生命表公式一览

1 x x s ( x) 1
x


De Moivre 模型(1729)

,
0 x

x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
Var (T ( x )) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x )) 2 2 t
0
p x dt ex
o 2
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： ( x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
ex ex E ( K ( x ))
k
x kx n
n 1 } , k 0, n 0, x 0 Weibull 模型(1939) s ( x ) exp{ kx
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布， 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》 。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》 ，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合） 、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。 （用频数估计频率）

– 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
– 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 由于被保险人要经过体检合格才予以承保，所以， 国民生命表和经验生命表是有区别的。
• 政府和企业根据国民生命表制订社会保险和退休 计划。而保险公司通常使用经验生命表。
• 2、寿险生命表和年金生命表
• 由于逆选择，选择年金的人一般对身体 状况比较乐观，而选择寿险的对身体状况 不太乐观，这两类人的死亡率是有明显区 别的。寿险公司有必要对两类不同的人分 别统计，从而得出寿险生命表和年金生命 表。
t qx Pr[x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
s(x)
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
概率的方式表示为：
t｜u qx Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt
整值剩余寿命
• 定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X) k, • 概率函数
k T (x) k 1,k 0,1,L
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px k1 px k px qxk k qx

Tx—The sum of average life of all individuals, Tx=Σ Lx
ex— Average life expectance ex=Tx/nx
Lx— The sum of average life of this age , Lx=(nx+nx+1)/2
藤壶的生命表
Survivorship data are often shown as a survivorship curve for a particular population; a graph showing the proportion of survivors on a logarithmic scale through each phase of life.
1.4 38
0.082
35
1
0
0
0
0
0.5 35
3.555
Dynamic-composite life table
Same as dynamic life table, but the age is different, here the age is a group marked at one time, actually age maybe different.
Life table analysis
1. Survivorship curves（存活曲线）
A curve showing the number of individuals which survive per thousand of population through each phase of life, often use a log scale for the numbers of individuals.

生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。

以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。

1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。

通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。

2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。

生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。

在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。

3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。

dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。

根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。

以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。

q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。

l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。

人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。

把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。

生命表
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0

x

B L
x 0

x
B Lx B e0
x 0

B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx

测算预期寿命计算公式预期寿命是指一个人在出生时预期能够活到的年龄，是衡量一个国家或地区人口健康水平的重要指标之一。

预期寿命的计算涉及到许多因素，包括但不限于生活习惯、环境因素、医疗条件等。

在统计学和人口学中，有一些常用的公式可以用来计算预期寿命，本文将介绍其中一种常见的计算公式。

预期寿命的计算公式通常是基于人口统计数据和死亡率来进行推算的。

其中，最常用的是基于死亡率的计算方法，即使用生存曲线和死亡率表来推算出一个人在某个年龄能够活到的平均年龄。

下面我们将介绍一个常见的预期寿命计算公式——生命表法。

生命表法是根据人口统计学原理和方法，按照不同年龄段的死亡率和存活率，推算出一个人在某个年龄能够活到的平均年龄。

生命表法的计算公式如下：\[ E(x) = \sum_{i=0}^{n} l(x+i) \]其中，E(x)表示在年龄x时的预期寿命，l(x)表示在年龄x时的存活率，n表示最大寿命。

这个公式的计算过程是将不同年龄段的存活率加总起来，得出的结果就是在年龄x时的预期寿命。

生命表法的计算公式虽然简单，但是其中涉及到的数据却是非常复杂的。

通常情况下，需要大量的人口统计数据和死亡率数据来进行计算。

而且，由于不同地区、不同年代的生存条件和医疗水平不同，所以生命表法的计算结果也会有所差异。

除了生命表法之外，还有其他一些常见的预期寿命计算方法，比如Kaplan-Meier法、Cohort法等。

这些方法在计算原理和数据要求上有所不同，但都是基于死亡率和存活率来进行推算的。

总的来说，预期寿命的计算是一个复杂而严谨的过程，需要大量的人口统计数据和死亡率数据来支撑。

而且，预期寿命的计算结果也受到许多因素的影响，比如医疗水平、生活习惯、环境因素等。

因此，在进行预期寿命计算时，需要综合考虑各种因素，以确保计算结果的准确性和科学性。

预期寿命的计算不仅对于个人健康管理有重要意义，也对于国家和地区的人口政策制定具有重要的指导意义。

s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21

解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25

15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)

的瞬时死亡率，简记
x
x


S ( x) S ( x)

f (x) S ( x)

ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)

S(x)


S(x t)xt
S(x)

t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20

ò ò n mx =
n 0
lx+s
×
mx+s
ds
n
0 lx+sds
=
n dx n Lx
13、暴露数的概念
ò ò å n
¥
¥
n Lx =
0 lx+sds ，
Tx =
x
l y dy
=
Ly
y=x
，
å ò ¥
Tx* =
ly ，
y = x +1
Yx =
¥
x Tydy ，
n
fx
=
n Lx - n × lx+n n ×n dx
人数占全部死亡人数的比例， ex 为样本中实际结束总人数）
bqˆx =
b2 - 4a × nx × dx 2a nx
，其中 b =
nx
- (1-a ) × ex
+a ×dx
（2）矩估计的方差：
n
å Var[Qˆx | nx ,{ri , si}] =
i=1
q (1 - si -ri x+ri
si -ri
Sˆ(x) = p0 × p1 ×L× px-1
Var[Sˆ
(
x)
|
{ni
'}]
=
[S
(
x)]2
x -1
×[Õ(i=1来自piqi × ni
'
+
1)
-
1]
Greenwood
公式：Var[Sˆ(x)
| {ni
'}]
=
[S (x)]2
3、x 岁的人生存到（x+n）岁的概率

1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生 命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley称为生命表的创始人。
1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中 国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无 到有的飞跃。
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡
第二节 生命表基本函数
初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0
一、生命表中的各类人数
1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁~x+1岁之间）
死亡的人数。
dx lx lx1
2、tdx：x岁的人在x岁~x+t岁间死亡的人数。
t dx lx lxt dx dx1 ... dxt1
0
tm
t m qx y px x ydy

完全生命表年龄死亡率死亡概率 0 0.0321 0.03135 1 0.00264 0.00264 2 0.00161 0.00161 3 0.00115 0.00115 4 0.0008 0.0008 5 0.00063 0.00063 6 0.0005 0.0005 7 0.00042 0.00042 8 0.00038 0.00038 9 0.00033 0.00033 10 0.00034 0.00034 11 0.00031 0.00031 12 0.00033 0.00033 13 0.00033 0.00033 14 0.00035 0.00035 15 0.0004 0.0004 16 0.00041 0.00041 17 0.00045 0.00045 18 0.00055 0.00055 19 0.00057 0.00057 20 0.00066 0.00066 21 0.00067 0.00067 22 0.00073 0.00073 23 0.00075 0.00075 24 0.00081 0.00081 25 0.00083 0.00083 26 0.0008 0.0008 27 0.00084 0.00084 28 0.00084 0.00084 29 0.00089 0.00089 30 0.00095 0.00095 31 0.00094 0.00094 32 0.001 0.001 xmqldLTe完全生命表---2000年人口普查数据（女性）尚存人数表上死亡人数平均生存人年数平均生存人年数累计平均预期寿命 100000 96865 96610 96455 96344 96267 96206 96158 96118 96081 96049 96017 95987 95955 95924 95890 95852 95812 95769 95717 95662 95599 95535 95465 95394 95317 95237 95161 95081 95002 94917 94827 94738 94643 94551 94452 94345 94242 3135 255 155 111 77 61 48 40 37 32 33 30 32 32 34 38 39 43 53 55 63 64 70 72 77 79 76 80 80 85 90 89 95 92 99 108 103 112 97649 96614 96526 96396 96303 96236 96182 96138 96099 96065 96033 96002 95971 95940 95907 95871 95832 95791 95743 95689 95631 95567 95500 95430 95356 95277 95199 95121 95042 94959 94872 94782 94690 94597 94502 94398 94293 94186 7430726 7333077 7236463 7139937 7043541 6947238 6851002 6754820 6658682 6562583 6466518 6370485 6274483 6178512 6082572 5986665 5890794 5794962 5699171 5603428 5507739 5412108 5316541 5221041 5125611 5030255 4934978 4839779 4744658 4649616 4554657 4459785 4365003 4270313 4175716 4081214 3986816 3892523 74.31 75.7 74.9 74.02 73.11 72.17 71.21 70.25 69.28 68.3 67.33 66.35 65.37 64.39 63.41 62.43 61.46 60.48 59.51 58.54 57.57 56.61 55.65 54.69 53.73 52.77 51.82 50.86 49.9 48.94 47.99 47.03 46.07 45.12 44.16 43.21 42.26 41.3 33 0.00097 0.00097 34 0.001050.00105 35 0.00114 0.00114 36 0.00109 0.00109 37 0.00119 0.00119 年龄死亡率死亡概率 38 0.00123 0.00123 39 0.00139 0.00139 40 0.00153 0.00153 41 0.00151 0.00151 42 0.00169 0.00169 43 0.00177 0.00177 44 0.00193 0.00193 45 0.00217 0.00217 46 0.00231 0.00231 47 0.00256 0.00256 48 0.00278 0.00278 49 0.00317 0.00316 50 0.00367 0.00366 51 0.00369 0.00368 52 0.0042 0.00419 53 0.00454 0.00453 54 0.00512 0.00511 55 0.00556 0.00554 56 0.00579 0.00577 57 0.00656 0.00654 58 0.00714 0.00711 59 0.00824 0.00821 60 0.0098 0.00975 61 0.00996 0.00991 62 0.01132 0.01126 63 0.01214 0.01207 64 0.01392 0.01382 65 0.01553 0.01541 66 67 0.016 0.01587 0.0186 0.01843 68 0.02154 0.02131 69 0.02497 0.02466 70 0.0289 0.02849 xmqldLTe 尚存人数表上死亡人数平均生存人年数平均生存人年数累计平均预期寿命 94130 94014 93883 93740 93598 93440 93275 93095 92893 92679 92442 92186 91894 91557 91220 90838 90426 89964 89465 88949 88367 87739 87019 86170 85316 84356 83338 82186 80919 79635 78167 76501 74615 72489 70338 67889 65392 62764 59974 57049 54031 116 131 144 141 158 165 180 202 214 237 257 292 337 337 382 411 462 499 517 582 629 720 849 854 960 94072 93949 93812 93669 93519 93358 93185 92994 92786 92561 92314 92040 91725 91389 91029 90632 90195 89715 89207 88658 88053 87379 86594 85743 84836 83847 82762 81553 80277 78901 77334 75558 73552 71414 69114 66641 64078 61369 58512 55540 52388 3798337 3704265 3610316 3516504 3422835 3329316 3235958 3142773 3049779 2956993 2864432 2772118 2680078 2588353 2496964 2405935 2315303 2225108 2135393 2046186 1957528 1869475 1782096 1695502 1609759 1524923 1441076 1358314 1276761 1196484 1117583 1040249 964691 891139 819725 750611 683970 619892 558523 500011 444471 40.35 39.4 38.46 37.51 36.57 35.63 34.69 33.76 32.83 31.91 30.99 30.07 29.16 28.27 27.37 26.49 25.6 24.73 23.87 23 22.15 21.31 20.48 19.68 18.87 18.08 17.29 16.53 15.78 15.02 14.3 13.6 1018 1152 1267 1284 1468 1666 1887 2126 2151 2449 2498 2628 2790 2925 3019 3284 12.93 12.29 11.65 11.06 10.46 9.88 9.31 8.76 8.23 71 0.03012 0.02967 72 0.03543 0.03481 73 0.03748 0.03679 74 0.041010.04019 75 0.04546 0.04445 76 0.04999 0.04877 77 0.05435 0.05291 78 0.06269 0.06078 年龄死亡率死亡概率 79 0.07277 0.07022 80 0.08511 0.08164 81 0.08991 0.08604 82 0.09948 0.09477 83 0.10784 0.10232 84 0.11792 0.11135 85 0.12595 0.11849 86 0.13632 0.12762 87 0.14974 0.13931 88 0.16519 0.15259 89 0.18163 0.16651 90 0.20609 0.18684 91 0.22603 0.20308 92 0.24416 0.2176 93 0.25971 0.22986 94 0.26721 0.23572 95 0.28456 0.24912 96 0.29763 0.25908 97 0.30308 0.2632 98 0.32333 0.27833 99 0.305320.26488 100+ 0.37524 1 注：1.由死亡率推算死亡概率，公式为：2.由死亡概率、尚存人数和表上死亡人数三者的关系以及给定的l0推算尚存人数和表上死亡人数：xmqldLTe尚存人数表上死亡人数平均生存人年数平均生存人年数累计平均预期寿命 50746 47183 43331 39603 35850 32182 28598 25210 21992 18929 16040 13369 10872 8664 6779 5220 3990 2996 2220 1636 1180 868 3563 3852 3728 3753 3668 3584 3389 3217 3064 2888 2671 2498 2208 1885 1558 1231 994 776 584 455 313 868 48965 45257 41467 37726 34016 30390 26904 23601 20460 17484 14705 12120 9768 7721 5999 4605 3493 2608 1928 1408 1024 434 392083 343118 297861 256394 218668 184652 154262 127358 103757 83297 65813 51108 38988 29220 21499 15500 10895 7402 4794 2866 1458 434 7.73 7.27 6.87 6.47 6.1 5.74 5.39 5.05 4.72 4.4 4.1 3.82 3.59 3.37 3.17 2.97 2.73 2.47 2.16 1.75 1.24 0.53.由尚存人数推算平均生存人年数，公式为：4.由平均生存人年数推算平均生存人年数累计，公式为：5.由平均生存人年数累计和尚存人数推算平均预期寿命，公式为：班级：2008级统计（1）班姓名:xxx学号：xxxxxxxxx。

18
整值剩余寿命

定义： ( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,

概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
11
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
17
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以 概率的方式表示为：

t｜u
qx Pr[t T ( x) t u ]
t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
保险精算之三
王明征 大连理工大学管理学院 2009年11月
第三章 生命表
2
生命表相关定义

生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
3

生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。

qx
n qx n dx lx
n dx

lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx

dx l x (1 f x ) d x

qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有

0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0

n
nf x

n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )

0
Tx dx

定义： Y0 得： ( 4)

0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0

2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和

• 运用生命表函数可以定义和表述寿险精算中常 用的死亡概率： • 如：（1）
d x n lx n d x n q n| x lx lx lx n （2）
n
px qx n
•
lx n lx n m q n px n m px n px m qx n |m x n lx
• 生命表的特点
– 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
• 原理
– 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
• 常用符号
– 新生生命组个体数：l0 – 年龄：x – 极限年龄：
生命表的构造
• l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：x l
t
Lx l y dy
x
x t
• l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总 数： x T
Tx l y dy
x
Tx ex lx
oHale Waihona Puke 生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比 期初生 期间死亡 间 例 存数 数 在年龄区间 共存活年数
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bc
x
s ( x) exp{ Ax B (c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
• Weibull模型(1939)
x kx n
s ( x) exp{kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)

说明x岁的人将在 x+t岁至x+t+u 岁之间死亡的概率 等于这个人活过t 年的概率与其活过 t年后在往后u年内 死亡的概率之积。
S ( x + t ) S ( x + t ) − S ( x + t + u) = ⋅ S ( x) S (x + t)
= t p x ⋅u q x +t
1-11
另外一个等式
死亡率
生命表
1-3
第一节
寿命分布
4
一、分布函数（X 表示寿命）

寿命X：一个人从出生到死亡的时间长度。 X 是连续型的随机变量。 分布函数：F ( x) = Pr( X ≤ x) = P ( X ≤ x) 意义：0岁的人在 x 岁之前死亡的概率。 密度函数：f ( x) = F ' ( x)

或
∞ = − ∫ t ⋅ ( t p x )' dt = −t ⋅t p x |0 + ∫ t p x dt = ∫ t p x dt 0 0 0 ∞ ∞ ∞
注： lim t ⋅t p x = 0，这是因为t大于一定年数后t p x 便等于0.
t →∞

剩余寿命的方差
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2∫ t ⋅ t px dt − ex
x+k x + k +1 1− − (1 − ) 100 100 = x 1− 100
1 = , k = 0,1,2,3," ,99 − x 100 − x

即x岁的人在未来任何一年内死亡的概率是相同 的。这也与实际情况不大吻合。

s
。那么
px xs
（2.2.20） 此处随机变量 S 代表 x 岁人的未来寿命（以年为 单位）。由式（2.2.20）给出的概率密度函数在推导 其他结果是仍然十分有用。 如果式（2.2.4）的分子、分母同除以 l ，得
x
d
xs ds
s
s
px
px
即
d ds
0
( s px ) s px xs
n x
x
x
x
n
x
n
x
x
x
n
x
xn x
n
x
n
x
x
n
x
（2.1.7） 根据 l 重新定义了条件概率 p 和 q ，由 l l S ( x ) 知，这和§1.4中根据 S ( x ) 的定义所推导的结果是完全 一致的。 例2-2 根据表2-2求： （1）在2岁与4岁之间的死亡人数； （2）1岁的人生存到4岁的概率。 解（1） d l l 227 （2） p ll 0 .9 9 5 8 7
2 l0

0
x lx dx
再由式（2.2.11）得
d dx Tx lx
2 l0
（2.2.13）

0
对l 得
2
0

0
x lx dx
分部积分，得
Y0
Tx d x
。定义

2
0
Tx dx
（2.2.14）
（2.2.15）
E(X )
2Y0 l0
由式（2.2.15）与（2.2.10）得
（2.2.10） （2.2.11）
则
e0 E ( X )

生命表第一节 队列分析与假想队列方法一、队列与假想队列队列或称为一批人或同批人，通常是指在同一时期内发生过某种共同性质的人口事件的一个人口群体。

对某队列进行纵向的观察和分析，研究其成员在生命历程中发生各种事件的时间分布、频率、概率等即为队列分析方法。

二、假想队列 若把某时期（一年）不同年龄的人的某种统计特征（如分年龄的生育率、死亡率等）看做是实际上并不存在的某队列成员在各个年龄段的相应指标，对这一假定的列可能发生的人口过程进行研究的方法就是假想队列方法。

第二节 生命表函数及其定义 一、生命来函数（l ）x ——年龄（2）l x ——尚存人数（3）d x —— 表上死亡人数 （4）q x ——死亡概率。

（5）L x ——平均生存人年数（6）T x —一平均生存人年数累积（7）x 0e ——一平均预期寿命二、x ：年龄在生命表的编制过程中，年龄x 通常有两个含义。

1．年龄组2．确切年龄：三、尚存人数尚存人数是指某一确切年龄的人数，或刚进人某一年龄组时的初始人数，通常用l x表示。

例如。

l 0 ——刚出生的人数， l 1——刚进人1岁组的人数l 2——刚进人2岁组的人数、……l ω-1 ——刚进人ω一1岁组的人数，ω表示最高年龄的终结，ω一1表示最高年龄组；l ω=0，即在年龄ω时；所研究队列成员已全部死亡。

由l 0，l 1，l 2，……l ω-1构成的数列称为生存序列。

四、d x ：表上死亡人数表上死亡人数是指在生命表表上X 岁年龄组的死亡人数（非实际死亡人数），通常用d x 或n d x （年龄组组距为n ）表示。

例如：d o ——生命表上0岁年龄组的死亡人数； d 1——生命表上1岁年龄组的死亡人数； d 2——生命表上2岁年龄组的死亡人数；d ω-1－－生命表上最高年龄组的死亡人数。

由do 、d 1、d 2……d ；……d ω-1；构成的数列称为死亡序列。

从理论上讲，在生存序列与死亡序列之间有着如下数量关系：表示：确切年龄x 的尚存人数减去x 岁年龄组的死亡人数，即存活到确切年龄x十1岁的尚存人数。