十字相乘法因式分解练习题

因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~

定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

有()()()b

x

a

x

ab

x

b

a

x+

+

=

+

+

+

2

注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项

例1 把2x2-7x+3分解因式。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1 1 -3

2 ×

3 2 × 1 2 × -3 2 × -1

1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 =-5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之

积，即a=a

1a

2

，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c

1

c

2

，把a

1

，a

2

，c

1

，c

2

排列如下：

a

1 c

1

a

2× c

2

a

1c

2

+ a

2

c

1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a

1c

2

+a

2

c

1

，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系

数b，即a

1c

2

+a

2

c

1

=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a

1

x+c

1

与a

2

x+c

2

之积，即

ax2+bx+c=（a

1x+c

1

）（a

2

x+c

2

）。

像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

3 × -5

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。

解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二镒项系数不是1的二次三贡式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。

对于二次项系数是1的二次三贡式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

1 × 5

1×5+1×（-3）=2

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

5 × -4

1×（-4）+5×2=6

解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两个乘积的历式有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。

解（x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2

=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3

=（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

(1).2x2－5x－12；(2).3x2－5x－2；(3).6x2－13x+5；(4).7x2－19x－6；

(5).12x2－13x+3；(6).4x2+24x+27. (7).6x2－13xy+6y2；(8).8x2y2+6xy－35；(9).18x2－21xy+5y2；(10).5x²+6x-8(11).2x2+3x+1；(12).2y2+y－6；

(13).6x2－13x+6；(14).3a2－7a－6；(15).6x2－11xy+3y2；(16).4m2+8mn+3n2；

(17).10x2－21xy+2y2；(18).8m2－22mn+15n2. (19).4n2+4n－15；

(20).6a2+a－35；( 21).x2+2x-8 (22).x2+3x-10 (23)5x2－8x－13；(24)4x2+15x+9 (25)15x2+x－2；(26)6y2+19y+10；(27)20－9y－20y2；

(29).x2-x-20 (30).x2+x-6 (31).2x2+5x-3 (32).6x2+4x-2

(33).x2-2x-3 (34).x2+6x+8 (35).x2-x-12 (36).x2-7x+10

(37).6x2+x+2 (38).4x2+4x-3(39).x2-6x-7(40).x2+6x-7

(41).x2-8x+7(42).x2+8x+7(43).x2-5x+6(44).x2-5x-6

(45).x2+5x-6(46).x2+5x+6(47).m²+4m-12(48).6x²-5x-25

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