∴AC ⊥DE ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°， ∴△DEC ∽△ADC ，∴CEDC＝DCAC，即CE5＝5253，∴CE＝3.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．第7题图(1)证明：如解图①，连接OD，第7题解图①则∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD ⊥AB ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．（2）解：如解图②，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，第7题解图②∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°， ∴∠B ＝30°， ∴∠DOB ＝60°， ∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2， ∴OD ＝2，∴BD ＝OD tan60°＝2 3.8.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos ∠CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图1）证明：如解图，连接OB，（∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∴∠P AO＝∠PBO.∵PB为⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠P AO＝90°，∵OA 为⊙O 的半径， ∴P A 是⊙O 的切线； (2)解：∵cos ∠CAO ＝45，∴设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ∴sin ∠CAO ＝35，tan ∠COA ＝43， ∴CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ∵tan ∠POA ＝tan ∠COA ＝AP AO ＝43， ∴AP10＝43，解得AP ＝403， ∵P A ＝PB ， ∴PB ＝P A ＝403.9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，∠ACD ＝∠ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan ∠ABC ＝23，tan ∠AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DCB ＝90°， ∵∠ACD ＝∠ABC ， ∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°， 即BC ⊥CA ，又∵BC 是⊙O 的直径， ∴CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEC 中，tan ∠AEC ＝53， ∴AC EC ＝53，EC ＝35AC .在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝23， ∴AC BC ＝23，BC ＝32AC . ∵BC －EC ＝BE ＝6，∴32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ∴BC ＝32×203＝10， 即⊙O 的直径为10.10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD，AD，第10题解图∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴D为BC中点，又∵O为AB中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；(2)解：∵AB=10，∴OB=OD=5.由(1)知OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴ABBFOBBFAFOFAEOD++==，设BF=x,则有10585++=xx解得x=310，∴BF=310.11.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；(3)求证：AF＋2DF＝AB.第11题图（1）证明：如解图，连接OC.第11题解图∵AC 平分∠BAD ,∴∠OAC =∠CAD ， 又∠OAC =∠OCA ,∴∠OCA =∠CAD ， ∴CO ∥AD . 又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥OC ，又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △ADE 中，∵AD =6，DE =8， 根据勾股定理得：AE =10， ∵CO ∥AD ， ∴△EOC ∽△EAD , ∴ADOCEA EO =. 设⊙O 的半径为r ，∴OE =10-r .∴61010rr -=， ∴r =415，∴BE =10-2r =25；（3）证明：如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G . ∵∠OAC =∠CAD ，AD ⊥CD ， ∴CG =CD ，在Rt △AGC 和Rt △ADC 中， ∵CG =CD ，AC =AC ，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD.又∵∠BAC=∠CAD，∴BC=CF，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵BC=FC，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF.∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD︵的长；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第12题图（1）解：如解图，连接OD，第12题解图∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10， ∴OB ＝5， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 中点， ∴DE ＝12AC ＝EC ， 在△DOE 与△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE， ∴△DOE ≌△COE (SSS)． ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE ≌△COE ， ∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ，∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .13.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第13题图（1）证明：如解图，连接OB ，第13题解图∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ，∴AD ＝BD ，∴点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，∴∠APO ＝∠BPO ，∵∠ADP ＝∠BDP ＝90°，∴△APD ≌△BPD ，∴AP ＝BP ，在△P AO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ∠APO ＝∠BPO OP ＝OP，∴△P AO ≌△PBO （SAS ），∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵OA 为⊙O 的半径，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴OA OP ＝OD OA ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∴tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12，∴DF ＝2x ，∴OA ＝OF ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，∴OA ＝2x －3＝5，∵AC 为⊙O 的直径，∴AC ＝2OA ＝10.14.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连接BE .(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)求证：PC =PF ；(3)若tan ∠PCB ＝34，BE ＝52，求PF 的长．第14题图（1）证明：如解图，连接OC ，第14题解图 ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵PC 是⊙O 的切线，且AD ⊥CD ，∴∠OCP ＝∠D ＝90°，∴OC ∥AD ，∴∠CAD ＝∠OCA ＝∠OAC ，即AC 平分∠DAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，又∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；(3)解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE，∴AE︵＝BE︵，∴AE＝BE，又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2BE＝10，∴OB＝OC＝5，∵∠PCB＝∠P AC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△P AC，∴PBPC＝BCCA，∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝34，∴PBPC＝BCCA＝34，设PB＝3x，则PC＝4x，在Rt△POC中，根据勾股定理得，(3x ＋5)2＝(4x )2＋52，解得x 1＝0，x 2＝307. ∵x ＞0，∴x ＝307，∴PF ＝PC ＝1207.15.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，且点C 是劣弧»AG 的中点，过点C 的直线CD ⊥BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若ED ＝3DB ，求证：3OF ＝2DF ；(3)在(2)的条件下，连接AD ，若CD ＝3，求AD 的长．第15题图(1)证明：如解图①，连接OC 、AC 、CG ，∵AC ︵＝CG ︵，∴AC ＝CG ，∴∠ABC ＝∠CBG ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；第15题解图○1(2)证明：∵O C ∥BD ，∠CFO ＝∠DFB ，∴∠OCB ＝∠CBD ，∠EOC ＝∠EBD ，∴△OCF ∽△DBF ，△EOC ∽△EBD ，∴OC BD ＝OF DF ，OC BD ＝OE BE ，∴OF DF ＝OE BE ，∵ED ＝3DB ，∠EDB ＝90°，∴∠E ＝30°，∴OC ＝12OE ，∵OA ＝OC ，∴AE ＝OA ＝OC ＝OB ，∴OF DF ＝OE BE ＝2OA 3OA ＝23，即3OF ＝2DF ； (3)解：如解图②，过A 作AH ⊥DE ，交DE于点H ，∵∠E ＝30°，∴∠EBD ＝60°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝12∠EBD ＝30°，∵CD ＝3，∴BD ＝CD tan30°＝33，∴BE ＝33sin30°＝63，DE ＝3BD ＝9，∵AE ＝13BE ，AH ∥BD ，∴AH ＝13BD ＝3，DH ＝23DE ＝6，∴AD ＝（3）2＋62＝39.第15题解图○216.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线.以O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，连接AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D.(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若tan D＝12，求AEAC的值；(3)设⊙O的半径为3，求AB的长．第16题图(1)证明：如解图，过O作OF⊥AB交AB于F，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，∴CO＝FO，∴FO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；第16题解图(2)解：如解图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECO ＝90°，∴∠ACE ＝∠OCD ，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∴∠ACE ＝∠ODC ，∵∠CAE ＝∠CAE ，∴△ACE ∽△ADC ，∴AE AC ＝CE DC ，∵tan D ＝CE CD ＝12，∴AE AC ＝12；(3)解：由(2)知AE AC ＝12，设AE ＝c ，则AC =2c ，在Rt △ACO 中，∴(2c )2＋32＝(c ＋3)2，解得c ＝2或c =0（舍去），∴AF ＝AC ＝2c ＝4，∵在△BFO 和△BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BFO ＝∠BCA ＝90°， ∴△BFO ∽△BCA ，∴BF BC ＝FO CA ＝BO AB ，设BF＝x，BO＝y，∴x3＋y＝34＝y4＋x，解得x＝727，y＝757，∴AB＝AF＋BF＝4＋727＝1007.17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．第17题图(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.第17题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDCA，即PB＝DC·BDCA＝52×528＝254.18.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB.(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求tan P的值．第18题图（1）证明：如解图，连接OC，第18题解图∴∠COB ＝2∠CAB ， 又∵∠POE ＝2∠CAB ， ∴∠COD ＝∠EOD ， 又∵OC ＝OE ， ∴CE ⊥AB ;(2)证明：∵CE ⊥AB ，∠P ＝∠E ， ∴∠P ＋∠PCD ＝∠E ＋∠PCD ＝90°， 又∠OCD ＝∠E ，∴∠OCD ＋∠PCD ＝∠PCO ＝90°， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线；(3)解：设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，则BD ＝2x ，r ＝3x ， ∵CD ⊥OP ，OC ⊥PC ， ∴Rt △OCD ∽Rt △OPC ，∴OC 2＝OD ·OP ，即(3x )2＝x (3x ＋9)， 解得x ＝32或x =0（舍去）， ∴⊙O 的半径r 为92，同理可得PC 2＝PD ·PO ＝(PB ＋BD ) ·(PB ＋OB )＝162， ∴PC ＝92，在Rt △OCP 中，tan P ＝OC PC ＝24.19.如图，AC 是⊙O 的直径，弦BE ⊥AC 于H ，F 为⊙O 上的一点，过点F 的直线与AC 的延长线交于点D ，与BE 的延长线交于点M ，连接AF 交BM 于G ，且MF ＝MG .(1)求证：MD 为⊙O 的切线；(2)求证：当MD ∥AB 时，FG 2＝MF ·EG ；(3)在(2)的条件下，若cos M＝45，FD ＝6，求AG 的长．第19题图(1)证明：∵MF ＝MG ， ∴∠MFG ＝∠MGF ＝∠AGB ， 如解图，连接FO ， ∵OF ＝AO ， ∴∠OF A =∠OAF ， ∵BE ⊥AC ，∴∠AGH +∠OAF =∠MFG +∠OF A =90°， 即∠MFO ＝90°， ∵OF 为⊙O 的半径， ∴MD 为⊙O 的切线； (2) 证明：∵MD ∥AB ， ∴∠M ＝∠ABM ，如解图，连接EF，∵∠EFG＝∠ABM，∴∠M＝∠EFG，∵∠MGF＝∠FGE，∴△MGF∽△FGE，∴FGMG＝EGFG，又∵MG=MF，∴FG2＝MF·EG；第19题解图：∵∠M＝∠ABM，cos M＝45，∴设AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k，如解图，连接OB，∵∠FOD＝∠M，FD＝6，∴FO＝8＝OB＝OA，∴OH＝8－3k，∴OH 2＋HB 2＝OB2，∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，(3)解解得k ＝4825或k =0（舍去）， ∵MD ∥AB ， ∴∠MFG ＝∠BAF ， ∴∠BGA ＝∠BAG ， ∴AB ＝GB ＝5k ， ∴GH ＝k ， ∴AG ＝10k ， ∴AG ＝482510.20.如图①，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线; (2)若AB ＝10，AC ＝6，求BD 的长；(3)如图②，若F 是OA 的中点，FG ⊥OA 交直线DE 于点G ，若FG ＝194，tan ∠BAD ＝34，求⊙O 的半径．图① 图②第20题图（1）证明：如解图①，连接OD ，第20题解图①∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12AC，∴∠ONB ＝90°，且ON ＝3，OB =5，则BN ＝4，ND ＝2， ∴BD ＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG 与AD 交于点H ，第20题解图②根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，则AF ＝54x ，FH ＝AF ·tan ∠BAD ＝54x ·34＝1516x ，AH ＝AFcos ∠BAD ＝54x 45＝2516x ，HD ＝AD －AH ＝4x －2516x ＝3916x ， 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°， 在Rt △HF A 中，∠F AH ＋∠FHA ＝90°， ∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ， ∴∠DHG ＝∠HDG ，∴GH ＝GD ，过点G 作GM ⊥HD ，交HD 于点M ， ∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x ，∵∠F AH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°， ∴∠F AH ＝∠HGM ，H在Rt △HGM 中，HG ＝HMsin ∠HGM ＝3932x 35＝6532x ，∵FH ＋GH ＝194， ∴1516x ＋6532x ＝194， 解得x ＝85，∴此⊙O 的半径为52×85＝4.中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案。

2018年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题：本大题共有12小题，每题3分，共36分．每题只有一个准确选项1．（3.00分）计算﹣﹣|﹣3|的结果是（）A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．52．（3.00分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞14．（3.00分）以下事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值大于0B．某个数的相反数等于它本身C．任意一个五边形的外角和等于540°D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形5．（3.00分）假设2x a+1y与x2y b﹣1是同类项，那么的值是（）A．B．C．1 D．36．（3.00分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（）A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，27．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．2﹣B．2﹣C．4﹣D．4﹣8．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°9．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．310．（3.00分）已知以下命题：①若a3＞b3，则a2＞b2；②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2；③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；④周长相等的所有等腰直角三角形全等．其中真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）A．B．C．D．212．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共有8小题，每题3分，共24分．13．（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为．14．（3.00分）不等式组的非负整数解有个．15．（3.00分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是．16．（3.00分）化简；÷（﹣1）=．17．（3.00分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=度．18．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF =1，则S△ADF的值为．19．（3.00分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如下列图的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为．20．（3.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．以下结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE2=2CF•CA；④若AB=3，AD=2BD，则AF=．其中准确的结论是．（填写所有准确结论的序号）三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程21．（8.00分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人实行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．他们的各项成绩如下表所示：修造人笔试成绩/分面试成绩/分甲9088乙8492丙x90丁8886（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．（1）求BE的长；（2）求四边形DEBC的面积．（注意：此题中的计算过程和结果均保留根号）23．（10.00分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）假设该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？24．（10.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．（1）求证：∠BCD=∠BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．25．（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE 的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．①求的值；②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．26．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存有点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存有，求出点P的坐标；若不存有，请说明理由．2018年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每题3分，共36分．每题只有一个准确选项1．（3.00分）计算﹣﹣|﹣3|的结果是（）A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣2﹣3=﹣5，应选：B．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．2．（3.00分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，所以其主视图为：应选：C．【点评】此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x＞1．应选：D．【点评】此题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（3.00分）以下事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值大于0B．某个数的相反数等于它本身C．任意一个五边形的外角和等于540°D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项准确；D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．应选：C．【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，准确把握相关定义是解题关键．5．（3.00分）假设2x a+1y与x2y b﹣1是同类项，那么的值是（）A．B．C．1 D．3【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后代入求值．【解答】解：∵2x a+1y与x2y b﹣1是同类项，∴a+1=2，b﹣1=1，解得a=1，b=2．∴=．应选：A．【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是解答此题的关键．6．（3.00分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（）A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2【分析】根据题目中的数据能够直接写出众数，求出相对应的平均数和方差，从而能够解答此题．【解答】解：数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，，则=2，应选：B．【点评】此题考查方差和众数，解答此题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差．7．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．2﹣B．2﹣C．4﹣D．4﹣【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣．【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，∵AB=2，∠ABC=30°，∴AE=AB=1，又∵BC=4，∴阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣，应选：A．【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．8．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°【分析】由AB=AC知∠B=∠C，据此得2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED﹣∠C 可得答案．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，又∵∠C+∠BAC=145°，∴∠C=35°，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠AED=45°，∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°，应选：D．【点评】此题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．9．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．应选：B．【点评】此题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．10．（3.00分）已知以下命题：①若a3＞b3，则a2＞b2；②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2；③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；④周长相等的所有等腰直角三角形全等．其中真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】依据a，b的符号以及绝对值，即可得到a2＞b2不一定成立；依据二次函数y=x2﹣2x﹣1图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得y1＞y2＞﹣2；依据a∥b，b⊥c，即可得到a∥c；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等．【解答】解：①若a3＞b3，则a2＞b2不一定成立，故错误；②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2，故准确；③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故准确．应选：C．【点评】此题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的准确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）A．B．C．D．2【分析】利用直线l1：y=﹣x+1，即可得到A（2，0）B（0，1），AB==3，过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD=AO=，CD=BO=，进而得到C（，），代入直线l2：y=kx，可得k=．【解答】解：直线l1：y=﹣x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，即A（2，0）B（0，1），∴Rt△AOB中，AB==3，如图，过C作CD⊥OA于D，∵∠BOC=∠BCO，∴CB=BO=1，AC=2，∵CD∥BO，∴OD=AO=，CD=BO=，即C（，），把C（，）代入直线l2：y=kx，可得=k，即k=，应选：B．【点评】此题主要考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．12．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．B．C．D．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=2，连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，∴AB=3，∴，∴，∴DF=BD=×2=，应选：D．【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解此题的关键．二、填空题：本大题共有8小题，每题3分，共24分．13．（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为﹣2．【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．【解答】解：由题意知，①+②，得：4a﹣4b=8，则a﹣b=2，∴b﹣a=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活使用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．14．（3.00分）不等式组的非负整数解有4个．【分析】首先准确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，解不等式x﹣≤，得：x≤8，则不等式组的解集为x＜4，所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，故答案为：4．【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，准确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（3.00分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【解答】解：列表如下：﹣2﹣112﹣22﹣2﹣4﹣12﹣1﹣21﹣2﹣122﹣4﹣22由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，∴积为大于﹣4小于2的概率为=，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法能够不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3.00分）化简；÷（﹣1）=﹣．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．17．（3.00分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=115度．【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．【解答】解：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴∠DCO=90°，∵∠D=40°，∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，∴的度数是130°，∴的度数是360°﹣130°=230°，∴∠BEC==115°，故答案为：115．【点评】此题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题的关键．18．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF =1，则S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF =1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC =S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF =S△ADC=×=，故答案为：．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．19．（3.00分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如下列图的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为3．【分析】由双曲线y=（x ＞0）经过点D 知S △ODF =k=，由矩形性质知S △AOB =2S △ODF =，据此可得OA•BE=3，根据OA=OB 可得答案．【解答】解：如图，∵双曲线y=（x ＞0）经过点D ，∴S △ODF =k=，则S △AOB =2S △ODF =，即OA•BE=，∴OA•BE=3，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OB ，∴OB•BE=3，故答案为：3．【点评】此题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k 的几何意义及矩形的性质．20．（3.00分）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE ．以下结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE2=2CF•CA；④若AB=3，AD=2BD，则AF=．其中准确的结论是①②③．（填写所有准确结论的序号）【分析】先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①准确；先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②准确；先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CF•AC，最后用勾股定理即可得出③准确；先求出BC=AC=3，再求出BD=，进而求出CE=CD=，求出CF=，即可判断出④错误．【解答】解：∵∠ACB=90°，由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，故①准确；∵∠ACB=90°，BC=AC，∴∠B=45°∵∠BCD=25°，∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°，∵△BCD≌△ACE，∴∠AEC=∠BDC=110°，∵∠DCE=90°，CD=CE，∴∠CED=45°，则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°，故②准确；∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，∵∠ECF=∠ACE，∴△CEF∽△CAE，∴，∴CE2=CF•AC，在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③准确；如图，过点D作DG⊥BC于G，∵AB=3，∴AC=BC=3，∵AD=2BD，∴BD=AB=，∴DG=BG=1，∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD==，∵△BCD≌△ACE，∴CE=，∵CE2=CF•AC，∴CF==，∴AF=AC﹣CF=3﹣=，故④错误，故答案为：①②③．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD ≌△ACE是解此题的关键．三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程21．（8.00分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人实行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．他们的各项成绩如下表所示：修造人笔试成绩/分面试成绩/分甲9088乙8492丙x90丁8886（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．【分析】（1）根据中位数的概念计算；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩，比较即可．【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为：=89（分）；（2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6解得，x=86，答：表中x的值为86；（3）甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分），乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分），丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分），∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．【点评】此题考查的是中位线、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解题的关键．22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．（1）求BE的长；（2）求四边形DEBC的面积．（注意：此题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADE=30°，在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2，AD=DE•cos30°=6，∴AB=AD=6，∴BE=6﹣2．（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=6，DF=AB=6，在Rt△DFC中，FC==4，∴BC=6+4，∴S四边形DEBC =S△DEB+S△BCD=×（6﹣2）×6+（6+4）×6=36+6．【点评】此题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（10.00分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）假设该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据题意得：=﹣30，解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解．答：该商店3月份这种商品的售价是40元．（2）设该商品的进价为y元，根据题意得：（40﹣a）×=900，解得：a=25，∴（40×0.9﹣25）×=990（元）．答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，准确列出分式方程；（2）找准等量关系，准确列出一元一次方程．24．（10.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．（1）求证：∠BCD=∠BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵DE是⊙A的直径，∴∠DCE=90°，∴∠BEC+∠CDE=90°，∵AD=AC，∴∠CDE=∠ACD，∴∠BCD=∠BEC，（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，∴△BDC∽△BCE，∴，∵BC=2，BD=1，∴BE=4，EC=2CD，∴DE=BE﹣BD=3，在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，∴CD=，CE=，过点F作FM⊥AB于M，∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，∴△AFM∽△BAC，∴，∵DE=3，∴AD=AF=AC=，AB=，∴FM=，过点F作FN⊥BC于N，∴∠FNC=90°，∵∠FAB=∠ABC，∴FA∥BC，∴∠FAC=∠ACB=90°，∴四边形FNCA是矩形，∴FN=AC=，NC=AF=，∴BN=，在Rt△FBN中，BF=，在Rt△FBM中，sin∠ABF=．【点评】此题主要考查了圆的相关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，准确作出辅助线是解此题的关键．25．（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE 的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥E C交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．①求的值；②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK=，最后用勾股定理即可得出结论；（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=，CH=，再判断出△EMN∽△EHD，的粗，△ED'M∽△ECH，得出，进而得出，即可得出结论；②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出，即可．【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=，∵O是BD中点，∴OD=OB=OA=，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴，∴DO2=DE•DA，∴设AE=x，∴DE=5﹣x，∴（）2=5（5﹣x），∴x=，即：AE=；（2）如图2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴AE=CD=3，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∵∠A=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∴∠CED=∠AFE，∵∠D=∠A=90°，∴△AEF≌△DCE，∴AF=DE=2，∴BF=AB﹣AF=1，过点G作GK⊥BC于K，∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，∵∠KCG=∠BCF，∴△CHG∽△CBF，∴，设BK=GK=y，∴CK=5﹣y，∴y=，∴BK=GK=，在Rt△GKB中，BG=；（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，∵AE=1，AD=5，∴DE=4，∵DC=3，∴EC=5，由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，∴D'C=1，设D'H=DH=z，∴HC=3﹣z，根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，∴z=，∴DH=，CH=，∵D'N⊥AD，∴∠AND'=∠D=90°，∴D'N∥DC，∴△EMN∽△EHD，∴，∵D'N∥DC，∴∠ED'M=∠ECH，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴，∴，∴，∴；②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，∴∠MD'H+∠ED'N=90°，∵∠END'=90°，∴∠ED'N+∠NED'=90°，∴∠MD'H=∠NED'，∵D'N∥DC，∴∠EHD=∠D'MH，∴∠EHD'=∠D'MH，∴D'M=D'H，∵AD∥BC，∴∠NED'=∠ECB，∴∠MD'H=∠ECB，∵CE=CB=5，∴，∴△D'MH∽△CBE．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解此题的关键．26．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存有点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存有，求出点P的坐标；若不存有，请说明理由．【分析】（1）根据题目中的函数解析式能够求得点A和点C的坐标，从而能够求得直线l的函数解析式；（2）根据题意作出适宜的辅助线，利用三角形相似和勾股定理能够解答此题；（3）根据题意画出相对应的图形，然后根据锐角三角函数能够求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答此题．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+x﹣2，∴当y=0时，得x1=1，x2=﹣4，当x=0时，y=﹣2，∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，，得，即直线l的函数解析式为y=；（2）直线ED与x轴交于点F，如右图1所示，由（1）可得，AO=4，OC=2，∠AOC=90°，∴AC=2，∴OD=，∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，∴△AOD∽△ACO，∴，即，得AD=，∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，∴EF∥OC，∴△ADF∽△ACO，∴，解得，AF=，DF=，∴OF=4﹣=，∴m=﹣，当m=﹣时，y=×（）2+×（﹣）﹣2=﹣，∴EF=，∴DE=EF﹣FD=；（3）存有点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如右图2所示，∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），∴OA=4，OB=1，OC=2，∴tan∠OAC=，tan∠OCB=，AC=2，∴∠OAC=∠OCB，∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，∠GAM=∠OAC﹣∠BAG，∴∠BAP=∠GAM，∵点G（0，﹣1），AC=2，OA=4，∴OG=1，GC=1，∴AG=，，即，解得，GM=，∴AM===，∴tan∠GAM==，∴tan∠PAN=，设点P的坐标为（n，n2+n﹣2），∴AN=4+n，PN=n2+n﹣2，∴，解得，n1=，n2=﹣4（舍去），当n=时，n2+n﹣2=，∴点P的坐标为（，），即存有点P（，），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG．【点评】此题是一道二次函数综合题，解答此题的关键是明确题意，作出适宜的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．。

专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。

可编写可更正（ 2017 浙江衢州第 19 题）如图， AB 为半圆 O 的直径， C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆 O 于点 D 。

连接 OD ，作BE⊥ CD 于点 E ，交半圆 O 于点 F 。

已知 CE=12， BE=9[本源 : 学 #科 #网 Z#X#X#K]（ 1）求证：△ COD ∽△ CBE ；（ 2）求半圆 O 的半径 r 的长：试题分析： （ 1）∵ CD 切半圆 O 于点 D ，∴ CD ⊥ OD ，∴∠ CDO=90°，∵ BE ⊥ CD ，∴∠ E=90°=∠ CDO ，又∵∠ C=∠C ，∴△ COD ∽△ CBE ．（ 2）在 Rt △ BEC 中， CE=12，BE=9，∴ BC=CE 2 BE 2 =15，∵△ COD ∽△ CBE ．OD OCr 15 r∴ BC ，即 9 15 ，BE解得： r= 45 ．8考点： 1. 切线的性质； 2. 相似三角形的判断与性质 .2. （ 2017 山东德州第 20 题）如图，已知 Rt ABC,∠ C=90°，D 为 BC 的中点 . 以 AC 为直径的圆 O交 AB 于点 E.（ 1）求证： DE 是圆 O 的切线 .(2) 若 AE:EB=1:2,BC=6 ，求 AE 的长 .1(1)以下列图，连接 OE， CE∵AC是圆 O的直径∴∠ AEC=∠BEC=90°∵D是 BC的中点1∴ED＝ BC＝ DC2∴∠ 1=∠ 2∵OE=OC∴∠ 3=∠ 4∴∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4, 即∠ OED=∠ ACD ∵∠ ACD=90°∴∠ OED=90° , 即 OE⊥ DE又∵ E 是圆 O上的一点∴ DE是圆 O的切线 .考点：圆切线判判定理及相似三角形3.（ 2017 甘肃庆阳第 27 题）如图， AN是⊙ M的直径， NB∥x 轴， AB 交⊙ M于点 C．（ 1）若点 A（ 0， 6）， N（ 0，2），∠ ABN=30°，求点 B 的坐标；（ 2）若 D为线段 NB的中点，求证：直线 CD是⊙ M的切线．（1）∵ A 的坐标为（ 0， 6），N（ 0，2），∴ AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴ AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=AB2AN2 4 3 ，∴B（4 3，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ ACN=90°，∴∠ NCB=90°，3可编写可更正1∴CD= NB=ND，2∴∠ CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠ MCN=∠MNC，∵∠ MNC+∠CND=90°，∴∠ MCN+∠NCD=90°，即 MC⊥ CD．∴直线 CD是⊙ M的切线．考点：切线的判断；坐标与图形性质．4. （ 2017 广西贵港第24 题）如图，在菱形ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上，且 PA PD ，O 是PAD 的外接圆 .（ 1）求证：AB 是O 的切线；2（ 2）若AC8, tan BAC, 求O 的半径.23 6【答案】 (1) 证明见分析；（ 2）．4（ 1）连接 OP、 OA，OP交 AD于 E，如图，∵PA=PD，∴弧 AP=弧 DP，可编写可更正∴OP⊥ AD，AE=DE，∴∠ 1+∠ OPA=90°，∵ OP=OA，∴∠ OAP=∠OPA，∴∠ 1+∠ OAP=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ 1=∠ 2，∴∠ 2+∠ OAP=90°，∴OA⊥ AB，∴直线 AB与⊙ O相切；（2）连接 BD，交 AC于点 F，如图，∵四边形 ABCD为菱形，∴ DB与 AC相互垂直均分，2∵AC=8， tan ∠ BAC= ，2DF2∴ AF=4， tan ∠ DAC==，AF2∴DF=2 2，∴ AD= AF2DF2=26，∴AE= 6，PE2在 Rt △ PAE中， tan ∠ 1==，AE2∴PE= 3，设⊙ O的半径为 R，则 OE=R﹣ 3 ，OA=R，222在 Rt △ OAE中，∵ OA=OE+AE，∴ R2=（ R﹣6 ）2+（ 3 ）2，3 6∴R=，4可编写可更正36即⊙ O的半径为．4考点：切线的判断与性质；菱形的性质；解直角三角形．5.（ 2017 贵州安顺第 25 题）如图， AB 是⊙ O的直径， C 是⊙ O上一点， OD⊥ BC于点 D，过点 C 作⊙ O的切线，交OD的延长线于点E，连接 BE．（1）求证： BE与⊙ O相切；（2）设 OE交⊙ O于点 F，若 DF=1， BC=2 3，求暗影部分的面积．【答案】 (1) 证明见分析；（ 2）4 34﹣π．3（ 1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴ OC⊥ CE，∴∠ OCE=90°，可编写可更正∵OD⊥ BC，∴ CD=BD，即 OD垂中均分 BC，∴ EC=EB，在△ OCE和△ OBE中OC OBOE OE ，EC EB∴△ OCE≌△ OBE，∴∠ OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥ BE，∴BE与⊙ O相切；（ 2）解：设⊙ O的半径为r ，则 OD=r﹣1，1在 Rt △ OBD中， BD=CD= BC= 3，2∴（ r ﹣ 1）2+（ 3 ）2=r2，解得r=2，BD3 ，∵ tan ∠ BOD= =OD∴∠ BOD=60°，∴∠ BOC=2∠ BOD=120°，在 Rt △ OBE中， BE= 3 OB=2 3，∴暗影部分的面积=S四边形OBEC﹣S 扇形BOC=2S△OBE﹣ S 扇形BOC1×2×2 312022=2×﹣360 2=4 34﹣π．3考点：切线的判断与性质；扇形面积的计算．6. （ 2017 湖北武汉第21 题）如图，ABC 内接于O ，AB AC, CO 的延长线交AB 于点 D ．可编写可更正（ 1）求证AO均分BAC ；（ 2）若BC 6,sin BAC 3，求 AC 和 CD 的长．5【答案】（ 1）证明见分析；（2）390 10；. 13（2）过点 C 作 CE⊥AB 于 E3∵sin ∠ BAC= , 设 AC=5m，则 CE=3m5∴AE=4m， BE=m在 Rt CBE中， m2+(3m) 2=363 10∴ m=，5∴AC=3 10延长 AO交 BC于点 H，则 AH⊥BC，且 BH=CH=3，过点 O作 OF⊥ AH交 AB 于点 F，∵∠ HOC=∠BAC可编写可更正∴OH=4， OC=5∴AH=91∴tan ∠ BAH=31 5∴OF= AO=3 3∵OF∥ BCOF DO 5= DC-5 3∴，即BC DC6DC90∴DC= .13考点： 1.全等三角形的判断与性质； 2. 解直角三角形； 3. 平行线分线段成比率 .7.（2017湖南怀化第23 题）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD ，AC CD.(1)求证：△ ACD ∽△ BAD ；(2)求证： AD 是⊙O 的切线.试题分析：（ 1）∵ AB=AD，∴∠ B=∠ D，∵AC=CD，∴∠ CAD=∠ D，∴∠ CAD=∠B，∵∠ D=∠ D，∴△ ACD∽△ BAD；（ 2）连接 OA，∵OA=OB，∴∠ B=∠ OAB，∴∠ OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠ BAC=90°，∴ OA⊥ AD，∴ AD是⊙ O的切线．考点：相似三角形的判断与性质；切线的判断．11. （ 2017 江苏盐城第25 题）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ ABC的斜边 AB在 y 轴上，边AC与 x 轴交于点D，AE均分∠ BAC交边 BC于点 E，经过点A、 D、 E 的圆的圆心 F 恰幸好 y 轴上，⊙ F 与 y 轴订交于另一点G．（1）求证： BC是⊙ F 的切线；（2）若点 A、 D的坐标分别为 A（ 0， -1 ）， D（ 2， 0），求⊙ F 的半径；（3）尝试究线段 AG、 AD、 CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5【答案】（ 1）证明见分析；（2）⊙ F 的半径为；（3）AG=AD+2CD．证明见分析.2试题分析：（ 1）连接 EF，∵AE均分∠ BAC，∴∠ FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠ FAE=∠FEA，∴∠ FEA=∠EAC，∴FE∥ AC，∴∠ FEB=∠C=90°，即 BC是⊙ F 的切线；（ 2）连接 FD，设⊙ F 的半径为 r ，则 r 2=（ r-1 ）2 +22，55解得， r=，即⊙ F的半径为；22（3） AG=AD+2CD．证明：作 FR⊥ AD于 R，则∠ FRC=90°，又∠ FEC=∠ C=90°，∴四边形 RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵ FR⊥ AD，可编写可更正∴AR=RD，1∴EF=RD+CD= AD+CD，2∴ AG=2FE=AD+2CD．.考点：圆的综合题．13.（ 2017 甘肃兰州第27 题）如图，△ ABC 内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接 OA ， AD ，使得∠FAC∠AOD，∠D∠BAF.(1)求证： AD 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O的半径为5，CE 2 ，求 EF 的长.（1）由 BC是⊙ O的直径，获得∠ BAF+∠FAC=90°，等量代换获得∠ D+∠ AOD=90°，于是获得结论；（2）连接 BF，依据相似三角形的判断和性质即可获得结论．（ 2）连接 BF，∴∠ FAC=∠AOD，∴△ ACE∽△ DCA，AC AE CE∴，OC OA ACAC AE2∴，55AC∴AC=AE= 10，∵∠ CAE=∠CBF，∴△ ACE∽△ BFE，AE BE∴，CE EF108∴，2EF8 10∴EF=．5考点：切线的判断与性质；相似三角形的判断与性质．14. （ 2017 贵州黔东南州第21 题）如图，已知直线PT 与⊙ O相切于点T，直线 PO与⊙ O订交于 A， B 两点．（1）求证： PT2=PA? PB；（2）若 PT=TB= 3，求图中暗影部分的面积．（ 1）证明：连接OT．∵PT 是⊙O的切线，∴ PT⊥ OT，∴∠ PTO=90°，∴∠ PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠ OAT=∠OTA，∴∠ PTA=∠B，∵∠ P=∠ P，∴△ PTA∽△ PBT，PT PA∴，PB PT∴PT2=PA? PB．（2）∵ TP=TB= 3，∴∠ P=∠ B=∠ PTA，∵∠ TAB=∠P+∠ PTA，∴∠ TAB=2∠ B，∵∠ TAB+∠B=90°，∴∠ TAB=60°，∠ B=30°，∴ tanB=AT3TB3∴AT=1，∵OA=OT，∠ TAO=60°，∴△ AOT是等边三角形，∴ S 阴 =S扇形OAT﹣ S△AOT= 601231263 .36044考点：相似三角形的判断与性质；切线的性质；扇形面积的计算．16.（ 2017 四川泸州第 24 题）如图，⊙ O与 Rt △ABC的直角边 AC和斜边 AB分别相切于点 C、 D，与边 BC订交于点F， OA与 CD订交于点E，连接 FE并延长交AC边于点 G．（1）求证： DF∥ AO；（2）若 AC=6， AB=10，求 CG的长．可编写可更正【答案】（ 1）证明见分析；（2） 2.（ 1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，∴ AC=AD，∵ OC=OD，∴ OA⊥ CD，∴ CD⊥ OA，∵CF是直径，∴∠ CDF=90°，∴DF⊥ CD，∴DF∥ AO．（2）过点作 EM⊥ OC于 M，∵ AC=6， AB=10，∴ BC=AB2AC2=8，∴AD=AC=6，∴BD=AB-AD=4，2∵ BD=BF? BC，∴ BF=2，1∴CF=BC-BF=6． OC= CF=3，2∴ OA= AC2OC2=35，可编写可更正2∵ OC=OE? OA ，3 5 ∴OE=，5∵ EM ∥ AC ，EM OM OE 1 ∴OCOA，AC53618∴ OM= ，EM= ， FM=OF+OM= ，5 55EM FM3 ∴FC6，CG55 ∴ CG= EM=2．3考点：切线的性质．17. （ 2017 四川宜宾第 23 题）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， AD 均分∠ CAE 交⊙ O 于点 D ，且 AE⊥ CD ，垂足为点 E ．（ 1）求证：直线 CE 是⊙ O 的切线．（ 2）若 BC=3， CD=3 2 ，求弦 AD 的长．（ 1）证明：连接 OC ，如图，∵ AD 均分∠ EAC ，∴∠ 1=∠ 3，∵ OA=OD ，∴∠ 1=∠ 2，可编写可更正∴∠ 3=∠ 2，∴OD∥ AE，∵ AE⊥ DC，∴OD⊥ CE，∴CE是⊙ O的切线；（2）∵∠ CDO=∠ ADB=90°，∴∠ 2=∠ CDB=∠ 1，∵∠ C=∠C，∴△ CDB∽△ CAD，CD CB BD ∴CD AD ，CA2∴ CD=CB? CA，∴（ 3 2 ）2=3CA，∴ CA=6，∴ AB=CA﹣ BC=3，BD 3 222 K，AD=2K，AD6,设BD=2在 Rt △ ADB中， 2k 2+4k2=5，30∴ k=，630∴AD=．3考点：切线的判断与性质．18.（ 2017 新疆建设兵团第22 题）如图，AC为⊙O的直径，B 为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点 D 作 DE⊥ AC，垂足 E 在 CA的延长线上，连接BE．（1）求证： BE是⊙ O的切线；（2）当 BE=3时，求图中暗影部分的面积．可编写可更正【答案】（ 1）证明见分析；（2）3-3 3．22（ 1）以下列图，连接BO，∵∠ ACB=30°，∴∠ OBC=∠OCB=30°，∵ DE⊥ AC，CB=BD，1∴ Rt △ DCE中， BE=C D=BC，2∴∠ BEC=∠BCE=30°，∴△ BCE中，∠ EBC=180°﹣∠ BEC﹣∠ BCE=120°，∴∠ EBO=∠EBC﹣∠ OBC=120°﹣ 30° =90°，∴ BE是⊙ O的切线；（ 2）当 BE=3时， BC=3，∵ AC为⊙ O的直径，∴∠ ABC=90°，又∵∠ ACB=30°，∴ AB=tan30°× BC= 3，∴ AC=2AB=2 3， AO= 3，121113333∴暗影部分的面积 =半圆的面积﹣ Rt △ABC的面积 =π× AO﹣2AB× BC= π × 3﹣××3=-．22222考点：切线的判断与性质；扇形面积的计算．1. (2017 北京第 24 题 ) 如图，AB是O 的一条弦， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EC OA 于点 C ，过点 B 作O 的切线交 CE 的延长线于点 D .可编写可更正（ 1）求证： DBDE ；（2）若 AB12, BD 5 ，求O 的半径 .（ 1）证明：∵ DC ⊥ OA, ∴∠ 1+∠ 3=90° , ∵ BD 为切线，∴ OB ⊥ BD, ∴∠ 2+∠ 5=90° , ∵ OA=OB, ∴∠ 1=∠ 2，∵∠3=∠ 4，∴∠ 4=∠ 5，在△ DEB 中 , ∠ 4=∠ 5，∴ DE=DB.(2) 作 DF ⊥AB 于 F, 连接 OE,∵DB=DE, ∴ EF=1BE=3，在 RT △ DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴ DF= 5232 4∴2sin ∠ DEF=DF=4 , ∵∠ AOE=∠ DEF, ∴在 RT △ AOE 中， sin ∠AOE=AE4 , DE5AO5∵ AE=6, ∴AO=15.2考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017 天津第 21 题 ) 已知 AB 是⊙ O 的直径， AT 是⊙ O 的切线，ABT500 ， BT 交⊙ O 于点 C ， E 是 AB上一点，延长 CE 交⊙ O 于点 D .（ 1）如图①，求T 和 CDB 的大小；（ 2）如图②，当BE BC 时，求CDO 的大小 .19可编写可更正∵AB 是⊙ O 的直径， AT 是⊙ O 的切线，∴ AT⊥ AB,即∠ TAB=90° .∵ABT500，∴∠ T=90°- ∠ ABT=40°由 AB 是⊙ O 的直径，得∠ACB=90°，∴∠ CAB=90° - ∠ ABC=40°∴∠ CDB=∠CAB=40°;（ 2）如图，连接AD,在△ BCE中， BE=BC，∠ EBC=50°，∴∠ BCE=∠BEC=65°,∴∠ BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ ODA=∠OAD=65°∵∠ ADC=∠ABC=50°∴∠ CDO=∠ODA-∠ ADC=15° .3. (2017福建第21)如图，四边形ABCD内接于O AB是O的直径，点P在CA的延长线上，CAD 45 ．题，（Ⅰ）若 AB 4 ，求弧 CD 的长；可编写可更正（Ⅱ）若弧 BC 弧 AD ， AD AP ，求证： PD 是 O 的切线．1 902（Ⅰ）连接 OC ，OD ，∵∠ COD=2∠ CAD ，∠CAD=45°，∴∠ COD=90°，∵ AB=4，∴OC= AB=2，∴ CD 的长 =2180=π；180COD °，∵ OA=OD ，∴∠ ODA=∠ OAD ，（Ⅱ）∵ BC = AD ，∴∠ BOC=∠ AOD ，∵∠ COD=90°，∴∠ AOD==452∵∠ AOD+∠ODA+∠ OAD=180°，∴∠ ODA=180AOD=°，∵ AD=AP ，∴∠ ADP=∠APD ，∵∠ CAD=∠ ADP+∠APD ，∠2CAD=45°，∴∠ ADP=1∠ CAD=°，∴∠ ODP=∠ ODA+∠ ADP=90°，又∵ OD 是半径，∴ PD 是⊙ O 的切线 .24. (2017 河南第 18 题 ) 如图，在 ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 边于点 D ，过点 C 作 CF / /AB ，与过点 B 的切线交于点 F ，连接 BD .（ 1）求证： BDBF ；（2）若 AB10，CD4，求 BC 的长.(1) ∵AB AC∴∠ ABC=∠ACB∵ CF //AB∴∠ ABC=∠FCB∴∠ ACB=∠FCB ，即 CB 均分∠ DCF∵ AB 为⊙ O 直径∴∠ ADB=90°，即 BD AC∵BF 为⊙ O 的切线∴BF AB∵CF //AB∴BF CF∴BD=BF考点：圆的综合题.6.（2017湖南长沙第23 题）如图，AB与⊙O相切于C，OA,OB分别交⊙O于点D, E，CD CE ．（ 1）求证：OA OB ；（ 2）已知AB 4 3 ，OA4，求暗影部分的面积．【答案】（ 1）证明见分析（2）S暗影=23试题分析：（ 1）连接 OC，则 OC⊥ AB∵CD CE∴∠ AOC=∠BOC在△ AOC和△ BOC中，2 3AOC BOC OC OCOCAOCB90∴△ AOC ≌△ BOC （ ASA ）∴ AO=BO（ 2）由（ 1）可得 AC=BC=1AB=2 32∴在 Rt △ AOC 中， OC=2∴∠ AOC=∠BOC=60°∴ S △BOC = 1 BC OC= 123 2=2 322S 扇形 BOC =6022=23603∴S 暗影 =S △BOCS扇形 BOC=23 23考点： 1、切线的性质， 2、三角形的面积， 3、扇形的面积7. （ 2017 山东临沂第 23 题）如图， BAC 的均分线交ABC 的外接圆于点 D ， ABC 的均分线交 AD 于点 E .（ 1）求证： DE DB ；（ 2）若 BAC90 ， BD 4 ，求 ABC 外接圆的半径 .【试题分析：（ 1）AD 均分BAC ， BE 均分 ABC ， BAD CAD , ABE CBE ，又BEDABE BAD ，DBEDBC CBE ， DBCDAC ,BED DBE . DEDB .（ 2）解：连接 CD ，BAC 90 ，BC 是圆的直径 . BDC90 ，BDC90 .BAD CAD ，BD CD ， BD CD ， BCD 是等腰直角三角形 . BD 4 ， BC 4 2 . ABC 的外接圆的半径为可编写可更正考点： 1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8. (2017 四川泸州第24 题 ) 如图，⊙ O与Rt ABC的直角边AC 和斜边AB分别相切于点 C , D ; 与边BC订交于点F , OA与 CD 订交于点 E ，连接 FE 并延长交 AC 边于点G .（ 1）求证：DF AO AC6, AB10, CG（ 1）证明：AB 与⊙O相切与点 DBCD BDF（弦切角定理）又 AC 与⊙O相切与点 C由切线长定理得：AC AD , CAO DAO ;CD AOBCD CAO DAO ;DAO BDF ,即：DF E EM OCAC6, AB8AD AC 6, BD ABAD4BD2BF BC MAB 2AC 28BCBF2;FC BC BF6, OC 1FC3;OA AC 2OC2 3 5 2可编写可更正EM OM OE 1ACOC OA ;53 OM 3, EM6 ;FM OF OM 18 ;OC 25 5 55OE OA, 解之得： OEEM FM35CG FC 6;5CG5EM23(2017 山东滨州第 23 题 )（本小题满分 10 分）如图，点 E 是△ ABC 的心里， AE 的延长线交 BC 于点 F ，交△ ABC 的外接圆⊙ O 于点 D ；连接 BD ，过点 D 作直线 DM ，使∠ BDM ＝∠ DAC ．（ 1）求证：直线 DM 是⊙ O 的切线；2（ 2）求证： DE ＝ DF · DA ．【答案】详见分析 .试题分析：证明：（ 1）如图 1，连接 DO ，并延长交⊙ O 于点 G ，连接 BG ；∵点 E 是△ ABC 的心里，∴ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ DAC ． 21 世纪教育网∵∠ G ＝∠ BAD ，∴∠ MDB ＝∠ G ， 21 世纪教育网∵ DG 为⊙ O 的直径，∴∠ GBD ＝ 90°，∴∠ G ＋∠ BDG ＝ 90°． ∴∠ MDB ＋∠ BDG ＝ 90°．∴直线 DM 是⊙ O 的切线；（ 2）如图 2，连接 BE ．∵点 E 是△ ABC 的心里，∴∠ ABE ＝∠ CBE ，∠ BAD ＝∠ CAD ．∴∠ EBD＝∠ BED，∴DB＝ DE．∵∠ CBD＝∠ BAD，∠ ADB＝∠ ADB，∴△ DBF∽△ DAB，2∴ BD＝ DF· DA．2∴ DE＝ DF· DA．10. (2017辽宁沈阳第22 题 ) 如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点E，过点E做EF AB 于点 F ，延长 EF 交CB的延长线于点G ，且ABG 2 C .（ 1）求证：EF是O 的切线；（ 2）若 sin EGC 3O 的半径是3，求AF的长 .，5【答案】（ 1）详见分析；（ 2）24. 5试题分析：(1)连接 OE，则EOG2C,∴ ABGEOG∴ AB / /OE∵ EF AB∴ AFE 900∴ GEOAFE900∴ OE EG又∵ OE 是 O 的半径∴ EF 是O 的切线；（ 2）∵ ABG 2 C ，∵ ABGCA∴ CA ∴ BA=BC又 O 的半径为 3， ∴ OE=OB=OC ∴ BA=BC=2× 3=6在 Rt △ OEG 中， sin ∠ EGC=OE，即33OG5 OG∴ OG=5在 Rt △ FGB 中， sin ∠ EGC=BF，即3FBGB5 2∴BF=65∴ AF=AB-BF=6- 6 =24.55考点：圆的综合题 .13. (2017 山东菏泽第 22 题) 如图， AB 是⊙ O 的直径， PB 与⊙ O 相切于点B ，连接 PA 交⊙ O 于点C . 连接 BC .可编写可更正（ 1）求证：BAC CBP ；（ 2）求证：PB 2PC PA；（ 3）当AC6, CP 3 时，求sin PAB 的值.【答案】 (1) 详见分析；（ 2）详见分析；（ 3）3 .【分析】试题分析：（ 1）依据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得BAC CBP ；（ 2）先证△ PB∽ C△ABP，依据相似三角形的性质即可得结论；（ 3）利用PB2PC PA ，得PB 3 3，从而求 sin PAB = 3试题分析：【解】（ 1）∵AB是⊙O的直径∴∠ ACB=90°∴∠ A+∠ ABC=90°∵ PB与⊙O相切于点 B∴∠ CBP+∠ABC=90°∴ BAC CBP(2) ∵BAC CBP ，∠P=∠P∴△ PB∽ C△ ABP∴PB PCAP BP∴PB2 PC PA（3）∵AC 6, CP 3∴AP=9可编写可更正∵PB2 PC PA∴PB 33∴ sin PAB =PB93 AP 3 314.(2017 浙江金华第22 题 ) 如图，已知：AB 是O的直径，点C在O上， CD是O 的切线， AD CD 于点 D , E 是 AB 延长线上的一点，CE 交O于点F，连接OC,AC．(1) 求证：AC均分DAO ．(2)若 DAO 105， E 30．①求OCE 的度数．②若O 的半径为 2 2 ，求线段EF的长．【答案】 (1) 详见分析；（ 2）①∠ OCE=45°；② 2 3 -2.（1）解：∵直线与⊙ O相切，∴ OC⊥ CD；又∵ AD⊥ CD,∴AD（ 2）解：①∵ AD②作 OG⊥ CE于点 G,可得 FG=CG,∵OC=2 2 , ∠ OCE=45° .∴CG=OG=2,∴FG=2;∵在 RT△ OGE中，∠ E=30°，∴GE=2 3 ,∴EF=GE-FG=2 3 -2.可编写可更正15.（ 2017 浙江湖州第 21 题）（本小题 8 分）如图，为 Rt C 的直角边 C 上一点，以 C 为半径的与斜边相切于点D，交于点．已知C3，C3．（ 1）求 D 的长；（ 2）求图中暗影部分的面积．【答案】（ 1） 3 （2）6（ 1）在 Rt△ ABC中， AB=AC 2BC2=32( 3)2=23∵BC⊥ OC∴BC是⊙O的切线∵AB是⊙O的切线∴BD=BC= 3∴AD=AB-BD= 3（ 2）在 Rt△ ABC中， sinA= BC31 AB 2 32∴∠ A=30°∵ AB切⊙ O于点 D∴ OD⊥ AB∴∠ AOD=90° - ∠ A=60°30可编写可更正∴OD=333∴ OD=1∴S暗影=6012=3606考点： 1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （ 2017 浙江台州第22 题）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P是斜边 BC 上一点（不与B, C重合），PE是ABP 的外接圆⊙O的直径.（ 1）求证：APE 是等腰直角三角形；（ 2）若⊙ O 的直径为2，求 PC2PB2的值 .【答案】（ 1）证明见分析（2）4（1）证明：∵△ ABC是等腰直角三角形，∴ ∠C=∠ ABC=45° ,∴∠ PEA=∠ABC=45°又∵ PE是⊙ O的直径，∴∠ PAE=90° ,∴∠ PEA=∠APE=45°,∴ △ APE是等腰直角三角形.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴ AC=AB,同理 AP=AE,又∵∠ CAB=∠ PAE=90° ,∴∠ CAP=∠BAE,∴△ CPA≌△ BAE,∴CP=BE,在 Rt △ BPE中，∠ PBE=90° ,PE=2,可编写可更正∴PB2+BE2=PE2,222∴ CP+PB=PE=4.考点： 1、全等三角形的判断与性质，2、等腰三角形的判断与性质，3、勾股定理， 4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形14．（ 2017 四川省南充市）如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，以 AC为直径作⊙ O交 AB 于点 D， E 为 BC的中点，连接 DE 并延长交 AC的延长线于点F．（1）求证： DE是⊙ O的切线；（2）若 CF=2， DF=4，求⊙ O直径的长．【答案】（ 1）证明见分析；（2） 6．【分析】试题分析：（ 1）连接 OD、CD，由 AC为⊙ O的直径知△ BCD是直角三角形，联合E为 BC的中点知∠ CDE=∠ DCE，由∠ODC=∠ OCD且∠ OCD+∠ DCE=90°可得答案；（ 2）设⊙ O的半径为222222，即可得出答案．r ，由 OD+DF=OF，即 r +4 =（ r+2）可得 r=3试题分析：（ 1）如图，连接OD、 CD．∵ AC为⊙ O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵ E 为 BC 的中点，∴ BE=CE=DE，∴∠ CDE=∠DCE，∵ OD=OC，∴∠ ODC=∠ OCD，∵∠ ACB=90°，∴∠ OCD+∠ DCE=90°，∴∠ ODC+∠CDE=90°，即 OD⊥DE，∴ DE是⊙ O的切线；（ 2）设⊙ O的半径为222222，∴⊙ O的直径为 6．r ，∵∠ ODF=90°，∴ OD+DF=OF，即 r +4 =（r+2），解得： r=3考点：切线的判断与性质．15．（ 2017 四川省广安市）如图，已知AB是⊙ O的直径，弦CD与直径 AB订交于点F．点 E 在⊙ O外，做直线AE，且∠ EAC=∠D．（ 1）求证：直线AE 是⊙ O的切线．可编写可更正3 10，求 BF 的长．（ 2）若∠ BAC=30°， BC=4，cos ∠ BAD= ， CF=43【答案】（ 1）证明见分析； （2）521．9（ 1）连接 BD ，∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即∠ ADC+∠ CDB=90°，∵∠ EAC=∠ ADC ，∠ CDB=∠ BAC ，∴∠ EAC+∠ BAC=90°，即∠ BAE=90°，∴直线 AE 是⊙ O 的切线；（ 2）∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ACB=90°， Rt △ ACB 中，∠ BAC=30°，∴ AB=2BC=2× 4=8 ，由勾股定理得：2 233 =AD，∴3 AD，∴ AD=6，∴ BD= 8262AC= 84 = 4，Rt △ ADB 中， cos ∠BAD=AB =8 = 2 7 ，∵∠ BDC=44∠ BAC ，∠ DFB=∠ AFC ，∴△ DFB ∽△ AFC ，∴BFBDBF 2 7，∴ BF=5 21． FC AC，∴10 4 3 93考点： 1．切线的判断与性质； 2．解直角三角形．。

圆证明1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)当DF：DE＝2：1时，∠BAC的度数为多少？说明理由；2如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（Ⅰ）求证：直线BF是⊙O的切线；（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．3.四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与求则图中阴影部分面积（结果保留π和根号）4.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D。

（1）求证：AC=CD；（2）若AC=2，AO=，求OD的长度。

CD（1）求证：AD=CD ；（2）若AB=10，cos ∠ABC=53，求tan ∠DBC 的值.． 6如图，OC 平分∠MON ，点A 在射线OC 上，以点A 为圆心，半径为2的⊙A 与OM相切与点B ，连接BA 并延长交⊙A 于点D ，交ON 于点E ．（1）求证：ON 是⊙A 的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．8如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D,点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE 依次交AC于G，交⊙O于H。

（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长。

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=， 即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（ ）A. 2πB. π C 。

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。

圆的相关证明与计算类型一平行线模型★1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC＝BA，在∠ACB 的内部作∠ACF＝30°，且 CF＝CA，过点 F 作FH⊥AC 于点 H，连接 BF.(1)若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是 4，求AG的长；(2)请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．第 1 题图解：(1)如解图，连接OG，∵∠ACF ＝30°，∴∠AOG ＝2∠ACF ＝60°，∵⊙O 的半径是 4，∴l ︵ ＝n πr ＝60π×4＝4π；AG 180 180 3(2)直线 BF 与⊙O 相切，理由如下：如解图，连接 OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°， ∵BC ＝BA ，OC ＝OA ，∴BO ＝12AC ，BO ⊥AC ，∴∠BOC ＝90°， ∵FH ⊥AC ，∴∠FHC ＝∠BOC ＝90°，∴BO ∥FH ，∵在 Rt △FHC 中，∠ACF ＝30°，∴FH ＝12CF ， ∵BO ＝12AC ，CF ＝CA ，∴BO ＝FH ，∵BO ∥FH ，∴四边形 BOHF 是平行四边形．∵∠FHC ＝90°，∴平行四边形 BOHF 是矩形，∴∠FBO ＝90°，∴OB ⊥BF ，∵OB 是⊙O 的半径，∴直线 BF 与⊙O 相切．★2.在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，以 BC 为直径的⊙O 分别与AB 、AC 相交于点 D 、E ，过点 D 作 DF ⊥AC ，垂足为点 F .(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为 6，求阴影部分的面积．第 2 题图（1）证明：如解图，连接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，第 2 题解图∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，∴∠C＝∠DOB＝60°，由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，OD ＝63＝∵OD＝6，∴DG＝6 3， tan30°160π×62∴S 阴影＝S△ODG－S 扇形DOB＝×6×63－＝18 3－6π.2360类型二弦切角模型★1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为 3，CD＝4，求BD的长．第 1 题图(1)证明：如解图，连接OC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD，∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴OC⊥CD，∵CO 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：∵在 Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90°，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.第 1 题解图★2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.(1)求证：∠ABD＝∠ADE；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求 CE 的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OD .∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ODB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ;第 2 题解图(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD .∵O 为 AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ， ∵OD ⊥DE ，∴AC ⊥DE ，在 Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°，∴△DEC ∽△ADC ， CE DC CE 5∴DC ＝AC ，即 5 ＝25，∴CE ＝3.类型三 双切线模型★1.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点 C 在⊙O 上，CB ∥PO .(1)判断 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若 AB ＝6，CB ＝4，求 PC 的长．解：(1)PC 与⊙O 相切．理由如下：如解图，连接 OC ，第 1 题解图∵CB ∥PO ，∴∠POA ＝∠B ，∠POC ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠POA ＝∠POC ，又∵OA ＝OC ，OP ＝OP ，∴△APO ≌△CPO ，∴∠OAP ＝∠OCP ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OCP ＝90° ∴PC 是⊙O 的切线；(2)如解图，连接 AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， 由(1)知∠PCO ＝90°，∠B ＝∠OCB ＝∠POC ，∴△ACB ∽△PCO ，∴OC BC ＝AC PC ，又∵在Rt△ABC中，AC＝AB2－CB2＝62－42＝25，∴PC＝OC·AC＝3×25＝35.BC42★2. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O 于点A，连接PA，AO，并延长AO 交⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若 cos∠CAO＝45，且OC＝6，求PB的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接OB，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵OP ⊥AB ，∴AC ＝BC ，∴OP 是 AB 的垂直平分线， ∴PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∴∠PAO ＝∠PBO . ∵PB 为⊙O 的切线，∴∠OBP ＝90°，∴∠PAO ＝90°， ∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 是⊙O 的切线；(2)解：∵cos ∠CAO ＝45，∴设 AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知 OC ＝3k ，∴sin ∠CAO ＝35，tan ∠COA ＝43，∴CO OA ＝35，即OA 6＝35，解得 OA ＝10，∵tan ∠POA ＝tan ∠COA ＝AO AP ＝43，∴AP 10＝43，解得 AP ＝403，∵PA ＝PB ，∴PB ＝PA ＝403. ★3.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C ，连接 PO ，交⊙O 于点 D .(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第 3 题图证明：(1)如解图，连接OB，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，∴PO 平分∠APC；第 3 题解图(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝60°，∵PO 平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝60°，又∵OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝30°，∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC .类型四 其他模型★1.如图，以 AB 为直径的⊙O 经过点 P ，C 是⊙O 上一点，连接 PC 交 AB 于点 E ，且∠ACP ＝60°，PA ＝PD .(1)试判断 DP 与⊙O 的位置关系，并说明理由；若点 C 是 ︵ 的中点，AB ＝ ，求 CE CP 的值．(2) AB 4 ·第 1 题图解：(1)PD 与⊙O 相切．证明如下：如解图，连接 OP ，∵∠ACP ＝60°，∴∠AOP ＝120°，∵OA ＝OP ，∴∠OAP ＝∠OPA ＝30°，∵PA ＝PD ，∴∠PAO ＝∠D ＝30°，∵∠POD ＝∠OAP ＋∠OPA ＝60°，∴在△POD 中，∠OPD ＝180°－∠D －∠DOP ＝180°－30° －60°＝90°，即 DP ⊥OP ，∵OP 是⊙O 的半径，∴DP 是⊙O 的切线； 第 1 题解图(2)如解图，连接 BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， 又 C 为 ︵的中点， CAB ＝ ABC ＝ APC ＝ ， ∵ AB ∴∠ ∠ ∠ 45° ∵AB ＝4，∴AC ＝AB · sin45°＝22，∵∠ACP ＝∠ACP ，∠CAB ＝∠APC ， ∴△CAE ∽△CPA ，∴CA CP ＝CA CE ，∴CE·CP＝CA2＝(22)2＝8.★2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分∠ACB，交直径 AB 于点 F，连接 BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；(3)若 tan∠PCB＝34，BE＝52，求PF的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OC,∵OA=OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC 是⊙O 的切线，∴AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD,∴∠CAD＝∠OCA=∠OAC，即AC 平分∠DAB；（2）解：PC=PF，证明如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB＝∠CAD=∠PCB,第 2 题解图∵∠ACE＝∠BCE,∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE,∴∠PFC＝∠PCF,∴PC＝PF；（3）解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE,∴AE BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直径，∴∠AEB=90°，∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，∴△PCB ∽△PAC ，∴ PCPB BC CA ， ∵tan ∠PCB =tan ∠CAB =34，设 PB =3x ，则 PC =4x ，在 Rt △POC 中，（3x +5）2=（4x ）2+52，解得 x 1=0（舍去），x 2= 307 ， ∴PF =PC = 1207 .★3.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D ，E 是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F .(1)若 BCD ＝36°，BC ＝10，求 的长；∠ BD(2)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第 3 题图(1)解：如解图，连接 OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC＝10，∴OB＝5，∴l ︵＝72π×5＝2π；BD180第 3 题解图(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，又∵点 E 是线段 AC 的中点，∴DE＝12AC＝EC，OD＝OC在△DOE 与△COE 中，OE＝OE ，∴△DOE≌△COE(SSS)．DE＝CE ∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE≌△COE，∴OE 是线段 CD 的垂直平分线，DE＝CE，∴点 F 是线段 CD 的中点，已知点 E 是线段 AC 的中点，则 EF＝12AD，∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，则ACAB＝ADAC，即 AC2＝AB·AD，而AC＝2CE，AD＝2EF，∴(2CE)2＝AB·2EF，即 4CE2＝AB·2EF，∴2CE2＝AB·EF.。