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第一章算法初步1。
1 算法与程序框图1。
1。
1 算法的概念授课时间:第周年月日（星期）教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述:“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤。
”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法。
教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路。
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣。
重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法。
教学过程导入新课思路1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊。
该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法。
思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步?答案：分三步，第一步:把冰箱门打开；第二步:把大象装进去；第三步：把冰箱门关上。
3．3几何概型3．3.1几何概型1．问题导航(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？(3)几何概型有几种模型？2．例题导读通过例1的学习，学会如何求解长度型的几何概型的概率．1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．1．下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“√”，错的打“×”)(1)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到1的概率；()(2)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；()(3)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率；()(4)向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率．()解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，且等可能性．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14D.23解析：选D.由|x |≤1，得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝23.3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝12·2R ·R ＝R 2，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π. 答案：1π4．古典概型与几何概型有何区别？解：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．1．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型．3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积．与长度有关的几何概型(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.15[解析] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.[答案] B[互动探究] 本例中，若将“X ≤1”改为“|X |≤1”，则概率为多少？解：由|X |≤1，得－1≤X ≤1，由几何概型概率计算公式可得，|X |≤1的概率为P ＝1－（－1）3－（－2）＝25. 方法归纳(1)本题的关键是判断事件发生的概率是只与长度有关的几何概型．(2)将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．1．(1)某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )A ．80米B ．100米C ．40米D ．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x 米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x ＝100米，故选B.(2)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．(链接教材P 136例1)解：设A ＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的概率公式得P (A )＝60－5060＝16.即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.与面积有关的几何概型(2014·高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8[解析] 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.[答案] B方法归纳(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 ①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； ③套用公式，从而求得随机事件的概率．2．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解：如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为2375.与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[解] 满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P ＝1333＝127.方法归纳“体积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．3．(1)如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水， ∴由几何概型求概率的公式得P (A )＝0.12＝0.05.(2)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机抽取10毫升，则其含有麦锈病种子的概率是多少？解：1升＝1 000毫升，记事件A ＝“取10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”，则P (A )＝101 000＝0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率是0.01.数学思想数形结合思想在求解几何概型中的应用(2014·高考重庆卷)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)[解析] 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.[答案]932[感悟提高]数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．本题的难点是把两个时间分别用x 、y 两个坐标轴表示，构成平面内的点(x ，y )，从而把时间这一个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不失为一种好方法．1．如图，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，则粒子落在中间带形区域的概率为( )A.529625B.433625C.192625D.96625解析：选D.因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A ＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625，两个等腰直角三角形的面积为2×12×23×23＝529，带形区域的面积为625－529＝96，故所求概率为P (A )＝96625.2．如图所示，四边形ABCD 为矩形， AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是( )A.13B.23C.25D.35解析：选A.连结AC ，交弧DE 于P (图略)．由题意知，∠BAC ＝π6.弧PE 的长度为π6，弧DE 的长度为π2，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是P ＝π6÷π2＝13.3．已知方程x 2＋3x ＋p4＋1＝0，若p 在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为( )A.12B.13C.25D.23解析：选A.因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝⎛⎭⎫p 4＋1≥0，得p ≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.4．一个球型容器的半径为3 cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9病毒，从中任取1 mL 水，含有H7N9病毒的概率是________．解析：水的体积为43πR 3＝43×π×33＝36π(cm 3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P ＝136π.答案：136π[A.基础达标]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13B.23C.14D.34解析：选A.记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )＝3090＝13.3．在2015年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.910解析：选A.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110.4．已知在一个边长为2的正方形中有一个圆，随机向正方形内丢一粒豆子，若落入圆内的概率为0.3，则该圆的面积为( )A ．0.6B ．0.8C ．1.2D ．1.6解析：选C.记“豆子落入圆内”为事件A ，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能的，这是一个几何概型，P (A )＝S 圆S 正，所以S 圆＝P (A )×S 正＝0.3×22＝1.2.因此，圆的面积为1.2.5．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14 C.32D.74根据解析：选D.由于满足条件的点P 发生的概率为12，且点P 在边CD 上运动，向点图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB ＝AB (当点P 超过点ERt △D 运动时，PB >AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝34x .在FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，∴AD AB ＝74.6．(2015·西安质检)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1ABC 内的概率是______．解析：设正方体的棱长为a ，则所求概率P ＝VA 1-ABC VABCD A 1B 1C 1D 1＝13×12a 2·a a 3＝16.答案：167.如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16.答案：168.(2014·高考福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 答案：0.189．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π. 10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的， 所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积， 总的基本事件为整个箭靶的面积， 它的面积为π⎝⎛⎭⎫12222cm 2；记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝⎛⎭⎫12.222cm 2， P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π⎝⎛⎭⎫12.222π⎝⎛⎭⎫12222＝1100， 所以射中“黄心”的概率为1100. [B.能力提升]1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )解析：选A.根据几何概型的面积比，A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为（2r ）2－πr 2（2r ）2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．2．(2015·郑州六校联考)如图，扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°，点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A.310B.15C.25D.12解析：选A.题图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB 、AOC 、AOD 、AOE 、EOB 、EOC 、EOD 、DOC 、DOB 、COB ，其中面积恰为π8的扇形(即相应圆心角恰为π4的扇形)共有3个(即扇形AOD 、EOC 、BOD )，因此所求的概率等于310.3．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为________．解析：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|x －y |≤15.如图，平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝716. 答案：7164．如图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则事件“|OP |>1”的概率为________．(2)在其内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈R ，则事件“△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23”的概率是________．解析：(1)在正方形的四边和内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则所有可能的事件是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n ＝9个，其中满足|OP |>1的事件是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m ＝6个，所以满足|OP |>1的概率为P＝69＝23. (2)在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23，应该三角形的高大于23，所以这个区域为每个边长从两端各去掉23后剩余的正方形，其面积为23×23＝49，所以满足条件的概率为494＝19. 答案：(1)23 (2)195．2013年度世界新闻人物——斯诺登，他揭露了美国的监听丑闻．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上在开始录音的1 min 内从第30 s 后的某一时刻开始，有10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到23 min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.6．(选做题)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 是AB 的中点．一只苍蝇在几何体ADF -BCE 内自由飞行，求它飞入几何体F -AMCD 内的概率． 解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC . 因为V F AMCD ＝13S 四边形AMCD ×DF ＝13×12(12a ＋a )·a ·a ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 2·a ＝12a 3，所以苍蝇飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.。
8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在(3)垂直：当〈a，b〉＝06π2讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.(2)a⊥b⇔02a·b＝0.(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝05a·b(|a||b|≠0).|a||b|(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为03.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且||＝02|a |cos〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，为零向量，即||＝030；当〈a ，b 〉>π2时，的方向与b 的方向04相反，而且||＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.或a与b中至少有一个为0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为____.(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.答案(1)32(2)－8(3)12|AB→|－32|AB→|题型一两个向量夹角的定义例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，23b.[解]如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量－a，b的夹角为120°.(2)向量2a，23b的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝12解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.取OA的中点D，连接BD，∵|b|＝1|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，2∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.题型二向量数量积的定义例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，向量a 与向量b 的夹角为120°.1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2](1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.题型三向量的投影例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1；(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.＝2.[解](1)OA1＝4cos60°＝4×12(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.(3)OC1＝4cos120°＝4 2.对向量投影的理解从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ(2)当θ(3)当θ＝0时，该数量为|b|.(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.注意：此处b为非零向量．时，该数量为0.(5)当θ＝π2时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π3上的投影的数量为()A．43B．4C．42D．8＋32答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ＝4，故选B.3题型四向量数量积的几何意义及应用例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为()A ．3 B.92C ．2D.12(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE→·AB →的取值范围．[解析](1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．[答案](1)B(2)见解析利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.答案(1)C(2)4解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，所以AC→⊥BD→.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b|b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．43B．4C．83D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ3＝4.3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π6 B.π3，πC.π3，2π3 D.π6，π答案B解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤12θ∈π3，π.故选B.4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθB．e21＝e22C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．不存在θ，使e1·e2＝2答案BCD解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.答案等边三角形解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．一、选择题1．若|a|＝2，|b|＝12，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()A.1 2B.1 4C．1D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×12×12＝12.2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·|AC→||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D.解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()A．－53B．5C．－5D．53答案A解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案A解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥104|cosθ|≥52，由向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×52－4|＝1.5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()A.AB→∥CD→B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0D.AB→·AD→＝BC→·CD→答案ABC解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.二、填空题6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.答案－332解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)＝ab cos150°＝－332.7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.8．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为____.答案①解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：(1)AB→·CD→；(2)AB→·AD→；(3)AC→·DA→.解如图，(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.(2)〈AB →，AD→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →〉＝3π4，∴AC →·DA →＝2×1×cos 3π4＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解∵AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，知AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①S ＝12|AB ||CD |＝12|AB →||BC →|sin θ.②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，π4.1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是()A.AH→·(AC→－AB→)＝0B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形C.AC→·AH→|AH→|＝c sin BD.BC→·(AC→－AB→)＝a2答案ACD解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；AH→|AH→|是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·AH→|AH→|为AC→在AH→方向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．2．已知a，b是两个非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝6|a||b|＝63×4＝12，∴cos〈a，b〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律a ·b ＝01b ·a结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.答案(1)8(2)－7(3)28237100题型一求向量的数量积例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.答案－14解析由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·－＝12×→|2－|AB→|2－13AB→·＝1 2×1－13cos60°＝－14.题型二求向量的夹角例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－12＝－32，|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2＝1＋1＋1＝3.|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2＝1＋4－4×12＝3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝152.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1523×5＝12又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型三求向量的模例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝27.极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝1[(a＋b)2－(a－b)2]．4我们把该恒等式称为“极化恒等式”．(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．，求|a－b|，|a＋b|.[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝53.＝52＋52＋2×5×5×cosπ3|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝5.＝52＋52－2×5×5×cosπ3解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．∵|a|＝|b|且∠DAB＝π3，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.题型四用向量数量积解决垂直问题例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练4]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE→，即AF ⊥DE .1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于()A.32B ．－32C.23D ．－23答案B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于()A．1 B.2C.3D．2答案A解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确答案C解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3实数λ＝____.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61，，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋3D．27答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析∵0＝AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝()A ．1B ．3C ．5D ．6答案D解析由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP→＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·cB ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD解析因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.二、填空题6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.答案11解析原式展开，得|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－13解析由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝13.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b ||a |＝－13.8．已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为____.答案712解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7.12三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．解由已知，得a·b＝4×816.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16 3.(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →.(2)OA→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP→＝λPB →，∴OP→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB →的取值范围是(－10,3)．1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<15时，夹角θ的取值范围是()A.0，π3π3，π2C.π2，2π30，2π3答案C解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ5＋4cosθ，由0<1＋2cosθ5＋4cosθ<15，解得－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π2<θ<2π3.故选C.2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①同理可得a2＋d2＝b2＋c2②由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.∴四边形ABCD为平行四边形．故AB→＝－CD→，即a＝－c，∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB→⊥BC→.综上知，四边形ABCD为矩形．8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.知识点一向量数量积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.知识点二向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方和的算术平方根.知识点三两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝01x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识点五用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.1．两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1－y2＝y1x2，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.题型二向量的夹角问题例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．[解]＋b ＝(2，－8)，－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，＝(5，－12).∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2＝－635×13＝－6365.∴a 与b 的夹角的余弦值为－6365.利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.答案|π2－α|解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22＝45sin α2×25＝sin α，∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.题型三向量的长度、距离问题例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝13.∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22＝10＋6(x1x2＋y1y2)＝10＋6×13＝23.(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25解析解法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.①由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②＝3，＝1＝－3，＝－1.当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.故|AB→|＝25.解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.题型四两向量垂直条件的应用例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，2＋y 2－5x －2y ＝0，x ＋4y ＝29，1＝72，1＝－322＝32，2＝72.即点B利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，C (0,0)，设E (x ，y )．∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →，∴(x －2，y )＝23(－2,2)，－2＝－43，＝43，＝23，＝43，∴∴AD→·CE→＝(－＝－43＋43＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.题型五向量数量积的综合应用例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16C．16D．32[解析]令f(x)＝0，得π6x＋π3kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.[答案]D与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()A.12≤λ≤1B．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22D．1－22≤λ≤1＋22答案B解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，∴x－1＋y＝0.①又OP→·AB→≥PA→·PB→，∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤12.即－22≤y－1≤22.∴1－22≤y≤1＋22.结合题意，得1－22≤y≤1，即1－22≤λ≤1.故选B.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()A．3 B.13C．－13D．－3答案C解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－13.2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.答案－32解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12，同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3＝－32.4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案31010解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝a ·b |a ||b |＝918×5＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB→·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C AC →∴|AC→|＝＝342，故边AC 的长为342.一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案D解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，x－2y＝1，x＝－3，y＝－2.4．与已知向量a 72，12，b12，－72的夹角相等，且模为1的向量是()－45，－223，答案B解析设与向量ab1的向量为(x，y)＋y2＝1，＋12y＝12x－72y，＝45，＝－35＝－45，＝35，故选B.5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9答案ABD解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.二、填空题6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.答案103，＋∞解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．解得x>103且x≠－65，∴x>103.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为____.答案120°解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c|a＋b||c|＝12.∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.答案22解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值22.三、解答题9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。
3．2古典概型内容标准学科素养1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义.2.会判断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题. 提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模[基础认识]知识点一古典概型的概念预习教材P125－126，思考并完成以下问题抛掷两枚质地均匀的硬币．(1)有哪几种可能结果？提示：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．(2)上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？提示：由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系．基本事件古典概型特点任何两个基本事件是互斥的试验中所有可能出现的基本事件只有有限个任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和每个基本事件出现的可能性相等预习教材P126－127，思考并完成以下问题在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？提示：出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝12，即P(出现正面朝上)＝12＝“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数基本事件的总数.知识梳理对于任何事件A，P(A)＝A包含的基本事件的个数.思考：掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足等可能性．[自我检测]1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．答案：C2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16B.12C.13D.23解析：基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝26＝1 3.答案：C3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为__________．解析：从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为310.答案：310授课提示：对应学生用书第57页探究一基本事件的计数问题[例1]连续掷3枚硬币，观察落地后3枚硬币是正面向上还是反面向上．(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？[解析](1)由树形图表示如下：试验的所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．方法技巧基本事件的两种探求方法(1)列表法：将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(关键词：基本事件的总数)．(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目(关键词：结构关系)．跟踪探究 1.连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；解析：(1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.探究二简单古典概型的概率[阅读教材P127例3]同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？方法步骤：第一步，列出所有的基本事件；第二步，找出满足条件的基本事件；第三步，根据古典概型概率公式进行计算．[例2]袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；现从袋中任取两张卡片．(1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．[解析](1)基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)由(1)知，基本事件为2，3，4，5共4种，且他们出现的频数依次为1，4，3，2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型．(3)设A＝{所取两张卡片标号之和小于4}，由(1)知，A事件包含(红1，红2)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，(蓝1，蓝2)共5种，由古典概型概率公式得：P(A)＝510＝12.方法技巧 1.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．2．求古典概型概率的计算步骤(1)确定基本事件的总数n；(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；(3)计算事件A的概率P(A)＝m n.3．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．延伸探究 1.本题条件不变，求所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同的概率．解析：所有基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种．设A＝{所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同}，则A事件包含(红1，红2)，(红1，红3)，(蓝1，蓝2)共3种，由古典概型概率公式得：P(A)＝3 10.2．在本题原条件不变的情况之下，现往袋中再放一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解析：加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，所有可能情况如下表所示：绿蓝红01212 3绿01212 3蓝1323 4234 5红13 4 2 5 3由表格可知，从六张卡片中任取两张的所有可能情况有15种．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有{绿0，蓝1}，{绿0，蓝2}，{绿0，红1}，{绿0，红2}，{绿0，红3}，{蓝1，红1}，{蓝1，红2}，{蓝2，红1}，共8种情况．由古典概型的概率计算公式可得，所求事件的概率P＝815.探究三复杂古典概型的概率[阅读教材P129例5]某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？方法步骤：第一步，列出所有的基本事件；第二步，找出满足条件的基本事件；第三步，根据古典概型概率公式进行计算．[例3]袋中有两个红球和两个白球，现从中任取两个小球，求所取的两个小球中至少有一个红球的概率．[分析][解析]给两个红球编号为1，2，两个白球编号为3，4，从中任取两个，共有6个基本事件：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．设至少有一个红球为事件A.法一：至少有一个红球的结果有5个：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，则至少有一个红球的概率为P(A)＝5 6.法二：设事件B＝“有一个红球与一个白球”，事件C＝“两个都是红球”，则A＝B∪C.由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝46＋16＝56.法三：设事件D＝“两个都是白球”，则事件A与事件D互为对立事件，所以P(A)＝1－P(D)＝1－16＝5 6.方法技巧在古典概型中，求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．凡涉及“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论思想求解，当涉及的互斥事件多于2个时，一般用对立事件求解．跟踪探究 2.先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和为7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．解析：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和为7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．故P(A)＝636＝1 6.(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4)．故P(B)＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．故P(C)＝1236＝13.授课提示：对应学生用书第58页[课后小结]1．古典概型是一种最基本的概型，在应用公式P(A)＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．[素养培优]基本事件的概念理解不清致误任意投掷两枚骰子，求“出现的点数之和为奇数”的概率．错解任意投掷两枚骰子，点数之和可能是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共有11个基本事件，设出现的点数之和为奇数为事件A，则事件A包含3，5，7，9，11，共5个基本事件，故P(A)＝511，即出现的点数之和为奇数的概率为511.易错分析出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次，即(1，1)；点数之和为3则出现两次，即(2，1)，(1，2)．因此以点数之和为基本事件不属于古典概型，不能应用古典概型概率公式计算．自我纠正任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果即基本事件可表示为数组(i，j)(i，j＝1，2，…，6)．其中两个数i，j分别表示这两枚骰子出现的点数，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36个基本事件．设出现的点数之和为奇数为事件A，则包含(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，4)．(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)，共有18个基本事件．故P(A)＝1836＝1 2.即出现的点数之和为奇数的概率为12.。
第2课时条件结构内容标准学科素养1.了解条件结构的概念，并明确其执行过程.2.理解条件结构在程序框图中的作用.3.会用条件结构设计程序框图解决有关问题.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第6页[基础认识]知识点条件结构预习教材P10－12，思考并完成以下问题在激烈市场竞争中'通常会遇到商品打折的情况，如某唱片在淘宝上的售价为25元，如果团购5个以上(含5个)，那么按九折收费．(1)对于这种算法，能用上节学的顺序结构画出它的程序框图吗？提示：显然需要判断顾客购买唱片的张数，直接用顺序结构无法画出其程序框图．(2)解关于x的方程ax＋b＝0的算法进行设计时，容易忽视的问题是什么？提示：判断a是否为0.知识梳理 1.条件结构的概念在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构．2．条件结构程序框图的形式名称双条件结构单条件结构结构形式特征两个步骤A、B根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤A1．下列算法中，含有条件结构的是()A．求两个数的积B．求点到直线的距离C．解一元二次方程D．已知梯形两底和高求面积解析：解一元二次方程时，当判别式Δ<0时，方程无解，当Δ≥0时，方程有解，由于分情况，故用到条件结构．答案：C2．判断给出的整数n是否是偶数，设计程序框图时所含有的基本逻辑结构是() A．顺序结构B．条件结构C．顺序结构、条件结构D．以上都不正确解析：任何程序框图中都有顺序结构．当n能被2整除时，n是偶数；否则，n不是偶数，所以必须用条件结构来解决．故选C.答案：C3．如图所示，若输入x ＝－1，则输出y ＝__________．解析：∵－1<3， ∴y ＝4－(－1)＝5. 答案：5授课提示：对应学生用书第7页 探究一 条件结构的理解[例1] (1)下列关于条件结构的描述，不正确的是( )A ．条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的B ．条件结构的判断条件要写在判断框内C ．双选择条件结构有两个出口，单选择条件结构只有一个出口D ．条件结构根据条件是否成立，选择不同的分支执行 (2)给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值； ②求面积为6的正方形的周长； ③求a ，b ，c 三个数中的最大值；④求函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析] (1)条件结构含有判断框，条件写在判断框内，有一个入口，两个出口，根据条件成立与否，选择不同的出口，故A 、B 、D 正确，C 错误． (2)①③④都要对条件作出判断，用条件结构，②用顺序结构即可． [答案] (1)C (2)C方法技巧 条件结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个．一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口．跟踪探究 1.如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．判断结构D ．以上都不对 解析：是双选择条件结构形式． 答案：B探究二 条件结构的设计[阅读教材P 10例4及解答]任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图．[例2] 画出求分段函数y ＝⎩⎨⎧2x ＋1（x ≥0），3x －2（x ＜0）的函数值的程序框图．[解析] 算法如下： 第一步，输入x 的值． 第二步，判断x 的大小． 若x ≥0，则y ＝2x ＋1； 若x ＜0，则y ＝3x －2. 第三步，输出y 的值． 程序框图如下：方法技巧 含有条件结构的程序框图的设计 设计程序框图时，首先设计算法步骤(自然语言)，再将算法步骤转化为程序框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画程序框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出程序框图．对于算法中含有分类讨论的步骤，在设计程序框图时，通常用条件结构来解决．延伸探究 1.将本例改为：已知函数y ＝⎩⎨⎧x （x ≥0）e x （x <0），画出输入一个数x ，求函数值的程序框图．解析：程序框图如图所示．2．仿照例2的解决方法，你能画出解关于x 的方程ax ＋b ＝0的算法的程序框图吗？ 解析：程序框图如图所示：探究三 条件结构的实际应用[例3] 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出一人加收1.2元．设计一个算法，根据住户的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．[解析] 设住户的人数为x ，收取的卫生费为y 元，依题意得y ＝⎩⎨⎧5 （x ≤3，x ∈N *），5＋1.2（x －3） （x ＞3，x ∈N *）. 这是一个分段函数求值问题，可用条件结构实现算法． 算法如下： 第一步：输入x .第二步：若x ≤3，则y ＝5；否则，y ＝5＋1.2(x －3)． 第三步：输出y .程序框图如图所示．方法技巧 与现实生活有关的题目经常需用到条件结构．解答时，首先根据题意写出函数表达式，然后设计成程序框图，解答此题的关键是写出函数解析式． 跟踪探究 2.设火车托运质量为w (kg)的行李时，每千米的费用(单位：元)标准为f ＝⎩⎨⎧0.4w ，w ≤30，0.4×30＋0.5（w －30），w ＞30，试画出路程为s 千米时行李托运费用M 的程序框图．解析：算法如下：第一步：输入物品质量w 、路程s ；第二步：若w ＞30.那么f ＝0.4×30＋0.5(w －30)；否则，f ＝0.4w ； 第三步：计算M ＝s ×f ； 第四步：输出M . 程序框图如图所示．授课提示：对应学生用书第8页[课后小结]1．条件结构是程序框图的重要组成部分，其特点是：先判断后执行．2．在利用条件结构画程序框图时要注意两点：一是需要判断的条件是什么；二是条件判断后分别对应着什么样的结果．3．对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成条件结构来解决．[素养培优]条件结构中的讨论问题用程序框图表示解方程ax＋b＝0(a，b为常数)的算法．易错分析两边同除以x的系数时，未保证系数不为0.自我纠正第一步，输入a，b的值．第二步，判断a＝0是否成立，若成立，则执行第三步；若不成立，则令x＝－b a，输出x，结束算法．第三步，判断b＝0是否成立，若成立，则输出“方程的解为R”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法．程序框图为：。
最新人教版数学精品教学资料3．3.2 均匀随机数的产生[学习目标] 1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.3.理解用模拟方法估计概率的实质．知识点 均匀随机数 1．均匀随机数的概念在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数． 2．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND 函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”． 3．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)计算机模拟的方法：用Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤． 4．[a ，b ]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝x 1*(b -a )+a 就可以得到[a ，b ]内的均匀随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．题型一 用随机模拟法估计长度型几何概型的概率例1 取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？解 设“剪得两段的长都不小于2 m ”为事件A .方法一 步骤：(1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND. (2)作伸缩变换：y ＝x *(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数． (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m . (4)则概率P (A )的近似值为mn.方法二 步骤：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5](这里5和0重合)．(2)固定指针转动转盘，或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m 及试验总次数n . (3)则概率P (A )的近似值为mn.反思与感悟 通过模拟试验求某事件发生的概率，不同于古典概型和几何概型试验求概率，前者只能得到概率的近似值，后者求得的是准确值．跟踪训练1 把[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )A.y =8*xB.y =8*x +2C.y =8*x -2D.y =8*x +6答案 C解析 根据平移和伸缩变换，y ＝[6－(－2)]*x ＋(－2)＝8* x －2. 题型二 用随机模拟法估计面积型几何概型的概率例2 利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积．解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，……，b ＝b 1*2,得到一组[-1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足b ＜2a 的点(a ，b )数). (4)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4.∴N 1N ＝S 4，∴S ≈4N 1N 即为阴影部分面积的近似值．反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值．跟踪训练2 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆的面积，如图，并估计圆周率π的近似值．解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. (2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2， b ＝(b 1－0.5)*2，得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数N 1(满足a 2＋b 2≤1的点(a ，b )数)． (4)计算频率N 1N ，即为点落在圆内的概率．(5)设圆的面积为S ，由几何概率公式，得P ＝S4.∴S 4≈N 1N ，即S ≈4N 1N 即为圆面积的近似值． 又∵S 圆＝πr 2＝π，∴π＝S ≈4N 1N ，即为圆周率π的近似值．题型三 几何概型的应用问题例3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件为|x －y |≤15，在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能会面”的可能结果由图中的阴影部分表示． u A ＝602－452＝1 575，u Ω＝602＝3 600， P (A )＝u A u Ω＝1 5753 600＝716.反思与感悟 本题的难点是把两个时间分别用x 轴，y 轴表示，构成平面内的点(x ，y )，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成与面积有关的几何概型问题．跟踪训练3 从甲地到乙地有一班车在9：30～10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45～10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？ 解 记事件A ＝{能赶上车}．(1)利用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x =x 1*0.5+9.5，y =y 1*0.5+9.75，得到一组［9.5，10］，一组［9.75，10.25］上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 及赶上车的次数N 1(满足x <y 的点(x ，y )数). (4)计算频率fn (A )=N 1N即为能赶上车的概率的近似值.随机变换公式的应用例4 用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x ，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝3x ＋1 C ．y ＝4x ＋1D ．y ＝4x －1错解 因为随机数x ∈[0,1]，而基本事件都在[－1,3]上，其长度为4. 由平移变换得y ＝4x ＋1.正解 分析解题过程，你知道错在哪里吗？错误的根本原因是没有求出函数的定义域．实际上本题函数的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．正解 因为随机数x ∈[0,1]，而基本事件都在区间[－1,3]上，其区间长度为4，所以把x 变为4x ，因为区间左端值为－1，所以4x 再变为4x －1，故变换公式为y ＝4x －1. 答案 D1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A ．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B ．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C ．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D ．最适合估计古典概型的概率 答案 C解析 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值答案 D解析 随机摸拟法求其概率，只是对概率的估计．3．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数A ．0B ．2C ．4D ．5 答案 C解析 当x ＝12时，y ＝2×12＋3＝4.4．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”的概率为________． 答案 13解析 已知0≤a ≤1，事件“3a －1＜0”发生时，0＜a ＜13，由几何概型得其概率为13.1.在区间[a ，b ]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．2．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．一、选择题1．与均匀随机数特点不符的是( ) A ．它是[0,1]内的任何一个实数 B ．它是一个随机数C ．出现的每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数 答案 D解析 A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．2．质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为( ) A.14 B.13 C.12D ．以上都不对解析 区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A .则事件A 的区间长度为1，则P (A )＝12.3．用Excel 中的随机函数RAND()如何产生－8～2内的随机数( ) A ．RAND( )*10－8 B ．RAND( )*10－12 C ．RAND( )*2－10 D ．RAND( )*10＋8答案 A解析 0×10－8＝－8,1×10－8＝2，故RAND( )*10－8符合．4．在一半径为1的圆内有10个点，向圆内随机投点，则这些点不落在这10个点上的概率为( )A ．0B ．1 C.12 D ．无法确定答案 B解析 由几何概型公式知，所求概率P ＝π·r 2－0π·r 2＝1.5．向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为()A.14 B.2536 C.25144 D ．1答案 C解析 直线6x －3y －4＝0与直线x ＝1交于点⎝⎛⎭⎫1，23，与直线y ＝－1交于点⎝⎛⎭⎫16，－1，易知阴影部分面积为12×56×53＝2536.∴P ＝S 阴影S 正方形＝25364＝25144.6．在区间[20,80]上随机取一实数a ，则这个实数a 落在[50,75]上的概率是( ) A.16 B.512 C.15 D.712 答案 B解析 由几何概型概率计算公式，得P ＝75－5080－20＝2560＝512.7．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm 、4 cm 、6 cm ，某人站在3 m 之外向此木板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数． (3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( ) A.N 1N ，N 2N ，N －N 1N B.N 2N ，N 1N ，N －N 2N C.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2N D.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N答案 A解析 P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .二、填空题8．设b 1是区间[0,1]上的均匀随机数，b ＝(b 1－0.5)*6，则b 是区间________上的均匀随机数． 答案 [－3,3]解析 设b 为区间[m ，n ]内的随机数，则b ＝b 1(n －m )＋m ，而b ＝(b 1－0.5)*6.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝6，m ＝－3.∴n ＝3，m ＝－3. 9．如图所示，在半径为1的半圆内放置一个边长为12的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，则点落在正方形内的概率为________．答案12π解析 S 正方形＝⎝⎛⎭⎫122＝14，S 半圆＝12×π×12＝π2，由几何概型的概率计算公式，得P ＝S 正方形S 半圆＝14π2＝12π. 10．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 当m ≤2时，2m 6＝56无解．当2＜m ≤4时，由m ＋26＝56得m ＝3，综上m ＝3.11．某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 答案932解析 设小张和小王到校的时间分别为y 和x ，则⎩⎪⎨⎪⎧30≤x ≤50，30≤y ≤50，y －x ≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P ＝12×15×1520×20＝932.三、解答题12．用随机模拟方法求函数y ＝x 与x 轴和直线x ＝1围成的图形的面积．解 如图所示，阴影部分是函数y ＝x 的图象与x 轴和直线x ＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S .随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总数N 和落在阴影内的点数N 1，(满足条件y ＜x 的点(x ，y )的个数)； (3)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形面积为1，由几何概型概率的计算公式得，点落在阴影部分的概率为S1＝S .则S ＝N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N .13．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 记事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，从而事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)如图所示，试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，其面积为S ＝3×2＝6，又构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，其面积为S ′＝3×2－12×22＝4，故所求事件A 的概率为P (A )＝46＝23.。
3．3几何概型内容标准学科素养1.理解几何概型的定义及特点.2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.3.与长度、角度有关的几何概型问题.提升数学运算发展数学抽象应用数学运算授课提示：对应学生用书第61页[基础认识]知识点几何概型预习教材P135－136，思考并完成以下问题每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．(1)这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．(2)在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．(3)如何计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．知识梳理 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X 为[a ，b ]上的均匀随机数．[自我检测]1．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为13，故选A.答案：A2．X 服从[3，40]上的均匀分布，则X 的值不能等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：由于X ∈[3，40]，则3≤X ≤40，则X ≠45.故选D.答案：D3．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为__________．解析：∵区间[－1，2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1，1]，而区间[－1，1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1，2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.答案：23授课提示：对应学生用书第61页探究一 与长度、角度有关的几何概型[阅读教材P 136例1]某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．方法步骤：第一步，表示出事件；第二步，分析是否满足几何概型的条件；第三步，计算．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 大于AC 的概率．[解析] 如图，点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB 上截取AC ′＝AC ，当点M 位于线段C ′B 上时，AM >AC ， 故线段C ′B 即为构成事件的区域长度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝C′BAB＝1－22.方法技巧在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．延伸探究本例条件不变．若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？解析：结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．探究二与面积有关的几何概型[例2]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)[解析]设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P＝2252400＝932.[答案]9 32方法技巧与面积有关的几何概型问题的解法：(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)求几何概型的概率的关键是：确定试验的全部结果所构成的图形及事件A对应的图形，并求出它们的面积．跟踪探究 1.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．解析：如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率为2375.探究三与体积有关的几何概型[例3]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．[解析]圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3；则点P到点O的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13.故点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝23.方法技巧与体积有关的几何概型问题的解决：(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪探究 2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率．解析：如图是正方体ABCD－A1B1C1D1，设四棱锥M－ABCD的高为h，由13×S ABCD×h＜16，又S ABCD＝1，∴h＜12，即点M在正方体的下半部分．∴所求概率P ＝12V正方体ABCD－A1B1C1D1V正方体ABCD－A1B1C1D1＝12.授课提示：对应学生用书第63页[课后小结]1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.[素养培优]几何度量(长度、角度、面积或体积)的选择错误如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM<AC的概率．易错分析错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C作射线CM，错解中先在AB上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误．自我纠正在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，所以P(A)＝67.5°90°＝34.。
1．2基本算法语句内容标准学科素养1.理解输入语句、输出语句、赋值语句.2.能够将程序框图转化为“算法”语句.3.进一步体会算法的基本思想.应用数学运算发展逻辑推理培养数学抽象授课提示：对应学生用书第12页[基础认识]知识点输入语句、输出语句和赋值语句预习教材P21－24，思考并完成以下问题人和计算机是如何交流的呢？这是一个非常复杂的问题，简单的说，一种特定的“语言”是实现人机交流的必备工具，这种语言必须是人和计算机都能够识别并且能执行的．通过这种语言，我们就可以和计算机进行交流了．(1)计算机能够“理解”的语言与人的语言有什么区别？提示：计算机不同于人，人有大脑，可以思考问题，而计算机对自然语言和程序框图描述的算法无法识别，必须转化为其能理解的语言，即程序语言．(2)基本的算法语句有哪些？各自对应怎样的算法结构？提示：基本的算法语句⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎬⎫输入语句输出语句赋值语句对应顺序结构条件语句——对应条件结构循环语句——对应循环结构名称格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量，其中“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息把程序中新输入的值赋给变量输出语句PRINT“提示内容”；表达式在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式所代表的值赋给变量．一般先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量1．输出语句：PRINT 4＋5，其输出的结果是()A．4B．5C．9 D．20解析：4＋5＝9，故输出的结果是9.答案：C2．下列赋值语句错误的是()A．A＝A＋2 B．m－1＝nC．m＝3n D．P＝3＋1解析：赋值语句中，“＝”左边是变量，右边是表达式，故B错误．答案：B3．下面一段程序执行后的结果是__________．A＝2A＝A*2A＝A＋6PRINT AEND解析：先把2赋给A，然后把A*2赋给A.即A的值为4，再把4＋6＝10赋给A，所以输出的结果为10.答案：10授课提示：对应学生用书第12页探究一输入、输出语句[阅读教材P21例1]用描点法作函数y＝x3＋3x2－24x＋30的图象时，需要求出自变量和函数的一组对应值．编写程序，分别计算当x＝－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5时的函数值．方法步骤：第一步，输入一个自变量x的值．第二步，计算y＝x3＋3x2－24x＋30.第三步，输出y.[例1]编写一个程序，给定圆的半径，求圆的周长和面积(取π≈3.14)，要求输入圆的半径r的值，输出圆的周长L和面积S.[解析]程序如下：INPUT“r＝”；rL＝2*3.14*rS＝3.14*r*rPRINT L，SEND方法技巧利用输入、输出语句编程应注意的问题(1)输入语句没有计算功能，只能输入常量；而输出语句有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．(2)“提示内容”和变量之间用分号隔开，若输入(出)多个数，各数之间应用逗号隔开，“提示内容”可以省略．(3)程序中运算符号要规范，输出语句不能输出一个等式，这是易错点．跟踪探究 1.下列程序若输出的结果为3，则输入的x值可能是()INPUT“x＝”；xy＝x*x＋2*xPRINT yENDA．1B．－3C．－1 D．1或－3解析：根据条件可知，x2＋2x＝3，解得x＝1或－3.答案：D探究二赋值语句[阅读教材P23例2]编写程序，计算一个学生语文、数学、英语三门课程的平均成绩．题型：赋值语句方法步骤：第一步输入成绩．第二步计算平均值．第三步输出平均值．[例2]阅读如下两个程序，完成下列问题．程序(1)：x＝1x＝x*2x＝x*3PRINT xEND程序(2)：INPUT“x＝”；xy＝x*x＋6PRINT yEND(1)程序(1)的运行结果为__________．(2)若程序(1)，(2)运行结果相同，则程序(2)输入的值为__________．[解析]赋值语句给变量赋值时，变量的值总是最后一次所赋的值，故程序(1)中x 的值最后为6.要使程序(2)中y的值为6，即x2＋6＝6，故x＝0.即输入的x的值为0.[答案](1)6(2)0方法技巧 1.赋值语句的几种常见形式(1)赋予变量常数值，如a＝1.(2)赋予变量其他变量或表达式的值，如b＝a，b＝2a＋1.(3)变量自身的值在原值上加常数或变量，如i＝i＋1，i＝i＋S.2．根据程序求输出结果应注意以下两点(1)根据给出的算法语句写结果，应抓住输入、输出语句和赋值语句的特点，按语句的计算、赋值功能依次执行．(2)注意在算法语言中常见运算符号的书写方式，明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优先于乘除；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先．跟踪探究 2.设A＝10，B＝20，则可以实现A、B的值互换的程序是()A.A＝10B＝20B＝AA＝BB.A＝10B＝20C＝AB＝CC.A＝10B＝20C＝AA＝BB＝CD.A＝10B＝20C＝AD＝BB＝CA＝B解析：A中程序执行后A＝B＝10；B中程序执行后A＝B＝10；C中程序执行后A ＝20，B＝10；D中程序执行后A＝B＝10.答案：C探究三程序语句的编写及应用[例3]经过市场调查分析，2017年第一季度内，某地区对某件商品的需求量为12 000件，为保证商品不脱销，商家决定在月初时将商品按相同的量投放市场，已知年初商品的库存量为50 000件，用S表示商品的库存量，请设计一个算法的程序框图，求出第一季度结束时商品的库存量，编写其程序．[解析]算法的程序框图如图示：程序如下：S＝50 000S＝S－4 000S＝S－4 000S＝S－4 000PRINT“S＝”；SEND方法技巧 1.编写程序的关键在于弄清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采用哪一种算法语句，分清算法的步骤，写出程序．2．输入语句、输出语句、赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构，编写程序时“INPUT语句”是输入框中的信息，赋值语句是处理框中的信息，“PRINT语句”是输出框中的信息．3．编写程序的步骤：(1)首先根据问题要求构思算法分析；(2)然后把算法分析转化为程序框图，即画出程序框图；(3)再把程序框图转化为程序．要注意转化过程中这三种基本结构与相应语句的对应．熟练后可直接写出程序延伸探究 1.将本例改为：某仓库一月份库存某商品50 000件，二月份又进货30 000件，三月份卖出了全部商品的一半，求第一季度结束时的库存量，请设计程序框图，并编写程序．解析：S＝50 000S＝S＋30 000S＝S/2PRINT“S＝”；SEND2．本例条件不变，结论改为“求出第一季度每月末的库存量”，请你设计程序框图，并编写程序．解析：S＝50 000S＝S－4 000PRINT“一月末库存量S＝”；SS＝S－4 000PRINT“二月末库存量S＝”；SS＝S－4 000PRINT“三月末库存量S＝”；SEND授课提示：对应学生用书第14页[课后小结]1．需输入信息时用INPUT语句，需输出信息时用PRINT语句．当变量需要的数据较少或给变量赋予算式时，用赋值语句，当变量需要输入多组数据且程序重复使用时，使用输入语句较好．2．赋值语句是一个程序必不可少的重要组成部分．使用赋值语句，一定要注意其格式要求，不能利用赋值语句进行代数式计算等．[素养培优]利用赋值语句进行变量交换误区已知a＝2，b＝5，编写一个程序，交换a，b的值．错解程序如下：a＝2b＝5a＝bb＝aPRINT a，bEND易错分析第一行：a的值为2；第二行：b的值为5；第三行：把b的值赋给a，这时b的值为5，所以a＝5；第四行：把a的值赋给b，而这时a的值为5，所以b的值还是5；第五行：因为a，b的值均为5，所以输出结果为5，5.因此，错解中的程序没有达到交换的目的．自我纠正程序如下：a＝2b＝5t＝aa＝bb＝tPRINT a，bEND。
教育精品资料按住Ctrl 键单击鼠标打开名师教学视频全册播放1.1算法与程序框图（共3 课时）1.1.1算法的概念（第1课时）一、序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.二、实例分析例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）例2：给出求1+2+3+4+5 的一个算法.解：算法1 按照逐一相加的程序进行第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3 与3 相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6 与4 相加，得到10；第四步：将第三步中的运算结果10 与5 相加，得到15.n(n + 1)算法2 可以运用公式1+2+3+…+ n = 直接计算2第一步：取n =5；n(n + 1)第二步：计算；2第三步：输出运算结果.（说明算法不唯一）例3：（课本第2 页，解二元一次方程组的步骤）（可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程.+ 步骤称为解决这些问题的算法三、算法的概念通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程例 6：（课本第 4 页例 2）练习 2：设计一个计算 1+2+…+100 的值的算法.解：算法 1按照逐一相加的程序进行第一步：计算 1+2，得到 3；第二步：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加，得到 6； 第三步：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加，得到 10；……第九十九步：将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加，得到 5050.n (n 1)算法 2 可以运用公式 1+2+3+…+ n = 第一步：取 n =100； 2n (n + 1)第二步：计算；2第三步：输出运算结果.直接计算 练习 3：（课本第 5 页练习 1）任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.解：第一步：输入任意正实数 r ；第二步：计算 S =r 2 ；第三步：输出圆的面积 S .五、课堂小结1. 算法的特性：①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的.②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果， 而不应当是模棱两可.③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.④输入：一个算法中有零个或多个输入..⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.2. 描述算法的一般步骤：①输入数据.（若数据已知时，应用赋值；若数据为任意未知时，应用输入） ②数据处理. ③输出结果.1.1.2 程序框图（第 2 课时）二、程序框图的有关概念1. 两道回顾练习的算法用程序框图来表达，引入程序框图概念.2. 程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.3. 构成程序框图的图形符号及其作用（课本第 6 页）4. 规范程序框图的表示： ①使用标准的框图符号.②框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范. ③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点. 另一种是多分支判断，有几种不同的结果. ⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚. 三、顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 例 1：（课本第 9 页例 3）练习 1：交换两个变量 A 和 B 解：算法如下：程序框图：第一步：输入 A ，B 的值. 第二步：把 A 的值赋给 x. 第三步：把 B 的值赋给 A. 第四步：把 x 的值赋给 B. 第五步：输出 A ，B 的值.根据条件判断，决定不同流向.例2：（课本第10 页例4）练习2：有三个整数a ，b ，c ，由键盘输入，输出其中最大的数.解：算法1第一步：输入a ，b ，c ；第二步：若a >b ，且a >c ；则输出a ；否则，执行第三步；第三步：若b >c ，则输出b ；否则，输出c .算法2第一步：输入a ，b ，c ；第二步：若a >b ，则t =a ；否则，t =b ；第三步：若t >c ，则输出t ；否则，输出c .练习3：已知f (x) =x 2 - 2x - 3 ，求f (3) +f (-5) 的值.设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图.解：算法如下：第一步：x = 3 ；第二步：y1=x 2 - 2x - 3 ；第三步：x =-5 ；第四步：y2=x 2 - 2x - 3 ；第五步：y =y1+y2；第六步：输出y .练习4：设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图.解：第一步：输入任意实数x ；第二步：若x ≥ 0 ，则y =x ；否则y =-x ；第三步：输出y .练习5：（课本第18 页例6）设计一个算法，使得任意输入的3 个整数按从大到小的顺序输出，并画出程序框图.练习6：五、课堂小结1.画程序框图的步骤：首先用自然语言描述解决问题的一个算法，再把自然语言转化为程序框图；2.理解条件结构的逻辑以及框图的规范画法，条件结构主要用在判断、分类或分情况的问题解决中.1.1.2 程序框图（第3 课时）一、回顾练习引例：设计一个计算1+2+…+100 的值的算法.解：算法1 按照逐一相加的程序进行第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3 与3 相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6 与4 相加，得到10；……第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950 与100 相加，得到5050.简化描述：进一步简化：第一步：sum=0；第一步：sum=0，i=1；第二步：sum=sum+1；第二步：依次i 从1 到100，反复做sum=sum+i；第三步：sum=sum+2；第三步：输出sum.第四步：sum=sum+3；……第一百步：sum=sum+99； 第一百零一步：sum=sum+100 第一百零二步：输出 sum. 根据算法画出程序框图，引入循环结构.二、循环结构循环结构：在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这种结构称为循环结构.循环体：反复执行的处理步骤称为循环体.计数变量：在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的变量，这个变量的取值一般都含在执行或终止循环体的条件中.当型循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.直到循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环体进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止. 练习 1：画出引例直到型循环的程序框图.当型循环与直到循环的区别：①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次循环体.②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.练习 2：1.1.1 节例 1 的算法步骤的程序框图（如图）说明：①为了减少难点，省去 flag 标记；②解释赋值语句“ d = 2 ”与“ d = d + 1”，还有“ d <= n - 1；③简单分析.练习3：画出1⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ ⨯100 的程序框图.小结：画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件.三、条件结构与循环结构的区别与联系区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行.联系：循环结构是通过条件结构来实现.例1：（课本第10 页的《探究》）画出用二分法求方程x 2 - 2 = 0 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并指出哪些部分构成顺序结构、条件结构和循环结构？练习4：设计算法，求使1 + 2 + 3 + +n > 2005 成立的最小自然数n 的值，画出程序框图.练习5：输入50 个学生的考试成绩，若60 分及以上的为及格，设计一个统计及格人数的程序框图.练习6：指出下列程序框图的运行结果五、课堂小结1.理解循环结构的逻辑，主要用在反复做某项工作的问题中；2.理解当型循环与直到循环的逻辑以及区别：①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次循环体.②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断.③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.3.画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件.4.条件结构与循环结构的区别与联系：区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行.联系：循环结构是通过条件结构来实现.1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句（第1 课时）一、回顾知识顺序结构及其框图二、输入语句、输出语句和赋值语句 例 1：（课本第 21 页例 1）分析：首先画出解决该问题算法的程序框图，并解析 BASIC 语言中的数学运算符号表示.如： 2 ⨯ 3 写成 2*3， 53 写成 5^3， 5 ÷ 3写成 5/3，5 除以 3 的余数为“5 MOD 3”，5 除以 3 的商为“5\3”， 1. 输入语句的一般格式写成“SQR （2）”， x 写成“ABS （ x ）”等等.说明：①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.②“提示内容”提示用户输入 什么样的信息，用双引号.③提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量， 变量与变量之间用逗号“，”隔开，如“INPUT “a=,b=,c=”；a ，b ，c”.④变量是指程序在运行是其值是可以变化的量，如③中的 a ，b ，c 都是变量，通俗把一个变量比喻成一个盒子，盒子内可以存放数据，可随时更新盒子内的数据.⑤如③中当依次输入了1，2，3 程序在运行时把输入的值依次赋给 a ，b ，c ，即 a=1，b=2，c=3. 例如，输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩：INPUT “Maths ，Chines ，English ”；a ，b ，c 输入任意整数 n ： INPUT “n=”；n2. 输出语句的一般格式说明：①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能，可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息.②“提示内容”提示用户输出什么样的信息，用双引号.③ 提示内容与表达式之间用分号“；”隔开. ④要输出表达式中的字符，需要用双引号“”， 如：PRINT “提示内容：”；“a+2”，这时屏幕上将显示：提示内容：a+2. 例如，下面的语句可以输出斐波那契数列：PRINT“The Fibonacci Progression is:”；1 1 2 3 5 8 13 21 34 55“…”这时屏幕上将显示：The Fibonacci Progression is: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … 例 2：（课本第 23 页例 2）分析：补充写出屏幕上显示的结果.PRINT “提示内容”；表达式 INPUT “提示内容”；变量 23.赋值语句的一般格式变量=表达式说明：①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量.②赋值语句中的“=”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样；赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如 a=b 表示用 b 的值代替变量 a 原先的值.③格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量，如若 a=1，b=2，c=a+b 是指先计算 a+b 的值3 赋给c，而不是将 a+b 赋给c.例3：（课本第 25 页例3）分析：先画出程序框图，重点分析“A=A+15”.例4：（课本第 15 页例4）分析：先画出程序框图.4.输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别（1）输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.（2）输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是程序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.三、课堂练习1.（课本第24 页练习1）（要求：先画出程序框图）2.（课本第24 页练习2）（要求：先画出程序框图）3.（课本第24 页练习3）4.（课本第24 页练习4）（要求：先画出程序框图）5.（课本第33 页习题1.2A 组第1 题）6.四、课堂小结1.理解输入语句、输出语句和赋值语句的一般格式，注意标点符号的使用以及数学符号的表示和数学式子的表示；2.赋值语句与数学中等号的区别.3.编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为程序框图，最后把程序框图转化为程序语句.4.输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.5.输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是IF 条件 THEN语句 1 ELSE 语句 2 程序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.1.2 基本算法语句（共 3 课时）（有条件在电脑室上）1.2.2 条件语句（第 2 课时）一、回顾知识1. 什么是条件结构？画出其程序框图.2. 练习：写出解不等式 ax > b (a ≠ 0) 的一个算法，并画出程序框图. 二、条件语句1. 把回顾练习中的程序框图转化为程序语句. INPUT “a=”；a INPUT “b=”；b IF a>0 THENPRINT “不等式的解为： x > ”；a/bELSEEND IF ENDPRINT “不等式的解为： x < ”；a/b2. 条件语句的一般格式 （1）IF —THEN —LESE 形式 END IF说明：①当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合， 就执行 THEN 后的语句，否则执行 ELSE 后的语句.②书写时一个条件语句中的 IF 与 END IF 要对齐.（2）IF —THEN 形式IF 条件 THEN语句END IF说明：当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句，否则直接结束该条件语句.三、知识应用练习1：已知函数f (x) = x 2 -x + 1（x ≥ 2 ）编写一个程序，对每输入的一个x 值，都得到相应的函数值.x + 1 （x < 2 ）例1：（课本第25 页例6）编写程序，输入一元二次方程ax 2 +bx +c = 0 的系数，输出它的实数根.分析：首先画出程序框图，再转化为程序语句；解释平方根与绝对值BASIC 语言的表示；注意两重条件的表示方法.例2：（课本第27 页例7）编写程序，使得任意输入的3 个整数按从大小的顺序输出.分析：首先画出程序框图，再转化为程序语句.四、课堂练习1.（课本第29 页练习1）2.（课本第29 页练习2）3.（课本第29 页练习3）（要求：先画出程序框图）4.（课本第29 页练习4）（要求：先画出程序框图）5. 6.五、课堂小结1.理解条件语句的两种表达形式以及何时用格式 1、何时用格式2.2.注意多个条件的语句表达方法：如(a+b>c) AND (b+c>a) AND (a+c>b).3.条件语句的嵌套，注意END IF 是和最接近的匹配，要一层套一层，不能交叉.3.编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为程序框图，最后把程序框图转化为程序语句.六、作业1.（课本第23 页习题1.2A 组第3 题）2.（课本第24 页习题1.2B 组第2 题）3.某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3 分钟，则收取通话费0.2 元；如果通话超过3 分钟，则超过部分以0.1 元/分钟收取通话费.问：设计一个计算通话费用的算法，并且画出程序框图以及编出程序.4. 编写一个程序，任意输入一个整数，判断它是否是 5 的倍数.5. 基本工资大于或等于 600 元，增加工资 10%；若小于 600 元大于等于 400 元，则增加工资 15%；若小于 400 元，则增加工资 20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资， 计算出增加后的工资.1.2 基本算法语句（共 3 课时）（有条件在电脑室上）1.2.3 循环语句（第 3 课时）【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语 句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想【教学目标】1.理解、掌握循环语句；2. 能运用循环语句表达解决具体问题的过程；3. 培养学生逻辑思维能力与表达能力，进一步体会算法思想.【教学重点】循环语句的表示方法、结构和用法【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，当型循环和直到型循环的格式与逻辑的区别与联系. 【教学过程】 一、回顾知识1. 什么是循环结构？画出其程序框图.2. 引例：（课本第 13 页例 6）设计一个计算 1+2+…+100 的值的算法，并画出程序框图.分析：由程序框图转化为程序语句，引入循环语句.二、循环语句1. 当型（WHILE 型）语句的一般格式：说明：当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句.测试型”循环.WHILE 条件循环体 WEND2. 直到型（UNTIL 型）语句的一般格式： DO循环体 LOOP UNTIL 条件说明：当计算机遇到 UNTIL 语句时，先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体，然后判断条件是否成立，如果不成立，执行循环体.这个过程反复执行，直到某一次符合条件为止，这时不再执行循环体，跳出循环体执行 LOOP UNTIL 后面的语句. 因此，直到型循环有时也称为“后测试型”循环. 3. 当型循环与直到型循环的区别：①当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断. ②当型循环用 WHILE 语句，直到型循环用 UNTIL 语句. ③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.三、知识应用练习 1：编写程序，计算函数 f (x ) = x 2 - 3x + 5 当 x = 1,2,3, ,20 时的函数值. 例 1：设计一个算法，求1 + 1 + 1 + + 1 程序框图并编程.的和（其中 n 的值由键盘输入），画出 3 52n -1例 2：把课本第 7 页的程序框图转化为程序语句.练习 2：（课本第 32 页练习 1） 练习 3：（课本第 32 页练习 2）练习 4：某玩具厂 2004 年的生产总值为 200 万元，如果年生产增长率为 5%，试编一个程序，计算最早在哪一年生产总值超过 300 万元.练习 5：练习 6：算法初步复习课（1 课时）【教学目标】1.回顾算法的概念以及三种基本逻辑结构；2. 掌握三种基本逻辑结构的应用；3. 掌握条件结构与循环结构互相嵌套的应用.【教学重点】三种基本逻辑结构的应用【教学难点】条件结构与循环结构互相嵌套的应用【教学过程】一、算法的基本概念1.算法定义描述：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特性：①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的.②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.④输入：一个算法中有零个或多个输入..⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.P3判定.例1：任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出解：算法如下：第一步：判断n 是否等于2. 若n = 2 ，则n 是质数；若n > 2 ，则执行第二步.第二步：依次从2~（n - 1）检验是不是n 的因数，即整除n 的数.若有这样的数，则n 不是质数；若没有这样的数，则n 是质数.二、三种基本逻辑结构1.顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成.输入语句：INPUT “提示内容”；变量输出语句：PRINT “提示内容”；表达式赋值语句：变量=表达式P 15 例4：交换两个变量A 和B 的值，并输出交换前后的值.解：算法如下：第一步：输入A，B 的值.第二步：把A 的值赋给x.第三步：把B 的值赋给A.第四步：把x 的值赋给B.第五步：输出A，B 的值.程序如下：INPUT “A=，B=”；A，Bx=AA=BB=xPRINT A，BEND2.条件结构根据条件判断，决定不同流向.（1）IF—THEN—LESE 形式（2）IF—THEN 形式P19例6：编写程序，使得任意输入的3 个整数按大到小的顺序输出.3.循环结构从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤.（1）当型（WHILE 型）循环：IF 条件THEN语句END IFIF 条件THEN语句 1LESE语句 2DO循环体LOOP UNTIL 条件（2） 直到型（UNTIL型）循环：P 9 例 5：设计一个计算 1+2+…+100三、基本方法1. 编写一个程序的三个步骤：第一步：算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法；第二步：画出程序框图：依据算法分析，画出对应的程序框图；第三步：写出程序：耕具程序框图中的算法步骤，逐步把算法用相应的程序语句表达出来.P 15 例 4：交换两个变量 A 和 B 的值，并输出交换前后的值.2. 何时应用条件结构？当问题设计到一些判断，进行分类或分情况，或者比较大小时，应用条件结构；分成三种类型以上（包括三种）时，由边界开始逐一分类，应用多重条件结构.注意条件的边界值.如：（题目条件有明显的提示）（1） 编写一个程序，任意输入一个整数，判断它是否是 5 的倍数.（2） 编写求一个数是偶数还是奇数的程序，从键盘上输入一个整数，输出该数的奇偶性.（3） 编写一个程序，输入两个整数 a,b ，判断 a 是否能被 b 整除.（4） 某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过 3 分钟，则收取通话费 0.2 元；如果通话 超过 3 分钟，则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问：设计一WHILE 条件循环体WENDs > 2005 否是s = i 2i = i + 1i ≠ 0否是p = p + 1ii = i - 1 个计算通话费用的算法，并且画出程序框图以及编出程序.（5） 基本工资大雨或等于 600 元，增加工资 10%；若小于 600 元大于等于 400 元，则增加工资 15%；若小于 400 元，则增加工资 20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资.（6） 闰年是指年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除的年份.如：（题目隐藏着需要判断、分类或比较大小的过程等）（7）（课本第 11 页例 5）编写程序，输入一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的系数，输出它的实数根.（8）（课本第 27 页例 7）编写程序，使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出.3. 何时应用循环结构？当反复执行某一步骤或过程时，应用循环结构.当型循环是先判断条件，条件满足十执行循环体，不满足退出循环；直到型循环是先执行循环体，再判断条件，不满足条件时执行循环体，满足时退出循环.当循环体涉及到条件是否有意义时，只能用当型循环 （如图 1）；当条件用到循环体初始值时，只能用直到型循环（如图 2）.应用循环结构前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件.如：（题目条件有明显的提示）（1）设计一个计算1+2+…+100 的值的算法，并画出程序框图.（2）设计一个算法，计算函数f (x) =x 2 - 3x + 5 当x = 1,2,3, ,20 时的函数值，并画出程序框图.（3）如果我国工农业产值每年以9%的增长率增长，问几年后我国产值翻一翻，试用程序框图描述其算法.（4）设计一个算法，输出1000 以内（包括1000）能被3 和5 整除的所有正整数，并画出算法的程序框图以及编程.（5）全班一共40 个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100 ≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.如：（题目隐藏着需要反复执行的过程等）（6）任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定. （7）画出用二分法求方程x 2 - 2 = 0 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并写出程序.四、几个难点1.条件结构中嵌套着条件结构（1）编写一个程序，对于函数f (x) =输入x 的值，输出相应的函数值. x （x < 1）2x - 1（1 ≤x < 10 ）3x - 11 (x ≥ 10)（2）基本工资大于或等于600 元，增加工资10%；若小于600 元大于等于400 元，则增加工资15%；若小于400 元，则增加工资20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资.2.循环结构中嵌套着条件结构（1）任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.（2）全班一共40 个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100 ≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.（3）画出用二分法求方程x 2 - 2 = 0 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并写出程序.3.条件结构中嵌套着循环结构（1）任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.4.循环结构中嵌套着循环结构。
